PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG PHÂN CHIA 4 mức độ

Vấn đề 01: Phương trình tổng quát của đường thẳng
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1.

r
Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) và có vec tơ pháp tuyến n(a; b) có phương
trình là
A. a ( x  x0 )  b( y  y0 )  0 .
C. a ( x  x0 )  b( y  y0 )  0 .

Câu 2.

B. a ( x  x0 )  b( y  y0 )  1 .
D. a ( x  y0 )  b( y  x0 )  0 .
r
Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng d đi qua M (1; 2) và véc tơ pháp tuyến n(3;1) . Khẳng

Câu 3.

định nào sau đây đúng
A. 3 x  y  1  0 .
B. 3 x  y  5  0 .
C. 3 x  y  5  0 .
D. 3 x  y  1  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng x  2 y  5  0 đi qua điểm nào sau đây ?
A.  3 ;1 .

Câu 4.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

Câu 10.
Câu 11.
Câu 12.

Câu 13.

C.  2 ; 0  .

D.  3 ; 1 .

Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng 12 x  7 y  5  0 không đi qua điểm nào sau đây ?
A.  1;  1 .

Câu 5.

B.  0 ; 5  .

B.  1;1 .

� 5 �
C. � ;0 �.
� 12 �

� 17 �

1; �.
D. �
� 7�

Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng đi qua hai điểm A( a;0) , B (0; b) ( với a �0, b �0 ) có
phương trình là
x y
x y
x y
x y
A.   1 .
B.   1
C.   1
D.   0
a b
a b
a b
a b
Trong mặt phẳng Oxy , hệ số góc của phương trình đường thằng d : y  3 x  2 là
2
3
A. k  .
B. k  3
C. k  3x
D. k 
3
2
Trong mặt phẳng Oxy , cho phương trình đường thẳng d : 3 x  y  2  0 . Véc tơ nào sau đây là
vécrtơ pháp tuyến của đườngrthẳng d
r

r
A. n(3;1) .
B. n(3; 2)
C. n(3; 1)
D. n(3; 1)
Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 2 x  y  4  0 . Khẳng định nào sau
đây đúng ?
r
r
A. Đường thẳng d có VTPT n(2; 1) .
B. Đường thẳng d có VTCP u (2; 1) .
r
C. Đường thẳng d đi qua O(0;0) .
D. Đường thẳng d có VTPT n(2;1) .
Trong mặt phẳng Oxy , cho phương trình đường thẳng d : x  2 y  1  0 . Véc tơ nào sau đây là
vécrtơ chỉ phương của đườngr thẳng d
r
r
A. u (2;1) .
B. u (2;1)
C. u (1; 2)
D. u (1; 2)
Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độ O
A. 2 x  y  2  0 .
B. 2 x  1  0
C. y  2  0
D. 2 x  y  0
Trong mặt phẳng Oxy , vec tơ pháp tuyến của đường đi qua hai điểm A(1;0) , B (2;3) là
r
r

r
r
A. n(3;1) .
B. n(3;1)
C. n(3; 2)
D. n(3; 1)
Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng đi qua hai điểm A(2;0) , B (0;1) có phương trình là
x y
x y
x y
x y
A.   1 .
B.   1
C.   1
D.   0
1 2
2 1
2 1
2 1
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tổng quát của đường thẳng Ox là
A. y  1  0 .
B. x  0 .
C. y  0 .
D. x  y  0 .


Câu 14.
Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tổng quát của đường thẳng Oy là
A. x  1  0 .
B. x  0 .
C. y  0 .
D. x  y  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A(5; 8) và có hệ số góc
k  3 là
A. 3 x  y  23  0 .
B. 3 x  y  23  0 . C. 3x  y  23  0 .
D. x  3 y  23  0 .
�x  1  2t
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tổng quát của đường thẳng �
là
�y  3  t
A. x  2 y  7  0 .
B. x  2 y  7  0 .
C. x  2 y  5  0 .
D. x  2 y  7  0 .
r
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình đường đi qua hai điểm A(1;0) và có VTPT n(2;1) là
A. 2 x  y  2  0 .

B. 2 x  y  2  0
C. 2 x  y  2  0
D. 2 x  y  2  0
�x  5  t
Trong mặt phẳng Oxy , cho phương trình tham số của đường thẳng d : �
. Trong các
�y  9  2t
phương trình sau, phương trình nào là phương trình tổng quát của (d ) ?
A. 2 x  y  1  0 .
B. 2 x  3 y  1  0 .
C. x  2 y  2  0 .
D. x  2 y  2  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1) ,
B (1;0) là
A. x  2 y  1  0 .
B. x  2 y  1  0 .
C. 2 x  y  2  0 .
D. 2 x  y  4  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , tọa độ giao điểm của đường thẳng d1 : 5 x  2 y  12  0 và đường thẳng
y 1  0 .
A. (1 ; 2)

B. ( 

14
;  1)
5



C.   1 ;


14 

5

D. (1 ; 3).

VẬN DỤNG THẤP
Câu 21.

Câu 22.

Trong mặt phẳng Oxy , Cho 2 điểm A(1; 4) , B (3; 4) . Phương trình tổng quát đường trung trực
của đoạn thẳng AB là
A. x  1  0 .
B. x  y  2  0 .
C. y  4  0 .
D. y  4  0 .
Cho hình bình hành ABCD biết A  –2;1 và phương trình đường thẳng chứa CD là :
3 x – 4 y – 5  0 . Phương trình tham số của cạnh AB là

�x  2  3t
A. �
.
�y  2  2t
Câu 23.

Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

�x  2  4t
B. �
.
�y  1  3t

�x  2  3t
C. �
.
�y  1  4t

�x  2  3t
D. �
.
�y  1  4t

Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm O(0;0) và song
song với đường thẳng d : 3 x  2 y  2  0 có phương trình là :
A. 4 x  6 y  2  0 .
B. 3 x  2 y  0 .
C. 3 x  2 y  0 .
D. 3 x  2 y  2  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I (1; 2) và vuông
góc với đường thẳng d : 2 x  y  4  0 là
A. x  2 y  0 .
B. x  2 y  5  0 .

C. x  2 y  3  0 .
D.  x  2 y  5  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC có A(1;1) , B (0; 2) , C (4; 2) . Phương trình tổng quát của
trung tuyến AM là
A. 2 x  y  3  0 .
B. x  2 y  3  0 .
C. x  y  2  0 .
D. x  y  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , Cho ABC có A(2; 1) , B (4;5) , C ( 3; 2) . Phương trình tổng quát của
đường cao AH là


Câu 27.

A. 3 x  7 y  1  0 .
B. 3x  7 y  13  0 . C. 7 x  3 y  13  0 .
D. 7 x  3 y  11  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường thẳng qua M  2;1 và song song với đường
phân giác góc phần tư thứ nhất.
A. x  y  0 .

B. x  y  4  0 .

C. x  y  4  0 .

D. x  y  1  0 .

Câu 29.

Trong mặt phẳng Oxy , phương trình đường thẳng d qua M (5; 3) cắt hai trục Ox, Oy tại A và

B sao cho M là trung điểm của AB . Phương trình tổng quát của đường thẳng d là
A. 3 x  5 y  30  0 .
B. 3x  5 y  30  0 . C. 3x  5 y  30  0 . D. 3 x  5 y  30  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d1 : 2 x  y  2  0; d 2 : x  y  3  0 và điểm M (3;0) .

Câu 30.

Phương trình đường thẳng  đi qua M , cắt d1 và d 2 lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm
của đoạn thẳng AB là
A. 8 x  y  24  0 .
B. 8 x  y  24  0 . C. 8 x  y  24  0 .
D. 8 x  y  24  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng  : 5 x  3 y  15 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện

Câu 28.

tích bằng bao nhiêu ?
15
C. 3
D. 5
2
Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x  y  1  0; d 2 : x  3 y  3  0 . Phương trình
A. 15 .
Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

Câu 34.

Câu 35.

B.

đường thẳng  đối xứng với d1 qua là
A. 7 x  y  1  0 .
B. 7 x  y  1  0 .
C. 7 x  y  1  0 .
D. 7 x  y  1  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC có A(0;1), B(1; 1), C (2;3) . Phương trình đường thẳng đi qua
trọng tâm ABC và vuông góc với BC là
A. x  4 y  3  0 .
B. x  4 y  5  0 .
C. x  4 y  5  0 .
D. x  4 y  3  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình đường thẳng d đi qua M (10; 2) và cách đều hai điểm
A(3;0), B ( 5; 4) là
y20
x20
�
�
A. �
.
B. �
. C. x  y  0 .
D. x  y  0 .
x  2 y  14  0
2 x  y  14  0
�

�
Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC có A(2; 4), B (4;8), C (13; 2) . Phương trình tổng quát đường
phân giác trong của góc A là
A. x  2 y  6  0 .
B. 2 x  y  6  0 .
C. 2 x  y  6  0 .
D. x  4 y  3  0
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình đường thẳng đi qua A(2;0) và tạo với đường thẳng
d : x  3 y  3  0 một góc 450 là
2x  y  4  0
2x  y  4  0
�
�
A. �
.
B. �
. C. 2 x  y  4  0 .
D. x  2 y  2  0 .
x  2y  2  0
x  2y  2  0
�
�
VẬN DỤNG CAO

Câu 36.

Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC có phương trình cạnh AB : 2 x  6 y  3  0, AC : x  y  2  0
và trung điểm của BC là M (1;1) .Phương trình tổng quát cạnh BC là
A. 3 x  5 y  8  0 .

B. 3 x  y  8  0 .
C. 3 x  5 y  8  0 .
Hướng dẫn giải
b 1
Ta có B �BC � B (b;   )
3 2

D. 3 x  y  8  0


9
�
b  2  t  2
b


�
�
�
�
4
C �AC � C (2  t ; t ) và M là trung điểm của BC nên ta có � b 1
��
7
  t  2
�
�
t
�3 2
� 4

9 1
1 7
Do đó B ( ; ) và B ( ; )
4 4
4 4
Khi đo phương trình tổng quát của BC là 3 x  5 y  8  0
Câu 37.

Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC cân tại A , biết phương trình các đường thẳng AB, BC lần
lượt là x  2 y  1  0 và 3 x  y  5  0 .phương trình đường thẳng AC qua M (1; 3) là
A. 2 x  11y  31  0 .
B. 2 x  11 y  31  0 . C. 2 x  11y  31  0 .
D. 2 x  11 y  31  0
Hướng dẫn giải
ur
uu
r
Đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến là n1 (1; 2) , đường thẳng BC có véctơ pháp tuyến là n2 (3; 1)
Đường thẳng AC qua M nên có phương trình a ( x  1)  b( y  3)  0 với (a 2  b 2 �0)
Tam giác ABC cân tại A nên ta có:
3 2
3a  b
cos( AB, BC )  cos( AC , BC ) �

� a 2  b 2  5(3a  b) 2
2
2
50
5. a  b
� 1

a b
�
2
2
2
2
2
� a  b  5(3a  b) � 22a  15a  2b  0 � � 2
2
�
a b
� 11
1
Với a  b . Chon b  2 � a  1 phương trình đường thẳng AC : x  2 y  5  0
2
Trường hợp này bị loại vì khi đó đường thẳng AC song song với đường thẳng AB .
2
Với a  b . Chon b  11 � a  2 phương trình đường thẳng AC : 2 x  11y  31  0 .
11

Câu 38.

Trong mặt phẳng Oxy , phương trình đường thẳng qua M (2; 3) cắt hai trục Ox, Oy tại A và B
sao cho tam giác OAB vuông cân
x  y 1  0
x  y 1  0
�
�
A. �
.

B. �
.
C. x  y  1  0 .
D. x  y  5  0 .
x y 5  0
x y5 0
�
�
Hướng dẫn giải
x y
Gọi A(a;0); B (0; b ) với a �0, b �0 . Khi đó phương trình đường thẳng AB :   1
a b
2 3
Đường thẳng AB đi qua M (2; 3) nên ta có :   0 . OAB cân tại O ta có a  b
a b
ab
�
�
� a  b  1 � AB : x  y  1  0
TH 1: �2 3
 1
�
�a b
a  b
�
a5
�
�
��
� AB : x  y  5  0

TH 2: �2 3
b  5
 1 �
�
�a b


Câu 39.

2
2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  : x  y  6 x  2 y  6  0 và điểm A(1;3) .

Một đường thẳng d đi qua A cắt (C ) tại hai điểm B và C sao cho AB  AC nhỏ nhất.
Phương trình tổng quát đường thẳng d là
x 1
x 1  0
�
�
A. �
. B. �
. C. 3 x  4 y  11  0 .
D. 3x  4 y  15  0 .
3 x  4 y  15  0
3 x  4 y  15  0
�
�
Hướng dẫn giải
Tâm đường tròn I (3; 1) , R  2; IA  2 5  d ( I , A)  R  2 nên điểm A nằm ngoài (C )
2

2
Ta có PA /(C )  AB. AC  d  R  16 và AB  AC �2 AB. AC  2.4  8 dấu “=”xẩy ra khi và
chỉ khi AB  AC  4 . Khi đó d là tiếp tuyến của (C ) , d có dạng
a ( x  1)  b( y  3)  0 � ax  by  a  3b  0
b0
3a  b  a  3a
�
 2 � 3b 2  4ab � �
Từ đó ta có d ( I , d )  2 �
4a  3b
a2  b2
�
b0
�
chọn �
Phương trinh đường thẳng d : x  1
�a  1
b4
�
chọn �
Phương trinh đường thẳng d : 3 x  4 y  15  0
�a  3
Câu 40.

Trong mặt phẳng Oxy , phương trình đường thẳng  đi qua Q(2;3) , cắt hai trục Ox, Oy lần lượt
tại M , N khác điểm O sao cho OM  ON nhỏ nhất là
x
y
x
y


 1.

1.
A.
B.
2 6 3 6
2 6 3 6
x
y
x
y

 1.

 1.
C.
D.
2 6 3 6
2 6 3 6
Hướng dẫn giải
Gọi M (m;0), N (0; n) với m, n  0 .Phương trình đường thẳng  là:
Ta có Q � �

2 3
3m
 1� n 
do n  0 � m  2 (1) khi đó ta có:
m n
m2

OM  ON  m  n  m 

3m
6
6
 m 2
 5 �2 (m  2).
5 2 65
m2
m2
m2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m  2 

�
m  2 6
6
��
Kết hợp với (1) ta có m  2  6
m2
m  2 6
�

� n  3  6 . Kho đó phương trình  là :

Câu 41.

x y
 1

m n

x
y

1
2 6 3 6

Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x  y  2 0 và d 2 : x  2 y  2 0 . Giả sử d1
cắt d 2 tại I . Viết phương trình đường thẳng  đi qua M ( 1;1) cắt d1 và d 2 tương ứng tại
A, B sao cho AB 3IA .
x y 0
x y 0
�
�
A. �
.
B. �
. C. x  y  0 .
D. x  7 y  6  0 .
x  7y 6  0
x 7y 6  0
�
�
Hướng dẫn giải


Ta có d1 cắt d 2 tại I (2; 0).
Chọn A0 (0;  2)  d1 , Mà IA0 2 2 .

I

Lấy B0 (2  2b; b)  d 2 sao cho A0 B0 3IA0 6 2
2

 (2  2b)  (b  2) 72
 B0 ( 6; 4)

 B0  42 ;  16 .
  5
5
Suy ra đường thẳng  là đường thẳng qua M ( 1; 1)
và song song với A0 B0 .
Suy ra phương trình  : x  y 0
b 4
2
 5b  4b  64 0  

b  6
5


B0

A0

2

B

A



M

d2

d1

hoặc  : x  7 y  6 0.
Câu 42.

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm P (7;8) và hai đường thẳng d1 :2 x  5 y  3  0 ;
d 2 :5 x  2 y  7  0 cắt nhau tại A . Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua P tạo với d1 , d 2
thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng 14,5 .
A. 3 x  7 y  77  0 .
B. 7 x  3 y  25  0 . C. 7 x  3 y  25  0 .
D. 3 x  7 y  77  0 .
Hướng dẫn giải
Ta có A(1; 1) và d1  d 2 . Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 , d 2 là:
1 : 7 x  3 y  4  0 và  2 : 3x  7 y  10  0
d3 tạo với d1 , d 2 một tam giác vuông cân � d3 vuông góc với 1 hoặc  2 .
 Phương trình của d3 có dạng: 7 x  3 y  C  0 hay 3 x  7 y  C� 0
 77 .
Mặt khác d3 qua P (7;8) nên C  25; C �
Suy ra : d3 : 7 x  3 y  25  0 hay d3 :3 x  7 y  77  0
29
Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích bằng
 cạnh huyền bằng

2
58 d ( A, d )
Suy ra độ dài đường cao AH 
=
3
2
58
 Với d3 : 7 x  3 y  25  0 thì d ( A; d 3 ) 
( tm)
2
87
 Với d3 : 3 x  7 y  77  0 thì d ( A; d 3 ) 
( loại )
58

Câu 43.

58

Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC có đỉnh A(1; 2) , đường trung tuyến BM : 2 x  y  1  0 và
phân giác trong CD : x  y  1  0 . Phương trình tổng quát đường thẳng BC là
A. 3 x  7 y  77  0 .
B. 7 x  3 y  25  0 . C. 7 x  3 y  25  0 .
D. 3 x  7 y  77  0 .
Hướng dẫn giải
Điểm C �CD : x  y  1  0 � C  t ;1  t  .

A

�t  1 3  t �

Suy ra trung điểm M của AC là M � ;
�.
2 �
�2

D

B

I
K

B
C


�t  1 � 3  t
1  0
Điểm M �BM : 2 x  y  1  0 � 2 � �
�2 � 2
� t  7 � C  7;8 
Từ A(1; 2) , kẻ AK  CD : x  y  1  0 tại I
(điểm K �BC ).
Suy ra AK :  x  1   y  2   0 � x  y  1  0 .
�x  y  1  0
� I  0;1 .
Tọa độ điểm I thỏa hệ: �
�x  y  1  0
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của
AK � tọa độ của K  1;0  .

Câu 44.

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x  y  5 0 .
d 2 : 3 x  6 y  7  0 . Phương trình đường thẳng đi qua điểm P (2; 1) sao cho đường thẳng đó cắt
hai đường thẳng d1 , d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1 , d 2 là
x  3y  5  0
x  3y  5  0
�
�
A. �
.
B. �
. C. x  3 y  0 .
D. 3 x  y  0 .
3x  y  5  0
3x  y  5  0
�
�
Hướng dẫn giải
Trước hết lập phương trình 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau :
3x  6 y  7
2x  y  5
�

� 3 5
9x  3y  8  0
�
5
��
��

3x  6 y  7 2 x  y  5
3 x  9 y  22  0
�
�

� 3 5
5
�
Lập đường thẳng 1 qua P (2; 1) và vuông gócđường thẳng : 9 x  3 y  8  0 .
� 1 :

x  2 y 1

� x  3y  5  0
9
3

x  2 y 1

� 3x  y  5  0
3
9
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình cạnh
AB : x  y  2  0 , phương trình cạnh AC : x  2 y  5  0 . Biết trọng tâm của tam giác G (3; 2) .
Phương trình cạnh BC là
A. 3 x  7 y  77  0 .
B. x  4 y  7  0 .
C. x  4 y  7  0 .
D. 3 x  7 y  77  0 .
Lập  2 qua P (2; 1) và vuông góc với : 3 x  9 y  22  0 �  2 :

Câu 45.

Hướng dẫn giải
�x  y  2  0
� A  3;1
Ta có AB cắt AC tại A nên : �
�x  2 y  5  0
Vì B nằm trên AB suy ra B (t ; t  2) , C nằm trên AC suy ra C (5  2m; m)
t  2m  8
�
xG 
3
�
m  2 � C  1; 2 
t  2m  1 �
�
�
�
3
��
��
Theo tính chất trọng tâm : �
t m7
t  5 � B  5;3
�
�
�y  t  m  1  2
G
�

3
BC
:
x  4y  7  0
Vậy phương trình đường thẳng


Câu 46.

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , biết phương trình đường thẳng AB, AC
lần lượt là x  2 y  5  0 và 3 x  y  7  0 . Viết phương trình đường thẳng AC , biết rằng AC
đi qua điểm F (1; 3) .
x  8 y  23  0
�
A. �
.
4 x  7 y  25  0
�

x  8 y  23  0
�
B. �
. C. x  8 y  0 .
4 x  7 y  25  0
�
Hướng dẫn giải

D. 4 x  7 y  25  0 .

Ta thấy B là giao của AB và BC cho nên tọa độ B là nghiệm của hệ :

9
�
x
�
�x  2 y  5  0 �
� 9 22 �
7
��
� B�
 ;  �.
�
3x  y  7  0 �
22
7
7 �
�
�
y
�
7
Đường thẳng d �qua A vuông góc với BC có
r
r
1
1
u   3; 1 � n   1;3 � k   nên hệ số góc của AB là k AB   .
3
2
Gọi hệ số góc của đường thẳng AC là k ta có phương trình :
1

�
1 1
1
k 
 
k
�
15k  5  3  k
8
2 3 
3 � 1  3k  1 � 15k  5  3  k � �
��
�
11
k
15k  5  k  3 �
4
5 3 k
�
1
1
k 
�
23
3
7
�
1
1
Với k   �  AC  : y    x  1  3 � x  8 y  23  0

8
8
Với k 

4
4
�  AC  : y    x  1  3 � 4 x  7 y  25  0
7
7

Vấn đề 02: Phương trình tham số của đường thẳng
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
�x  1  2t
Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : �
. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc
�y  3  t
đường thẳng d ?
A. A  2;1 .

B. B  1; 4  .

C. C  3;1 .

D. D  1; 2  .

�x  3  2t
Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : �
. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
�y  1  3t
r

A. Đường thẳng d đi qua A  3; 1 và có vectơ chỉ phương u   2; 3 .
r
B. Đường thẳng d đi qua A  2;3 và có vectơ chỉ phương u   3; 1 .
r
C. Đường thẳng d đi qua A  3;1 và có vectơ chỉ phương u   2;3 .
r
D. Đường thẳng d đi qua A  3; 1 và có vectơ pháp tuyến n   2;3 .
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A  0; 2  và có
r
vectơ chỉ phương u   3; 2  .


�x  3
.
A. �
�y  2  t

�x  3t
.
B. �
�y  2  2t

�x  2t
.
C. �
�y  2  3t

�x  3  t
.
D. �

�y  2

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A  1; 3 và
r
nhận n   1; 2  làm vectơ pháp tuyến.
�x  2  2t
.
A. �
�y  3  t

�x  1  t
.
B. �
�y  3  2t

�x  1  2t
.
C. �
�y  3  t

�x  1  2t
.
D. �
�y  3  t

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A  1; 3 và có hệ
số góc k  2 .
�x  1  t
.
A. �

�y  3  2t

�x  1  2t
.
B. �
�y  3  t

�x  1  t
.
C. �
�y  3  2t

�x  1  2t
.
D. �
�y  3  t

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tổng quát của đường thẳng d : 2 x  5 y  2  0 . Phương
trình tham số của đường thẳng d .
�x  1  2t
�x  1  5t
�x  1  5t
�x  5t
.
.
.
.
A. �
B. �
C. �

D. �
�y  5t
�y  2t
�y  2t
�y  1  2t
Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình chính tắc của đường thẳng d
trình tham số của đường thẳng d .
�x  2  t
.
A. 5 x  2 y  1  0
B. �
�y  5  3t

�x  1  2t
.
C. �
�y  3  5t

x 1 y  3

. Viết phương
2
5
�x  1  2t
.
D. �
�y  3  5t

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tham số của đường thẳng qua M  2;3 và song song với
x7 y5


.
1
5
�x  2  t
�x  5  2t
.
.
A. �
B. �
�y  3  5t
�y  1  3t
đường thẳng

�x  t
.
C. �
�y  5t

�x  3  5t
.
D. �
�y  2  t

Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tham số của đường thẳng  đi qua N  3; 4  và vuông góc
�x  1  3t
.
với đường thẳng d : �
�y  4  5t
�x  3  3t

�x  5  3t
.
.
A. �
B. �
�y  5  4t
�y  3  4t

�x  3  5t
�x  3  3t
.
.
C. �
D. �
�y  4  3t
�y  4  5t
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng d có phương trình tổng quát 3 x  2 y  7  0 . Phương trình
tham số của đường thẳng d .
�x  1  2t
�x  1  3t
�x  3  t
�x  2  t
.
.
.
.
A. �
B. �
C. �
D. �

�y  2  3t
�y  2  2t
�y  2  2t
�y  3  2t
Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A  1; 2  và B  2;5  . Phương trình nào sau đây là phương
trình tham số của đường thẳng AB ?
�x  1  t
�x  1  3t
.
.
A. �
B. �
�y  3  2t
�y  2  t

�x  3  t
�x  1  t
.
.
C. �
D. �
�y  1  2t
�y  2  3t
Câu 12. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  2;3 , B  1; 2  , C  5; 4  .Phương trình tham
số của đường trung tuyến AM .


�x  2  4t
.
A. �

�y  3  2t

�x  2  2t
.
B. �
�y  3

�x  2t
.
C. �
�y  2  3t

�x  2
.
D. �
�y  3  3t

Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  2;3 , B  1; 2  , C  5; 4  .Phương trình tham
số của đường cao AH .
�x  1  2t
�x  2  t
.
.
A. �
B. �
�y  1  3t
�y  3  t

�x  1  2t
.

C. �
�y  1  3t

�x  2  t
.
D. �
�y  3  t

Câu 14. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  2;3 , B  1; 2  , C  5; 4  . Gọi M , N là
trung điểm của AB, BC . Phương trình tham số của đường thẳng MN .
�x  2  t
�x  2  3t
�x  3  2t
�x  1  2t
.
.
.
.
A. �
B. �
C. �
D. �
�y  1  3t
�y  1  t
�y  1  t
�y  3  t
Câu 15. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A  1; 2  , B  1; 2  . Phương trình tham số đường trung trực
của đoạn thẳng AB .
�x  1  2t
.

A. �
�y  2  t

�x  2
.
B. �
C.
�y  4
Câu 16. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình bình hành

�x  2t
.
�
�y  t

�x  2t
.
D. �
�y  4t
ABCD , biết phương trình đường thẳng

�x  1  3t
BC : �
và điểm A  3; 2  . Phương trình tham số của đường thẳng AD .
�y  2  5t
�x  3  5t
�x  3  3t
�x  3  3t
�x  5  3t
.

.
.
.
A. �
B. �
C. �
D. �
�y  2  3t
�y  2  5t
�y  5  2t
�y  3  2t
Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  2;3 và H  1; 4  là hình chiếu của A lên
đường thẳng BC . Phương trình tham số của đường thẳng BC .
�x  1  t
�x  1  3t
�x  1  t
.
.
.
A. �
B. �
C. �
�y  4  3t
�y  4  t
�y  3  5t

�x  1  t
.
D. �
�y  4  3t

Câu 18. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  1;3 , B  3;1 , C  0; 4  . Phương trình tham số
của đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng AB .
2
2
�
�
x



t
x


t
�
�
�x  1  t
�x  1  t
�
�
3
3
.
.
.
.
A. �
B. �

C. �
D. �
8
y

4

t
8
�y  4  t
�
�y   t
�y   t
� 3
� 3
Câu 19. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có M  1; 2  , N  3; 4  , P  5;1 lần lượt là trung điểm
của AB, AC , BC . Phương trình tham số của đường thẳng AC.
�x  6  3t
�x  3  6t
�x  6  4t
.
.
.
A. �
B. �
C. �
�y  1  4t
�y  4  t
�y  1  3t

�x  3  t
.
D. �
�y  4  6t

Câu 20. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình tham số của đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng
d : 2 x  y  1  0 qua điểm I  2;1 .
�x  1  t
.
A. �
�y  1  2t

�x  4  t
.
B. �
�y  1  2t

�x  2  t
.
C. �
�y  5  2t

�x  3  t
.
D. �
�y  7  2t


VẬN DỤNG THẤP
Câu 21. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết AB : x  y  1  0, AC : x  y  3  0 và trọng tâm

G  1; 2  . Phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh BC.
�x  2
�x  4
�x  2
�x  2
.
.
.
.
A. �
B. �
C. �
D. �
�y  1  6t
�y  1  6t
�y  1  5t
�y  1  6t
Câu 22. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 3 x  4 y  12  0 . Phương trình tham số của đường
thẳng qua M  2; 1 và tạo với d một góc


.
4

�x  2  7t
�x  2  t
�x  2  t
�x  2  7t
.
.

A. �
hoặc �
B. �
hoặc �
�y  1  t
�y  1  7t
�y  1  7t
�y  1  t
�x  2  7t
�x  2  t
�x  2  t
�x  2  7t
.
.
C. �
hoặc �
D. �
hoặc �
�y  1  t
�y  1  7t
�y  1  7t
�y  1  t
:12 x  5 y  20  0 . Phương
Câu 23. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d : 3 x  4 y  12  0 , d �
trình tham số của đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng đó.
� 20
� 20
� 20
� 20
x

 3t
x
 11t
x
 3t
x
 11t
�
�
�
�
� 63
� 63
� 63
� 63
.
.
.
.
A. �
B. �
C. �
D. �
�y  68  11t
�y  68  3t
�y  68  11t
�y  68  3t
� 21
� 21
� 21

� 21
Câu 24. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 3 x  4 y  12  0 . Phương trình tham số của đường
thẳng  song song với đường thẳng d và cách điểm M  2;3 một khoảng bằng 2.
�x  4t
�x  4t
.
A. �
hoặc �
�y  4  3t
�y  1  3t
�x  4t
�x  4t
.
C. �
hoặc �
�y  2  3t
�y  1  3t

�x  3t
�x  3t
.
B. �
hoặc �
�y  4  4t
�y  1  4t
�x  4t
�x  4t
.
D. �
hoặc �

�y  4  3t
�y  1  3t

Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy , Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M  4;10  và chắn
trên hai trục tọa độ 2 đoạn bằng nhau.
�x  1  4t
�x  1  4t
.
.
A. �
B. �
�y  1  10t
�y  1  10t

�x  4  t
.
C. �
�y  10  t

�x  4  t
.
D. �
�y  10  t
Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy , Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M  2;1 cắt 2 tia
Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho diện tích của tam giác OAB bằng 8.
�x  2  t
�x  2  t
�x  2  t
�x  2  2t
.

.
.
.
A. �
B. �
C. �
D. �
�y  1  t
�y  1  t
�y  1  2t
�y  1  t
Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy , Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A  1; 2  và cách B  3;5 
một khoảng bằng 3.
�x  1  t
�x  1  7t
A. �
hoặc �
.
�y  2
�y  2  24t
�x  1  t
C. �
.
�y  2

�x  1  7t
B. �
.
�y  2  24t
�x  1  t

�x  1  7t
D. �
hoặc �
.
�y  2
�y  2  24t


Câu 28. Trong mặt phẳng Oxy , Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm P  10; 2  cách đều
2 điểm A  3;0  và B  5; 4  .
�x  10  2t
A. �
�y  2  t
�x  10  t
C. �
�y  2

�x  10  2t
�x  10  t
B. �
hoặc �
�y  2  t
�y  2
�x  10  t
�x  10
D. �
hoặc �
�y  2  2t
�y  2  t

Câu 29. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x  y  1  0 và d 2 : 2 x  y  1  0 . Phương trình
tham số của đường thẳng  đi qua M  1; 1 cắt d1 và d 2 tương ứng tại A và B sao cho
uuur uuur r
2 MA  MB  0 .
�x  1  t
�x  1
�x  1  t
�x  1  3t
.
.
.
.
A. �
B. �
C. �
D. �
�y  1
�y  1  t
�y  1  t
�y  1  4t
Câu 30. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x  y  1  0 và d 2 : x  2 y  2  0 . Phương trình
tham số của đường thẳng  đi qua M  1;0  cắt d1 và d 2 tương ứng tại A và B sao cho
MB  3MA .
�x  1  5t
�x  1  t
A. �
hoặc �
�y  t
�y  t
�x  1  t

C. �
�y  t

�x  1  5t
.
B. �
�y  t
�x  1  3t
�x  1  4t
D. �
hoặc �
�y  2t
�y  t

VẬN DỤNG CAO
Câu 31. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B  3;5  , phương trình đường cao hạ từ đỉnh
A và đường trung tuyến hạ từ đỉnh C lần lượt là d1 : 2 x  5 y  3  0 và d 2 : x  y  5  0 .
Phương trình tham số của đường thẳng AC .
�x  1  4t
�x  1  2t
�x  1  4t
�x  1  t
.
.
.
.
A. �
B. �
C. �
D. �

�y  1  3t
�y  1  3t
�y  1  t
�y  1  4t
Hướng dẫn giải.
Phương trình đường thẳng BC : 5 x  2 y  25  0
�x  y  5  0
� C  5;0 
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình : �
5 x  2 y  25  0
�
Gọi M là trung điểm của AB
Vì M �d 2 � M  t ;5  t  .
M là trung điểm của AB nên A  2t  3;5  2t 
Lại có A �d1 � 4t  6  25  10t  3  0
�t  2
uuur
Vậy A  1;1 suy ra AC   4; 1
�x  1  4t
.
nên phương trình tham số của đường thẳng AC : �
�y  1  t


Câu 32. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  3; 4  . Phương trình đường trung trực cạnh
BC là d1 : x  y  1  0 và phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh C là
d 2 : 3 x  y  9  0 . Phương trình tham số của đường thẳng BC.
�x  3  t
.
A. �

�y  t

�x  3  2t
.
B. �
�y  t

�x  3  t
.
C. �
�y  t

�x  3  t
.
D. �
�y  2t

Hướng dẫn giải.
Gọi N là trung điểm cua AB � M  t ;3t  9 
Vì N là trung điểm cua AB � B  2t  3;6t  14  .
uuur
C �d 2 � C  u;3u  9  � BC   u  2t  3;3u  6t  5 
�2t  u  3 6t  3u  23 �
;
Gọi M là trung điểm của BC. Nên M �
�
2
� 2
�
d1 là đường trung trực cạnh BC nên :

�2t  u  3 6t  3u  23
�d1
�

1  0
�M
�
�� 2
2
�uuur uur
�
�BC.ud1  0
u  2t  3   3u  6t  5   0
�
8t  4u  28
u3
�
�
��
��
2u  4t  2
t2
�
�
uuur
Vậy C  3;0  , B  1; 2  . Suy ra : BC   2; 2 
�x  3  t
.
Phương trình tham số của đường thẳng BC : �
�y  t

Câu 33. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A  3;0  , phương trình 2 đường cao lần lượt
là BB ' : 2 x  2 y  9  0 và CC ' : 3x  12 y  18  0 . Phương trình tham số của đường thẳng BC.
�x  2
�x  2  6t
�x  2  5t
�x  2  t
.
.
.
.
A. �
B. �
C. �
D. �
�y  1  6t
�y  1  t
�y  1  6t
�y  1  6t
Hướng dẫn giải.
AB
:12
x

3
y
 36  0
Phương trình đường thẳng
�5 �
Từ đó tìm được B � ; 2 �
�2 �

Phương trình đường thẳng AC : x  y  3  0 .
Từ đó tìm được C  2; 1
uuur � 1
�
 ; 3 �
Suy ra : BC  �
�2
�
�x  2  t
.
Phương trình tham số của đường thẳng BC : �
�y  1  6t
Câu 34. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A  1;3 , phương trình 2 đường trung tuyến
lần lượt là BM : x  2 y  1  0 và CN : y  1  0 . Phương trình tham số của đường thẳng BC .
�x  5  t
�x  5  4t
�x  5  t
�x  5  4t
.
.
.
.
A. �
B. �
C. �
D. �
�y  1  2t
�y  1  t
�y  1  4t
�y  1  3t

Hướng dẫn giải.


Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Suy ra G  1;1
Gọi I là điểm đối xứng của A qua G
Nên : I  1; 1
Ta có BGCI là hình bình hành.
Phương trình đường thẳng BI : y  1  0
Phương trình đường thẳng CI : x  2 y  3  0
Từ đó tìm được : B  3; 1 , C  5;1 .
uuur
�x  5  4t
.
Suy ra : BC   8; 2  . Phương trình tham số của đường thẳng BC : �
�y  1  t
Câu 35. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x  4 y  2  0 , cạnh
BC song song với d . Phương trình đường cao BH : x  y  3  0 và trung điểm cạnh AC là

M  1;1 . Phương trình tham số của đường thẳng BC .
� 8
x   4t
�
� 3
.
A. �
�y  8  t
� 3

�x  1  4t
.

B. �
�y  2  t

�x  3  4t
.
C. �
�y  2  t

� 8
x  t
�
� 3
D. �
�y  8  4t
� 3

Hướng dẫn giải.
Phương trình đường thẳng AC : x  y  0
� 2 2�
 ;  �.
Từ đó A �
� 3 3�
�8 8 �
M là trung điểm cạnh AC . Nên C � ; �
�3 3 �
Vậy phương trình tham số của đường thẳng BC :
� 8
x   4t
�
� 3

.
�
�y  8  t
� 3
Câu 36. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC , phương trình 2 cạnh lần lượt là AB : 2 x  y  2  0
và AC : x  3 y  3  0 và M  1;1 là trung điểm của BC . Phương trình tham số của đường
thẳng BC .
�x  1  4t
.
A. �
�y  3t

�x  1  2t
.
B. �
�y  t

�x  1  t
.
C. �
�y  2t
Hướng dẫn giải.

�3 4 �
Tìm được A � ; �
�5 5 �
Gọi I là điểm đối xứng của A qua M .
� 13 6 �
 ; �
Suy ra : I �

� 5 5�
Phương trình đường thẳng BI : x  3 y  1  0
Tìm được B  1;0 

�x  1  3t
.
D. �
�y  2t


uuuu
r
�x  1  2t
.
Vậy : BM   2;1 . Phương trình tham số của đường thẳng BC : �
�y  t
Câu 37. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có B  12;1 , đường phân giác trong góc A có
�1 2 �
phương trình d1 : x  2 y  5  0 , G � ; �là trọng tâm của tam giác ABC . Phương trình tham
�3 3 �
số của đường thẳng BC.
�x  12  t
�x  12  3t
�x  12  t
�x  12  8t
.
.
.
.
A. �

B. �
C. �
D. �
�y  1  3t
�y  1  t
�y  1  8t
�y  1  t
Hướng dẫn giải.
Gọi M là trung điểm của AC .
uuur 2 uuuu
r
Có BG  BM
3
2
�1
 12   x  12 
�
13 1 �
�3
�
3
��
�M� ; �
�2 2 �
�2  1  2  y  1
�3
3
Phương trình đường thẳng d 2 đi qua B và vuông góc
với d1 : 2 x  y  25  0
Gọi I  d 2 �d1 � I  9;7 

Gọi N là điểm đối xứng của B qua I suy ra I là trung điểm của BN .
uuuu
r � 25 25 �
 ; �
Vậy N  6;13 . Suy ra : MN  �
� 2 2 �
Phương trình đường thẳng AC : x  y  7  0
Từ đó: A  9; 2  . M là trung điểm của AC nên C  4;3
uuur
�x  12  8t
.
Vậy BC   16; 2  . Nên phương trình tham số của đường thẳng BC : �
�y  1  t
Câu 38. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A ; biết B, C đối xứng nhau qua gốc tọa
độ. Phương trình đường phân giác trong góc B là d : x  2 y  5  0 , biết AC đi qua K  6; 2  .
Viết phương trình tham số của đường thẳng BC .
�x  5  t
�x  5  t
�x  3  3t
.
.
.
A. �
B. �
C. �
�y  5  t
�y  5  t
�y  1  t
Hướng dẫn giải.

�x  3  t
.
D. �
�y  1  3t

B �d � B  5  2t ; t 
B, C đối xứng nhau qua gốc tọa độ � C  2t  5; t 
Phương trình đường thẳng d �đi qua O và vuông góc với đường thẳng d :
2x  y  0
Gọi I  d �d �� I  1; 2 


Gọi E là điểm đối xứng của O qua I . Suy
ra I là trung điểm của OE .
Vậy E  2; 4 
uuur
KC   2t  11; t  2 
uuu
r
EB   3  2t ; t  4 

uuuruuur
�
t  1 � B  3;1 , C  3; 1
KC.EB  0 �  2t  11  3  2t    t  2   t  4   0 � �
t  5 � B  5;5  , C  5; 5 
�
Trường hợp B  3;1 , C  3; 1 ta tìm được A  3;1 �B ( loại)
uuur
Với B  5;5  , C  5; 5  � BC   10; 10 

�x  5  t �x  5  t
.�
.
Phương trình tham số của đường thẳng BC : �
�y  5  t �y  5  t
Câu 39. Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M  1; 2  và
9
4

nhỏ nhất
2
OA OB 2
�x  1  3t
�x  1  4t
�x  1  9t
�x  1  2t
.
.
.
.
A. �
B. �
C. �
D. �
�y  2  4t
�y  2  3t
�y  2  2t
�y  2  9t
Hướng dẫn giải.
x y

Gọi A  a;0  , B  0; b  . Phương trình đường thẳng d :   1
a b
1 2
Vì M  1; 2  �d :   1 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copxki, ta có :
a b
cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B khác O sao cho

2

2

2 � �1 �
�1 2 � �1 3
�9 4 �
1  �  � �  1. ���  1�
�2  2 �
b � �9 �
�a b � �3 a
�a b �
9 4
9
9
4
9
 2� �

�
2
2
2

a b 10
OA OB 10
2
�1 3
a  10
:  1:
�
�
�3 a
�
b
� � 20 .
Dấu bằng xảy ra khi �
1
2
b
�  1
�
9
�
�a b
Từ đó suy ra kết quả.
Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M  0; 2 
�

và hai đường thẳng d1 : 3 x  y  2  0 và

d 2 : x  3 y  4  0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d 2 . Viết phương trình tham số của đường
thẳng đi qua M , cắt hai đường thẳng d1 và d 2 lần lượt tại B và C ( B và C khác A ) sao cho
1

1

đạt giá trị nhỏ nhất.
2
AB
AC 2
�x  3t
�x  2t
.
.
A. �
B. �
�y  2  2t
�y  2  3t

�x  t
.
C. �
�y  2  t

Hướng dẫn giải.

�x  t
.
D. �
�y  2  t


A  d1 �d 2 � A  1;1 .
Gọi  là đường thẳng cần tìm, H là hình chiếu vuông góc của A trên  .

1
1
1
1


�
Ta có :
(Không đổi)
2
2
2
AB
AC
AH
AM 2
1
1
1
�

khi H �M , hay  là đường thẳng đi qua M
2
2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng
AB
AC
AM 2
và vuông góc với AM
uuuu
r

AM   1;1
�x  t
.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng  : �
�y  2  t

Vấn đề 03: Phương trình chính tắc của đường thẳng
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

NHẬN BIẾT
r
Trong mặt phẳng Oxy , vectơ a  (2; 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây:
x  2 y 1
x 1 y
x 1 y
x 1 y




A.
B.

C.
D.
1
2
2
1
2
1
1 2
x2 y 3

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d :
. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d :
4
1
A. M (4; 1)
B. M (2;3)
C. M (2; 3)
D. M (4;1)
�x  2  2t
Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình tham số �
, phương trình
�y  3t
nào sau đây là phương trình chính tắc của d ?
x2 y
x2 y
x2 y
x  2 y 1





A.
B.
C.
D.
2
3
2
3
2
3
2
3
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M (2;3) và có vectơ
r
chỉ phương là u  (4;8)
x2 y3
x2 y 3
x  4 y 8
x  4 y 8




A.
B.
C.
D.
4

8
1
2
2
3
2
3
Oxy
M
(

2;3) và có
Trong mặt phẳng
, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm
r
vectơ pháp tuyến n  (3; 1) là
x2 y 3
x2 y3
x2 y 3
x2 y 3




A.
B.
C.
D.
1
3

1
3
3
1
1
3

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình đường thẳng nào sau đây có vectơ chỉ phương là
r
u   2;3
x 1 1 y
x2 y 3
x 1 1 y
x 1 y  3




.
B.
C.
.
D.
.
2
3
3
2
2
3

2
3
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình đường thẳng nào sau đây đi qua điểm M  1; 1 và có
r
vectơ chỉ phương u   2; 2  .
A.
Câu 7.

A.

x  1 1  y

.
2
2

B.

x 1 y 1

2
2

C.

x 1 1  y

.
2
2

D.

x 1 y 1

.
2
2


Câu 8.

Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A  1;3 , B  1; 2  . Phương trình chính tắc của đường
thẳng AB là
x 1 y  3
x 1 y  3
x 1 y  3
x 1 y  3




.
B.
C.
.
D.
.
2
5

2
5
5
2
5
2
Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A  1;1 , B  2; 6  . Phương trình tham số của đường thẳng d
A.

Câu 9.

vuông góc với AB tại A là
x 1 y 1
x 1 y 1
x2 y6
y2 y6

.

.

.

.
B.
C.
D.
1
7
7

1
1
7
1
7
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh A  1; 2  , B  3;1 và C  5; 4  . Phương
A.
Câu 10.

trình chính tắc của đường cao của tam giác vẽ từ A là
A.

x 1 y  2

.
3
2

B.

x 1 y  2

.
3
2

C.

x 1 y  2


.
6
5

D.

x 1 y
 .
2
3

THÔNG HIỂU
Câu 11.

Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M (4; 2) , song song với Δ:

x  2 y 1

4
3

là

x4 y2
x4 y2
x  8 y 1
x4 y 3





B.
C.
D.
4
3
4
3
4
3
4
2
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M (4; 2) , vuông
x  2 y 1

góc với  :
là
4
3
x4 y2
x4 y2
x4 y2
x4 y2




A.
B.
C.

D.
4
3
3
4
4
3
6
8
Oxy
A
(1;
2)
B
Trong mặt phẳng
, phương trình chính tắc của d đi qua hai điểm
và (3; 2) là:
x 1 y  2
x 1 y  2
x 1 y  2
x3 y2




A.
B.
C.
D.
3

2
1
2
1
2
2
4
Oxy
Trong mặt phẳng
, phương trình chính tắc của d là đường trung trực của AB biết A(1; 2) và
B (3; 2)
là:
x2 y
x 1 y  2
x2 y
x3 y 2




A.
B.
C.
D.
1
2
1
2
2
1

2
1
Oxy
A
2;3
B

1;
2
C
3;
4
, 
 và   . Phương trình
Trong mặt phẳng
, cho tam giác ABC có 
chính tắc của đường cao AH là:
x2 y 3
x2 y 3
x2 y 3
x2 y 3




A.
B.
C.
D.
1

2
4
2
1
2
4
2
Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm M  2;0  , B  0; 2  . Phương trình đường thẳng trung trực
A.

Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

của đoạn MN là
x 1 x 1
x y2
x 1 y 1
x y2

.
.

.

..
B. 
C.
D. 
1
1
1
1
1
1
1
1
Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC biết A  2;0  , B  2; 3  , C  1;1 . Phương trình chính tắc của
A.
Câu 17.

đường cao hạ từ đỉnh B của ABC là
A.

x  2 y 1

.
4
1

B.

x 1 y  6

.

1
1

C.

x2 y
 .
4
1

D.

x 1 y  6

.
1
1


Câu 18.

Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC biết A  2;0  , B  2; 3  , C  1;1 . Phương trình chính tắc của
đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của ABC là

Câu 19.

Câu 20.

A.

x2 y
 .
1
2

B.

x2 y
 .
1
2

C.

x 1 1  y
x 1 1  y

.

.
D.
2
5
2
5
2  x y 1

Trong mặt phẳng Oxy , hệ số góc của đường thẳng    :
là
3

2
A.

2
.
3

B.

3
.
2

C.

D.

2
.
3

�x  1  3t
, t ��. dưới dạng phương trình chính tắc
Trong mặt phẳng Oxy , phương trình �
�y  4  2t
A.

Câu 21.

3

.
2

x 1 y  4

.
3
2

B.

x 1 y  4

.
3
2

C.

x 1 y  4
x 1 y  4

. D.

.
3
2
3
2

VẬN DỤNG THẤP
Trong mặt phẳng Oxy , Tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M  1; 4  qua đường thẳng

 d :

x2 y2

là
2
1

Câu 22.

A. M '  0; 3 .
B. M '  2; 2  .
C. M '  4; 4  .
D. M '  3; 0  .
Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng  song song với đường thẳng d : 3 x  2 y  12  0 và cắt

Câu 23.

Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AB  13 có phương trình là
x2 y3
x2 y
x2 y
x2 y

 .
 .


A.
.
B.
C.
D.
.
2
3
2
3
4
6
4
6
Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 2 x  y  4  0 . Phương trình chính tắc d ' đối xứng
với d qua A  3; 2  là
x 8 y  4
x 8 y  4


A.
.
B.
.
2
1
1
2

Câu 24.

C.

x8 y 4

.
2
1

D.

x8 y 4

.
1
2

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 4 x  3 y  7  0 . Phương trình chính tắc của đường
.
thẳng qua M  1; 2  và tạo với d một góc 45�

x 1

1
x 1

C.
7

x 1 x  2

x 1 x  2


hoặc
.
1
7
7
1
x 1 x  2
x 1 x  2


D.
hoặc
.
1
7
7
1
�x  4t
, t ��. Phương trình chính tắc của
Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : �
�y  1  3t
A.

Câu 25.

x2
x 1


hoặc
7
1
x2
x 1

hoặc
1
7

x2
.
7
x2
.
1

B.

đường thẳng  song song với đường thẳng d và cách điểm M  2; 1 một khoảng bằng 3 là.
x3

4
x3

C.
4
A.

y 1
x3 y 4

.
hoặc
3
4
3
y 1
x3 y4

.
hoặc
3
4
3

x3

4
x3

D.
4
B.

y 1
x 3 y  4

.

hoặc
3
4
3
y 1
x3 y4

.
hoặc
3
4
3


Câu 26.

Trong mặt phẳng Oxy , phương trình chính tắc của đường thẳng song song với (d ) : 3 x  4 y  0
và cách (d ) một khoảng bằng 1 là:
x 1 y  2
x  3 y 1
x  3 y 1


.

A.
hoặc
B.
4
3

4
3
4
3
x 1 x  2
x 1 x  2


C.
.
D.
.
1
7
7
1
Hướng dẫn giải
Chọn C
d '/ / d � (d ') : 3 x  4 y  c  0  c �0 
Gọi O(0;0) �d . Ta có d (d ; d ')  d (O; d ')  1 �

Câu 27.

Câu 28.

Câu 29.

c

 1 � c  �5

25
Trong mặt phẳng Oxy , cho (d1 ) : x  2 y  1  0;( d 2 ) : 2 x  y  1  0 . Phương trình chính tắc của
đường phân giác của (d1 ), ( d 2 ) qua O(0;0) là:
x
y
x y
x y
x
y
 .
.
A.
B.  .
C.  .
D. 
1 3
1 3
1 2
1 2
Hướng dẫn giải
ChọnB
Phương trình hai đường phân giác:
x  3y  2  0
x  2 y  1 2x  y 1
�

��
3x  y  0
5
5

�
Vì phân giác đi qua O nên chọn PT 3 x  y  0 .
Trong mặt phẳng Oxy , cho (d1 ) : x  2 y  0;(d 2 ) : y  2 x . Phương trình chính tắc của đường
3 9
thẳng qua M ( ; ) cắt (d1 ), (d 2 ) lần lượt tại A và B mà M là trung điểm AB là:
2 4
x2 y4
x 3 y 9
x2 y4
x2 y4

.

.

.

.
A.
B.
C.
D.
2
7
2
7
2
7
2
7

Hướng dẫn giải
Chọn A
a
Gọi A(a; ); B(b; 2b) là hai điểm lần lượt trên (d1 ), (d 2 ) .
2
a b  3
�
a 1
�
1
�
� A(1; ); B (2; 4)
M trung điểm AB � �a
9��
b2
2
 2b 
�
�
�2
2
Trong mặt phẳng Oxy , cho (1 ) : 5 x  3 y  3  0;( 2 ) : 5 x  3 y  7  0 . Phương trình của tập
hợp các điểm cách đều (1 ), ( 2 ) là:
x 1 y 1
x 1 y 1
x 1 y 1

.

.


.
A.
B.
C.
3
5
5
3
3
5
Hướng dẫn giải
Chọn C
Phương trình của tập hợp các điểm cách đều (1 ), ( 2 ) là:
5x  3 y  3
25  9



5x  3 y  7
25  9

� 5x  3 y  2  0

D.

x 1 y 1

.
5

3


Câu 30. Trong mặt phẳng Oxy , cho (d ) : 3 x  2 y  6  0 . Phương trình chính tắc của đường thẳng ()
song song với (d ) và cắt Ox; Oy lần lượt tại A , B sao cho AB  13 là:
x
y 3
x2 y
x2 y
x2 y

.
 .
 .
 .
A.
B.
C.
D.
2
3
2
3
2
3
3
2
Hướng dẫn giải
Chọn C
r

() : 3 x  2 y  c  0  c �12  �    có VTCP là u  (2;3) .
c � � c �
Suy ra A �
; B�
0; �
� ;0 �
�3 � � 2 �
AB  13 �

c  6 (loai)
�
c2 c2
  13 � �
c  6 (nhan)
9 4
�

� A(2;0); B(0; 3)
VẬN DỤNG CAO
Câu 31.

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  2;3 , và hai đường trung tuyến
2 x  y  1  0; x  y  4  0 . Phương trình chính tắc của đường thẳng chứa cạnh AB là:
x2 y 3
x2 y 3
x2 y 3
x2 y 3





A.
B.
C.
D.
2
1
2
1
2
1
1
2
Hướng dẫn giải.
ChọnB
Hai đường trung tuyến này đều không qua A .
Đặt: ( BM ) : 2 x  y  1  0;(CN ) : x  y  4  0 .
�x  2 y  3 �
;
Gọi B  x; y  , N là trung điểm của AB nên N �
�.
2 �
�2
2x  y  1  0
�
�B �BM
�x  2
�
� �x  2 y  3
��

� B  2;5 
Và �

40
�N �CN
�y  5
�
�2
2
uuu
r
AB  (4; 2)
uuu
r
AB qua A  2;3 và có VTCP là AB  (4; 2)

Câu 32.

Trong mặt phẳng Oxy , cho (d1 ) : 2 x  y  5  0;(d 2 ) : x  y  3  0 . Phương trình đường thẳng
uuur
uur
qua I  2;0  cắt (d1 ), (d 2 ) lần lượt tại A và B mà AB  2 IB là
A.

x2 y

2
3

B.

x y 3
x2 y


C.
2
3
3
2
Hướng dẫn giải.

D.

x y 3

2
3

Chọn B
Gọi A(a; 2a  5); B(b;3  b) là hai điểm lần lượt trên (d1 ), (d 2 )
uuu
r
uur
b  a  2(b  2)
a  b  4
a  4
�
�
�

AB  2 IB �  �
��
��
� A(4; 3); B(0;3)
3  b  (2a  5)  2(3  b)
2a  b  8
b0
�
�
�
Câu 33.

Trong mặt phẳng Oxy , phương trình đường thẳng qua Q  2;3 cắt Ox; Oy lần lượt tại M và N
khác O sao cho OM  ON nhỏ nhất là:
x2
y 3
x2 y 3


A.
.
B.
.
2 6 3 6
3
2


C.

x2
y 3

.
2  6 3  6

x2
y 3

.
2 6 3 6
Hướng dẫn giải.
D.

Chọn C
Gọi M (m;0); N (0; n) là hai điểm lần lượt trên Ox; Oy .
x y
Phương trình đường thẳng cần tìm là:   1 (m, n  0) .
m n
2 3
3m
Qua Q  2;3 �   1 � n 
m n
m2
3m
6
 m 2
 5 �2 6  5
Áp dụng BĐT Cô – si: OM  ON  m 
m2

m2
6
Dấu “=” xảy ra khi m  2 
m2
Chọn m  2  6 � n  3  6 � M (2  6;0); N (0;3  6)
Câu 34.

cho tam giác ABC có C  4;3 , và trung tuyến
( AM ) : 4 x  13 y  10  0; phân giác ( AD) : x  2 y  5  0. Phương trình đường thẳng AB là:

Trong

A.

mặt

phẳng

x9 y  2

7
1

Oxy ,

B.

x2 y 9
x9 y  2



C.
7
1
7
1
Hướng dẫn giải.

D.

x2 y 9

1
7

Chọn C
4 x  13 y  10  0
�
� A  9; 2 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình : �
�x  2 y  5  0
Gọi N là điểm đối xứng với C qua AD suy ra N (2; 1) .
uuur
Phương trình đường AB qua A  9; 2  và nhận VTCP là AN  (7;1)
Câu 35.

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có M  2;0  là trung điểm cạnh AB . Đường trung
tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt là 7 x  2 y  3  0;6 x  y  4  0. Phương trình của
đường thẳng ABC là:
x 1 y  2

x 1 y  2
x 1 y  2
x 1 y  2




A.
B.
C.
D.
4
3
4
3
3
4
4
3
Hướng dẫn giải.
Chọn D
7x  2 y  3  0
�
� A  1; 2 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình : �
6 x  y  4  0.
�
B đối xứng với A qua M suy ra B (3; 2) .
Đường thẳng BC qua B (3; 2) và vuông góc với đường cao đỉnh A : 6 x  y  4  0
PT ( BC ) : x  6 y  9  0

7x  2 y  3  0
�
� 3�
� N�
0;  �
Tọa độ N là trung điểm của BC thỏa hệ �
� 2�
�x  6 y  9  0
uuur
uuuu
r
AC  2 MN  (4; 3)
uuur
AC qua A  1; 2  và có VTCP là AC  (4; 3)


Câu 36. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình các đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng
3
x 1 y  2
y
x2
d2 :

và
là:
4
d1 :

4
2

4
2

Câu 37.

A. 8 y  13  0 hoặc 4 x  1  0 .
B. 8 y  13  0 hoặc 4 x  1  0 .
C. 4 x  8 y  13  0 hoặc 8 x  4 y  1  0 .
D. 4 x  8 y  13  0 hoặc 8 x  4 y  1  0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
PTTQ: d1 : 2 x  4 y  7  0 d 2 : x  2 y  3  0
Phương trình hai đường phân giác của góc giữa d1 và d 2 là:
2x  4 y  7
x  2y 3
�
� 8 y  13  0 hoặc 4 x  1  0 .
4  16
1 4
Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng d : 2 x  y  4  0 qua A  3; 2  cắt trục Ox tại M và cắt
uuuu
r
uuur
trục Oy tại N thỏa MN  3MA . Phương trình chính tắc của đường thẳng d .
9
9
x y6
x y6
x
x

y

6


2
2  y.
A.
.
B. 9
.
C. 9
.
D.
6
6
9
9
6
6
2
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn B
M  d �Ox � M  a;0 
N  d �Oy � N  0; b 

Câu 38.

� 9
x y6
uuuu
r
uuur
a
�d: 
�
�9 �
, N  0; 6 
9
Ta có MN  3MA � � 2 � M � ;0 �
6
2 �
�
�
b


6
2
�
x
�5 �
Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M � ;0 �và hai đường thẳng có phương trình d1 : y  ;
2
�2 �
d 2 : y  2 x. Phương trình chính tắc của đường thằng d qua M và cắt hai đường thẳng trên tại
A, B sao cho M là trung điểm của AB .

5
5
5
5
x
x
x
x
y
y
y
2
2
2
2 y .
A.
.
B.
.
C.
.
D.
5
10
5
10
25
10
25 10





6
3
6
3
6
3
6
3
Hướng dẫn giải
Chọn C
 qua M và song song d1 AI �  : y 

x 5
� 5 5�
 . Gọi N   �d 2 � N � ;  �
2 4
� 6 3�

Gọi I  d1 �d 2 � I  0;0 
5
� 5 10 �
2 y .
 ;  �� d :
N là trung điểm BI � B �
25
10
�3 3 �



6
3
x


Câu 39.

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A  1;0  , phương trình 2 đường cao lần lượt
là BH : x  2 y  5  0 và CK : 3 x  4 y  7  0 . Phương trình chính tắc của đường thẳng BC.
x 3 y  4

.
4
A. 22

5
5

x 3 y  4
x 3 y 4

.

.
4
B. 22
C.
11

2
5
5
Hướng dẫn giải.

D.

x3 y 4

.
11
2

Chọn D

Câu 40.

� 7 16 �
; C  3; 4 
Tìm được AB : 4 x  3 y  4  0 ; AC : 2 x  y  2  0 Suy ra B � ; �
�5 5 �
x3 y 4

.
PTCT BC :
11
2
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A  3; 7  , B  9; 5  , C  5;9  . Phương trình
chính tắc đường phân giác trong lớn nhất của tam giác ABC .
x 3

y7
x3
y7


A.
.
B.
.
3 2  3 1 2 2
3 2  3 1 2 2
x 3
y 7
x3
y 7


C.
.
D.
.
3 2  3 1 2 2
3 2  3 1  2 2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có AB 2  40; AC 2  320; BC 2  392 � góc A lớn nhất.
Phương trình AB : x  3 y  24  0; AC : 2 x  y  1  0
Đường phân giác trong của góc A là



 



2 x  y  1 x  3 y  24

5
10

� 2 2  1 x  3 2  3 y  2  24  0 �

x3
y7

3 2  3 1 2 2