2 TOA DO DE

Câu 1.

r
Cho ba điểm A, B, C trên trục x ' Ox có vectơ đơn vị i . Mệnh đề nào sau đây sai ?
uuu
r
r
A
�
OA

x
.
x
Ai.
A. A là tọa độ của
BC  xB  xC
B. xB , xC là tọa độ của B và C thì :
.
C. AC  CB  AB .
D. M là trung điểm của
Hướng dẫn :

Câu 2.

AB � OM 

BC  xB  xC

OA  OB
2

.

. Chọn (B).

Trên trục x ' Ox , cho bốn điểm A, B, C , D có tọa độ lần lượt là 3, 5,  7, 9 . Mệnh đề nào sau
đây sai ?
B. AC  10 .

A. AB  2 .
Hướng dẫn :

C. CD  16 .

D. AB  AC  8 .

AB  2, AC  10, CD  xD  xC  9   7   16, AB  AC  8

. Chọn (C).

r

Câu 3.

 O ; i  . Mệnh đề nào sau đây sai ?
Cho bốn điểm A, B , C , D trên trục
A. AB  AD  DB .

B. AB  CD  BC  AD .

C. CD  BD  BC .

D. AB  BA  0 .

Hướng dẫn : AB  BA  AB  AB  2 AB . Chọn (D).
Câu 4.

Trên trục x ' Ox cho hai điểm A, B có tọa độ lần lượt là 5 và 10. Điểm M nằm trên x ' Ox thỏa
uuur
uuur
5MA  3MB có tọa độ là :
5
A. 2 .

B.



5
2.

3
C. 2 .

D. 2 .

uuur
uuur
5
5MA  3MB � 5MA  3MB � 5  5  x   3  10  x  � x  
2 . Chọn (B).

Hướng dẫn :
Câu 5.

Trên trục x ' Ox , cho ba điểm A, B, C . Nếu biết AB  5, AC  7 thì CB bằng :
A. 2 .

Câu 6.

B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .

Hướng dẫn : CB  AB  AC  5  7  2 . Chọn (A).
r
O ;i
Trên trục
, cho bốn điểm A, B, C , D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d và điểm M có tọa
độ x . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai ?

 

ab
uuur uuur r
x
2 .
A. Nếu MA  MB  0 thì
abc
uuur uuur uuuu

r r
x
3
B. Nếu MA  MB  MC  0 thì
.


a bc d
uuur uuur uuuu
r uuuu
r r
x
4
C. Nếu MA  MB  MC  MD  0 thì
.
D. MA  AB  BD  MD  0 .
Hướng dẫn : MA  AB  BD  MD  MB  BD  MD  MD  MD  2MD . Chọn (D).
Câu 7.

Cho ba điểm A, B, C có tọa độ theo thứ tự là 2, 4,  5 . Tìm tọa độ điểm M trên trục này sao
uuur uuur uuuu
r r
3
MA

4
MB

2
MC

0.
cho
4
A. 3 .

2
7
B. 3 .
C. 9 .
uuur uuur uuuu
r r
Hướng dẫn : 3MA  4MB  2MC  0 � 3MA  4MB  2MC  0 .


D. Một số khác.

� 3  2  x   4  4  x   2  5  x   0

� 9 x  12 � x 
Câu 8.

4
3 . Chọn (A).

Trên trục x ' Ox cho bốn điểm A, B , C , D tùy ý.
Để chứng minh AB.CD  AC.DB  AD.BC  0 , một học sinh giải như sau, hỏi sai từ bước
nào ?
A. Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa độ của A, B, C , D trên trục x ' Ox . Ta có :
AB.CD   b  a   d  c   bd  ad  bc  ac

.

(1)

B. Tương tự : AC.DB  cb  ab  cd  ad .

(2)

C. Tương tự : AD.BC  dc  ac  ba  ab .

(3)

D. Cộng (1), (2), (3) theo từng vế và rút gọn ta suy ra :
AB.CD  AC.DB  AD.BC  0 .

Hướng dẫn :
Câu 9.

AD.BC   d  a   c  b   dc  ac  bd  ab

Cho bốn điểm A, B , C , D trên một trục

. Chọn (C).

r
O;i

  , có tọa độ lần lượt là a, b, c, d . Tìm hệ thức

CA

DA

DB .
giữa a, b, c, d để CB
A.
C.

 a  b   c  d   ab  cd .
 a  b   c  d   ab  cd .

B.
D.

CA
DA

� CA.DB  CB.DA  0
DB
Hướng dẫn : CB

 a  b   c  d   2  ab  cd  .

 a  b   c  d   2  ab  cd  .


�  a  c  b  d    b  c  a  d   0
� ab  ad  bc  cd  ab  bd  ac  cd  0
� 2  ab  cd   a  c  d   b  c  d    a  b   c  d 

. Chọn (B).

Câu 10. Cho hai điểm A, B trên trục x ' Ox có tọa độ 2 và 5. Tìm điểm C đối xứng với B qua điểm A .
A. 1 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 2 .

Hướng dẫn : C đối xứng với B qua A � A là trung điểm của BC
�2

5  xC
� xC  1
2
. Chọn (A).

rr

Câu 11.

Câu 12.

Câu 13.

r
r
r r
a   3 ; 2  b  i  5 j

cho 2 vectơ
,
. Mệnh đề nào sau đây sai ?
r
r
r r
b   1; 5 
a

3
i

2
j
A.
.
B.
.
r r
r r
a  b   2 ; 7
a  b   2 ;  3
C.
.
D.
.
r
r
r r
a   3 ; 2  , b   1 ; 5  � a  b   4 ; 3

Hướng dẫn :
. Chọn (D).
r
a   3 ; 4 
Cho
. Mệnh đề nào sau đây sai ?
r
r
r
r
a 5
2
a
 10
a   3 ;  4 
A.
.
B.
.
C. 0.a  0 .
D.
.
r r
Hướng dẫn : 0.a  0 . Chọn (C).
r
r r
r
r r
r r r
a


2
i

3
j
b


i

2
j
c
Cho
và
. Tìm tọa độ của  a  b .
r
r
r
r
c   1 ;  1
c   3 ;  5
c   3 ; 5 
c   2 ; 7
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
r r r
r r
r r
r r r
c  a  b  2i  3 j  i  2 j  3i  5 j � c   3 ; 5 
Hướng dẫn :
. Chọn (B).
r
r r r
r r
ur
r r
 X ; Y  là tọa độ của w  2u  3v thì tích XY bằng :
Cho u  2i  3 j , v  5 i  j . Gọi

 O ; i, j 
Trong hệ trục



Câu 14.

A. 57 .
Hướng dẫn :

 



B. 57 .
C. 63 .
ur
r r
r r
r r
r r
w  2u  3v  2 2i  3 j  3 5i  j  19i  3 j



 



D. Một đáp án khác.
.

X  19, Y  3 � XY  57 . Chọn (A).
A  1 ; 3 , B  4 ; 5  , C  2 ; 3
Câu 15. Cho ba điểm
. Xét các mệnh đề sau :
uuur
AB   3 ; 8 
I.
.
A '  6 ; 2
II. A ' là trung điểm của BC thì

.
�7 1 �
G� ; �
III. Tam giác ABC có trọng tâm �3 3 �.
Hỏi mệnh đề nào đúng ?


A. Chỉ I và II.
Hướng dẫn :

B. Chỉ II và III.

C. Chỉ I và III.

A  1 ; 3 , B  4 ; 5  , C  2 ; 3

D. Cả I, II, III.

A '  3 ; 1
. Tọa độ trung điểm A ' của BC là
: II sai.

Mà các câu A, B, D đều chọn II đúng nên loại. Chọn (C).
A  4 ; 7  , B  2 ; 5  , C  1 ; 3
Câu 16. Trọng tâm G của tam giác ABC với
có tọa độ là :
A.

 1 ; 4  .

B.

 2 ; 6 .

C.

 1 ; 2  .

D. Một đáp số khác.

4  2  1
�
x

 1
G
�
�
3
� G  1 ; 3 
�
7

5

3
�y 
3
G
�

3
Hướng dẫn :
. Chọn (D).
Câu 17. Cho
A.

A  1 ; 5  , B  2 ; 4  , G  3 ; 3 

 3 ; 1 .

B.

. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì tọa độ của C là:

 5 ; 7 .

C.

 10 ; 0  .

D.

 10 ; 0  .

1  2  xC  9
�x A  xB  xC  3 xG
�
�x  10
��
� �C

�
y  y B  yC  3 yG
5  4  yC  9
�
�yC  0 . Chọn (C).
Hướng dẫn : � A
Câu 18. Cho

A  6 ; 10  , B  12 ; 2 

. Tính AB .

B. 2 97 .

A. 10 .
Hướng dẫn :

AB 

C. 2 65 .

D. Một đáp số khác.

 xB  xA  2   yB  y A  2   12  6  2   2  10  2

 388  2 97 . Chọn (B).
Câu 19. Cho hai điểm
.

A  5 ; 7  , B  3 ; 1

. Tính khoảng cách từ gốc O đến trung điểm M của đoạn AB

B. 10 .

A. 4 2 .

C. 5 .

D. Một đáp số khác.

53
�
xM 
4
�
�
2
� OM  16  16  4 2
�
�y  7  1  4
M
2
Hướng dẫn : �
. Chọn (A).
A  6 ;  1
B  x ; 9
Câu 20. Tìm x để khoảng cách giữa hai điểm
và
bằng 12.

B. 6 �4 5 .

A. 6 �4 10 .
Hướng dẫn :

AB 

 x  6  2  102

C. 6 �2 7 .

D. 6 �2 11 .

 12 � x 2  12 x  36  100  144
� x 2  12 x  8  0 � x  6 �2 11 . Chọn (D).

A 3 ; 7
B  6 ; 1
Câu 21. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn nối hai điểm
và
.


�9 �
� ; 3�
A. �2 �.

�3
�
 ; 4�

�
�.
B. � 2

C.

 3 ; 6  .

D. Một đáp số khác.

x x
36
3
�
xM  A B 

�
�
2
2
2 � M � 3 ; 4 �
�
�
�
�2
�
�y  y A  y B  7  1  4
M
�
2

2
Hướng dẫn :
. Chọn (B).
A  4 ; 1 B  6 ; 3
Câu 22. Viết phương trình trung trực của đoạn AB với
,
.
A. x  4 y  3  0 .
C. x  2 y  7  0 .

B. 2 x  4 y  31  0 .
D. Một đáp số khác.

AM 2  BM 2 �  x  4    y  1   x  6    y  3
2

Hướng dẫn :

2

2

2

� 4 x  8 y  28  0 � x  2 y  7  0 . Chọn (C).
Câu 23. Cho tam giác ABC có
giác ABC là :
�1 1�
� ;  �
A. � 2 2 �.

Hướng dẫn :

I  x ; y

A  1 ; 3 , B  4 ; 1 , C  2 ; 3 

�1 1 �
� ; �
B. �2 2 �.

. Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam

�1 3�
 ; �
�
2 2 �.
�
C.

D. Một đáp số khác.

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi :

2
2
�
�
 x  1 2   y  3 2   x  4  2   y  1 2
�IA  IB
�

��
� 2
2
�IA  IC
�
 x  1 2   y  3 2   x  2  2   y  3 2
�

� 1
x
�
6x  8 y  7  0
�
� 2
�1 1 �
��
��
� I � ; �
6 x  12 y  3  0
�2 2 �
�
�y   1
�
2
. Chọn (B).
Câu 24. Cho

A  0 ; 2  B  3 ; 1
,
. Tìm tọa độ giao điểm M của AB với trục x ' Ox .

�1
�
M�
 ; 0�
M  2 ; 0 
M  2 ; 0
�.
A.
.
B.
.
C. � 2
uuuu
r
uuur
M  x ; 0  �x ' Ox � AM   x ; 2  ; AB   3 ; 3  .
Hướng dẫn :

D. Một đáp số khác.

x 2
uuu
r uuuu
r
�
 � x  2
A, B, M thẳng hàng � AB, AM cùng phương
3 3
.

M  2 ; 0 
Vậy,
. Chọn (A).
r
r r r
r r
r r
a

2
i

3
j
b

m
j

i
a
Câu 25. Cho
,
. Nếu , b cùng phương thì :
A. m  6 .

B. m  6 .

C.

m

2
3.

D.

m

3
2.


1 m
3
r
r
� 
�m
a   2 ; 3 
b   1 ; m
2 3
2 . Chọn (D).
Hướng dẫn :
và
cùng phương
r
r
r
r

u   2 x  1; 3 v   1 ; x  2 
Câu 26. Cho
,
. Có hai giá trị x1 , x2 của x để u cùng phương với v . Tính
x1.x2 .
5
A. 3 .



B.

5
3.

C.



5
2.

D. Một đáp số khác.

2x 1
3
r r
�

1

x  2 (với x �2 )
Hướng dẫn : u , v cùng phương
�  2 x  1  x  2   3 � 2 x 2  3 x  5  0
Câu 27. Cho ba điểm
A.

D  3 ; 3

A  0 ; 1 , B  0 ; 2  , C  3 ; 0 

.

D  3 ; 3 

B.

. Vậy

x1.x2  

5
2 . Chọn (C).

. Vẽ hình bình hành ABDC . Tìm tọa độ điểm D .

.

C.

D  3 ; 3

.

D. Một đáp số khác.

uuur uuu
r
�x  3  0
�x  3
� CD  AB � �D
� �D
�yD  0  3 �yD  3
Hướng dẫn : ABDC là hình bình hành
Vậy

D  3 ;  3

. Chọn (B).

Câu 28. Hai vectơ nào sau đây không cùng phương :
r � 6 10 �
b�
 ; �
r
r
7 �.
�7
A.
và
B. c và 4c .

ur � 5
�
ur
r
r
m�
 ; 0�
m


3
;
0
n
 0 ; 3
i   1 ; 0
�2
�.
C.
và
D.
và
.
ur
r
m  3 ;0
n  0 ; 3
a b  a b   3  3  0  3 �0
Hướng dẫn :
và

. Ta có: 1 2 2 1
ur
r
Vậy m và n không cùng phương. Chọn (D).
rr
O ; i, j
Câu 29. Các điểm và các vectơ sau đây cho trong hệ trục
(giả thiết m, n, p , q là những số
thực khác 0 ). Mệnh đề nào sau đây sai ?
r
r r
r
r r
a   m ; 0  � a‍// i
b   0 ; n  � b‍// j
A.
.
B.
.
A  n ; p  �x ' Ox � n  0
A 0 ; p , B  q ; p
C. Điểm
.
D.
thì AB // x ' Ox .
r
a   3 ; 5











Câu 30. Cho ba điểm
A. m  10 .
Hướng dẫn :

A  n ; p  �x ' Ox � p  0







Hướng dẫn :











. Chọn (C).

A  2 ; 4  , B  6 ; 0  , C  m ; 4 

. Định m để A, B, C thẳng hàng ?

B. m  6 .
uuur
uuur
AB   4 ; 4  ; AC   m  2 ; 8  .

C. m  2 .

D. Một số khác.


m2 8
uuu
r uuur
�
 � m  10
A, B, C thẳng hàng � AB, AC cùng phương
4
4
. Chọn (A).
uuur
uuur
A  x A ; y A  , B  xB ; y B 

MA  k MB  k �1
Câu 31. Cho hai điểm
. Tọa độ của điểm M mà
là :
x  k . xB
�
xM  A
�
�
1 k
�
�y  y A  k . y B
M
1 k .
A. �
x  k . xB
�
xM  A
�
�
1 k
�
y
�y  A  k . yB
M
1 k .
C. �

x x
�

xM  A B
�
�
1 k
�
�y  y A  yB
M
1 k .
B. �

D. Một đáp số khác.

x  k . xB
�
xM  A
uuur
uuur
�
x

x

k
x

x
�


�A M

B
M
�
1 k
MA  k MB � �
��
�y A  yM  k  yB  yM 
�y  y A  k . yB
�M
1 k
Hướng dẫn :
. Chọn (C).
uuuu
r
uuur
M  1 ; 6
N  6 ; 3
Câu 32. Cho hai điểm
và
. Tìm điểm P mà PM  2 PN .
A.

P  11 ; 0 

.

B.

P  6 ; 5

.

C.

P  2 ; 4

.

D. Một đáp số khác.

1  2.6
�
xP 
 11
uuuu
r
uuur
�
�
1

2
PM  2 PN � �
� P  11 ; 0 
�y  6  2.3  0
P
�
1 2
Hướng dẫn :
. Chọn (A).

A  5 ; 6  , B  3 ; 2  , C  0 ; 4 
Câu 33. Cho tam giác ABC với
. Chân đường phân giác trong góc A có
tọa độ :

A.

 5 ; 2 

2�
�5
� ; �
B. �2 3 �.

.

Hướng dẫn :

AB 

 3  5 2   2  6  2

�5 2 �
� ; �
C. �3 3 �.
4 5

;

AC 

D. Một đáp số khác.

 0  5 2   4  6  2

5 5

.

4
�
3  .0
�
5 5
�xM 
4
3
uuur
�
1
MB
AB
4 �
�5 2 �
5
uuuu
r 
 ��
� M � ; �
4

AC
5 �
MC
�3 3 �
2  .  4 
2
�y 
5

�M
4
3
1
�
5
�
. Chọn (C).
A  1 ;  2  , B  2 ; 3  , C  3 ; 0 
Câu 34. Cho tam giác ABC với
. Tìm giao điểm của đường phân giác
ngoài của góc A và đường thẳng BC :


A.

 1 ; 6  .

B.

Hướng dẫn :

AB 

 1 ; 6 .

C.

 2  1 2   3  2  2

 2

;

 1 ;  6  .

AC 

D.

 3  1 2   0  2  2

 1 ; 6  .

2 2

.

3  2.2
�
uuur

xE 
1
�
EC AC
�
1 2
uuu
r
2��
� E  1 ; 6 
0

2.

3


EB AB
�y 
 6
�E
1 2
. Chọn (D).
A  3 ; 1

Câu 35. Cho hai điểm
nhất.
A.

M  0 ; 5

.

Hướng dẫn : Lấy

và

B.

B  5 ; 5 
M  0 ; 5

M  0 ; y  �y ' Oy

. Tìm điểm M trên trục y ' Oy sao cho MB  MA lớn

.

C.

M  0 ; 3

.

D.

, với y bất kì.
B
A

. Vậy A, B nằm cùng bên

đối với y ' Oy . Do đó MB  MA lớn nhất khi MB  MA  AB ,
khi đó M , A, B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB .

5  1  y   3  5  y   0 � y  5

. Do đó

O

x’

uuur
uuur
MB   5 ; 5  y  ; MA   3 ; 1  y  .
Vậy

.

y

Ta có : MB  MA �AB ;
x A .xB   3  5   15  0

M  0 ; 6 

M
y’

M  0 ; 5 

. Chọn (A).

x