115 câu hỏi trắc nghiệm vận dụng số phức nguyễn văn lực file word có lời giải chi tiết

BÀI TOÁN VẬN DỤNG SỐ PHỨC

 Dạng 1. Bài toán liên quan đến nghiệm
phức

Câu 1. Biết z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z2  z  2  0. Tính

A.

1
.
2

3
B.  .
2

C.

3
.
2

D.

z1 z2
 .
z2 z1

5
.

2

Hướng dẫn giải
�
�z  z  1 z1 z2 z12  z22  z1  z2   2z1z2 1 2.2
3
��1 2
�  


 .
z2 z1
z1z2
z1z2
2
2
�z1z2  2
2

Câu 2. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2  4z  9  0. Tổng
P  z1  z2 bằng:
A. 3

B. 6

C. 18

D. 4

Hướng dẫn giải

�
z  2  5i
z2  4z  9  0 � �1
� z1  z2  22 
�
z2  2  5i
�

 5

2

 3 � P  6.

1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 3. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2  4z  5  0. Khi đó,
z12  z22 bằng:
A. 6

B. 5

C. 4

D. 7

Hướng dẫn giải

z12  z22   z1  z2   2z1z2  42  2.5  16  10  6.
2

Câu 4. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z2  5z  10  0, với z1 có phần ảo
dương. Phần thực và phần ảo của số phức w  4z1  2z2 lần lượt là
A. 5; 15

B. 5;  15

C. 5;  15

D. 5; 15

Hướng dẫn giải
Tính   15
Phương trình có 2 nghiệm phức z1 

5
15
5
15

i ; z2  
i
2
2
2
2

Suy ra w  5  15i . Vậy phần thực và phần ảo của w lần lượt là 5; 15 .

Câu 5. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2  4z  5  0. Khi đó, giá trị của
biểu thức A  z1  z2  4 bằng
A. 6

B. 4

C. 2

D. 5

Hướng dẫn giải
Tính   16
Suy ra pt có 2 nghiệm phức z1  1

16
16
i; z2  1
i
3
3

Vậy A  6 .
Câu 6. Kí hiệu z1 , z2 lần lượt là hai nghiệm phức của phương trình 2z2  2z  5  0.
2

2

Giá trị của biểu thức A  z1  1  z2  1 bằng:
A. 25

B.

5

C. 5

D. 2 5

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


Hướng dẫn giải
Giải phương trình 2z2  2z  5  0 tính được các nghiệm z1 
2

2

Tính A  z1  1  z2  1 

1 3
1 3
 i ; z2   i
2 2
2 2

5 5
 5
2 2

Câu 7. Phương trình 2z2  4z  14  0 có hai nghiệm z1 , z2 . Giá trị của biểu thức
2

2

A  2 z1  3 z2 bằng
A. - 14

B. - 13

C. 14

D. 13

Hướng dẫn giải
PT z2  4z  14  0 có nghiệm là z1  2  i 10; z2  2  i 10





2
�
2
2
22  10 �
Vậy A  2�
� 3 2  ( 10)  14
�

�
2
Câu 8. Gọi x, y là hai số thực thỏa: x  3  5i   y  2  i   4  2i . Khi đó 2x  y bằng

A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn giải
x  3  5i   y  2  i   4  2i
2

� 3x  5xi  y  3  4i   4  2i

� 3x  3y   5x  4y i  4  2i
�
3x  3y  4
��
�
5x  4y  2
�

�
10
x 
�

�
3
�
�y   14
�
3

Vậy 2x  y  2.
Câu 9. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2  2z  3  0. Tìm số phức
liên hợp của số phức w   5  2i   z1  z2  ?
A. w  10  4i

B. w  10  4i

C. w  10  4i

D. w  10  4i
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải
�
z  1  i
2
2
z2  2z  3  0 �  z  1  1  0 �  z  1  i 2 � �1
.
z



1

i
�2
w   5  2i   2  10  4i � w  10  4i.
Câu 10. Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z2  2z  5  0. Tính giá trị biểu
2

2

thức: A  z1  z2  4 z1 . z2
A. 10

C. 10.

B. 20

D. 5

Hướng dẫn giải
�z  5
�
z  1 2i
1
z2  2z  5  0 � �1
��
.
z2  1 2i

�z2  5
�
�
�z  5
�
z1  1 2i
1
��
.
Ta có: �
�z  5
z2  1 2i
�
�
�2
2

2

A  z1  z2  4 z1 . z2


 5   5
2

2

 4. 5. 5

 5  5  4.5  10.

