TÍCH vô HƯỚNG hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c . Ta có :
a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A
b2 = c2 + a2 - 2ca.cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
Hệ quả:
b2 + c2 - a2
cos A =
2bc
2
c + a2 - b2
Hình 2.6
cos B =
2ca
a2 + b2 - c2
cosC =
2ab
2. Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c và R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có :
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với ma , mb , mc lần lượt là các
trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có :
2(b2 + c2 )- a2

2
ma =
4
2
2(a + c2 )- b2
mb2 =
4
2
2(a + b2 )- c2
mc2 =
4
4. Diện tích tam giác
Với tam giác ABC ta kí hiệu ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng
với các cạnh BC, CA, AB; R, r
a+ b+ c
lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p =
là
2
nửa chu vi tam giác; S là diện tích tam giác. Khi đó ta có:
1
1
1
S = aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1
= bcsin A = casin B = absin C

2
2
2
abc
=
4R
pr
=


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
=

p(p- a)(p- b)(p- c)

(công thức Hê–rông)

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1: Xác định các yếu tố trong tam giác.
1. Phương pháp.
 Sử dụng định lí côsin và định lí sin
 Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của
các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác.
2. Các ví dụ.
3
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cos A = .
5
Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A.
A. BC = 2 , ha =

29
29

C. BC = 29 , ha =

16 29
29

B. BC = 29 , ha =

6 29
29

D. BC = 29 , ha =

3 29
29

Lời giải
Áp dụng định lí côsin ta có
3
BC 2 = AB2 + AC 2 - 2AB.AC.cos A = 42 + 52 - 2.4.5. = 29
5
Suy ra BC = 29
Vì sin2 A + cos2 A = 1 nên sin A = 1- cos2 A = 1-

9
4
=
25 5

1
1
4
Theo công thức tính diện tích ta có SABC = AB.AC.sin A = .4.5. = 8 (1)
2
2
5
1
1
. a = . 29.ha (2)
Mặt khác SABC = ah
2
2
Từ (1) và (2) suy ra

1
16 29
. 29.ha = 8 � ha =
2
29


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là ha =

16 29
29

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết
� = 300 , B
� = 450 . Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A
A
A. ma = 22,547

B. ma = 27,54

C. ma = 19,57

D. ma = 23,547

Lời giải
� = 1800 - A
�- B
� = 1800 - 300 - 450 = 1050
Ta có C
Theo định lí sin ta có a= 2R sin A = 2.3.sin300 = 3,
b= 2R sin B = 2.3.sin450 = 6.

2
=3 2
2

c = 2R sin C = 2.3.sin1050 �5,796
Theo công thức đường trung tuyến ta có
2
a

m =

2( b2 + c2 ) - a2
4

�

2( 18+ 5,7962 ) - 9
4

= 23,547

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có
1
bcsin A 3 2.5,796sin300
SABC = pr = bcsin A � r =
�
�0,943
2
2p
3+ 3 2 + 5,796
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Biết
� = 5 13 .
AB = 3, BC = 8, cos AMB
26
Tính độ dài cạnh AC và góc lớn nhất của tam giác ABC .
Lời giải
hình 2.7)
BC = 8 � BM = 4 . Đặt AM = x

Theo định lí côsin ta có

Hình 2.7


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
� =
cos AMB

Suy ra

AM 2 + BM 2 - AB2
2AM .AB

5 13 x2 + 16- 9
=
26
2.4.x

�
x = 13
�
�
� 13x - 20 13x + 91= 0 � � 7 13
x=
�
�
13
2

Theo công thức tính đường trung tuyến ta có

2

AM =

2( AB2 + AC 2) - BC 2
2AB.AC

TH1: Nếu x = 13 � 13 =

2( 32 + AC 2 ) - 82
4

� AC = 7 .

Ta có BC > AC > AB � góc A lớn nhất. Theo định lí côsin ta có
cos A =

AB2 + AC 2 - BC 2 9+ 49- 64
1
=
=2AB.AC
2.3.7
7

Suy ra A �98012'
2( 32 + AC 2) - 82
7
13
49
397

TH2: Nếu x =
�
=
� AC =
13
13
4
13
Ta có BC > AC > AB � góc A lớn nhất. Theo định lí côsin ta có
397
- 64
AB + AC - BC
13
cos A =
=
=2AB.AC
397
2.3.
13
2

2

2

9+

53
5161

Suy ra A �137032'
Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD = 1 . Giả sử E là trung điểm AB và
� = 1.
thỏa mãn sin BDE
3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Tính độ dài cạnh AB.
A.

B.

2

C. 2 2

5

D.

3

Lời giải:
(hình 2.8)
Đặt AB = 2x ( x > 0) � AE = EB = x .
� > 0 suy ra
�
Vì góc BDE
nhọn nên cos BDE

� = 1- sin2 BDE
� =
cos BDE

2 2
3

Hình 2.8

Theo định lí Pitago ta có:
DE2 = AD 2 + AE2 = 1+ x2 � DE = 1+ x2
BD 2 = DC 2 + BC 2 = 4x2 + 1� BD = 4x2 + 1
Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDE ta có
� =
cos BDE

DE2 + DB2 - EB2
2 2
4x2 + 2
�
=
2DE.DB
3
2 ( 1+ x2) ( 4x2 + 1)

� 4x4 - 4x2 + 1= 0 � 2x2 = 1� x =
Vậy độ dài cạnh AB là

2
(Do x> 0)

2

2

3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.56: Cho tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3,
�
cạnh AB= 9 và ACB=
600 . Tính cạnh BC.

(

)

A. BC = 1+ 6

(

(

)

(

)

B. BC = 2 1+ 6

)

C. BC = 3 2+ 6

D. BC = 3 1+ 6
Lời giải:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Bài 2.56: Đặt BC = x ( x > 0) . MN = 3 � AC = 6 .
Theo định lí côsin ta có AB2 = CA 2 + CB2 - 2.CA .CB.cosC
1
Hay 81= 36+ x2 - 2.6.x. � x = 3 1+ 6
2

(

)

Bài 2.57: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB= 1. Trên tia đối của AC lấy
� = 300 . Tính AC.
điểm D sao cho CD = AB . Giả sử CBD
A. AC = 3 2

B. AC = 3-

3

2

C. AC = 1+ 3 2

D. AC = 2+ 3 2

Lời giải:
Bài 2.57: Đặt AC = x ( x > 0)
2

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD ta có BD 2 = 1+( 1+ x) - 2( 1+ x) .
Áp dụng định lí sin trong tam giác BCD ta có BD =

1
� =2
sin BCD
0
x
sin30

Suy ra ta được phương trình
x4 + 2x3 - 2x- 4= 0 � ( x + 2) ( x3 - 2) = 0 � x = 3 2
Vậy AC = 3 2
Bài 2.58. Cho a= x2 + x + 1; b= 2x + 1; c = x2 - 1. Giả sử a, b, c là ba cạnh của
một tam giác. Chứng minh rằng tam giác đó có một góc bằng 1200
Lời giải:
Bài 2.58: cos A =

b2 + c2 - a2
1- x2
1
=
=� A = 1200
2

2bc
2
2( x - 1)

Bài 2.59: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = 8 .
a) Tính diện tích tam giác ABC
A. S= 5 3

B. S= 6 3

C. S= 4 3

D. S= 3 3

1
x


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
A. R =

3
3
, r=
3
4

B. R =

7 3
4 3
, r=
3
3

C. R =

8 3
2 3
, r=
3
3

D. R =

7 3
2 3
, r=
3
3

C. ha =

5 6
2

c) Tính đường đường cao kẻ từ đỉnh A.
A. ha =

6
2

B. ha =-

3 6
2

D. ha =

3 6
2

Lời giải:
Bài 2.59: a) Áp dụng công thức Hê - rông ta có S = p(p- a)(p- b)(p- c) = 6 3
b) Áp dụng công thức tính diện tích S =

c) ha =

abc
7 3
2 3
và S = pr suy ra R =
, r=
4R
3
3

2S 12 6 3 6
=

=
a
8
2

Bài 2.60: Cho tam giác ABC thỏa mãn

a
3

=

b
2

=

2c
6-

2

.

a) Tính các góc của tam giác.
A. B= 1200 , A = 450 , C = 150

B. C = 1200 , B= 450 , A = 150

C. A = 1200 , C = 450 , B= 150

D. A = 1200 , B= 450 , C = 150

b) Cho a= 2 3 . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
A.2

B.3

C.4

D.5

Lời giải:
Bài 2.60: HD: a) Đặt

a

= t > 0 � a= 3t, b= 2t, c = 6 - 2 t
3
2

Áp dụng định lí côsin ta có


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

(

)
)

2
2
2
b2 + c2 - a2 2t + 2- 3 t - 3t
1
cosA=
=
=- � A = 1200
2
2bc
2
2 3- 1 t

(

(

)

2
2
2
a2 + c2 - b2 3t + 2- 3 t - 2t
2
cosB=
=
=
� B = 450 , C = 150
2

2ac
2
2 3- 3 t

(

)

b) Áp dụng định lí sin, ta có: R =

a
2 3
=
= 2.
2sin A 2sin1200

� = 600 , a= 10, r = 5 3 .
Bài 2.61: Cho tam giác ABC có A
3
a) Tính R
A. R =

3
3

B. R =

4 3
3

C. R =

8 3
3

D. R =

10 3
3

b) Tính b, c
A. b= c = 10

B. b= c = 7

C. b= c = 9

D. b= c = 8

Lời giải:
Bài 2.61: (hình 2.22)
a) 2R =

a
20 3
10 3
=
�R=
sin A
3

3

b) Gọi M, N, P lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA và AB với
đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Ta có
Hình 2.22

AP = AN - r.cot300 = 5, BP + NC = BM + MC = a= 10
� ( b- AN ) +( c- AP) = 10 � b+ c = 20 (1).

Theo định lí côsin ta có a = b + c - 2bccos60 � bc =
2

2

2

0

( b+ c)

2

3

- a2

= 100 (2)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Từ (1) và (2) suy ra b, c là nghiệm của phương trình x2 - 20x + 100 = 0 � x = 10
Vậy b= c = 10 � D ABC đều.
� = 600 .
Bài 2.62: Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = 4 và A
a) Tính chu vi của tam giác
A. P = 22,72

B. P = 20,72

C. P = 22

D. P = 21,72

B. tan C =- 5

C. tan C = 5 3

D. tan C =- 5 3

b) Tính tanC
A. tan C =-

3

c) Lấy điểm D trên tia đối của tia AB sao cho AD = 6 và điểm E trên tia AC
sao cho AE = x . Tìm x để BE là tiếp tuyến của đường tròn (C) ngoại tiếp tam
giác ADE
A. x= 5+ 85

B. x=- 5+ 85

C. x= 3+ 85

D. x = 5+ 5

Lời giải:
Bài 2.62: a) Theo định lí côsin ta có
BC 2 = 102 + 42 - 2.10.4cos600 = 76
޻ BC 8,72
Suy ra chu vi tam giác là 2p�10+ 4+ 8,72 = 22,72
b) (Hình 51a.)
Kẻ đường cao BH ta có
AH = ABcos600 = 5� HC = 5- 4 = 1.
BH = AB.sin600 = 5 3
� =- HB =- 5 3
Vậy tan C =- tan BCH
HC

Hình 2.23a

c) (Hình 51b.)

Hình 2.23b.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
2
Để BE là tiếp tuyến đường tròn (C) ta phải có BE = BA.BD = 10( 10+ 6) = 160.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABE ta có

BE2 = x2 + 100- 10x � x2 - 10x- 60 = 0 � x = 5+ 85 .
Bài 2.63. Cho tam giác ABC cân có cạnh bên bằng b và nội tiếp đường tròn
(O;R).
a) Tính côsin của các góc tam giác.
A. cos A =

b2 - R2
b2
,
cos
B
=
cos
C
=
1
2R2
R2

B. cos A =

b2 - 2R2
b2
,
cos B = cosC = 2R2
4R2

b2 - R2
b2
C. cos A =

,
cos
B
=
cos
C
=
1
R2
4R2
D. cos A =

b2 - 2R2
b2
,
cos
B
=
cos
C
=
1
2R2
4R2

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
A. r =

B. r =

C. r =

(

b2 R2 - b2

2R 2R + R2 - b2
b2 R2 - b2

(

2R R + R2 - b2

(

)

)

b2 4R2 - b2

R 2R + 4R2 - b2

)

S
b2 4R2 - b2
r
=
=

D.
p 2R 2R + 4R2 - b2

(

)

c) Với giá trị nào của b thì tam giác có diện tích lớn nhất ?


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
A. b= 4R 3

B. b= R 3

C. b= 3R 3

D. b= 2R 3

Lời giải:
Bài 2.63: (hình 2.24)
� =C
� = a � a < 900
a) Giả sử tam giác cân tại đỉnh A. Đặt B
Ta có sin a =

b
b2
� cos B = cosC = cosa = 12R
4R2

AB2 + AC 2 - BC 2 b2 - 2R2
cos A =
=
2AB.AC
2R2
3
2
2
b) S = 1 BC.AH = 1 .2bcosa .bsin a = b 4R - b
2
2
4R2
2

Hình 2.24

2

Chu vi tam giác là 2p = 2b+ 2b 4R - b
2R

S
b2 4R2 - b2
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r = p =
2R 2R + 4R2 - b2

(

)

c) Ta phải tìm b để y = b3 4R2 - b2 đạt GTLN
Áp dụng BĐT Cauchy cho bốn số ta có
4
�b2 b2 b2
�
2
2 �
�
+ + +( 4R - b ) �
�
�
�
b2 b2 b2
�
2
2
3
3 3
�
�
y= 3 3
. . .( 4R - b ) �3 3 �
= 3 3R4 Dấu bằng
�
�
�
3 3 3
4
�

�
�
�
�
�
�
�

xảy ra khi và chỉ khi

b2
= 4R2 - b2 � b= R 3 .
3

 DẠNG 2: Giải tam giác.
1. Phương pháp.
 Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số
điều kiện cho trước.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
 Trong các bài toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố
như sau : biết một cạnh và hai
góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh.
Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin ; định lí tổng
ba góc trong một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc
lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc
lớn hơn.
2. Các ví dụ.
� = 870 .

Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết b= 32; c = 45 và A
� �360 , B=
� 570
A. a�53,8 , C

� �400 , C
� = 530
B. a�53,8 , B

� �360 , C
� = 570
C. a�52,8 , B

� �360 , C
� = 570
D. a�53,8 , B
Lời giải:

Theo định lí côsin ta có
a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A = 322 + 42 - 2.32.4.sin870
Suy ra a�53,8
Theo định lí sin ta có
bsin A
= sin B =
a

32sin870
53,8

�

B

360

� = 1800 - A
�- B
� �1800 - 870 - 360 = 570
Suy ra C
� = 600 , B
� = 400 và c= 14.
Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết A
� = 800 , a�12,5 , b�9,1
A. C

� = 800 , a�12,3 , b�9,8
B. C

� = 800 , a�11,3 , b�9,1
C. C

� = 800 , a�12,3 , b�9,1
D. C
Lời giải:

� = 1800 - A
�- B
� = 1800 - 600 - 400 = 800
Ta có C
Theo định lí sin ta có

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

=

a=

csin A
sin C

14.sin600
sin800

a 12,3

=

b=

csin B
sin C

14.sin400
sin800

b 9,1

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết a= 2 3, b= 2 2, c = 6 -

2 . Tính góc lớn

nhất của tam giác.
� 1200
A. B=

� = 1100
B. A

� = 1000
C. A

� = 1200
D. A

Lời giải:
��� do đó góc A là lớn nhất.
Theo giải thiết ta có c < b< a suy ra C
Theo định lí côsin ta có
2

cos A =

2

2

8+

(

6-

b +c - a
=
2bc
2.2 2.

(

)

2

2 - 122
6-

)

2

=

4- 4 3
8 3- 8

=-

1

2

� = 1200
Suy ra A
Vậy góc lớn nhất là góc A có số đo là 1200 .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.64: Giải tam giác ABC biết
a) a= 2, b= 3, c = 4 .
� �28057' , C
� �46034' , A
� �104029' B. C
� �28057' , B
� �46034' , A
� �104029'
A. A
� �280 , B
� �460 , C
� �1060
� �28057' ,
C. A
D. A
� �46034' , C
� �104029'
B

� = 1100 .
b) a= 12; c = 8,2 và A


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

� �39057' , B
� �3303' , b�6,6
� �39057' , B
� �3303' , b�6,96
A. C
B. C
� �39057' , B
� �3303' , b�6,9
� �39057' ,
C. C
D. C
� �3303' , b�6,6
B
Lời giải:
Bài 2.64: HD: a) Theo định lí côsin ta có
޻ =

޻

=

32 + 42 - 22
cos A =
2.3.4
cos B =

22 + 42 - 32
2.2.4

7

8

�
A

28057'

11
16

�
B

46034'

� = 1800 - A
�- B
� �104029'
C
b) Theo định lí sin ta có
csin A
= sin C =
a

8,2.sin1100
12

�
C

� �1800 - 39057' = 14003'
39057' hoặc C

� �39057'
Vì góc A tù nên góc C nhọn do đó C
� = 1800 - A
�- C
� �1800 - 1100 - 39057' = 3303'
Suy ra B
Mặt khác b=

asin B 12.sin3303'
=
�6,96
sin A
sin1100
Lời giải:

Bài 2.65: Giải tam giác ABC , biết:
a) a= 109;

� = 33024';
B

� = 66059'
C
0

0

0

0

0

0

� = 79037' b= a.sin33 24' �60; c = a.sin66 59' �101
A. A
sin79037'
sin79037'
� = 79037' b= a.sin33 24' �61; c = a.sin66 59' �101,5
B. A
sin79037'
sin79037'
� = 79037' b= a.sin33 24' �63; c = a.sin66 59' �102
C. A
sin79037'
sin79037'


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
0

0

� = 79037' b= a.sin33 24' �61; c = a.sin66 59' �102
D. A
sin79037'

sin79037'
b) a= 20;

b= 13;

� = 67023'
A
0

� �36052'; C
� �75045'; c = 20.sin75 45' �22
A. B
sin67023'
0

� �36052'; C
� �75045'; c = 20.sin75 45' �21
B. B
sin67023'
0

� �36052'; C
� �75045'; c = 20.sin75 45' �23
C. B
sin67023'
0

� �36052'; C
� �75045'; c = 20.sin75 45' �24
D. B

sin67023'
Lời giải:
� = 1800 - 33024'+ 66059' = 79037'
Bài 2.65: HD: a) A
(
)
b=

a.sin33024'
a.sin66059'
�
61;
c
=
�102
sin79037'
sin79037'

b) sin B=

13.sin67023'
�0,6
20

� A
� B
�
Vì b�=�޻>�>
a B

�
36052'; C

75045'; c

20.sin75045'
sin67023'

21

Bài 2.66: Giải tam giác ABC , biết:
a) b= 4,5;

� = 300 ;
A

� = 750
C

� 750 , a�2,32, c�4,1
A. B=

� 750 , a�2,33, c�4,5
B. B=

� 750 , a�3,33 , c�4,4
C. B=

� 750 , a�2,37 , c�5,5
D. B=

b) b= 14;

c = 10;

� = 1450
A


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
� �20029' , C
� = 14031'
� �20029' , C
� = 14031'
A. a�22,3, B
B. a�22,4, B
� �20029' , C
� = 14031'
C. a�22,2, B
D. a�22,92 ,
� �20029' , C
� = 14031'
B
c) a= 14;

b= 18;

c = 20

A. A �3105'; B �45049' , C �50047'

B. A �3005'; B �46049' , C �50047'

C. A �3205'; B �44049' , C �50047'
A �3305'; B �42049' , C �50047'
Lời giải:
� = 1800 - A
�- C
� = 1800 - 300 - 750 = 750
Bài 2.66: a) Ta có B
Theo định lí sin ta có
=

a=

bsin A
sin B

4,5.sin300
sin750

a

2,33

=

c=

bsin C

sin B

4,5.sin750
sin750

c

4,5

b) Theo định lí côsin ta có
a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A = 142 + 102 - 2.14.10.cos1450
Suy ra a�22,92
Theo định lí sin ta có
bsin A
sin B ޻�==
a

14sin1450
22,92

0,35

�
B

20029'

� = 1800 - A
�- B
� �1800 - 1450 - 20029' = 14031'

Suy ra C
c) Áp dụng định lí côsin ta có:
cos
޻ A =

11
15

A

3105'; cos B

17
35

B

45049'

D.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

޻cosC=

5
21

C

50047'

Bài 2.67: Cho D ABC ta có a= 13, b= 4 và cosC =-

5
. Tính bán kính đường
13

tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.
A. R =

15
3
, r=
8
4

C. R = 2 , r =

3
2

B. R =

65
, r =1
8

D. R =

65
3
, r=
8
2

Lời giải:
� 5�
2
2
2
2
2
�
�= 225� c = 15
Bài 2.67: c = a + b - 2abcosC = 13 + 4 - 2.13.4.�
�
�
�
� 13�
sin C =

12
c
15
65
�R=
=
=

12 8
13
2sin C
2.
13

1
1
12
a+ b+ c 13+ 4+ 15
S = absin C = .13.4. = 24 ; p =
=
= 16
2
2
13
2
2
r=

S 24 3
= =
p 16 2

 DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến
các yếu tố của tam giác, tứ giác.
1. Phương pháp giải.
 Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế
này thành vế kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương
về một đẳng thức đúng.

 Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng
thức cạnh trong tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cauchy,
bunhiacôpxki,…)
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2 A = sin B.sin C . Chứng minh rằng
a) a2 = bc


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

b) cos A �

1
2
Lời giải:

a) Áp dụng định lí sin ta có sin A =

a
b
c
, sin B =
,sin C =
2R
2R
2R

2

�a �

b c
�
Suy ra sin A = sin B.sin C � �
=
.
� a2 = bc đpcm
�
�
�
�
2R � 2R 2R
�
2

b) Áp dụng định lí côsin và câu a) ta có
b2 + c2 - a2 b2 + c2 - bc 2bc- bc 1
cos A =
=
�
= đpcm
2bc
2bc
2bc
2
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng:
a) cos

p(p- a)
A
=

2
bc

b) sin A + sin B + sin C = 4cos

A
B
C
cos cos
2
2
2
Lời giải:

(hình 2.9)
a) Trên tia đối của tia AC lấy D thỏa AD = AB = c suy ra tam giác BDA cân tại
� = 1A
�.
A và BDA
2
Áp dụng định lý hàm số Côsin cho D ABD , ta có:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
�
BD 2 = AB2 + AD 2 - 2AB.AD.cos BAD
=2c2 - 2c2.cos(1800 - A )
b2 + c2 - a2 Suy ra
)
2bc

c
4c
= (a+ b+ c)(b+ c- a) = p(p- a)
b
b
=2c2(1+ cos A ) = 2c2(1+

Hình 2.9

cp(p- a)
BD = 2
b
Gọi I là trung điểm của BD suy ra AI ^ BD .
Trong tam giác ADI vuông tại I, ta có
cos

A
� = DI = BD = p(p- a) .
= cos ADI
2
AD
2c
bc

Vậy cos

p(p- a)
A
.
=

2
bc

b) Từ định lý hàm số sin, ta có: sin A + sin B + sin C =

Theo câu a) ta có cos
cos

p(p- a)
p(p- b)
A
B
, tương tự thì cos =
và
=
2
bc
2
ca

p(p- c)
C
,
=
2
ab

kết hợp với công thức S = p( p- a) ( p- b) ( p- c) =

Suy ra 4cos

=

p
a
b
c
+
+
= (1)
2R 2R 2R R

abc
4R

p(p- a) p(p- b) p(p- c)
A
B
C
cos cos = 4
2
2
2
bc
ca
ab

4p
4pS p
p(p- a)(p- b)(p- c) =

= (2)
abc
abc R

Từ (1) và (2) suy ra sin A + sin B + sin C = 4cos

A
B
C
cos cos
2
2
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Nhận xét: Từ câu a) và hệ thức lượng giác cơ bản ta suy ra được các công

thức sin

(p- b)(p- c)
(p- b)(p- c)
p(p- a)
A
A
A
=
; tan =
; cot =
2

bc
2
p(p- a)
2
(p- b)(p- c)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng:
a) cot A =

b2 + c2 - a2
4S

b) cot A + cot B + cot C � 3
Lời giải:
1
a) Áp dụng định lí côsin và công thức S = bcsin A ta có:
2
cot A =

cos A b2 + c2 - a2 b2 + c2 - a2
đpcm
=
=
sin A
2bcsin A
4S

c2 + a2 - b2
a2 + b2 - c2
b) Theo câu a) tương tự ta có cot B =

, cot C =
4S
4S
Suy ra cot A + cot B + cot C =

b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2
+
+
4S
4S
4S
a2 + b2 + c2
=
4S
3

3

�
3p- a- b- c�
p�
� ��
�
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ( p- a) ( p- b) ( p- c) ��
�=
�
�
�
�
�

� ��
�
�
3
3�
�
�

޻

-

-Mặt khác
S=

Ta có p =
2

p( p a) ( p b) ( p c)

( a+ b+ c)
4

2

�

3( a2 + b2 + c2 )
4

S

p

p3
27

p2
3 3

a2 + b2 + c2
S
�
suy ra
4 3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Do đó

cot A + cot B + cot C �

a2 + b2 + c2
= 3
đpcm.
a2 + b2 + c2
4.
4 3

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai
trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là b2 + c2 = 5a2 .
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .
Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi tam
giác GBC vuông tại G
2

2

�
�
2 �
2 �
� GB + GC = BC � �
mb�
mc �
�+�
�= a2 (*)
�
�
�
�
�
�
3 � �
3 �
�
2

2

2

Mặt khác theo công thức đường trung tuyến ta có
mb2 =

2(a2 + c2 )- b2
2(a2 + b2 )- c2
, mc2 =
4
4

Suy ra (*) �

4 2
mb + mc2) = a2
(
9

�
2( a2 + c2) - b2 2( a2 + b2 ) - c2 �
4�
� 2
� �
+
= a � 4a2 + b2 + c2 = 9a2 � b2 + c2 = 5a2
�
9�
4

4
�
�
�
(đpcm)
Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đường chéo. Chứng
minh : AB2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 + 4EF 2
Lời giải:
(hình 2.10)
Áp dụng công thức đường trung tuyến với tam giác ABC và ADC ta có:
AC 2
(1)
AB + BC = 2BE +
2
2

2

2

Hình 2.10


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

CD 2 + DA 2 = 2DE2 +

AC 2
(2)
2

Từ (1) và (2) suy ra
AB2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = 2( BE2 + DE2 ) + AC 2
BD 2
Mặt khác EF là đường trung tuyến tam giác BDF nên BE + DE = 2EF +
2
2

2

Suy ra AB2 + BC 2 +CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 + 4EF 2
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.68: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
a) a= b.cosC + c.cos B
b) sin A = sin B cosC + sin C cos B
c) ha = 2R sin Bsin C
3
d) ma2 + mb2 + mc2 = (a2 + b2 + c2 )
4
e) SD ABC =

uuu
r uuur 2
1
AB2.AC 2 - ( AB.AC)
2
Lời giải:

Bài 2.68: a) Áp dụng định lí côsin ta có:
VP = b.

a2 + b2 - c2
c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2 + c2 + a2 - b2
+ c.
=
= a= VT b)
2ab
2ca
2a

sin A = sin B cosC + sin C cos B �

a
b
c
=
.cosC +
.cos B
2R 2R
2R

� a= b.cosC + c.cos B (câu a)
c) ha = 2R sin B sin C �

2S
b
1
= 2R
sin C � S = absin C (đúng)
a

2R
2

d) Áp dụng công thức đường trung tuyến.

2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
e)

uuu
r uuur 2
AB2.AC 2 - ( AB.AC) = AB.AC 1- cos2 A = AB.AC.sin A

Từ đó suy ra đpcm.

Bài 2.69: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) b+ c = 2a �

2
1 1
= +
ha hb hc

b) Góc A vuông � mb2 + mc2 = 5ma2
Lời giải:
Bài 2.69: a) b+ c = 2a �

b) mb2 + mc2 = 5ma2 �

2S 2S
2S
1 1
2
+ = 2. � + =
hb hc
ha
hb hc ha

2(a2 + c2 )- b2 2(a2 + b2 ) - c2
2(b2 + c2 ) - a2
+
= 5.
4
4
4

� b2 + c2 = a2 � Góc A vuông
Bài 2.70: Cho tam giác ABC thỏa mãn a4 = b4 + c4 . Chứng minh rằng
a) Tam giác ABC nhọn
b) 2sin2 A = tan B tan C
Lời giải:
Bài 2.70: a) Dễ thấy a> b, a> c � góc A là lớn nhất
Và a4 = b4 + c4 < a2.b2 + a2.c2 � a2 < b2 + c2
b2 + c2 - a2
� < 900 .
Mặt khác theo định lí côsin ta có cos A =
� cos A > 0 do đó A
2bc

Vậy tam giác ABC nhọn.
b) 2sin2 A = tan B tan C � 2sin2 A.cos B.cosC = sin Bsin C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
2

�a �
a2 + c2 - b2 a2 + b2 - c2
b c
�
�
� 2� �.
.
=
.
�
�
2R �
2ac
2ab
2R 2R
�
� a4 = b4 + c4
Bài 2.71: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng nếu cot A =
b2 =

1
( cot B + cot C) thì
2

1 2
a + c2 ) .
(
2
Lời giải:

Bài 2.71: Áp dụng cot A =

b2 + c2 - a2
4S

Bài 2.72: Gọi S là diện tích tam giác ABC . Chứng minh rằng:
a) S = 2R2 sin A sin Bsin C .
b) S = Rr(sin A + sin B+ sin C) .
Lời giải:
Bài 2.72: a) Ta có S =
b) S = pr =

abc 2R sin A.2R sin B.2R sin C
=
= 2R2 sin A sin B sin C
4R
4R

a+ b+ c
2R sin A + 2R sin B + 2R sin C
.r =
r
2

2

Bài 2.73: Cho tứ giác lồi ABCD , gọi  là góc hợp bởi hai đường chép AC và
1
BD. Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S = AC.BD.sin a .
2
Lời giải:
Bài 2.73: Gọi I là giao điểm hai đường chéo. Khi đó
S = SABI + SBCI +SCDI + SDAI
1
� + 1 BI .CI .sin BIC
� + 1CI .DI .sin CID
� + 1 DI .AI .sin DIA
� Ta có các góc
= AI .BI .sin AIB
2
2
2
2
� , BIC
� , CID
� và � đôi một bù nhau suy ra
AIB
DIA


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
� = sin BIC
� = sin CID
� = sin DIA

� = sin a
sin AIB
1
1
1
Do đó S = BI .AC.sin a + ID.AC.sin a = AC.BD.sin a
2
2
2
� = 1200 , AD là đường phân giác trong (D
Bài 2.74: Cho tam giác ABC có BAC
thuộc BC). Chứng minh rằng

1
1
1
=
+
AD AB AC
Lời giải:

Bài 2.74: Với AB = AC ta có đpcm
Với AB �AC . Ta có:

BD AB
=
DC AC

BD 2 = AB2 + AD 2 - 2AB.AD.cos60o = AB2 + AD 2 - AB.AD
CD 2 = AC 2 + AD 2 - 2AC.AD.cos60o = AC2 + AD 2 - AC.AD

AB2 BD 2
AB2 + AD 2 - AB.AD
=
=
AC 2 DC 2 AC 2 + AD 2 - AC.AD
� AB2( AC 2 + AD 2 - AC.AD) = AC 2(AB2 + AD 2 - AB.AD )

�

� (AB2 - AC 2 )AD 2 = AB.AC.AD(AB - AC)
� AB = AC
�
1
1
1
��
�
=
+
AB
.
AC
�
AD AB AC
AD =
�
AB + AC
�
Bài 2.75: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng:
a)

cos A + cos B ( b+ c- a) ( c+ a- b)
=
a+ b
2abc

2
2
2
2
2
2
b) ( c + b - a ) tan A = ( c + a - b ) tan B

Lời giải:
Bài 2.75: a) Áp dụng định lí côsin, ta có: