2 SDMTCT trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số

§2. Sử dụng máy tính cầm tay trong các bài toán tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài tập 1. Trên khoảng ( 0; +∞ ) thì hàm số y = − x 3 + 3x + 1 :
A. Có giá trị nhỏ nhất là min y = 3.

B. Có giá trị lớn nhất max y = -1.

C. Có giá trị lớn nhất là max y = 4.

D. Có giá trị lớn nhất là max y = 3.

Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
x =1
3
2
Ta có: y = − x + 3x + 1 ⇒ y ' = −3x + 3 x; y ' = 0 ⇔ 
.
 x = −1( ∉ ( 0; +∞ ) )
Bảng biến thiên:

x 0
y’
y

+

1
0

+∞
-

3
−∞

1
Từ bảng biến thiên, ta chọn đáp án D.
Cách giải bằng máy tính:
Cách1: (Đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II)

Trước hết ta nhận xét, hệ số của x3 là âm nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên ( 0; +∞ ) .
Do đó ta quan tâm tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền đã cho. Mà trong các đáp án C và
D thì số 4 lớn nhất nên trước tiên ta thử với số 4. Ta nhập vào máy biểu thức sau:
− x 3 + 3 x + 1 = 4 , sau đó ta nhấn

nhập x = 10, mà hình xuất hiện:

Tức là cho y = 4 ta tìm được x = -2,103803403, giá trị này không thuộc miền ta đang xét là

( 0; +∞ ) . Do đó, đáp án C bị loại.
Lưu ý. Lúc dò nghiệm, ta gán giá trị ban đầu x = 10 là giá trị dương tương đối lớn nhưng máy
lại tìm được nghiệm âm x = -2,103803403. Tức là miền ( 0; +∞ ) không có giá trị x để hàm số
đặt giá trị bằng 4.

Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Tiếp theo ta thử với giá trị lớn nhất thứ hai đó là y = 3, ta nhập vào máy biểu thức sau:
− x 3 + 3 x + 1 = 3 , sau đó ta nhấn

nhập x= 10, màn hình xuất hiện:

Tức là cho y = 3 ta tìm được x = 1. Do đó cho ta chọn đáp án D.
Lưu ý. Muốn nhập
biểu thức − x 3 + 3 x + 1 = 4 và máy tính ta thức hiện nhấn liên tực các phím trên máy tính như
sau:
3
Cách 2: Nhấn máy yêu cầu nhập f ( x ) = , ta nhập hàm số đề cho f ( x ) = − x + 3 x + 1 sau đó

ấn dấu bằng, yêu cầu nhập g ( x ) = , ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hiện start, ta nhập số 0
rồi nhấn dấu bằng. Máy hiện End, ta nhập 7 rồi nhấn dấu bằng. Máy hiện step, ta nhấn 0.5 rồi
ấn dấu bằng. Khi đó máy tính sẽ cho các kết quả như bảng sau:
X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7

F(X)
1

2.375
3
2.125
-1
-7.125
-17
-31.357
-51
-76.625
-1.09
-148.875
-197
-254.125
-321

Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Nhìn vào bảng giá trị ở trên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất
bằng 3.
Bài tập 2. Cho hàm số y = sin 4 x + cos 4 x . Khi đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của lần
lượt là:
A. 2; 0.

B. 1;

1
.
2

C.

1
;0
2

D. 2;1.

Cách giải nhanh trác nghiệm bằng tay:
2
Đặt t = sin x; t ∈ [ 0;1] . Hàm số trở thành: y = t 2 + ( 1 − t ) , t ∈ [ 0;1] .
2

Ta có: y ' = 2t − 2 ( 1 − t ) ; y ' = 0 ⇔ t =

1
∈ ( 0;1) .
2

1 1
y ( 0 ) = 1; y ( 1) = 1; y  ÷ = .
2 2
Nhìn vào các giá trị trên ta chọn đáp án là B.
Cách giải bằng máy tính:
Nhấn

máy yêu cầu nhập f ( x ) = , ta nhập hàm số đề cho y = sin 4 x + cos 4 x sau

đó ấn dấu bằng, máy yêu cầu nhập nhập g ( x ) = , ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hiện start,
ta nhập số 0 rồi nhấn dấu bằng. Máy hiện End, ta nhập

tuần hoàn với chu kỳ là

π
rồi nhấn dấu bằng (vì hàm số này
2

π  End − start 
π
). Máy hiện step, ta nhấn

÷ , rồi ấn dấu bằng. Khi
20 
10
2


đó máy tính sẽ cho các kết quả như bảng sau:
X
0
0.157
0.3141
0.4712
0.6282
0.7853
0.9424
1.0995
1.2566
1.4137
1.5707

F(X)
1
2.375
3
2.125
-1
-7.125
-17
-31.357
-51
-76.625
-1.09

Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Nhìn vào bảng giá trị ở trên ta thấy giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng
Chú ý: Ngoài ra ta cũng cso thể đổi biến và sau đó dử dụng bảng giá trị

1
.
2
Cụ thể,

2
đặt t = sin x, t ∈ [ 0;1] . Hàm số trở thành:

(

)

y = t 2 + 1 − t 2 , t ∈ [ 0;1] .
Sau đó, ta nhấn

máy yêu cầu nhập

f ( x ) = , ta nhập hàm số đề cho

f ( x ) = x 2 + ( 1 − x ) sau đó ấn dấu bằng. Máy yêu cầu nhập nhập g ( x ) = , ta nhấn dấu bằng
2

để bỏ qua. Máy hiện start, ta nhập số 0 rồi nhấn dấu bằng. Máy hiện End, ta nhập 1 rồi nhấn
 End − start 
dấu bằng (vì hàm số này xét trên đoạn [ 0;1] ). Máy hiện step, ta nhấn 0.1
÷, rồi
10


ấn dấu bằng. Khi đó máy tính sẽ cho các kết quả như bảng sau:
X
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8

0.9
1

F(X)
1
0.82
0.68
0.58
0.52
0.5
0.52
0.58
0.68
0.82
1

Nhìn vào bảng giá trị ở trên ta thấy giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng

1
.
2

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bài tập 3. (Câu 6 đề minh họa của Bộ năm 2016). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y=

x2 + 3
trên đoạn [ 2; 4] .

x −1

y = 6.
A. min
[ 2;4]

y = −2 .
B. min
[ 2;4]

y = −3 .
C. min
[ 2;4]

D. min y =
[ 2;4]

19
.
3

Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
Ta có: y ' =

x2 − 2x − 3

( x − 1)

2

 x = −1 ∉ ( 2; 4 )
; y'= 0 ⇔ 
x = 3

Ta tính được: y ( 2 ) = 7; y ( 3) = 6; y ( 4 ) =

19
.
3

y = 6 . Như thế ta chọn A.
Vậy, min
[ 2;4]
Cách giải bằng máy tính:
Nhấn máy

yêu cầu nhập f ( x ) = , ta nhập hàm số đề cho f ( x ) =

x2 + 3
sau đó
x −1

ấn dấu bằng. Máy yêu cầu nhập nhập g ( x ) = , ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hiện start, ta
nhập số 2 rồi nhấn dấu bằng. Máy hiện End, ta nhập 4 rồi nhấn dấu bằng. Máy hiện step, ta
 End − start 
nhấn 0.2 
÷, rồi ấn dấu bằng. Khi đó máy tính sẽ cho các kết quả như bảng sau:
10



X
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4

F(X)
7
6.5333
6.2571
6.1
6.0222
6
6.0181
6.0666
6.1384
6.2285
6.3333

Nhìn vào bảng giá trị ở trên ta thấy giá trị lớn nhất bằng 6 và giá trị nhỏ nhất bằng x = 3 .
Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

Như thế ta chọn A.
Bài tập 4. (Câu 10 đề minh họa của Bộ năm 2016). Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh
12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh
bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được cái hộp không nắp. Tìm x
để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A. x = 6.

B. x = 3.

C. x = 2.

D. x = 4.

Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
Cạnh hình vuông mặt đáy là 12 − 2 x, 0 < x < 6 . Khi đó, diện tích đáy của hộp là: ( 12 − 2x ) .
2

Do đó, thể tích của họp là: V = x ( 12 − 12 x ) .
2

x = 2
Ta có: V ' = ( 12 − 12 x ) ( 12 − 6 x ) ; V' = 0 ⇔ 
 x = 6 ∉ ( 0;6 )
Bảng biến thiên

x 0
V’

+

V

2
0

6
-

128
0

0

Vậy, với x = 2 thì thể tích hộp lớn nhất. dó đó ta chọn đáp án C.
Cách giải bằng máy tính:
Nhấn máy

yêu cầu nhập f ( x ) = , ta nhập hàm số đề cho f ( x ) = x ( 12 − 12 x )

2

sau đó ấn dấu bằng. Máy yêu cầu nhập nhập g ( x ) = , ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hiện
start, ta nhập số 0 rồi nhấn dấu bằng. Máy hiện End, ta nhập 6 rồi nhấn dấu bằng. Máy hiện
step, ta nhấn 1 (Vì các đáp án là các số nguyên dương), rồi ấn dấu bằng. Khi đó máy tính sẽ
cho các kết quả như bảng sau:
X

F(X)

0

0
1
100
2
128
Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải
3
108
4
64
5
20
6
0


Nhìn vào bảng giá trị ở trên ta thấy giá trị lớn nhất bằng 128 và giá trị nhỏ nhất bằng x = 2 .
Do đó ta chọn C.
Ngoài ra, ta cũng có thể thế số trực tiếp vào công thức thể tích để tìm đáp án như sau:
Với x = 2, thể tích là: 2.8.8=128 (cm3).
Với x = 3, thể tích là: 3.6.6=108 (cm3).
Với x = 4, thể tích là: 4.4.4=64 (cm3).
Với x = 6, thể tích là: 6.0.0=0 (cm3).
Do đó ta chọn đáp án C.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
2.1. Cho hàm số y =

sin x + 1
. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
sin x + sinx + 1

2

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

 π π
2.2. Cho hàm số y = 3sin x − 4sin 3 x . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng  − ; ÷ .
 2 2
A. 7.

B. 3.

C. 1.

D. -1.

x2 − x + 1
2.3. Cho hàm số y = 2
. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
x + x +1
A. 4.

B. -1.

2.4. Cho hàm số y = x +

A.

2.

C. 1/3.

D. 3.

1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ( 0; +∞ ) .
x
B. 0.

C. 2.

D. 1.

2.5. Tìm câu sai trong các mệnh đề sau về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x3 − 3 x + 1 , x ∈ [ 0;3] .
A. Min y = 1.
B. Max y = 19.
C. Hàm số có đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


D. hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x = 3.

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải