tiệm cận TPhien

TIỆM CẬN
Nhận biết

2x 1
có tiệm cận ngang là đường thẳng
x2
A. x = 2
B. y = 2
C. y = -1
D. x = -1
y  2 và lim y  2 � chọn B
*) xlim
��
x ��
Câu 1 . Đồ thị hàm số y 

y  � và
+) xlim
�2 

lim y  � � HS nhầm, chọn x=2 là TCN � chọn A

x � 2

2x
có tiệm cận ngang là đường thẳng
x2
A. x = - 2
B. y = 2
C. y = -1
D. x = 2

y  1 và lim y  1 � chọn C
*) xlim
��
x � �
Câu 2 . Đồ thị hàm số y 

y  � và
+) xlim
�2

lim y  � � HS nhầm, chọn x= -2 là TCN � chọn A

x �2

y  2 và
+) HS tính nhầm xlim
��

lim y  2 � chọn B

x ��

2x
có tiệm cận đứng là đường thẳng
x2
B. y = 2
C. y = -1
D. x = -1
lim y  � � chọn A

Câu 3 . Đồ thị hàm số y 
A. x = - 2
y  � và
*) xlim
�2

x �2

y  2 và
+) xlim
��

x ��

lim y  2 � HS nhầm, chọn B

1 2x
có tiệm cận ngang, tiệm cận đứng là các đường thẳng
x2
B. y = 2; x= -2
C. y = 1 ; x= -2
D. y=1 ; x = 2
lim y  2

Câu 4 . Đồ thị hàm số y 
A. y= -2 ; x = 2
y  2 và
*) xlim
��
lim y  � và

x �2 

x ��

lim y  � � chọn A

x� 2

y  1 và lim y  1 � chọn D
+) HS tính nhầm xlim
� �
x � �
+)HS tính đúng giới hạn nhưng chọn nhầm B
2x  3
Câu 5. Cho hàm số y 
có đồ thị (C ). Số đường tiệm cận của (C) là
x 1
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
y  2 và lim y  2 � ĐTHS có 1 đường tiêm cận ngang y=2
*) xlim
��
x ��
lim y  � và lim y  �� ĐTHS có 1 đường TCĐ x=1

x �1

x �1

� chọn C
y  2 và
+)HS tính nhầm xlim
��

lim y  2 � ĐTHS có 2 đường tiêm cận ngang y=2; y=-2

x ��

lim y  � và lim y  �� ĐTHS có 2 đường TCĐ x=1; x=-1
x �1
� chọn A
y  2 và lim y  2 � ĐTHS có 1 đường tiêm cận ngang y=2
+) xlim
��
x ��
x �1

lim y  � và lim y  �� ĐTHS có 2 đường TCĐ x=1; x=-1
x �1
� chọn D
3 x
Câu 6 : Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
là
x2
A. 4
B. 2
C. 1

D. 3
lim
y


1
và
lim
y


1
� ĐTHS có 1 đường tiêm cận ngang y= -1
*) x ��
x � �
x �1


lim y  � và

x �2 

� chọn B
+) lim y  1 và
x ��

lim y  � và

x �2

� chọn D

lim y  �� ĐTHS có 1 đường TCĐ x=1

x� 2

lim y  1 � ĐTHS có 1 đường tiêm cận ngang y= -1

x � �

lim y  �� ĐTHS có 2 đường TCĐ x=2 ; x= -2

x �2

y  1 và
+))HS tính nhầm xlim
��
lim y  � và

x �2 

� chọn A

lim y  1 � ĐTHS có 2 đường tiêm cận ngang y=1; y= -1

x ��

lim y  �� ĐTHS có 2 đường TCĐ x=1; x=-1

x �2 

1
là
x6
A. 2
B. 3
C. 1
y  0 và lim y  0 , ĐTHS có 1 đường tiệm cận ngang y=0
*) xlim
��
x � �
Câu 7 . Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

lim y  � và

x �6

D. 0

lim y  � , ĐTHS có 1 đường tiệm cận đứng x=0

x �6

Chọn A
+) HS cho rằng ĐTHS không có TCN, vì không phải dạng hàm số B1/B1 nên kết luận ĐTHS
không có TCN, chỉ có 1 TCĐ, chọn C
x3
Câu 8 . Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  2
:
x 4

A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
y  � và lim y  � , lim y  � và lim y  � ĐTHS có 2 đường tiệm cận
*) xlim
�2 
x� 2
x �2
x �2
đứng x=2 ; x=-2
Chọn C
y  0 và lim y  0 , ĐTHS có 1 đường tiệm cận ngang y=0
+ xlim
��
x � �
lim y  � và

x �2 

lim y  � , lim y  � và
x �2

x �2 

lim y  � ĐTHS có 2 đường tiệm cận

x �2 

đứng x=2 ; x=-2

� chọn B, vì không đọc kỹ đề bài (tìm số đường tiệm cận của đồ thị)
2x  3
Câu 9. Cho hàm số y 
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x 1
A. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = 2 và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là đường thẳng y = 1
B. Tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số lần lượt có phương trình y = 2
và x = 1
C. Đồ thị hàm số chỉ có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng
D. Đồ thị hàm số chỉ có tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang
y  2 và lim y  2 � ĐTHS có 1 đường tiêm cận ngang y=2
*) xlim
��
x ��
lim y  � và lim y  �� ĐTHS có 1 đường TCĐ x=1

x �1

x �1

� chọn B
+) HS tính đúng giới hạn nhưng kết luận nhầm, chọn A

2x 1
.
x  3x  4
D. 0

.Câu 10. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

A. 3

B. 1

C. 2

2


y  0 và
*) xlim
��

lim y  0 , ĐTHS có 1 đường tiệm cận ngang y=0

x � �

Tam thức x 2  3 x  4 vô nghiệm nên ĐTHS không có tiêm cận ngang
� Chọn B
y  0 và lim y  0 , ĐTHS có 1 đường tiệm cận ngang y=0
+) xlim
��
x � �
HS nhầm, tam thức x 2  3 x  4 có 2 nghiệm là -1 và 4, từ đó tìm được 2 TCĐ x=-1 và x=4.
chọn A
2x  3
Câu 11. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  2
. Khẳng định nào sau đây đúng
x x2
A. (C) nhận đường thẳng x = -1 làm tiệm cận đứng

B. (C) nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng
C. (C) nhận đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang
D. (C) nhận đường thẳng y = 2 làm tiệm cận ngang
y  0 và lim y  0 , ĐTHS có 1 đường tiệm cận ngang y=0
*) xlim
��
x � �
� Chọn C
y  2 và lim y  2 , ĐTHS có 1 đường tiệm cận ngang y=2, chọn D
+)Sai lầm : xlim
��
x ��
+)HS nhầm, tam thức x 2  x  2 có 2 nghiệm là -1 và 2, từ đó tìm được 2 TCĐ x=-1 và x=2,
chọn A hoặc C
9  x  1  x  1
Câu 12. Cho hàm số y 
có đò thị (C) Khẳng định nào sau đây đúng ?
3x 2  5 x  2
A. (C) nhận đường thẳng x = -2 làm tiệm cận đứng
1
B. (C) nhận đường thẳng x  làm tiệm cận đứng
3
C. (C) nhận đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang
D. (C) nhận đường thẳng y = 3 làm tiệm cận ngang
y  3 và lim y  3 , ĐTHS có 1 đường tiệm cận ngang y=3
*) xlim
� �
x � �
� Chọn D
+)Sai lầm : HS tính sai nghiệm của tam thức 3 x 2  5 x  2 là -2 và 1/3 nên chọn A hoặc B

1
Câu 13. Cho hàm số y  2 x  1 
. Khẳng định nào sau đây sai ?
x2
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2
y  � và lim y  � , ĐTHS khồng có tiệm cận ngang
*) xlim
��
x ��
lim y  � và

x �2 

� Chọn A

lim y  �, ĐTHS có 1 tiệm cận đứng x=2

x �2 

y  � và
+) Sai lầm : xlim
�2 

lim y  �, chọn D

x �2 

x 1
x 2  3x  2
; y
; y  x 3  3x 2  4 ; y  x 4  x 2  2 .
x2
x 1
Số hàm số mà đồ thị có tiệm cận đứng là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
x 1
x 1
x 1
 � và lim
 �, ĐTHS y 
*) lim
có 1 tiệm cận đứng x=2
x �2 x  2
x �2 x  2
x2
Câu 14. Cho các hàm số y 


x 2  3x  2
1
x �2
x2
ĐTHS đa thức không có đường tiệm cận
� Chọn A

+)Sai lầm : HS có thể chọn ngay phương án B, vì 2 hàm số đầu tiên là hàm phân thức nên đồ
thị có đường TCĐ
Câu 15. Khẳng định nào sau đây sai ?
x 1
A. Đồ thị hàm số y  2
không có tiệm cận ngang
3x  7 x  15
4x  3
B. Đồ thị hàm số y 
có đúng một tiệm cận ngang
2x  5
3x 2  7 x  15
C. Đồ thị hàm số y 
có đúng một tiệm cận đứng
x 1
lim

D. Đồ thị hàm số y  x 4  3x 2  2 không có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng
Câu 16. Cho hàm số y  f ( x ) có lim f ( x)  2 và lim f ( x)  2 . Khẳng định nào sau đây
x ��

x ��

đúng ?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 tiệm cận ngang
C. Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là đường thẳng y=2 và y= -2
D. Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng thẳng x=2 và x= -2
f ( x)  � và lim f ( x)  �. Khẳng định nào sau
Câu 17. Cho hàm số y  f ( x ) có x �lim

( 2) 
x �2
đây đúng ?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 tiệm cận đứng
C. Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là đường thẳng x=2 và x= -2
D. Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là đường thẳng y=2 và y= -2
Câu 20: Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Đồ thị hàm số y=sinx không có đường tiệm cận.
B .Đồ thị hàm số y=cosx không có đường tiệm cận.
C .Đồ thị hàm số y=tanx chỉ có một đường tiệm cận đứng
D .Đồ thị hàm số y=cotx có vô số tiệm cận đứng


Thông hiểu
2 x 2  3x  m
không có tiệm
xm

Câu 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
cận đứng

�m �0
B. �
C. m=0
D. m = 0 hoặc m = 1
�m �1
 2 x 2  3x  m   2m2  2m . Để hàm số không có TCĐ thì
Giải: * Xét lim
x �m

A. m = 1

m0
�
2m 2  2m  0 � �
m 1
�
*Phương án nhiễu: Học sinh có thể thử m=1 hoặc m=0 thấy KL đúng nên chọn A hoặc C
HỌc sinh đọc nhầm đề bài là ĐK để hàm số có TCĐ chọn B
Câu 2. Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. Đường thẳng x = 1 và x= -1

x 1
x2  4

B. Đường thẳng y = 1 và y = -1

C. Đường thẳng y = 1
D. Đường thẳng y = - 1
x 1
x 1
 1; lim
 1 . Nên ĐTHS có hai đường TCN là y=1 và y=-1
Giải: * Xét xlim
2
� �
x � �
x 4
x2  4
*Phương án nhiễu: Học sinh có thể xét một giới hạn nên chọn C hoặc D

Hoc sinh nhớ nhầm phương trình của TCĐ chọn A
Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y 

x 1
mx 2  1

có hai

tiệm cận ngang
A. m �0
Giải: * Xét xlim
��

B. m < 0
C. m = 0
x 1
1
x 1
1

; lim

�m0.
2
2
x
�

�
m

m
mx  1
mx  1

D. m > 0

*Phương án nhiễu: Học sinh thử đáp án C với m=0 thì được hàm số y=x+1 nên có thể chon đáp
án A. Học sinh không dùng giới hạn để tìm TCN mà chỉ dựa vào hệ số của x 2 có thể chọn B
hoặc D
Câu 4. Cho hàm số y 

x3
. Biết m > 11, khi đó số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
x m2
2

A. 1

B. 2
C. 3
D. 0
x3
x 1
 0; lim 2
 0 . Nên ĐTHS có một đường TCN y=1. Với m
Giải: * Xét lim 2
x � � x  m  2
x �� x  m  2
m<2 thì mẫu số vô nghiệm nên ĐTHS có không có đường TCĐ.
*Phương án nhiễu: Học sinh chỉ tính giới hạn của hàm số khi x kết quả bằng 0 nên chọn

D. Học sinh thấy mẫu số là bậc hai nên đoán ĐTHS có hai TCĐ nên chọn C
x3
Câu 5. Tìm m để đồ thị hàm số y  2
có 3 đường tiệm cận
x m2
A. m<2

B. m>2

C. m2

D. m>2 và m11


x3
x 1
 0; lim 2
 0 . Nên ĐTHS có một đường TCN y=1. Với m
x � � x  m  2
x �� x  m  2

Giải: * Xét lim

2

m>2 và m khác 11 thì mẫu số có hai nghiệm phân biệt khác -3 nên ĐTHS có 2 đường TCĐ.
*Phương án nhiễu: Học sinh chỉ quan tâm đến ĐK để mẫu số có hai nghiệm phân biệt nên B, có
học sinh giải sai ĐK để mẫu số có hai nghiệm phân biệt thì chọn A
2x  x2  1
Câu 6. Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

x 3
A. Đường thẳng x = 3

B. Đường thẳng y = 1 và y = 3

C. Đường thẳng y = 1
D. Đường thẳng y=1 và y = - 1
2
2
2x  x 1
2x  x 1
Giải: * Xét lim
 1; lim
 3 . Nên ĐTHS có hai đường TCN là y=1 và
x � �
x � �
x3
x3
y=3
*Phương án nhiễu: Học sinh có thể xét một giới hạn nên chọn C hoặc D
Hoc sinh nhớ nhầm phương trình của TCĐ chọn A
Câu 7. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

x 1
x2  4

A. 3

B. 2
C. 4

D. 1
x 1
x 1
lim
 1; lim
 1
x � �
x ��
x2  4
x2  4
Giải: * Xét
. Nên ĐTHS có hai đường TCN là y=1 và
x 1
x 1
lim
 �; lim
 �
x �( 2)
x �2
x2  4
x2  4
y=-1; hai đường TCĐ là x=-2 và x=2
*Phương án nhiễu: Học sinh có thể suy luận mẫu số có hai nghiệm phân biệt nên có ĐTHS 2
đường TCĐ nên chọn B. Có học sinh suy luận bậc tử bằng bậc mẫu nên ĐTHS có 1 TCN cùng
mẫu số có hai nghiệm phân biệt nên có ĐTHS 2 đường TCĐ nên chọn A. Học sinh chỉ nhớ
cách tim TCN khi x+ nên chọn D
Câu 8. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

x 2  3x  4
là

x2

A. 3

B. 2
C. 0
D. 1
Giải: * Xét TXD : D   �;; 1 � 4; � . Nên ĐTHS không có đường TCĐ. Xét
lim

x ��

x 2  3x  4
x 2  3x  4
 1; lim
 1 nên ĐTHS có hai đường TCN
x � �
x2
x2

*Phương án nhiễu: Học sinh có thể đọc đề bài không kĩ nên chỉ tìm TCĐ hoặc TCN của ĐTHS
nên chọn D. Học sinh có thể suy luận mẫu số có 1 nghiệm nên có ĐTHS 1 đường TCĐ và 2
TCN nên chọn A.
Câu 9. Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

x 2  3x  4
x2


A. Không có tiệm cận đứng

B. Đường thẳng x=2

C. Đường thẳng y=2
D. Đường thẳng y=1 và y= -1
Giải: * Xét TXD : D   �;; 1 � 4; � . Nên ĐTHS không có đường TCĐ.
*Phương án nhiễu: Học sinh nhìn thấy mẫu số có nghiệm x=2 nên đoán TCĐ là đường x=2
chọn B. Có học sinh nhớ nhầm cách tìm TCĐ thành TCN nên chọn D. học sinh nhớ nhầm
phương trình của TCĐ nên chọn C .
Câu 10. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 3

B. 2

9  x2
là
x5

C. 1

D. 0

Giải: * Xét TXD : D   3;3  . Nên ĐTHS không có đường TCĐ và TCN.
*Phương án nhiễu: Học sinh nhìn thấy mẫu số có nghiệm x=-5 nên đoán TCĐ là đường x=-5
chọn C. Có học sinh đoán TCĐ x=-5 vàTCN y=1 và y=-1 nên chọn A; có học sinh đoán TCĐ
x=-5 và TCN y=1 nên chọn B .
Câu 11. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

3x  x 2
x2

A. 3

B. 2
C. 4
D. 1
Giải: * Xét TXD : D   0;3 . Nên ĐTHS không có đường TCN. Xét
lim

x �2

3x  x 2
3x  x 2
 �; lim
 � nên ĐTHS có đường TCĐ x=2
x �2
x2
x2

*Phương án nhiễu: Học sinh nhìn thấy mẫu số có nghiệm x=2 nên đoán TCĐ là đường x=2 và
TCN y=1 và y=-1 nên chọn A; có học sinh đoán TCĐ x=2 và TCN y=1 nên chọn B .
2x2  5x  2
Câu 12. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  2
là
 x  6x  16
A. Đường thẳng x=-8

B. Đường thẳng x=2 và x= -8

C. Đường thẳng y=-8

D. Đường thẳng x=-2 và x=8
2 x2  5x  2
3
2 x2  5x  2
Giải: * Xét TXD : D  R \  2; 8 . Xét Lim 2
  ; Lim 2
 �Nên
x �2  x  6 x  16
10 x�8  x  6 x  16
ĐTHS chỉ có 1 đường TCĐ X=-8
*Phương án nhiễu: Học sinh nhìn thấy mẫu số có nghiệm x=2 và x=-8 nên đoán TCĐ là đường
x=2 và x= -8 nên chọn B; có học sinh giải sai nghiệm của mẫu số nên chọn D . Nếu học sinh
nhớ nhầm PT của đường TCĐ sẽ chọn C
2 x2  5x  2
Câu 13. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  2
là
 x  6x  16
A. 2

B. 3

C. 1

D. 4


Giải: * Xét TXD : D  R \  2; 8 . Xét Lim
x �2

2 x2  5x  2
3
2 x2  5x  2


;
Lim
�
 x 2  6 x  16
10 x�8  x 2  6 x  16

2 x  5x  2
 2 .Nên ĐTHS có 1 đường TCĐ x=-8 và TCN y=-2
x ���  x 2  6x  16
2

lim

*Phương án nhiễu: Học sinh nhìn thấy mẫu số có nghiệm x=2 và x=-8 nên đoán TCĐ là đường
x=2 và x= -8 và đường TCN y=-2 nên chọn B; có học sinh chỉ nhó cách tìm đường TC nên
chọn C
Câu 14 . Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 3

B. 2

C. 1

x  x 2  3x  2
là

3 x

D. 4

x  x 2  3x  2
x  x 2  3x  2
 1; lim
0;
x ��
x ��
3 x
3 x
x 1
x 1
 �; lim
 �. Nên ĐTHS có hai đường TCN là y=1 và y=0; một
x �3
x2  4
x2  4

Giải: * Xét lim
lim

x �(3)

đường TCĐ là x=3
*Phương án nhiễu: Học sinh có thể chỉ nhớ cách tìm TCĐ mà không nhớ cách tìm TCN nên
chọn C.
Có học sinh không nhớ cách tính gới hạn ở - nên chọn B.
Câu 15: Giá trị của m để đồ thị hàm số y 

A. m>-1

B. -1
 x  m   x  m  2
x 1

có 3 đường tiệm cận là

C. mR

D. -1≤m≤1

y  1; lim y  1 nên ĐTHS có
*Giải: Hàm số có TXĐ D   �;  m �  m  2; � Ta có lim
x ��
x ��
hai đường TCN. Để ĐTHS có TCĐ thì  m  1  m  2 � 1  m  1
*Phương án nhiễu: Học sinh có thể giải sai ĐK nên chon D. Hoặc học sinh nghĩ ĐTHS luôn có
TCĐ và 2 TCN nên chọn C
Câu 16: Cho hàm số y 

2x  m
( với m khác 0) . Giá trị của m để đường tiệm cận đứng, tiệm
mx  1

cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng
8 là
A. m  2

1
2

B. m  �

C. m 

1
2

D. m ��
2

2
y  ; lim1 y  �. Nên ĐTHS có hai đường tiệm cận là y  2 ; x  1
Giải: * Xét xlim
���
m x�
m
m
m
2 1
1
8� m�
Diện tích hình chữ nhật S 
m m
2
*Phương án nhiễu: Nếu học sinh quên dấu giá trị tuyệt đối sẽ chọn C. Học sinh lắp sai công
thức sẽ chọn A hoặc D

Vận dụng thấp
Câu 1. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  ln
A. 2
Đáp án A
Hàm số y  ln
= 3 (bên phải):

B. 1

C. 3

D. 0

x 1
là:
x 3

x 1
có tập xác định D = (�; 1) �(3; �) . Ta để ý đến x = - 1 (bên trái) và x
x 3

x 1
x 1
x 1
� 0 )
 lim ln
 �(do
x
�


1

2
1 3
2
4
3 1
4
lim y  lim ln
 lim ln
 � (do
� �)
x �3
x �3
x  3 x�3 x  3
x3
lim y  lim ln

x �1

x �1

Vậy x = -1 và x = 3 là 2 tiệm cận đứng.
Phương án nhiễu B
Vì x=3 làm mẫu số bằng 0 nên đường thẳng x = 3 là đường tiệm cận
Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận
Phương án nhiễu C
Học sinh đọc đề không kỹ, tìm tất cả các đường tiệm cận (học sinh khá giỏi hay mắc)
Ngoài 2 đường tiệm cận đứng, đồ thị hàm số còn có một đường tiệm cận ngang y = 0

Phương án nhiễu D
Những học sinh không nắm chắc kiến thức cơ bản
Câu 2. Các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  4 x 2  3x  1  2 x  1 là
A. Đường thẳng y  7
4
B. Đường thẳng y  

1
4

C. Đường thẳng y  2
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
Đáp án A
7
Đồ thị có tiệm cận ngang y  khi x � �vì
4
lim ( 4 x 2  3 x  1  2 x  1)  lim (

x ��

4 x 2  3x  1  4 x 2

x��

4 x 2  3x  1  2 x

 1)

1
3

3x  1
3
7
x
 lim (
 1)  lim (
 1) 
1 
x ��
x
�

�
22
4
3 1
3 1
x 4   2  2x
4  2 2
x x
x x

Phương án nhiễu B:
4 x 2  3x  1  4 x 2  4 x  1
x  2
1
)  lim

2
2

x ��
x ��
4
4 x  3x  1  2 x  1
4 x  3x  1  2 x  1

lim ( 4 x 2  3 x  1  2 x  1)  lim (

x � �

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y  
Câu 3. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  ln

x2  4x  3
là
x2  9

A. Các đường thẳng có phương trình: x = -3; x = 1; y = 0
B. Các đường thẳng có phương trình: x = 3 ; x = -3; x = 1; y = 0
C. Các đường thẳng có phương trình: x = -3; x = 1;
D. Các đường thẳng có phương trình:x = 3 ; x = -3; x = 1;
Đáp án A:

1
4


Các đường thẳng có phương trình: x = -3; x = 1; y = 0
�x 2  4 x  3 �
�x  1 �

lim y  lim ln � 2
 lim ln �
�
� ln1  0
x ��
x ��
� x  9 � x�� �x  3 �

�x 2  4 x  3 �
�x  1 �
lim y  lim ln � 2
 lim ln �
�
� ln1  0
x ��
x ��
� x  9 � x �� �x  3 �
Vậy đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lim y  �; lim y  �; nên các đường thẳng có phương trình: x = -3; x = 1 là tiệm cận đứng
x �3

x �1

của đồ thị hàm số
Phương án nhiễu B:
Học sinh làm như đáp án A nhưng mắc sai lầm: Học sinh chủ quan khi nhận xét với x = 3 mẫu
số bằng 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3
Phương án nhiễu C:
Học sinh tìm tiệm cận đứng như đáp án, nhưng không tìm tiệm cận ngang vì nghĩ hàm logarit
không có tiệm cận ngang

Phương án nhiễu D:
Học sinh tìm tiệm cận đứng như phương án B, nhưng không tìm tiệm cận ngang vì nghĩ hàm
logarit không có tiệm cận ngang
2 x 2  3x  m
Câu 4. Các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận
xm
đứng là
m0
�
A. m  0 hoặc m  1
B. m  0
C. Không có giá trị nào của m
D. �
m2
�
Đáp án A
m0
�
2 x 2  3x  m
2
Đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận đứng khi 2m  3m  m  0 � �
m 1
xm
�
Phương án nhiễu B
Học sinh thử thay m = 0 thì hàm số rút gọn thành y = 2x-3 nên không có tiệm cận
Phương án nhiễu C
Do tập xác định là R \  1 nên đồ thị hàm số luôn có tiệm cận đứng x = m

Phương án nhiễu D
m0
�
2 x 2  3x  m
2
Đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận đứng khi 2m  3m  m  0 � �
m2
xm
�
Câu 5. Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  3x 2  x  1  3 x  2 là
A. y 

1

2 3
Đáp án A:
lim y  lim

x ��

2



x ��

B. Không có

C. y 

1
3

D. y = -2



�
� 1
x 1
3x 2  x  1  3x  2  lim �
 2 �
2
2
x ��
� 3 x  x  1  3x
� 2 3

Phương án nhiễu B:
Không có
lim y  lim

x ��



x ��

�

�
1
1 
�
�
�
�

x

1
x
� �
3x 2  x  1  3x  2  lim �
 2 � lim �
2
x ��
� 3x  x  1  3x
� x ��� 3  1  1  3 �
�
�
x x2
�
�

Phương án nhiễu C:



lim y  lim

x � �



x ��



�
� 1
x 1
3 x 2  x  1  3x  2  lim �
 2 �
2
x ��
� 3x  x  1  3 x
� 2 3

Phương án nhiễu D:
x
Câu 6. Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  2 .ln2 

1
 x  x ln10 là
2

A. y = 0; x = 0; x = -1
B. x = 0; x = -1

C.y = 0
D. x = 0; x = 1
Đáp án A:
TXĐ: D  R \ {0; 1}

�x
�
1
limy
 lim �
2 .ln2  2
� �

�
x�0
x�0 �
x

x
ln10


�
�

�x
�
1
limy  lim�
2 .ln2  2

� 0
x��
x���
�
x

x
ln10


�
�

�x
�
1
lim y  lim �
2 .ln2  2
� �
x�1
x�0 �
 x  x ln10 �
�
�
Câu 7. Xét đường cong (C) là đồ thị của hàm số y = 2

x 2 1  x 2 1

. Tìm phương án đúng.

A. (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1
B. (C) không có đường tiệm cận ngang
C. (C) có hai đường tiệm cận ngang.
D. (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2
Đáp án A:


lim 
lim

x ��

x ��


x  1   lim

x 2  1  x 2  1  lim

x � �

x2 1 

2

x � �

2
x 1  x 1
2

2

2

x 2  1  x2 1

 0 � lim 2

x 2 1  x 2 1

1

 0 � lim 2

x 2 1  x 2 1

1

 1 � lim 2

x 2 1  x 2 1

2

 1 � lim 2

x 2 1  x 2 1

2

x � �

x � �

Phương án nhiễu D:


lim 
lim

x ��

x ��


x  1   lim

x 2  1  x 2  1  lim

x ��

x2 1 

2

x ��

2
x 2  1  x2  1
2

x 2  1  x2  1

Câu 8. Xét đường cong (C) của hàm số y = 2

x ��

x ��

x 2  x  x2  x

A. (C) có hai đường tiệm cận ngang
B. (C) có một tiệm cận ngang.
C. (C) có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1

. Tìm phương án đúng.


D. (C) không có đường tiệm cận ngang nào
Đáp án A:


lim 
lim

x ��

x ��


x  x   lim

x 2  x  x 2  x  lim

x ��

x2  x 

2

x ��

2x
x x x x
2x
2

2

x 2  x  x2  x



 1 � lim 2

x 2  x  x2  x

x ��



 1 � lim 2

 2
  12

x 2  x  x2  x

x ��

Vậy (C) có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng: y = 2 và y =

1
2

Vận dụng cao
Câu 1. Cho hàm số y 

2x 1
(C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M
x 1

với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận của (C) có tích hệ số góc bằng - 9.
A. M(0; - 3) hoặc M(- 2; 5)
B. Không có điểm nào thỏa mãn
C. M(0; - 3)
D. M  3  1; 2  3  hoặc M   3  1; 2  3 
Đáp án A:
+) Ta có giao hai đường tiệm cận là I(- 1; 2). Gọi
M �(C ) � M ( x0 ; 2 

y  yI
3
3
) � k IM  M

x0  1
xM  xI ( x0  1) 2

+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: k M  y '( x0 ) 

3

 x0  1

2

+) ycbt � kM .k IM  9
+) Giải được x0 = 0; x0 = -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)
PA nhiễu B :
uuur �

3

3 �

+) Ta có giao hai đường tiệm cận là I(- 1; 2). Gọi M �(C ) � M ( x0 ; 2  x  1) � IM �xo  1;  x  1 �
0
�
o
�

 x  1
Đường thẳng IM đi qua I nhận IM �xo  1;  x  1 �làm vtpt k IM  0
�
o
�
3
3
+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: k M  y '( x0 ) 
2
 x0  1
uuur �

3 �

+) ycbt � kM .k IM  9 (vô nghiệm)
Không có điểm M nào thỏa mãn yêu cầu đề bài
PA nhiễu C :
+) Ta có giao hai đường tiệm cận là I(- 1; 2). Gọi
M �(C ) � M ( x0 ; 2 

y  yI
3
3
) � k IM  M

x0  1
xM  xI ( x0  1) 2

+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: k M  y '( x0 ) 

3

 x0  1

4
+) ycbt � kM .kIM  9 �  xo  1  1 � xo  1  1 � xo  0
+) Suy ra có 1 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3)
PA nhiễu D :

2

2


+) Ta có giao hai đường tiệm cận là I(- 1; 2). Gọi
M �(C ) � M ( x0 ; 2 

y  yI
3
3
) � k IM  M

x0  1
xM  xI ( x0  1) 2

1

+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: k M  y '( x0 ) 

 x0  1

2

(Tính đạo hàm sai)

+) ycbt � kM .k IM  9
�
x  3 1

o
+) Giải được �

xo   3  1
�
�

Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M  3  1; 2  3  hoặc M   3  1; 2  3 

x2
. Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng
x3
cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận
ngang.
A. M 3  5; 5  1 hoặc M 3  5;  5  1
Câu 2. Cho đồ thị của hàm số: y 


B. M  3 

5;


5  1





C. Không có điểm nào thỏa mãn
�
�
62 2 �
62 2 �
4

2
2;
M
4

2
2;
D. M �
hoặc
�
�
�
�
�

1 2 2 �
1 2 2 �
�
�
�
�
Phương án A :
HD: Giả sử M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị. Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d 2 là
khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
5
� d1 | x0  3 |; d 2 | y0  1|
| x0  3 |
Ta phải có d1  d 2 � x0  3 � 5 . Có 2 điểm thỏa mãn bài toán có hoành độ x  3 � 5 .









Vậy M 3  5; 5  1 hoặc M 3  5;  5  1

Phương án nhiễu B :
Giả sử M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị. Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d 2 là khoảng
cách từ M đến tiệm cận ngang
5
� d1 | x0  3 |; d 2 | y0  1|
| x0  3 |





Ta phải có d1  d 2 � x0  3  5 . Có 1 điểm thỏa mãn bài toán M 3  5; 5  1

Phương án nhiễu C :
Giả sử M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị. Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d 2 là khoảng
cách từ M đến tiệm cận ngang
5
2
� d1  3  xo ; d 2  yo  1 
� d1  d 2 �  xo  3  5 (vô nghiệm)
x0  3
Phương án nhiễu D :
Giả sử M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị. Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d 2 là khoảng
cách từ M đến tiệm cận ngang
2x 1
� d1 | x0  3 |; d 2 | y0  1 | o
| x0  3 |
�
xo  4  2 2
2
Ta phải có d1  d 2 �  xo  3  2 xo  1 � �
xo  4  2 2
�
�

�
�
62 2 �
62 2 �
4

2
2;
M
4

2
2;
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn M �
hoặc
�
�
�
�
�
1 2 2 �
1 2 2 �
�
�
�
�
x2
Câu 3. Cho hàm số y 
có đồ thị (C) ; tiếp tuyến của (C) tại điểm A bất kỳ trên (C) cắt
x 1

các đường tiệm cận của đồ thị (C) tại hai điểm M, N. Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận
của đồ thị (C) ; diện tích S của tam giác MNI là :
A. S = 6 (đvdt)
B. S = 16(đvdt)
C. S = 12(đvdt)
D. S = 3(đvdt)
Đáp án A:
3
3
x  xo   1 
Gọi A  xo ; yo  . Tiếp tuyến (d) của (C) tại A có phương trình y 
2 
xo  1
 xo  1

� 6
�
1;
 1�
(d) cắt đường tiệm cận đứng x = 1 tại điểm M �
� xo  1 �
(d) cắt đường tiệm cận ngang y = 1 tại điểm N  2 xo  1;1
6
1
; IN  2 xo  2 � S IMN  IM .IN  6
xo  1
2
Phương án nhiễu B
6
IM 

; IN  2 xo  2 � S IMN  IM .IN  12
xo  1
Phương án nhiễu C
IM 

Phương án nhiễu D
Câu 4. Cho hàm số y 
cận của (C) nhỏ nhất.
A. M(0; 1) và M(–2; 3).





2x 1
(C). Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm
x 1





B. M 1 3; 3 hoặc M 1 3;  3
C. O(0;0)
D. I(-1;2)
Đáp án A:

2x0  1
1
 2

x0  1
x0  1
Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì:
1
MA  x0  1, MB  y0  2 
x0  1
Gọi M (x0; y0)  (C), ( x0 �1) thì y0 

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA  MB �2 MA.MB  2 x0  1.

� MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x0  1 

1
2
x0  1

�
x 0
1
� �0
.
x0  2
x0  1
�

Vậy ta có hai điểm cần tìm là M(0; 1) và M(–2; 3).
C2:
Điểm cần tìm là giao của đồ thị (C) và đường thẳng phân giác của góc tạo bởi các đường tiệm

cận. Suy ra M(0; 1) và M(–2; 3).
Phương án nhiễu B :
Điểm cần tìm là giao của đồ thị (C) và đường thẳng phân giác của góc tạo bởi các đường tiệm









cận: y=x-1 . Suy ra M 1 3; 3 hoặc M 1 3;  3
Câu 5. Cho hàm số y 

x2
có đồ thị (C ) có hai điểm phân biệt P, Q tổng khoảng cách từ P
x 2

hoặc Q tới hai tiệm cận là nhỏ nhất. Khi đó PQ2 bằng:
A. 32

B. 50

C. 16

D. 18