Câu 11. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2  4z  7  0. Khi đó
2

z1  z2

2

bằng:

A. 10

B. 7

C. 14

D. 15

Hướng dẫn giải
�
z  2  3i
2
2
z2  4z  7  0 � �1
� z1  z2  22 
�
z2  2  3i
�

 3

2

 7 � P  14.

4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 12. Biết z1 , z2 là các nghiệm của phương trình 2z2  3z  3  0. Tính
T  z12  z22 .
A. T  

9
4

B. T 

9
4

C. T  

45
16

D. T  

3
4

Hướng dẫn giải
2

T  z12  z22   z1  z2 

2

� 3�
3 3
9
 2z1z2  �

 2.   3   .
�
� 2 �
2 4
4
�
�

1 1
Câu 13. Biết z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z2  2z  5  0. Tính T   .
z1 z2
A. T 

 2
5

B. T 

2
5

C. T 

 2
10

D. T 

2
10

Hướng dẫn giải
T

1 1 z1  z2  2



.
z1 z2
z1z2
5

Câu 14. Phương trình z2  az  b  0 có một nghiệm phức là z  1 2i . Tổng 2 số a
và b bằng :
A. 0.

B. 4.

C. 3.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Vì z  1 2i là một nghiệm của phương trình nên:

(1 2i )2  a(1 2i )  b  0 � (a  b  3)  (2a 4)i  0
�
a b 3  0 �
a  2
��
��
2a  4  0
b 5
�
�
� a b  3 .

Câu 15. Gọi z là nghiệm phức có phần thực dương của phương trình:
z2  (1 2i )z  17  19i  0 . Khi đó, giả sử z2  a  bi thì tích của a và b là:
5

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. 168.

B. 12.

C. 240.

D. 5.

Hướng dẫn giải
Ta có:   (1 2i )2  4.(17  19i)  65  72i  (9  4i)2 � z  4  3i
�
a 7
z2  a bi � (4  3i)2  a bi � 7  24i  a bi � �
� ab
.  168
b


24
�
Câu 16. Xác định m để phương trình z2  mz  3i  0 có 2 nghiệm phức z1 , z2 thõa
mãn z12  z22  8.
A. m  3  i hoặc m  3  i.

B. m  3  i hoặc m  3  i.

C. m  3  i hoặc m  3  i.

D. m  3  i hoặc m  3  i.
Hướng dẫn giải

z12  z22  8 �  z1  z2   2z1z2  8 �  m  6i  8

2

2

�
m 3 i
2
� m2  8  6i  32  2.3.i  i 2 � m2   3  i  � �
m  3  i
�
2
Câu 17. Phương trình z   5  m 2i  z  5   m 1 i  0 có hai nghiệm z1 , z2 thỏa

mãn z12  z22  3z1.z2  20  7i khi m bằng
A. 2.

C. 2.

B. 3.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Theo định lý Vi-ét, ta có
�
�z1  z2  5  m 2i
�
�z1.z2  5   m 1 i
Theo giả thiết

z12  z22  3z1.z2  20  7i
�  z1  z2   5z1.z2  20  7i
2





� m2  10m 4   25  9m i  20  7i
2
�m  10m 4  20
��
�25  9m  7
� m 2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


Câu 18. Cho phương trình z2  mz  2m 1  0 trong đó m là tham số phức; giá trị
m để phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12  z22  10.
A. m  2  2 2i ; m  2  2 2i.

B. m  4  2 3; m  4  2 3

C. m  1 3i; m  2  3i.

D. m  1 3i ; m  1 3i.
Hướng dẫn giải

�  z1  z2   2z1z2  10 �  m  2 2m 1  10
2

2

� m2  4m 12  0 �  m 2  8  0
2



�  m 2  2 2i
2



2

�
m  2  2 2i
��
�
m  2  2 2i
�

Câu 19. Tìm số thực m  a  b 20 ( a, b là các số nguyên khác 0 ) để phương trình
2z2  2 m 1 z   2m 1  0 có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn
z1  z2  10. Tìm a.
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải
 '  m2  6m 1�R



 



TH1:  '  0 hay m� �;3  10 � 3  10; �
2
2
Khi đó z1  z2  10 � z1  z2  2 z1z2  10.

�  1 m   2m 1  2m 1  10
2

�
�
2m 1 �0
�
�
�
2

1 m  10
�

�
��
�
�
2
m

1

0
�
�2
�
m  6m 11  0
�
�



�
m  1 10
�
�
m  3  20
�

TH2:  '  0 hay m� 3  10;3  10

 loai 


7

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất




Khi đó: z1  z2  10 �

Hay

 1 m

2



1 m i  m2  6m 1
2









1 m i  m2  6m 1
2

 10.



  m2  6m 1  10 � m  2.

Vậy m  2 hoặc m  3  20.
Câu 20. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z3  3z2  4z  12  0. Tính
P  z1  z2 .
A. P  0.

B. P  16.

C. P  4.

D. P  4.

Hướng dẫn giải
�
z1  2i
�
z  3z  4z  12  0 � z  4  z  3  0 � �
z2  2i
�
z3  3

�
3



2

2



�
z1  2i
.
Vậy hai nghiệm phức của phương trình là �
z


2
i
�2
P  z1  z2  4.
Câu 21. Gọi

z1 , z2 , z3

là ba nghiệm của phương trình

z3  1  0. Khi đó

S  z1  z2  z3 . bằng
A. S  1.

B. S  4.

C. S  2.

D. S  3.

Hướng dẫn giải

�
�
z =1
�
�
� - 1+ 3i
z =1
�
�
2
3
z=



(z - 1)(z + z + 1) = 0
z - 1= 0
2
�

�
z
+
z
+
1
=
0
2
�
�
�
� - 1- 3i
�
z=
�
2
�
S  3.
8

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 22. Phương trình z4  z2  6  0 có 4 nghiệm phức phân biệt. Khi đó tổng
môđun của các nghiệm phức trong phương trình là:
A. 4

B. 2 3  2 2

C. 2 3

D.

3 2

Hướng dẫn giải
�
z2  3
z4 – z2 – 6  0 � �2
. Do đó phương trình có 4 nghiệm phức z1,2  � 3; z3,4  � 2 i
z  2
�
Vậy tổng mođun các nghiệm là z1  z2  z3  z4  2 3  2 2.
Câu 23. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình z4  z2  6  0. Giá trị của
T  z1  z2  z3  z4 . là:
A. 1

B. 2 2  2 3

C. 2 2  2 3

D. 7

Hướng dẫn giải
Giải phương trình z4  z2  6  0 ta được z1  2; z2   2; z3  i 3; z4  i 3
T  z1  z2  z3  z4  2 2  2 3
Câu 24. Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z4  z2  63  0.
Tính tổng T  z1  z2  z3  z4 .
A. T  6.

B. T  2 7.

C. T  3  2 7.

D. T  6  2 7.

Hướng dẫn giải
�
z2  9
4
2
�
Ta có : z  2z  63  0 � �2
z  7
�

�
z  �3
.
�
z  �i 7
�

Câu 25. Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z4  4z2  77  0. Tính
tổng S  z1  z2  z3  z4 .
A. S  2 7  2 11

B. S  2 7  2 11

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


C. S  2 7

D. S  2 11
Hướng dẫn giải

� z2  7
4
2
�
Ta có: z  4z  77  0 � � 2
z  11
�
�

� z �7
�
�
� z  �i 11

� S  z1  z2  z3  z4  2 7  2 11 .
Câu 26. Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình:

 z  i  z





 1 z3  i  0

2

A. 3.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Hướng dẫn giải
�
z  i
�
z  i
�
z  �1
z  �1
��
�
 z  i  z2  1 z3  i  0 � �
�
�
z


i
�
z3  i 3  0 �2
�
z  iz  1  0
�







�
z  i
�
z  �1
�
�
.
z i
�
� i � 5
z
�
�
2

Suy ra tổng mô-đun các nghiệm bằng 6.
4

�z  1 �
Câu 27. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm phức của phương trình �
�  1 Giá trị
�2z  i �











2
2
2
2
của P  z1  1 z2  1 z3  1 z4  1 là:

A.

17
.
9

B.

9
.
17

C.

17
.
8

D.

8
.
17

Hướng dẫn giải
Đặt X 

z1
4
2
2
, phương trình trở thành: X  1 � (X  1)(X  1)  0 �
2z  i

X  1�

z1
 1 � z  1  2z  i � z1  1 i � z12  1  1 2i

2z  i

�
X  �1
�
X  �i
�

10

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


X  1�

X i�

z1
2 4
13 16
 i � z  1  (2z  i)i � z3   i � z32  1 

i
2z  i
5 5
25 25

X  i �



z1
1 1
2
 1 � z  1  2z  i � z2   i � z22  1  1 i
2z  i
3 3
9

z1
 i � z  1  (2z  i )i � z4  0 � z42  1  1
2z  i









� P  z12  1 z22  1 z32  1 z42  1 

17
.
9

Câu 28. Cho hai số thực x, y thỏa phương trình 2x  3   1 2y i  2 2  i   3yi  x .
Khi đó biểu thức P  x2  3xy  y nhận giá trị nào sau đây?
A. P  13 .

B. P  3 .

C. P  11.

D. P  12 .

Hướng dẫn giải
Ta có 2x  3   1 2y i  2 2  i   3yi  x
�
2x  3  4  x
�  2x  3   1 2y i   4  x   3y  2 i � �
�
1 2y  3y  2
�

�x  1 .
�
�y  3

2
Suy ra x  3xy  y  1 3.1. 3   3  13.

Câu 29. Cho số phức thỏa mãn z   1 2i  z  2  4i Tìm môđun của w  z2  z ?
A.

10.

B. 10.

C. 5 2 .

D. 2 5

Hướng dẫn giải
Gọi z  a  bi � z  a  bi
Khi đó

z   1 2i  z  2  4i � a bi   1 2i   a bi   2  4i

11

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


� a  bi  a bi  2ai  2b  2  4i � 2a 2b  2ai  2  4i
�
2a  2b  2 �a  2
��
��
2a  4
b 1
�
�
z  2  i � z2  z  5  5i � w  5 2 .
4
2
Câu 30. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z   4  m z  4m  0.

Tìm tất cả các giá trị m để z1  z2  z3  z4  6.

A. m  1.

B. m  �2.

C. m  �3.

D. m  �1.

Hướng dẫn giải
�
z1,2  �2i
z4   4  m z2  4m  0 � z2  4 z2  m  0 � �
nếu m �0 hoặc
z3,4  � m
�
�







�
z1,2  �2i
��
nếu m  0.
z3,4  � m
�
�

�
6  z1  z2  z3  z4  4  2  m
�
� m  1.
Khi đó �
m �0
�
�
6  z1  z2  z3  z4  4  2 m
�
� m  1.
hoặc �
m
�
0
�
Kết hợp lại thì m  �1 thoả mãn bài toán.

 Dạng 2. Tìm số phức thỏa điểu kiện cho trước

12

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2
Câu 31. Cho  x  2i   yi  x, y �R . Giá trị của x và y bằng:

A. x  1 và y  4 hoặc x  1 và y  4.
B. x  3 và y  12 hoặc x  3 và y  12.

C. x  2 và y  8 hoặc x  2 và
y  8.

D. x  4 và y  16 hoặc x  4 và y  16.
Hướng dẫn giải
Với x, y �R ta có

 x  2i 

2

�x2  4  0
 yi � x  4  4xi  yi � �
�
4x  y
�
2

�x  �2
�
�y  4x

với x  2 � y  8; x  2 � y  8.
2
Câu 32. Cho  x  2i   3x  yi  x, y �R . Giá trị của x và y bằng:

A. x  1 và y  2 hoặc x  2 và y  4.
B. x  1 và y  4. hoặc x  4 và
y  16 .
C. x  2 và y  5 hoặc x  3 và y  4.

D. x  6 và y  1 hoặc x  0 và y  4.
Hướng dẫn giải

 x  2i 

2

 3x  yi � x2 – 4  4xi  3x  yi

�x2  4  3x �x  1; y  4
��
��
� 4x  y
�x  4; y  16
Câu 33. Cặp số  x; y thỏa mãn điều kiện
13

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 2x  4y  1   x  3y i   4x  2y  3   3x  y  5 i
�13 3 �
.
A. � ; �
� 4 4�

là:

�11 9 �
.

C. � ; �
�4 4 �

�5 3 �
.
B. � ;  �
�4 4 �

�43 9 �
.
D. � ; �
� 4 4�

Hướng dẫn giải

 2x  4y  1   x  3y i   4x  2y  3   3x  y  5 i
�
13
x


�
�
2x  4y  1  4x  2y  3 �
2x  6y  2
�
4
��
��
��

2x  2y  5 � 3
�x  3y  3x  y  5
�
y
� 4
�z1  z2  1 3i
Câu 34. Biết rằng z1  a1  2i , z2  a2  i và �
. Tìm z1 , z2 :
�z1  z2  1 i
A. z1  2i , z2  1 i.

B. z1  3i , z2  1 i.

C. z1  2i , z2  1 2i.

D. z1  i , z2  2  i.
Hướng dẫn giải

�z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i  1 3i
�a  a  1
��1 2
�
Ta có: �
a1  a2  1
�z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i  1 i
�

�
a1  0
�

�a2  1

� z1  2i , z2  1 i
Câu 35. Tìm số phức z thỏa mãn z2  1  1 2 3i ?
A. 1 3i và 1 3i .

B. 1 3i và 1 3i .

C. 1 3i và 1 3i .

D. 1 3i và 1 3i .
Hướng dẫn giải

Ta có z2  1  1 2 3i � z2  2  2 3i
Gọi z  a bi � z2  a2  b2  2abi  2  2 3i

14

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


�2 3
a  2  2
2
2
�
�
a  b  2 �
�
a

��
� a2
�
3
2ab  2 3
�
�
b
�
� a

 

2

�
a2  1
 2 a  3  0 � �2
a  3 l 
�

 
2

�
a  1� b  3
a2  1 � �
�
a  1 � b   3
�

Câu 36. Số phức z thỏa mãn z  z  3  4i
A. z  

7
 4i.
6

B. z  7  4i.

C. z  7  6i.

D. z  7  6i.

Hướng dẫn giải
Đặt z  a  bi . từ z  z  3  4i suy ra:

a2  b2  a  bi  3  4i � b  4 và

� a2  16   3  a  9  6a  a2 � 6a  7 � a  
2

Vậy z  

a2  16  a  3.

7
6

7
 4i.

6
2

Câu 37. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z2  z  z
A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Gọi z  a  bi  a, b�R
�
a2  b2  a2  b2  a
�
Ta có : z  z  z � a  b  2abi  a  b  a bi � �
2ab  b
�
2

2

�2b2  a  0
�
�b  0
� ��
�
�

1
��
a 
�
2
��

2

2

2

2

�2b2  a  0
�
b(2a  1)  0
�

�
1 �
1
a 
a 
�
�
b 0 �
�
�

2�
2.
��
�
�
a

0
1
1
�
�
�
b 
b
�
2 � 2

Vậy có 3 số phức z thỏa đề bài.





Câu 38. Cho số phức z  a  bi thỏa mãn zz  3 z  z  5  12i . Mối liên hệ giữa a và b

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

15

là:
A. a  �2b.

B. a  3b .

C. b  �2a.

D. b  3a .

Hướng dẫn giải
Đặt z  a  bi

 a, b�R , suy ra

z  a  bi .

Theo giả thiết, ta có  a  bi   a  bi   3�
 a bi    a bi  �
�
� 5  12i
�
a2  b2  5
� a2  b2  6bi  5  12i � �
�
6b  12
�

�
a  �1

.
�
b 2
�

Câu 39. Tìm số phức z thỏa mãn: (2  i)z  (3  2i)z  4(1 i) .
A. z  3  i.

B. z  3  i.

C. z  3  i.

D. z  3  i.

Hướng dẫn giải

 2  i  z   3  2i  z  4 1 i  �  2  i   a bi    3  2i   a bi   4 1 i 
�
3a  5b  4  0
��
�
a b 4  0
�

�
a 3
�
b  1
�

Câu 40. Tìm số phức z biết z thỏa mãn phương trình
B. 1 i.

A. 1.

C. 1 i.

z
z

z 2
D. i.

Hướng dẫn giải
z
z

 z  2 � z  z.z  2z

� a  bi  a2  b2  2 a  bi 





� a  a2  b2  bi  2a  2bi
�
�
a 1
�z1

�
�
b

0
a  a2  b2  2a �
a2  a  0 �
�
�
��
��
�
b  2b
b 0
�
a 0
�
�
�
� z  0  loai 
�
b 0
�
�
�

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

16

1 2i
1 3i
z
Câu 41. Tìm số phức z , biết
.
1 i
2  3i
A. z 

2 36

i.
65 65

B. z 

2 20

i.
65 65

C. z 

30 36

i.
65 65

D. z 

2 36

i.
65 65

Hướng dẫn giải

 1 3i   1 i  � z  4  2i � z  2  36 i
1 2i
1 3i
z
� z
.
1 i
2  3i
4  7i
65 65
 2  3i   1 2i 
Câu 42. Cho hai số phức phân biệt z1 , z2 thỏa điều kiện

z1  z2
là số ảo. Khẳng
z1  z2

định nào sau đây là đúng?
A. z1  1; z2  1.

C. z1  z2 .

B. z1  z2.

D. z1   z2.

Hướng dẫn giải

z1 z1 �z2 � z1  z2 �0. .

Thì

z1  z2
z  z �z  z �
z z z z
là số ảo � 1 2  �1 2 � 0 � 1 2  1 2  0
z1  z2
z1  z2 �z1  z2 �
z1  z2 z1  z2





�  z1  z2   z1  z2   �  z1  z2   z1  z2   0 � 2 z1 z1  z2 z2  0
� z1 z1  z2 z2  0 � z1  z2  0.

Câu 43. Số phức z  a  bi thỏa mãn

A. 5.

B.

3
.
5

z

2

z

 2iz 

2 z  i 
1 i

 0 . Khi đó

3
C.  .
5

a
bằng:
b

D. 5 .

Hướng dẫn giải
Ta có

z

2

z

 2iz 

2 z  i 
1 i

 0�

2 z  i   1 i 
z.z
 2iz 
0
z
 1 i   1 i 

� z  2iz   z  i   1 i   0 �  a  bi   2i  a  bi    a  bi  i   1 i   0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

17


�
1

a


�
�
2a  3b  1  0 �
a 3
3.
� 2a  3b  1  3a  1 i  0 � �
��
Vậy  .
3a  1  0
5
b 5
�
�
b 
�
9
Câu 44. Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  2 và
z2 là số thuần ảo.
A. z  1�i hoặc z  1�i.

B. z  1�i.

C. z  1�i.

D. z  1 i.
Hướng dẫn giải

z1  2 � a2  b2  2 và z2  a2  b2  2abi là số thuần ảo nên a2  b2  0
�
a  1; b  �1
Do đó �
.
a  1; b  �1
�
Câu 45. Số phức z thỏa mãn: z   2  i   10 và z.z  25 là:
A. z  3  4i và z  5.

B. z  3  4i và z  5.

C. z  4  3i và z  5.

D. z  4  3i và z  5.
Hướng dẫn giải

Đặt z  x  yi ; x, y �R
�
�
(x  2)2  (y  1)2  10
�z   2  i   10
�
� �2
�
�
2
x

y


25
z
.
z

25
�
�
�

�
x  3� y  4
�
x  5� y  0
�





Câu 46. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z.z  10 z  z và z có phần ảo bằng ba
lần phần thực?
A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Đặt z  a  bi

 a, b�R , suy ra

z  a  bi .

18

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất






2
2
Từ zz  10 z  z , ta có  a  bi   a  bi   10 �
 a bi    a  bi  �
�
�� a  b  20a  1

Hơn nữa, số phức z có phần ảo bằng ba lần phần thực nên b  3a  2
a 2
�a  0
a2  b2  20a �
�
��

Từ  1 và  2 , ta có �
hoặc �
.
b 6
b 0
b  3a
�
�
�
Vậy có 2 số phức cần tìm là: z  2  6i và z  0.
Câu 47. Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu
thức

1 1
1
 
. Môđun của số phức w bằng:
z w z w
A. 1.

B. 2.

C. 2016.

D. 2017.

Hướng dẫn giải

 z  w  zw  0
1 1

1
z 2
1
Từ  
�

�
z w z w
zw z  w
zw  z  w
2

� z2  w2  zw  0 � z2  zw 

1 2 3 2
w  w 0
4
4
2

2
2
� 1 �
3 2
� 1 � �i 3w �
� �z  w�   w � �z  w�  �
�
�
4
� 2 �

� 2 � �
� 2 �

2

2
� 1 i 3�
� w � �i 3w �
z
z


�
z

 �
w� w
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Từ � 2 � � 2 �
2 �

� 1 i 3�
�2
 �
�
�
�2
2 �
�
�

Suy ra:

w

2017
1 3

4 4

 2017.

Câu 48. Cho hai số phức u, v thỏa mãn u  v  10 và 3u  4v  2016. Tính
M  4u  3v .
A.

2984.

B.

2884.

C.

2894.

D.

24.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

19


Hướng dẫn giải
2

Ta có z  z.z. Đặt N  3u  4v .









2
Khi đó N   3u  4v 3u  4v  9 u  16 v  12 uv  vu .

2

2

2



2



2
Tương tự ta có M  16 u  9 v  12 uv  vu .



2

2
2
Do đó M  N  25 u  v

2

  5000. .

Suy ra M 2  5000  N 2  5000  2016  2984 � M  2984. .
Câu 49. Giá trị của tham số thực m bằng bao nhiêu để bình phương số phức
z

m 9i
là số thực?
1 i
A. m  9 .

B. m  9 .

C. m  �9 .

D. Không có giá trị m thỏa.
Hướng dẫn giải









2
2
m2  81  18mi �.2i
m2  81  18mi �
�m 9i �  m 9i 
�
�




Giả sử w  z  �
�
2
2i
2i.2i
�1 i �  1 i 
2







36m 2 m2  81 i
4

Để w  z2 là số thực �

�m2  81�
 9m �
i.
�
� 2 �

m2  81
 0 �  m 9  m 9  0 � m  �9 .
2

Câu 50. Tổng các giá trị của tham số thực m để số phức z 

m 1 2 m 1 i
1 mi

là số

thực bằng:
A. 15.

B. 3.

C. 1.

D. 2 3.

Hướng dẫn giải
20

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Ta có

z

�
m 1 2 m 1 i �
. 1 mi 
�

�
1 mi
1 m2
.
2m2  3m 1 m2  m 2


i
1 m2
1 m2

m 1 2 m 1 i

Để z là số thực � m2  m 2  0 � m  1 hoặc m  2 .
Vậy m  1 hoặc m  2 .

Câu 51. Xét số phức z 

1 m
1
m�R . Tìm m để zz
.  .

1 m(m 2i )
4

1.
B. m �

A. m 1� 2.

D. m 0.

C. m 1� 2.

Hướng dẫn giải





1 m
 1 m 1 m2 2m 1 m

1 m
1 m
z




i
2
2
1 m(m 2i) 1 m2  2mi 1 m2  2mi
1 m2
1 m2



 1 m  1 m 
1
z.z  �
2

4

2

 1 m 
2

4

2



4m2  1 m

 1 m 
2

4

2



 1 m  1 m 

1
 �
2

4

2

 1 m 
2

�1 m 1
2

�
2
m2  2m 1  0
�1 m � 1
2 ��
1

m
��

�
�
�
�2
2�
m  2m 3  0

�1 m � 4
�1 m   1
�
�
2
1 m2
�
Câu 52. Cho số phức z 



4

2



 1 m
1
 �
4
1 m2



2



2



1
4

�
m  1 2
�
�
m  1 2
�

m 1
 m�Z . Số các giá trị nguyên của m để
1 m 2i  1

z  i  1 là
A. �.

B. 1.

C. 4.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải
Ta có z  i 

m 1 i  1 2mi  m 3m 1  m 1 i

m 1
i 

1 m 2mi
1 m 2i  1
1 m 2i  1
21

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


� z i 

3m 1  m 1 i
1 m 2mi

1

� 3m 1  m 1 i  1 m 2mi �  3m 1   m 1   1 m  4m2
2

2

2

1
� 5m2  6m 1  0 � 1  m   .
5
Vì m�Z � Không có giá trị của m thỏa mãn.
Câu 53. Tìm phần thực của số phức z   1 i  , n �� thỏa mãn phương trình

n

log4  n  3  logn  n  9  3.
A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Hướng dẫn giải
Điều kiện n  3. n ��
Phương trình log4  n  3  logn  n  9  3 � log4  n  3  n  9  3 � n  7 (so đk)
3

7
2
3
z   1  i    1 i  . �
 1 i  �
�
�   1 i   2i   8  8i.

Vậy phần thực của số phức z là 8.
Câu 54. Số phức cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và
z1  z2  z3  1. Mệnh đề nào sau đây là sai.
A. Trong ba số đó có hai số đối nhau.
B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1.
C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1.

D. Tích của ba số đó luôn bằng 1.
Hướng dẫn giải
Ta có: z1  z2  z3  1 � 1 z1  z2  z3.
22

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Nếu 1 z1  0 thì z2  z3  0 � z2   z3.
Nếu 1 z1 �0 thì điểm P biểu diễn số phức 1 z1  z2  z3 không trùng với góc
tọa độ O.
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức  z1 và A là điểm biểu diễn của số 1.
uuur uuuur uuur
Khi đó ta có OA  OM  OP (do P là điểm biểu diễn của số 1   z1  ) nên OAPM
là hình bình hành. Mà z1  z2  z3  1 nên các điểm biểu diễn cho ba số z1 , z2 , z3
đều nằm trên đường tròn đơn vị. Ta cũng có OA  OM  1 nên OAPM là hình
thoi. Khi đó ta thấy M , A là giao điểm của đường trung trực đoạn OP với đường
tròn đơn vị.
Tương tự do P cũng là điểm biểu diễn của z2  z3 , nếu M ' và A ' là hai điểm
biểu diễn của số z2 , z3 thì ta cũng có M ', A ' là giao điểm đường trung trực của
OP và đường tròn đơn vị.
Vậy M ' �M , A ' �A hoặc ngược lại. Nghĩa là z2  1, z3   z1 hoặc z3  1, z2   z1 .
Do đó A. B là mệnh đề đúng.
C đúng là hiển nhiên, vì nếu ba số đều 1 một thì tổng bằng 3.

D sai vì với z1  1, z2 

2
2
2

2

i , z3  

i thỏa hai tính chất trên của đề bài
2
2
2
2

nhưng z1z2z3 �1.
Câu 55. Số phức 2ix  3  5x  4i thỏa mãn:  3  i  z   1 2i  z  3  4i là:
A. z  2  3i.

B. z  2  5i.

C. z  1 5i.

D. z  2  3i.

Hướng dẫn giải
Đặt z  a  bi từ  3  i  z   1 2i  z  3  4i

23

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


�  3  i   a  bi    1 2i   a  bi   3  4i
� 3a  b  3bi  ai  a  2b  bi  2ai  3  4i

�
4a  b  3
� 4a  b   3a  2b i  3  4i � �
�
3a  2b  4
�

�
a 2
�
b 5
�

Vậy z  2  5i.

 Dạng 3. Modul nhỏ nhất, lớn nhất

Câu 56. Cho số phức z thoả mãn điều kiện z  2  3i  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
z.
A.

13  3.

B. 2.

C.

13  2.

D. 2.

Hướng dẫn giải

Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn
z  2  3i  3 nằm trên đường tròn  C  tâm I  2; 3 và

bán

kính R  3.
(Ý nghĩa hình học của z : độ dài OM )
Ta có z đạt giá trị nhỏ nhất � điểm M � C  và OM nhỏ nhất.
(Bài toán hình học giải tích quen thuộc)
24

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Ta có: OM �OI  IM  OI  R  13  3.
Dấu "  " xảy ra khi M là giao điểm của  C  và đoạn thẳng OI .
Vậy GTNN của z là:

13  3.

3
Câu 57. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  2  3i  . Số phức z có
2
môđun nhỏ nhất là
A. z 

26  3 13 78  9 13


i.
13
26

B. z 

26  2 13 78  3 13

i.
13
26

C. z 

26  13 78  13

i.
13
26

D. z 

26  13 78  13

i.
13
26

Hướng dẫn giải

Xét biểu thức z  2  3i 

3
 1 . Đặt z  x  yi. Khi đó  1 trở thành
2

(x  2)  (y  3)i 

3
2
9
4

� (x  2)2  (y  3)2  .
Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn  1 nằm trên đường tròn  C  tâm
I  2; 3 và bán kính R 

3
.
2

25

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất