PHƯƠNG TRÌNH một số ví dụ về hệ PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI HAI ẩn (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

§5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

 DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI .
1. Phương pháp giải.
Sử dụng phương pháp thế
 Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
 Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
 Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
�y + x2 = 4x
a) �
�
�
2x + y - 5 = 0
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

�

3x- 4y + 1= 0
b) �
�
�
xy = 3(x + y) - 9
�
A.1 nghiệm

Lời giải:
�
5- 2x + x2 = 4x
�
a) Hệ phương trình tương đương �
�
�y = 5- 2x
� �
x=1
2
�
�
�x = 1
�
x= 5
� �
x - 6x + 5 = 0 �
�
�
�
��
�� �

�
x
=
5
hoặc
�
�
�
�
�
�
�
�y = 5- 2x
�
�y = 3
�y =- 5
�
y
=
� 5- 2x
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là ( 1;3) và ( 5;- 5) .
� 4y - 1
�
x=
�
�
3
�
b) Hệ phương trình tương đương �
�

4y - 1
4y - 1
�
y = 3(
+ y)- 9
�
�
3
� 3

116 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


4y - 1
�
�
x=
�
� 11
�x = 3
�
�
4y - 1
3
�
�
�
�
x=
x=

�
�
�
�
��
��
� � 3 hoặc �
y=3
3
� 5
�
�
�
�
�
y=
2
�
�
�
�
�
y= 3
4y - 22y + 30 = 0 �
�
�
�
5
2
�

�
�
y=
�
�
�
� 2
�
�
11 �
;3�
�và
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là �
�
�
�
�3 �

� 5�
�
3; �
�.
�
�
�
� 2�

Nhận xét: Từ cách giải của hệ phương trình trên ta thấy rằng nếu một hệ phương trình hai
ẩn mà có một phương trình bậc nhất hai ẩn(hoặc có thể biểu diễn ẩn này qua ẩn kia) thì ta
dùng phương pháp thế.

Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
�
x3 = xy + 2
a) �
�
�
�2x- y = 3
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

�
x(x + y + 1)- 3 = 0
�
�
b) �
5
�
(x + y)2 - 2 + 1= 0

�
�
x
�
A.1 nghiệm

Lời giải:
�
x3 = x( 2x- 3) + 2
�
a) Hệ phương trình tương đương với �
�
� y = 2x- 3
�
�x = 1
( x- 1) ( x2 - x + 2) = 0 � �
��
�
�
�
�
y = 2x- 3
�
�y =- 1
�
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là ( 1;- 1) .
b) ĐKXĐ: x�0
�
3
�

x+ y = - 1
�
�
x
�
Hệ phương trình tương đương với �
2
�
�
3 �
5
�
�
- 1�
- 2 + 1= 0
�
�
�
�
�
� x
x �
�
�

117 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


� 3
�

3
�
�
y = - x- 1
�
3
�
x
+
y
=
1
�
�
�
y
=
x
1
�
�
x
� x
��
�� x
��
�
�
x=1
�

�
�
9 6
5
2
�
�
�
�
+
1
+
1
=
0
x
3
x
+
2
=
0
�
�
�
�
2
2
�
�

�x = 2
x
x
�x
�
�
x= 2
�
�
�
x=1
�
�
��
và �
3 (thỏa mãn)
�
�
y =�y = 1
�
�
2
� 3�
�
2;- �
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là ( 1;1) và �
.
�
�
�

� 2�
3. Bài tập luyện tập.
Bài 3.54: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
�
2x + y = 5
a) �
� 2
�
4x + y2 = 17
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

�
x3y = 16
�
b) �
�
3x + y = 8
�
A.1 nghiệm
�
x3 - 8x = y3 + 2y
�
c) � 2
�
x - 3 = 3(y2 +1)
�
A.1 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.54: a) Ta có y = 5- 2x thế vào phương trình hai ta được:
�
x = 2� y = 1
�
4x + (5- 2x) = 17 � 2x - 5x + 2 = 0 � � 1
.
�
x= � y= 4
�
� 2
2

2

2

1
Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2;1),( ;4) .
2
b) Ta có y = 8- 3x thay vào phương trình đầu ta được:
x3(8- 3x) = 16 � 3x4 - 8x3 +16 = 0 � (x- 2)2(3x2 + 4x + 4) = 0

118 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


� x = 2 . Vậy hệ có nghiệm là x = y = 2 .

c) Từ phương trình 2 � x2 = 3(y2 + 2) (3) thay vào phương trình 1 ta được :
�
x=0
�
x2
2
x - 8x = y(y + 2) = y � x(3x - xy- 24) = 0 � � 3x2 - 24
�
3
y=
�
x
�
3

2

* Với x = 0 thay vào (3) ta có: y2 + 2 = 0 vô nghiệm.
2
�
�
3x2 - 24
3x2 - 24�
2
�
�
* Với y =
thay vào (3) ta được: x = 3�
�+ 6
�
�
x
� x �
�

�
�
x = �3 � y = �1
x2 = 9
�
�
.
4
2
�

� 13x - 213x + 864 = 0 � �
96 � �
96
78
2
�
x =
x=�
� y=m
�
�
13
13
� 13 �
Vậy hệ có bốn nghiệm: (x; y) = (�3;�1), (�

96
78
;m
).
14
13

�
x+ y = m
Bài 3.55: Tìm m để hệ phương trình: �
có nghiệm.
� 2
�
2x - 3y2 = 1

�
A. m �

1
6

B. m �

1

C. m <

6

1
6

D. m >

1
6

Lời giải:
Bài 3.55: Ta có x = m- y thay vào phương trình hai ta được: 2(m- y)2 - 3y2 = 1
� y2 + 4my + 1- 2m2 = 0 (*) . Hệ có nghiệm � (*) có nghiệm
�D=--�۳
' 4m2 (1 2m2 )

Vậy m �

1
6

0

m

1
6

.

là những giái trị cần tìm.

 DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG .
1. Phương pháp giải.
a) Hệ đối xứng loại 1
Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:
�f (x, y) = 0
(I) �
với f ( x; y) = f ( y; x) và g( x; y) = g( y; x) .
�
�
�g(x, y) = 0

119 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
Cách giải

 Đặt S = x + y, P = xy.
 Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P.
 Giải hệ (I') ta tìm được S và P.
 Tìm nghiệm ( x; y) bằng cách giải phương trình: X 2 - SX + P = 0 .
b) Hệ đối xứng loại 2
�f (x, y) = 0 (1)
Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: (II) �
�
�
�f (y, x) = 0 (2)
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
�f (x, y)- f (y, x) = 0 (3)
 Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II)  �
�
�
�f (x, y) = 0
�
x= y
 Biến đổi (3) về phương trình tích: (3)  (x- y).g(x, y) = 0  �
.
�
g(x, y) = 0
�
�
f (x, y) = 0
�
�
�
�
�

�
x= y
�
�
 Như vậy (II)  �
.
�f (x, y) = 0
�
�
�
�
�
�
�g(x, y) = 0
�
 Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II).
c) Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là một
nghiệm của nó.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
�
x + xy + y = 2+ 3 2
�
a) � 2
�
x + y2 = 6
�
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

�
x2y + xy2 = 30
�
b) � 3
.
�
x + y3 = 35
�
A.1 nghiệm

Lời giải:
a) Đặt S = x + y ; P = xy , ta có hệ:
�
�
S2 + 2S = 10+ 6 2 �
(S +1)2 = (3+ 2)2
S + P = 2+ 3 2 �
�

�
�
�
�2
�
�
�
�
�
S - 2P = 6
S + P = 2+ 3 2
P = 2+ 3 2 - S
�
�
�
�
�

120 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


�
�
S = 2+ 2
�
�
�
�
�
S = 2+ 2

S =- 4- 2
�
�
�
�
��
��
hoặc
�
�
S
=4
2
�
�
�
�
�
P =2 2
P = 6+ 4 2
�
�
�
�
�
�
P
=
2
+

3
2
S
�
�
 Với S= 2+ 2 ; P = 2 2 ta có x, y là nghiệm phương trình:
�
X =2
X 2 - (2+ 2)X + 2 2 = 0 � �
�
X= 2
�
 Với S =- 4- 2 ; P = 6+ 4 2 ta có x, y là nghiệm phương trình:
X 2 + (4+ 2)X + 6+ 4 2 = 0 ( vô nghiệm).
Vậy hệ có nghiệm ( x; y) là (2; 2) và ( 2;2) .
b) Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 �4P . Hệ phương trình trở thành:
� 30
�
P=
�
�
SP
=
30
�
�
S= 5 �
x+ y = 5 �
x= 2 �
x= 3

S
�
��
��
��
��
��
.
� 2
��
�
�
�
�
�
�
�
90�
P =6 �
xy = 6
y=3 �
y= 2
S(S - 3P) = 35 �
2
�
�
�
�
�
�

�
�
S�
S = 35
�
�
�
�
S�
�
��
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
�
x3 + 2x = y
�
a) � 3
�
�y + 2y = x
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

�y2 = x3 - 3x2 + 2x
b) �
�2
�
x = y3 - 3y2 + 2y
�
A.1 nghiệm

�
x2 + 2
�
3
x
=
�
�
y2
�
c) �
�
y2 + 2
�

�
3
y
=
�
�
x2
A.1 nghiệm

Lời giải:
a) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

121 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


x3 - y3 + 3x- 3y = 0 � (x- y)(x2 + y2 + xy + 3) = 0 � x = y
2
�
�
� y�
3y2
�
�
�
�
x
+
y
+
xy

+
3
=
x
+
�+
+
3
> 0)
(Vì
�
�
�
�
�
�
2� 4
�
�
�
�
2

2

Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x3 + x = 0 � x = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) = ( 0;0) .
b) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:
y2 - x2 = x3 - y3 - 3(x2 - y2 ) + 2(x- y)
� (x- y)(x2 + xy + y2 - 2x- 2y + 2) = 0

1
� (x- y) �
x2 + y2 + (x + y - 2)2 �
= 0� x= y
�
�
2
(vì x2 + y2 + (x + y - 2)2 > 0)
Thay x = y vào phương trình đầu ta được:
x3 - 4x2 + 2x = 0 � x(x2 - 4x + 2) = 0
�
�
x=0
x=0
�
��
�
2
�
�
x - 4x + 2 = 0 �
x = 2� 2
�
Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0;0);(2+ 2;2+ 2) và (2-

2;2-

2) .

c) ĐKXĐ: x �0 và y �0

�
x> 0
Nhận xét từ hệ phương trình ta có phương trình có nghiệm ( x; y) thì �
.
�
�
�y > 0
�
x2 + 2
�
3
x
=
�
�
�
3xy2 = x2 + 2 (1)
y2
�
�
�
Ta có �
� 2
�
3yx = y2 + 2 (2)
y2 + 2 �
�
�
�
3

y
=
�
�
x2
Trừ (1) và (2) ta được: (x- y)(3xy + x + y) = 0 � x = y (vì 3xy + x + y > 0 )
Với x = y :(1) � 3x3 - x2 - 2 = 0 � (x- 1)(3x2 + 2x + 2) = 0 � x = 1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = ( 1;1) .

122 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


�
x2 + xy + y2 = m+ 6
�
Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình �
có nghiệm duy nhất.
�
2x + xy + 2y = m
�
A. m= 12

B. m= 21

C. m= 1

D. m= 2

Lời giải:
Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y0) thế thì ( y0 ; x0 ) cũng là một nghiệm của hệ. Vậy hệ

�
3x02 = m+ 6
�
� 3x02 = x02 + 4x0 + 6
có nghiệm suy nhất thì x0 = y0 suy ra � 2
�
x0 + 4x0 = m
�
�
x =- 1� m=- 3
� 2x02 - 4x0 - 6 = 0 � �0
�x = 3� m= 21
�0
�
x2 + xy + y2 = 3
�
+ Với m=- 3 hệ trở thành �
�
2(x + y) + xy =- 3
�
�
�
S = x+ y 2
S2 - P = 3
�
�
, S �4P hệ phương trình trở thành �
Đặt �
�
�

2S + P =- 3
�P = xy
�
�S = 0
�
2
�
�
�S = 0
�
�
S =- 2
�
S
+
2S
=
0
�
�
��
��
�
S
=2
hoặc
�
� �
�
�

�
�
�
�
P =- 3
P =- 2S- 3 �
�
�
�P = 1
�
�
P
=2S
3
�
�X = 3
�
S= 0
�
x + y =- 2
2
�
�
�
x
,
y
Khi �
ta có �
suy ra

là nghiệm của phương trình X - 3 = 0 � �
�
�
P =- 3
xy = 1
X =- 3
�
�
�
�
Do đó hệ có nghiệm là

(

3;-

)

3

(

và -

)

3; 3

Suy ra m=- 3 thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất..
�

x2 + xy + y2 = 27 �
(x + y)2 - xy = 27
��
+ Với m= 21 hệ trở thành �
�
�
�
2x + xy + 2y = 21 �
2(x + y) + xy = 21
�
�
�
�
S = x+ y 2
S2 - P = 27
�
,
S
�
4
P
Đặt �
hệ
phương
trình
trở
thành
�
�
�

�
2S + P = 21
�P = xy
�
� �S = 6
2
�
�
�
�
S= 6
�
S =- 8
�
S
+
2
S
48
=
0
�
�
�
��
�
�
S
=8
hoặc

(loại)
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
P =9
P = 37
� P =- 2S + 21
�
�
�
�
P =- 2S + 21
�
123 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


�
�S = 6
x+ y = 6
Khi �
ta có �
suy ra x, y là nghiệm của phương trình X 2 - 6X + 9 = 0 � X = 3
�
�

�
�
P
=
9
xy
=
9
�
�
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) = ( 3;3)
Vậy với m= 21 thì hệ có nghiệm duy nhất..
Ví dụ 4: Cho ( x; y)

�
x + y = 2m- 1
là nghiệm của hệ phương trình �
. Tìm m để xy nhỏ
�2
2
2
�
x
+
y
=
2
m
+
2

m
3
�

nhất.
A. m=- 1

B. m=

3
2

3
2

C. m=-

D. m= 1

Lời giải:
Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 �4P.
S = 2m- 1
�
Hệ phương trình trở thành �
�2
�
S - 2P = 2m2 + 2m- 3
�
�
�

S = 2m- 1
S = 2m- 1
�
��
�
�
�
2
�
(2m- 1)2 - 2P = 2m2 + 2m- 3 �
�
�P = m - 3m+ 2
1)2 4( m2
Điều kiện S2 �4P suy ra (2m-�-+۳۳

3m 2)

8m 7

m

7
(*)
8

2

� 3�
1
1

Ta có P = xy = m - 3m+ 2 = �
m- �
�- ��
�
�
4
� 2� 4
2

Dấu bằng xảy ra � m=
Vậy m=

3
(thỏa mãn (*))
2

3
thì xy đạt giá trị nhỏ nhất.
2

3. Bài tập luyện tập.
Bài 3.56: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
�
x + y + 2xy = 2
a) �
�3
�
x + y3 = 8
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

124 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


�
x3 + y3 = 19
�
b) �
�
( x + y) ( 8+ xy) = 2
�
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

�
x + y + 3xy = 5
c) �
� 2
�
2x + 2y2 - 3xy = 1
�
A.1 nghiệm

�
x + y + xy =- 2
d) �
� 2
2
�
� x +y = 4
A.1 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.56: a) Đặt S = x + y, P = xy . Khi đó hệ trở thành:
� 2- S
�

P=
�
S + 2P = 2
�
2
�
�
��
� 2
�
6- 3S
S(S - 3P ) = 8 �
�
�
S(S2 )=8
�
�
2
�
� 2S3 + 3S2 - 6S- 16 = 0 � (S- 2)(2S2 + 7S + 8) = 0
� S = 2 � P = 0 � x, y là nghiệm PT: X 2 - 2X = 0 � X = 0, X = 2 .

�
�
x=0
x=2
��
Vậy nghiệm của hệ là: �
.
�

�
�
�
�y = 0
�y = 2
b) Đặt S = x + y; P = xy . Khi đó hệ trở thành:
SP =- 8S
SP = 2- 8S
�
�
S(S2 - 3P ) = 19 �
�
��
��
�
�3
�3
�
�
S(8+ P ) = 2
S - 3(2- 8S) = 19 �
S + 24S- 25 = 0
�
�
�
�
S=1
� x, y là nghiệm của phương trình :
��
�

�
P =- 6
�
X 2 - X - 6 = 0 � X 1 = 3; X 2 =- 2 .
Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: (x; y) = (- 2;3), (3;- 2).

125 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


c) (x; y) = (1;1)

d)

(-

(

2;0) , ( 0;- 2) , -

) (

2; 2 ,

2;-

)

2

Bài 3.57: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

�
x2 = 3x + 2y
�
a) � 2
�
�y = 3y + 2x
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.5 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

�3
�
= 2x + y
�
�
x2
�
b) �
3
�
�
= 2y + x
�
2
�
�y
A.1 nghiệm

�
x3 = 2x- y
�
c) � 3
�
�y = 2y - x
A.1 nghiệm

�3
�

= x2 + 2y2
�
�
x
d) �
�
3
�
�
= 2x2 + y2
�
�
�y
A.1 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.57: a) Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta được:
�
x= y
x2 - y2 = x- y � (x- y)(x + y- 1) = 0 � �
.
�
x = 1- y
�
* Với x = y � x2 = 3x � x = 0, x = 3
�
y =- 1� x = 2
* Với x = 1- y � y2 = 3y + 2(1- y) � y2 - y- 2= 0 � �
.
�

y = 2 � x =- 1
�

126 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Vậy nghiệm của hệ: (x; y) = (0;0), (3;3), (- 1;2), (2;- 1) .
b) Điều kiện : x, y �0
�
2x3 + x2y = 3
�
�
� 2(x2 - y3 ) + xy(x- y) = 0
Hệ
� 3
2
�
2y + y x = 3
�
� (x- y)(2x2 + 3xy + 2y2 ) = 0 � x = y
3
7
(Do 2x2 + 3xy + 2y2 = 2(x + y)2 + y2 > 0 )
4
8
3x3 = 3 � x = 1= y .

Thay vào hệ ta được:

Vậy hệ có nghiệm: x = y = 1.

(

c) ( - 1;- 1) , ( 0;0) , ( 1;1) , -

) (

3; 3 ,

3;-

)

3

d) ( 1;1)

�
x = y2 - y + m
Bài 3.58: Tìm m để các hệ phương trình �
có nghiệm duy nhất.
�
2
�
�y = x - x + m
A. m=- 1

B. m=- 2

C. m= 1

D. m= 2

Lời giải:
Bài 3.58: � Giả sử hệ có nghiệm (x0 ; y0 ) thì (y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có
nghiệm duy nhất thì trước hết x0 = y0 .
Thay vào hệ ta được: x02 - 2x0 + m= 0 phương trình này có nghiệm duy nhất
� D ' = 1- m= 0 � m= 1.
�
x = y2 - y + 1
� Với m= 1 hệ trở thành: �
� x2 + y2 - 2x- 2y + 2 = 0
�
2
�
�y = x - x + 1
� (x- 1)2 + (y - 1)2 = 0 � x = y = 1.Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ
Vậy m= 1 là giá trị cần tìm.

127 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


 DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI .
1. Phương pháp giải.
�
a1x2 + b1xy + c1y2 = d1
�
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng: (I) � 2
.
�

a2x + b2xy + c2y2 = d2
�
 Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
 Khi x  0, đặt y = tx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x . Khử x ta tìm được phương
trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được ( x; y) .
2. Các ví dụ minh họa.
�x2 + 6y2 - 5xy = 0 (1)
Ví dụ 1:Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau: �
� 2
�
4x + 2xy + 6x = 27 (2)
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Lời giải:
Nếu x= 0 thay vào ( 1) � y = 0 , thay vào (2) thấy ( x; y) = ( 0;0) là nghiệm của phương trình (2)
nên không phải là nghiệm của hệ phương trình.
�
x2 + 6t2y2 - 5tx2 = 0
Nếu x�0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được �
� 2
�
4x + 2tx2 + 6x = 27
�

�x2(1+ 6t2 - 5t) = 0
� 6t2 - 5t + 1= 0 (*)
�
�� 2
��
� 2
2
�
�
4
x
+
2
tx
+
6
x
=
27
4x + 2tx2 + 6x = 27 (**)
�
�

(*) � t =

Với t =

1
1
hoặc t =

2
3

1
thay vào (**) ta được 4x2 + x2 + 6x = 27 � 5x2 + 6x- 27 = 0
2

�
3
�
x =- 3� y =�
2
��
9
� 9
�x = � y =
� 5
10
Với t =

1
2
thay vào (**) ta được 4x2 + x2 + 6x = 27 � 14x2 + 18x- 81= 0
3
3

128 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


(

)

(

)

(

)

�
9 1+ 15
3 1+ 15
�
�
x =� y =�
14
14
��
�
9 15- 1
3 15 - 1
�
x
=
�
y
=
�

�
14
14

(

)

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là

(

)

(

�
�
9(
�
)�
�
�
�
,�
�

� 9 1+ 15
3 1+ 15
�

�
��
3�
9 9�
�
�
�
�
�
3;
,
;
,
;
�
�
�
�
�
��
�
�
2�
5 10�
14
14
�
��
�
�

�
�
�
�
�
�
��

) (

)

�
15- 1 3 15 - 1 �
�
�
;
�
.
�
14
14
�
�
�

�
x2 - xy + y2 = 1
�

Ví dụ 2:Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau � 2
�
2x - 3xy + 4y2 = 3
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Lời giải:
Dễ thấy x= 0 không thoả hệ
�
x2(t2 - t + 1) = 1(*)
�
Với x�0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được � 2 2
�
x (2t - 3t + 4) = 3
�
Suy ra 3(t2 - t + 1) = 2t2 - 3t + 4 � t = �1
Thay vào (*) thì
�x = 1� y = 1
2
Với t = 1 , ta có x = 1� �
�
x =- 1� y =- 1
�
�

3
�
x=
� y =�
1
2
3
�
x
=
�
Với t =- 1 ta có
3 �
3
�
x =� y=
�
3
�

3
3
3
3

�1 � ;
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là �
�
�3

��
1�
- 1 1�
�
�
�
,
; �
, ( - 1;- 1) và ( 1;1)
�
�
�
�
�
�
3�� 3 3�

�
x2 + 2xy + y2 = 11
�
Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hệ: � 2
có nghiệm
�
x + 2xy + 3y2 = 17 + m
�
A. m�- 6

B. m�- 6

C. m<- 6

D. m�6

129 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Lời giải:
Dễ thấy x= 0 không thoả hệ
Với x�0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được
�
x2 ( 3+ 2k + k2 ) = 11 ( *)
�
�
�2
�
x 1+ 2k + 3k2 ) = 17+ m
�
� (

( 17+ m) ( 1+ 2k+ k2) = 11( 1+ 2k+ 3k2) .

Suy ra

� ( m- 16) k2 + 2( m+ 6) k+ m+ 6 = 0 ( **)
2

Ta có: 3+ 2k + k2 = ( k+ 1) + 2> 0, " k � ( *) luôn có nghiệm x với mọi k do đó hệ ban đầu có
nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm ẩn k .
Với m= 16 : Phương trình (**) trở thành 44k+ 88 = 0 � k =- 2. Vậy m= 16 thỏa mãn.
Với m�16 :

2

Phương trình (**) có nghiệm � D 'k �0

�+--+��+�۳( m 6) ( m 16) ( m 6)

0

22( m 6)

0

m

6

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m�- 6 .
3. Bài tập luyện tập.
�
3x2 + 5xy - 4y2 = 38
�
Bài 3.59: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau: � 2
2
�
�5x - 9xy - 3y = 15
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.59: Ta thấy x=0 không thoả hệ phương trình
�
3x2 + 5tx2 - 4t2x2 = 38
Xét x�0 . Đặt x = ky và thay vào hệ ta được: �
� 2
2
2 2
�
�5x - 9tx - 3t x = 15 (*)
�
x2(3+ 5t - 4t2 ) = 38
��
� 15( 3+ 5t - 4t2 ) = 38( 5- 9t - 3t2)
�2
2
�
�x (5- 9t - 3t ) = 15
�
1
�t =
�
3
� 54t2 + 417t - 145 = 0 � �
145
�
t =�

�
18

130 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Với t =

�x = 3 � y = 1
1
2
thì (*) � x = 9 � �
�
x =- 3� y =- 1
3
�

Với t =-

145
15.108
thì (*) � x2 =: Phương trình vô nghiệm
18
12655

�
x= 3
hay
Vậy �
�

�
�y = 1

�
x =- 3
�
.
�
�
�y =- 1

�3x2 + 2xy + y2 = 11
Bài 3.60: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau : �
�2
�
x + 2xy + 3y2 = 17
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.60: Dễ thấy x= 0 không thoả hệ
�
x2(3+ 2k+ k2 ) = 11(*)
Với x�0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được �

�2
2
�
�x (1+ 2k + 3k ) = 17
2
2
Suy ra 17( 3+ 2k + k ) = 11( 1+ 2k+ 3k )

�
5
�
k =2
�
4
� 16k - 12k- 40 = 0 � �
�
�k = 2
Thay vào (*) ta được:





�
4
�x =
� y =�
5
33 2
16

3
2
��
� x = 11� x =
k= �
4
4
16
3
�
x =� y =�
3
�
�x = 1� y = 2
k = 2 � 11x2 = 11� x2 = 1� �
�
x =- 1� y =- 2
�

5 4
5
.
=4 3
3
5
4
5
.()=
4
3

3

� 4 5�
�4
5�
�
�
�
�
; �
;
;
;( 1;2) ;( - 1;- 2)
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là �
�
�
�
�
�
��
� 3 3�
�3
�
3�

�
x2 - 4xy + y2 = m
�
Bài 3.61: Cho hệ phương trình : � 2
�

�y - 3xy = 4

131 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


a) Tìm số nghiệm của hệ phương trình với m= 1
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

C. " m

D. m=�

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
A. m= 2

B. m= ( 0;7)

Lời giải:
Bài 3.61: Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt.
Đặt x = ty , ta có :
�
�y2(t2 - 4t +1) = m
t2y2 - 4ty2 + y2 = m
�

Hệ  � 2
�

�2
2
�
�
y
3
ty
=
4
�
�y (1- 3t) = 4
2
Do y �0 nên từ y ( 1- 3t) = 4 � 1- 3t > 0 � t <

�t2 - 4t + 1 m
�
=
�
� 1- 3t
4 (I)
�
2
�
�
�y (1- 3t) = 4

1

3

�t2 - 4t + 1 1
�
=
�
a) Với m= 1 ta có hệ phương trình � 1- 3t
4
�
2
�
�
�y (1- 3t) = 4
Ta có nghiệm là ( 1 ;4) , ( - 1 ;- 4) .
�
4(t2 - 4t +1) = m(1- 3t)
�
b) Ta có : (I)  � 2
�
�y (1- 3t) = 4
�
4t2 - (16- 3m)t + 4- m= 0 (*)
�
 �2
�
�y (1- 3t) = 4
2
Đặt f ( t) = 4t - ( 16- 3m) t + 4- m thì

Hệ có nghiệm  (*) có nghiệm thoả mãn t <

1
� Đồ thị hàm số f ( t) = 4t2 - ( 16- 3m) t + 4- m
3

�
1�
�
�; �
�
với t ��
�cắt trục hoành � " m
�
3�
�
 DẠNG TOÁN 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
.
1. Phương pháp giải.

132 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


 Đưa về phương trình tích: Việc phân tích thành tích có thể có ngay từ một phương trình
trong hệ hoặc qua phép biến đổi đại số(phép thế, cộng đại số) ta thu về được phương
trình tích.
 Đặt ẩn phụ: Điều quan trọng là ta cần phát hiện ra ẩn phụ. Thường chúng ta cần biến
đổi đại số(cộng trừ nhân, chia với mộ số, biểu thức) thì mới xuất hiện ẩn phụ.
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Hệ phương trình có thể đưa về phương trình tích
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

�
4x2 + 1= y2 - 4x
�
a) � 2
2
�
�x + xy + y = 1
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

� 2xy + 3x + 4y =- 6
b) �
�2

�
x + 4y2 + 4x + 12y = 3
�
A.1 nghiệm

�
5xy
�
x+ 2
= 2( y + 1)
�
2
c) �
� x +y
�
2
�
�
�( x- 1) = y( 3- 5y)
A.1 nghiệm

Lời giải:
� ( x + 2) ( 2y + 3) = 0
a) Hệ phương trình tương đương với �
�2
�
x + 4y2 + 4x + 12y = 3
�
�
�

x+ 2= 0
2y + 3 = 0
�
��
(1)
hoặc
(2)
�2
�2
2
�
�
x + 4y + 4x + 12y = 3
x + 4y2 + 4x + 12y = 3
�
�
�
x =- 2
� x =- 2
��
Ta có ( 1) � �
(Vô nghiệm)
�2
�2
2
�
x - y + 2x- 4y = 5 �
�
�y + 4y + 5 = 0

133 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


�
�
3
3
�
�
x =�
�
�
y =y =�
�
�
��
��
( 2) � �
2
2
�
�
2
�x2 - y2 + 2x- 4y = 5 �
�
4x + 8x- 5 = 0 �
y =�
�
�
�

�

�
5
1
�
x=
�
�
2
2
hoặc �
�
3
3
�
y =�
�
2
2
�

� 5 3�
�
1 3�
- ;- �
;- �
�và �
�
Vậy hệ phương trình có nghiệm là �

.
�
�
�
� �
�
2 2�
� 2 2�
�
2
�
2
�y = �( 2x + 1)
�( 2x +1) = y
��
b) Hệ phương trình tương đương với � 2
�2
2
�
�
x + xy + y2 = 1
x
+
xy
+
y
=
1
�
�

�

�
y = 2x + 1
� y = 2x + 1
�
�
�
Xét hệ �2
�
2
2
�
x + xy + y2 = 1 �
x
+
x
2
x
+
1
+
2
x
+
1
=1
(
)
(

)
�
�
�
��
x=0
��
�
�
y = 2x + 1 ��y = 1
�
��
�
�
�
�
y = 2x + 1
�x = 0
�
�
�
5
�� 2
� ��
��
�
x =�
�
�
��

7
x
+
5
x
=
0
5
�
�
7
�
�
�
�
x =�
��
�
�
3
7
��
�
�
y =�
�
�
7
�
�

�
y =- 2x- 1
y =- 2x- 1
�
�
�
�
Xét hệ � 2
�2
2
2
�
x + xy + y = 1 �
x - x( 2x + 1) +( 2x + 1) = 1
�
�
�
�
�x = 0
�
�y =- 2x- 1 �
�
�
�
�
�
y
=2
x
1

�
�y =- 1
�
��
��
x= 0 � �
� 2
��
�
�
3x + 3x = 0 �
x =- 1
�
�
��
�
�
�
x
=1
�
�
�
�
�
�
�y = 1
�
� 5 3�
�

- ;- �
, 0;- 1) và ( - 1;1) .
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là ( 0;1) ,�
�
�
� 7 7�(
�
c) ĐKXĐ: x �0 và y �0
Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương đương với
x+

5xy
5xy
= 2( y + 1) � x- 2y + 2
- 2= 0
2
x +y
x + y2
2

� x- 2y +

( x- 2y) ( y- 2x)
5xy - 2x2 - 2y2
= 0 � x- 2y +
=0
2
2
x +y
x2 + y2

134 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


�
x = 2y
� ( x- 2y) ( x2 + y2 - 2x + y) = 0 � �2
2
�
x + y - 2x + y = 0
�
Suy ra hệ phương trình tương đương với
�
�
x = 2y
x2 + y2 - 2x + y = 0
�
�
�
(3) hoặc �
(4)
�
2
2
�
�
x
1
=
y

3
5
y
(�x- 1) = y( 3- 5y)
(
)
(
)
�
�
�
� x = 2y
�
�
x
=
2
y
�
x
=
2
y
�
�
�
�
�
Ta có ( 3) � �
�

�
2
7� 13
2
�
9y - 7y + 1= 0 �
y=
( 2y- 1) = y( 3- 5y) �
�
�
�
�
�
18
�
� 7 + 13
� 7- 13
�
�
x
=
x=
�
�
�
�
9
9
�
�

��
hoặc �
(thõa mãn)
�
�
7 + 13
7- 13
�
�
�
�
y=
�y = 18
�
�
18
�
�x2 - 2x =- y2 - y
2
2
� x2 - 2x =- y2 - y
�
�
x
2
x
=y
y
�
�

��
�
( 4) � �
� 2
�
1
2
�
�
�
1
y
y
=
y
3
5
y
(
) �4y - 4y +1= 0 �
y=
�
�
2
�
�2
� 1
� 3
3
�

�
x - 2x + = 0 �
x=
x=
�
�
�
�
� 2
� 2
4
��
��
hoặc �
(thỏa mãn)
�
�
�
1
1
1
�
�
�
y=
y=
y=
�
�
�

�
�
�
2
� 2
�
� 2
�
�
�
�
7+ 13 7+ 13�
7- 13 7- 13�
1 1�
�
�
�
�
�
�
�
�
;
,
;
,
;
�
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là �
và

�
�
�
�
�
�
�
�
18 �
��
18 �
��
2 2�
�
�
� 9
� 9
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
� x2 + 3 = xy
a) �
�2
2
�
�y + 5x = 4xy + 3
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

�
x3 + 2y3 + 2y2 = 2xy( x + 1)
�
�
b) �
�
3xy = 2( x2 - y)
�
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

135 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

�
3 1�
�
; �
�
�
�
�
2 2�

�


�
�
�
1 �
�
�
�
2
y =2
�
�
�
�
�
� 2x + y�
�
�
�
c) �
�
�
�
1 �
�
�
�
�

2
+
x=2
�
�
�
�
� 2x + y�
�
�
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:
�
xy - x2 = 3
�
a) Hệ phương trình tương đương với � 2
�
y + 5x2 = 4xy +( xy - x2 )
�
�
� xy - x2 = 3
� xy - x2 = 3

�
��
�
� 2
�
2
�
6x - 5xy + y = 0 �
( 2x- y) ( 3x- y) = 0
�
�
�
�
xy - x2 = 3
xy - x2 = 3
�
��
(1) hoặc �
(2)
�
�
�
�2x- y = 0
�3x- y = 0
�x =- 3
�x2 = 3 �
x= � 3 �
�x = 3
�
��

��
Giải hệ (1): ( 1) � �
hoặc �
�
�
�
�
�
�y = 2x �
�y = 2x
�y = 2 3
�
�
�y =- 2 3
�
�
6
6
�
�
�
x
=
x =�
�
6
2
�
�
�

�
2
x
=
3
x= �
2
2
�
��
Giải hệ (2): ( 2) � �
hoặc �
�
�
�
2 ��
�y = 3x �
�
�
3 6
3 6
�
�
�
�
�
�y =
�
y =� y = 3x
�

�
�
�
2
2
Vậy hệ phương trình có nghiệm là

(

) (

3;2 3 , -

� 6 3 6�
�
�
�
3;- 2 3 , �
;
�và
�
�2
2 �
�
�
�

)

� 6 3 6�

�
�
�
�
;.
�
�
�
�
2 �
�
� 2

�
x3 - 2y3 - 2x2y + 2y( y - x) = 0
�
b) Hệ phương trình tương đương với �
�
2y = 2x2 - 3xy
�
�
�
x3 - 2y3 - 2x2y +( 2x2 - 3xy) (y- x) = 0 �
x3 - 3x2y + 3xy2 - 2y3 = 0
�
��
��
2
�
�

2y = 2x2 - 3xy
2
y
=
2
x
3
xy
�
�
�
�
�
x- 2y) ( x2 - xy + y2 ) = 0 �
� x- 2y = 0
x2 - xy + y2 = 0
(
�
�
��
��
(3) hoặc �
(4)
2
�
�
�
2y = 2x2 - 3xy
2y = 2x2 - 3xy
2

y
=
2
x
3
xy
�
�
�
�

136 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


x = 2y
�
�
� x = 2y
� x = 2y
�
��
��
y=0
Giải hệ (3): ( 3) � �
�
� 2
��
2
2
�

�
�
�
2
y
=
8
y
6
y
2
y
2
y
=
0
�
�
�
�
�
y=1
��
�x = 0
�
x= 2
��
hoặc �
�
�

�
�
�y = 0
�y = 1
2

� y�
� 3y2
Giải hệ (4): Ta có x - xy + y = �
x - �+
�0 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0 và
�
�
� 2�
� 4
2

2

x = y = 0 thỏa mãn phương trình thứ hai của (4) do đó hệ phương trình (4) có nghiệm là
x= y = 0.
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là ( 0;0) và ( 2;1) .
�x �0
c) ĐKXĐ: �
và 2x + y �0
�
�
�y �0
Dễ thấy x= 0 hoặc y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm. Xét xy �0 ta có
�

1
�
1=
�
�
2( 2x + y)
�
Hệ phương trình tương đương với �
�
�
1
�
1+
=
�
�
2
2
x
+
y
(
)
�
�
Cộng vế với vế ta được 2 =

1
y

+

1
x

1
y

(*)

1
x

(5), trừ vế với vế ta được -

1
1
1
=
(6)
2x + y
y
x

�1
�
�1
�
2
1�

1�
�
�
�
�
�
�
=� +
�
�
Nhân hai vế của phương trình (5) và (6) ta được �
�
�
2x + y �
�
�
�
x�
x�
�y
�
�y
�
�-

2
1 1
= - � - 2xy = ( x- y) ( 2x + y)
2x + y y x

�
y =- x
� 2x2 + xy - y2 = 0 � ( x + y) ( 2x- y) = 0 � �
�
y = 2x
�
Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có y = 2x thỏa mãn, thay vào (*) ta được
�
�x = 2 + 2
�
1
1
4
1=
� 8x- 4 2. x - 1= 0 � �
�
8x
2x
�x = 2 - 2 (VN )
�
4
�

137 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


� x=

3+ 2 2
3+ 2 2

(thỏa mãn)
� y=
8
4

�
3+ 2 2 3+ 2 2�
�
�
�
;
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) = �
.
�
�
�
�
8
4
�
�
�
Nhận xét: Đây là loại hệ phương trình có thể biến đổi đưa về phương trình đẳng cấp(cùng
bậc) từ đó dễ dàng phân tích thành nhân tử.
Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
�
x2 - 2y2 + xy + 3x + 2 = 0
a) �
�
�

x2 + y2 = x + y
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

� x2 + y2 + xy = 3
b) �
�2
�
x + 2xy + 9 = 7x + 5y
�
A.1 nghiệm

Lời giải:
�
(x- y + 1)(x + 2y + 2) = 0
a) Hệ phương trình tương đương với �
�
�

x2 + y2 = x + y
�
�x- y + 1= 0
�
�
�
� x- y + 1= 0
�x + 2y + 2 = 0
�
�
�
��
�
x
+
2
y
+
2
=
0
(1)
hoặc
(2)
��
�
�2
2
2
2

�
�
�
�
x
+
y
=
x
+
y
x
+
y
=
x
+
y
�
�
�
�
x2 + y2 = x + y
�
�
y = x +1
�y = x + 1 �
x= 0
�
��

��
Giải hệ (1): ( 1) � � 2
� 2
�
2
�
�
x +( x + 1) = x + x + 1 �
�
�2x = 0
�y = 1
�
�
x =- 2y- 2
� x =- 2y - 2
�
�
�
Giải hệ (2): ( 2) � �
(vô nghiệm)
�
2
�
5y2 + 9y + 6 = 0
(�- 2y- 2) + y2 =- 2y- 2+ y �
�
�
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = ( 0;1)
b) Cộng hai phương trình của hệ ta có
2x2 + y2 + 3xy - 7x- 5y + 6 = 0 � ( y + 2x- 3) ( y + x- 2) = 0

138 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


�
y + 2x- 3 = 0 �
y = 3- 2x
��
��
�
�
�y = 2- x
y + x- 2 = 0
�
�
�
�
x2 + xy + y2 = 3
x2 + xy + y2 = 3
�
�
Suy ra hệ phương trình tương đương với �
(3) hoặc �
(4)
�
�
� y = 3- 2x
� y = 2- x
2
�2

�
3x2 - 9x + 6 = 0
x + x( 3- 2x) +( 3- 2x) = 3 �
�
��
Giải hệ (3): ( 3) � �
�
�
y
=
3
2
x
�
� y = 3- 2x
�

� �
x=1
�
�
�
x=1
�
x= 2
�
�
�
�
�� �

�
x
=
2
hoặc
�
�
�
�
�y = 1
�
�
�y =- 1
�
�
y
=
� 3- 2x
2
�2
x=1
x2 - 2x + 1= 0 �
x + x( 2- x) +( 2- x) = 3 �
�
�
4
�
�
��
Giải hệ (4): ( ) �

�
�
�
�
�
y = 2- x
�
�y = 1
� y = 2- x
�

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là ( 1;1) và ( 2;- 1)
Nhận xét:
+ Để phân tích phương trình một phương trình bậc hai hai ẩn thành tích ta xem một ẩn, ẩn
còn lại là tham số từ đó dựa vào ứng dụng của định lí Viét để phân tích.(xem lại phần ứng
dụng định lí Viét)
+ Đối với hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn mà trong mỗi phương trình không thể phân tích
được thành tích(như ở câu b) ta là như sau: ta tìm số thực a sao cho
x2 + 2xy- 7x- 5y + 9+ a ( x2 + xy + y2 ) = 3a
� ( 1+ a ) x2 +( 2y + a y - 7) x + a y2 - 5y + 9- 3a = 0 có thể phân tích thành nhân tử. Điều này có
được khi D x = ( 2y + a y- 7) - 4( 1+ a ) ( a y2 - 5y + 9- 3a ) = ( 4- 3a 2 ) y2 +( 6a - 8) y +12a 2 - 24a +13 là
2

số chính phương hay D 'y = ( 3a - 4) - ( 4- 3a 2) ( 12a 2 - 24a + 13) = 36a 4 - 72a 3 + 72a - 36 = 0
2

� a = 1 hoặc a =- 1. Từ đó ta có lời giải như trên(ngoài ra ta cũng có thể trừ vế với vế).

Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
�1 y 2 x

�
+2
� + =
y
a) �
�x x
�
�
�
2y2 - 2y + 1= 3xy
�
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

139 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


�
x
�
2+ 6y + x- 2y =
�
�
y
b) �

�
2
�
�
�x( 1- 8y) = x + 2y
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải:
a) Điều kiện xác định: x > 0, y �0 .
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
y 2 x
+ =
+ 2 � y x + y2 = 2x x + 2xy � y2 + y( x - 2x)- 2x x = 0
y
x x

1

Xem đây là phương trình bậc hai theo biến y, ta có
D x = ( x - 2x)2 + 8x x = x + 4x x + 4x2 = ( x + 2x)2 > 0 .
Do đó, phương trình này có hai nghiệm là
y=

(2x-

x) - ( x + 2x)
=2

x và y =

(2x-

x) + ( x + 2x)
= 2x
2

�y =- x
�y = 2x
Suy ra hệ phương trình tương đương với �
(3) hoặc �
(4)
� 2
� 2
�
�
2
y
2
y
+
1
=
3
xy

2
y
2
y
+
1
=
3
xy
�
�
�
�y =- x
�
2
Ta có ( 3) � �
(vô nghiệm vì y2 +( y- 1) > 0, - 3x x < 0 )
�2
2
�
�
�y +( y- 1) =- 3x x
�
�y = 2x
�y = 2x
�y = 2x
�
�
�
�� 2

� � 2� 2
( 4) � �
2
�
�
2x - 4x + 1= 0 �
2
2
x
2
2
x
+
1
=
3
x
2
x
(
)
(
)
(
)
x=
�
�
�
�

�
2
�
� 2+ 2
� 2- 2
�
�
x=
x=
�
�
�
��
hoặc � �
(thỏa mãn điều kiện)
�
2
2
�
�
�
�
�
�
�y = 2+ 2
�y = 2- 2
�
�
2+ 2
�

�
�
;2
+
2
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) là �
và
�
�
�
�
�
� 2
�

�
2- 2
�
�
;2�
�
� 2

�
�
2�
.
�
�
�

�

140 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất