3 day so co gioi han vo cuc

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới han-

03. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC

P( n)
∞
lim
,
P n
Q n
Q( n)
Dạng vô định ∞ hay
với ( ) và ( ) là các hàm đa thức thì ta chia cả tử và
k
mẫu cho n với k lớn nhất.

Dạng vô định ∞ − ∞ hay

∞
.
thì ta nhân với lượng liên hợp và đưa về dạng ∞

lim  P ( n ) − Q ( n ) 

Bài 1: Tính các giới hạn sau
a.
c.

)

lim

(

n 2 + 4n − n

lim

(

n2 + n − n2 +1

b.

)

d.

lim

(

n +1 − n

)

lim

(

n 2 + 5n + 1 − n 2 − n

)

Bài 2: Tính các giới hạn sau

a.
c.

(

lim n − n 2 + 3
lim

(

3

)

lim

b.

n 3 − 2n 2 − n

)

d.

lim n − 1

(

1
n + 2 − n2 + 4
2

n +1 − n

)

Bài 3: Tính các giới hạn sau

a.
c.

lim

(

3

n − 3 n +1

lim n

(

 n + 3 1 − n3 
lim 
÷
 n2 +1 − n ÷


b.

)

n +1 − n

)

d.

lim

(

3

n 3 − 3n 2 + 1 − n 2 + 4n

)

Bài 4: Tính các giới hạn sau

a.

c.

lim

n −2
n + n +1

lim

2 n +2
n +2 +3

b.

d.

lim

n +1
n +1

lim

n2 +1
2n + 3

Bài 5: Tính các giới hạn sau
3

lim

a.
lim

c.
Trang 1 |

n3 + 1 − 1
n +1 − 2
3

b.

( 2n n ) ( 3 + n )
( n + 1) ( n + 2 )

d.

lim

lim

2n − 3 − n
3n + 1
2n n 2 + n
3n 2 + 2n + 1
Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới han-

Bài 6: Tính các giơi hạn sau
n 2 + 3 n3 + 1 + n n

lim

n n2 +1 + 3

a.
c.

lim

(

n +1 + n

b.

n 2 + 2n − 1
5n + 1

lim

)

d.

lim

(

3

n2 + n3 + n

)

Bài 7: Tính các giới hạn sau:
 1
1
1
lim 
+
+ ...... +
 1.3 3.5
( 2n − 1) ( 2n + 1)

a.
 1

1
1
lim 
+
+ ...... +

÷
 1.3 2.4
n. ( n + 2 ) ÷


b.


÷
÷


Bài 8: Tính các giới hạn sau:
1 
1
1 


lim 1 − 2 ÷1 − 2 ÷...... 1 − 2 ÷
 2  3 
 n 
a.
 1
1
1
lim 
+
+ ...... +
 1.2 2.3
n. ( n + 1)


b.


÷
÷


Bài 9: Tính các giới hạn sau:
a.
b.

lim

1 + 2 + .... + n
n 2 + 3n

lim

1 + 2 + 22 + ...... + 2n
1 + 3 + 32 + ...... + 3n

1 
1
1 


u ( n ) =  1 − 2 ÷ 1 − 2 ÷...... 1 − 2 ÷
u n
 2  3 

 n  với mọi n ≥ 2
Bài 10: Cho dãy số ( ) với

a. rút gọn un
b. tính lim un

Bài 11: a. chứng minh
un =

b.Rút gọn

1
1
1
=
−
∀n ∈ N * )
(
n n + 1 + ( n + 1) n
n
n +1

1
1
1
+
+ ... +
1 2 +2 1 2 3+3 2
n n + 1 + ( n + 1) n

c. Tính lim un

Trang 2 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới han-

u1 = 1


1
un +1 = un + 2n ( n ≥ 1)
u ( n)
Bài 12: Cho dãy số
được xác định bởi

a. Đặt vn = un +1 − un . Tính v1 + v2 + .... + vn theo n.
b. Tính un theo n.
c. Tính lim un .
u1 = 0; u2 = 1

2u = u + u ( n ≥ 1)
u ( n)
Bài 13: Cho dãy số
được xác định bởi  n + 2 n +1 n

1
un +1 = − un + 1, ∀n ≥ 1.
2
a. Chứng minh rằng
2
vn = un −
3 .Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un .
b. Đặt

LỜI GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: Tính các giới hạn sau
a.
c.

)

lim

(

n 2 + 4n − n

lim

(

n2 + n − n2 +1

b.

)

d.

lim

(

lim

n +1 − n

(

)

n 2 + 5n + 1 − n 2 − n

)

Lời giải

(



1
n + 1 − n = lim 
÷= 0

 n + 1+ n 

(

 n2 + n − n2 − 1 


n− 1
n + n − n + 1 = lim 
=
lim
÷

÷
÷
 2
÷
2
2
2
 n + n + n + 1
 n + n + n + 1

a.
lim

b.
lim

c.

)

(

 n2 + 4n − n2 


4n
1
1
n2 + 4n − n = lim 
=
lim
=
4lim
=
4.
=2
÷

÷
÷
 2
÷
2
2
4
n
+

4
n
+
n
n
+
4
n
+
n




1+ + 1
n

lim

)

2

1−

= lim
1+

lim

d.

(

Trang 3 |

)

2

1
n

1
1
+ 1+ 2
n
n

=

1
2

(

) (

)

 n2 + 5n + 1 − n2 − n 
6n + 1
÷ = lim
n + 5n + 1 − n − n = lim 
2
2
2
 n + 5n + 1 + n − n ÷
n + 5n + 1 + n2 − n


2

2

)

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

6+

= lim

1
n

5 1
1
1+ + 2 + 1−
n n
n

Chuyên đề : Giới han-

=3

Bài 2: Tính các giới hạn sau

a.
c.

(

)

lim

(

3

1

lim

lim n − n + 3

2

n2 + 2 − n2 + 4

b.

)

n3 − 2n2 − n

d.

(

lim n − 1

n+ 1− n

)

Lời giải

)

(

 n2 − n2 − 3 
1
lim n − n2 + 3 = lim 
=

−
3lim
=0
÷
÷
2
2
n
+
n
+
3
n
+
n
+
3


a.
1

lim

n2 + 2 − n2 + 4

b.

lim

(

3

= lim

n2 + 2 + n2 + 4
= −∞
−2

(


n3 − 2n2 − n  3 n3 − 2n2


)

n3 − 2n2 − n = lim

3

)

3

c.
−2n2

= lim

3

( n − 2n )
3

2

(

lim n − 1

d.

2

(

( n − 2n )
3

2

2


− n3 n3 − 2n2 + n2 ÷


− n3 n3 − 2n2 + n2

−2

= lim

− n3 n3 − 2n2 + n2

2

)

2

3


2 3
2
 1− n ÷ − 1− n + 1



=

2
3

1
n− 1
n =1
n + 1 − n = lim

= lim
2
n+ 1+ n
1
1+ + 1
n
1−

)

Bài 3: Tính các giới hạn sau

a.
c.

lim

(

3

 n + 3 1− n3 
÷
lim 
 n2 + 1 − n ÷


b.

)

n − 3 n+ 1

lim n

(

n+ 1− n

)

d.

lim

(

3

n3 − 3n2 + 1 − n2 + 4n

)

Lời giải

Trang 4 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

lim

(

3

)

n − n + 1 = lim
3

(

a.
= lim

3

Chuyên đề : Giới han-

)

2

n − 3 n + 1  3 n2 + 3 n( n + 1) + 3 ( n + 1) ÷



2
3 2 3
3
 n + n( n + 1) + ( n + 1) ÷



−1
2
3 2 3
3
 n + n( n + 1) + ( n + 1) ÷



=0

)
)(

(
(

)

(

2
3
3

3  2
3
3
2
3
n
+
1
−
n
n
−
n
1
−
n
+
1
−
n

÷ n + 1+ n
 n + 3 1− n3 


÷= lim
lim 
 n2 + 1 − n ÷
2




n2 + 1 − n n2 + 1 + n  n2 − n3 1− n3 + 3 1− n3 ÷


b.

= lim

n2 + 1+ n
 2
3
3
3
3
 n − n 1− n + 1− n


(

(

lim n − 1

)

2


÷



)

(

)

= lim

2

1
 1

1− 3 − 1 + 3  3 − 1÷
n
n


d.

(

3

n + 1+ n

)

n3 − 3n2 + 1 − n2 + 4n = lim

= lim
3

( n − 3n
3

2

(

3

1+

3

3

3

( n − 3n + 1) + ( n − 1)
3

2

2

3

2

n − 3n + 1 + ( n − 1)
3

1
+1
n

=

1
2

)

(

2

( n − 1) − ( n
+ lim
2

2

2 − 3n

= lim

0
=0
3

n3 − 3n2 + 1 − ( n − 1) + lim n − 1− n2 + 4n

3

2

2

1

= lim

( n − 3n + 1) − ( n − 1)
+ 1) + ( n − 1) n − 3n + 1 + ( n − 1)
3

=

)

3

c.
lim

(

1 1 1
+
+
n2 n4 n

n

n + 1 − n = lim

)

2

2

)

)

+ 4n

n − 1+ n2 + 4n

+ lim

−6n + 1
n − 1+ n2 + 4n

= 0 − 3 = −3

Bài 4: Tính các giới hạn sau
lim

a.
lim

c.

n−2

lim

n+ n + 1

b.

2 n+ 2
n+ 2 + 3

d.

lim

n+ 1
n+1

n2 + 1
2n + 3

Lời giải
Làm tương tự như các phần trên ta được kết quả:

Trang 5 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

lim

a.

n−2
n+ n + 1
n+ 1

lim

n+1

b.
lim

=0

=1

2 n+2
n+ 2 + 3

c.

Chuyên đề : Giới han-

=2

n2 + 1 1
lim
=
2n + 3 2 .
d.

Bài 5: Tính các giới hạn sau
3

lim

c.

lim

n + 1− 2
3

a.
lim

n3 + 1 − 1

(

2n n 3+ n

( n + 1) ( n + 2)

b.

)
d.

lim

2n − 3 − n
3n + 1

2n n2 + n
3n2 + 2n + 1

Lời giải
3

lim

n3 + 1 − 2

a.

Đặt

b)

6

lim

n3 + 1 − 1

( n + 1) = t
3

n +1
 1
= lim 1 + ÷ = 1
n
 n .

1 1
− 3
t2 − 1
0
n → +∞ ⇒ t → +∞ ⇒ lim
= lim 3
= lim t t = = 0
2
1
t −2
n3 + 1 − 2

1− 3
t
Khi
.
3

lim

b)

2n − 3 − n
3n + 1

=

2 −1
3

2n n ) ( 3 + n )
(
lim
=1

( n + 1) ( n + 2)

c)

n3 + 1 − 1

.

.

2n n 2 + n
2
=
2
3n + 2n + 1 3
d)
Bài 6: Tính các giới hạn sau
lim

Trang 6 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

lim
a.
c.

lim

(

Chuyên đề : Giới han-

n2 + 3 n3 + 1 + n n
n n2 + 1+ 3

n+ 1+ n

.

b.

).

d.

n2 + 2n − 1
5n + 1
.

lim
lim

(

3

).

n2 + n3 + n

Lời giải

n + n + 1+ n n
3

2

lim

3

= lim

n n2 + 1 + 3

1+ 3

a)

lim

n + 2n − 1
= lim
5n + 1

(

n + 1 + n = +∞

2 1
−
n n2 = 1

1
5
5+
n
.

1+

2

b)
c)
d)

lim

lim

(

)

3

)

n2 + n3 + n = +∞

1 1
1

+ 6+
3
n = 1= 1
n n
1
1 3
1+ 2 + 2
n n
.

.
.

Bài 7*: Tính các giới hạn sau
 1
1
1
lim 
+
+ ... +
 1.3 3.5
( 2n − 1) ( 2n + 1)

a.


÷
÷
.

 1
1
1
lim 
+
+ ... +
 1.3 2.4
n( n + 2)

b.


÷
÷


Lời giải
A=
a) Xét

1
1
1
+
+ ... +
1.3 3.5
2n − 1 2n + 1

(

2A =

Ta có

)(

)

2
2
2
1 1 1
1
1
+
+ ... +
= 1 − + − + ... +
−
1.3 3.5
3 3 5
2n − 1 2n + 1
2n − 1 2n + 1

(

)(

)

= 1−

lim A = lim

2n
= lim
2n + 1

Suy ra
B=
b) Xét
Trang 7 |

2
1
2+
n

1
1
1
+
+ ... +
1.3 2.4
n n+2

(

1
2n
=
2 n + 1 2n + 1

=1

)
Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

2B =

Ta có

Chuyên đề : Giới han-

2
2
2
1 1 1 1 1
1
1
+
+ ... +
= 1 − + − + − ... + −
1.3 2.4
3 2 4 3 5
n n+2
n n+2

(

)

= 1+

1
1
3
1
−
= −
2 n+2 2 n+2

1 

3
÷ 3
lim B = lim  − n ÷ =
 2 1+ 2 ÷ 2
n

suy ra
Bài 8*: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
 1
1
1 
lim 
+
+ ... +

÷
n(n + 1) 
 1.2 2.3
b)

1 
1 
1 

A = lim 1 − 2 ÷1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷
 2  3   n 
a)

Lời giải:
1 
1

S = ln 1 − 2 ÷1 − 2
 2  3
a) Xét

1 
1
1
1 
 



÷.... 1 − 2 ÷ = ln 1 − 2 ÷+ ln 1 − 2 ÷+ .... + ln 1 − 2 ÷

  n 
 2 
 3 
 n 

1
3
2
4
3
5
n −1
n +1
1
n +1
n +1
S = ln + ln + ln + ln + ln + ln + ... + ln
+ ln
= ln + ln
= ln
2
2
3
3
4
4
n
n
2
n

2n
Suy ra
1
n +1
n = ln 1
limS=limln
= lim ln
2n
2
2
Suy ra
1+

Suy ra

b) Đặt

A=e
P=

lnS

=e

1
ln =
2

=

1
2

1
1
1
1 1 1
1
1
1
n
+
+ ... +
= 1 − + − + ... + −
= 1−
=
1.2 2.3
n(n + 1)
2 2 3
n n +1
n +1 n +1

 1
1
1 
n
1
lim 
+
+ ... +

= lim
=1
÷ = lim = lim P = lim
1
n(n + 1) 
n +1
 1.2 2.3
1+
n
Khi đó
Bài 9: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau

a)

lim

1 + 2 + ... + n
n 2 + 3n

b)

lim

1 + 2 + 22 + ... + 2n
1 + 3 + 32 + ... + 3n

Lời giải:

Trang 8 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới han-

1
1+
1 + 2 + ... + n
n2 + n
n =1
lim
= lim 2
= lim
2
2
n(n + 1) n + n
6 2
n + 3n
2n + 6n
1 + 2 + ... + n =
=
.
2+
n
2
2
a) Ta có

Suy ra
  2  n +1 1
  ÷ − n +1
1 + 2 + 22 + ... + 2n
2n +1 − 1
3
3
lim
= lim n +1
= lim  2.  
2
n
1

3 −1
1 + 3 + 3 + ... + 3
1 − n +1

3
2

b) Ta có


÷
÷= 0
÷
÷


1 
1 
1 

u n =  1 − 2 ÷1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷,
 2  3   n  với n ≥ 2.
Bài 10*: [ĐVH]. Cho dãy số (un) với
a) Rút gọn un.
b) Tìm limun.

Lời giải:
1 
1 
1  (2 2 − 1)(32 − 1)...(n 2 − 1) 1.3.2.4.3.5...(n − 1)(n + 1)

u n = 1 − 2 ÷1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷ =
=
(2.3...n)2
(2.3...n) 2
 2  3   n 
a) Ta có

=

(1.3.3.5...(n − 1)(n + 1)).(2.4.2...(n − 2).n n + 1
=
(2.3...n) 2
n
lim

b)

n +1
 1
= lim 1 + ÷ = 1
n
 n

Bài 11:

a. Chứng minh:
un =
b. Rút gọn

1
1
1
=
−
( ∀n ∈ ¥ *) .
n n + 1 + ( n + 1) n
n
n +1
1
1
1
+
+ ... +
.
1 2 +2 1 2 3 +3 2

n n + 1 + ( n + 1) n

c. Tìm lim un .
Lời giải

Trang 9 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

a. Ta có
=

Chuyên đề : Giới han-

( n + 1) − n
1
=
=
n n + 1 + ( n + 1) n
n ( n + 1) n + n + 1

(

n +1 − n
n ( n + 1)

=

)

(

n +1 − n
n ( n + 1)

(

)(

n +1 + n
n + n +1

)

)

1
1
−
n
n +1

b. Áp dụng đẳng thức đã chứng minh được ở câu a, ta có:
un =

1

1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+ ... +
−
+
−
⇒ un = 1 −
1
2
2
3
n −1
n
n
n +1
n +1 .

1 

lim un = lim 1 −
÷= 1

n
+
1


c.
.

Bài 12: Cho dãy số

( un )

u1 = 1

.

1
un +1 = un + 2n ( n ≥ 1)
được xác định bởi:

a. Đặt v n = un+1 − un . Tính v1 + v2 + ... + vn theo n .
b. Tính un theo n .
c. Tìm lim un .
Lời giải
1

vn = un +1 − un =  un + n
2

a. Ta có

Khi đó
⇒

A = v1 + v2 + ... + vn =

A 1 1
1
=  + 2 + ... + n
2 2 2
2

1

÷− un = n
2


1 1
1
A 11 1
1 
+ 2 + ... + 2 ⇒ =  + 2 + ... + n ÷
2 2
2
2 22 2
2 

1  1
1

1
  1 1
÷−  2 + 3 + ... + n +1 ÷ = − n +1 ⇒ A = 1 − n
2  2 2
2
 2 2

b. Từ câu a, suy ra A = v1 + v2 + ... + vn = u2 − u1 + u3 − u2 + ... + un − un −1 + un +1 − un
n

⇔ A = ∑ vi = un +1 − u1 = un +1 − 1 = un +
i =1

1
1
1
1
− 1 ⇒ 1 − n = un + n − 1 ⇒ un = 2 − n −1
n
2
2
2
2

1 

lim un = lim  2 − n −1 ÷ = 2
2 

c.

Bài 13.

Cho dãy số

Trang 10 |

( un )

u1 = 0; u2 = 1

2u = un +1 + un , ( n ≥ 1)
được xác định bởi:  n + 2

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới han-

1
un +1 = − un + 1, ∀n ≥ 1
2
a. Chứng minh rằng:
.

b. Đặt

vn = un −

2
3 . Tính vn theo n . Từ đó tìm lim u n .
Lời giải

1
2un +1 + un = 2un + un −1 = 2un −1 + un − 2 = ... = 2u3 + u2 = 2u2 + u1 = 2 ⇒ un +1 = − un + 1
2
a. Ta có:

b.

vn = un −

2
⇒ 3vn = 3un − 2 ⇒ 3vn = 2un + ( un − 2 ) = 2un − 2un +1 = 2un − ( un + un −1 ) = un − un −1
3

1
3
1
1
1
2
1
3vn = un − un −1 = − un −1 + 1 − un −1 = − un −1 + 1 ⇒ vn = − un −1 + = −  un −1 − ÷ = − vn −1
2
2
2

3
2
3
2
n −1

n −1

1
1 1
2
  1
 1
vn = − vn −1 = −  − vn − 2 ÷ =  − ÷ v1 =  − ÷ .
2
2 2
3
  2
 2
Từ đó, ta suy ra
n −1
n −1
2  1
2 2 2  1 
⇒ un = vn + =  − ÷ . − + = 1 −  − ÷ ÷
3  2
3 3 3   2  ÷


 2   1 n −1   2

lim un = lim   1 −  − ÷ ÷÷ =
 3   2  ÷÷ 3

 
Suy ra,
.

Bài 1:

Tính giá trị các biểu thức sau:

a. Chứng minh:
un =

b. Rút gọn
Trang 11 |

1
1
1
=
−
∀n ∈ ¥* )
(
n n + 1 + ( n + 1) n
n
n +1

.

1
1
1
+
+ ... +
1 2 + 2 1 2 3 +3 2
n n + 1 + ( n + 1) n

.

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới han-

c. Tìm lim un .
Lời giải

( n + 1) − n
1
=
=
n n + 1 + ( n + 1) n
n ( n + 1) n + n + 1

(

a) Ta có:
=

n +1 − n
n ( n + 1)

=

1
1
−
n
n +1

)

(

n + n +1
n ( n + 1)

(

)(

n − n +1
n + n +1

)

)

.

b) Áp dụng đẳng thức đã được chứng minh được ở câu a, ta có:
un =

Bài 2:

1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+ ... +
−
⇒ un = 1 −
1
2
2
3
n
n +1
n +1 .

1 

lim un = lim 1 −
÷= 1
n +1 

c) Ta có:
.
u1 = 1


1
un +1 = un + n ( n ≥ 1)

u
2
Cho dãy số ( n ) được xác định bởi: 
.

a. Đặt vn = un +1 − un . Tính v1 + v2 + ... + vn theo n .
b. Tính un theo n .
c. Tìm lim un .
Lời giải
a) Ta có:
Khi đó:
⇒

vn = un+1 − un =

1

2n .

A = v1 + v2 + ... + vn =

1 1
1
A 1
1
+ 2 + ... + n ⇒ = 2 + ... + n +1
2 2
2
2 2
2

A 1 1
1   1
1  1
1
1
=  + 2 + ... + n ÷−  2 + ... + n +1 ÷ = − n +1 ⇒ A = 1 − n
2 2 2
2  2
2  2 2
2 .

b) Từ câu a, suy ra: A = v1 + v2 + ... + vn = u2 − u1 + u3 − u2 + ... + un+1 − un = un+1 − 1
⇒ A = un +

1
1

1
1
− 1 ⇒ 1 − n = un + n − 1 ⇒ un = 2 − n −1
n
2
2
2
2 .

1 

lim un = lim  2 − n −1 ÷ = 2
2 

c) Ta có:
.
Trang 12 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Bài 3:

Cho dãy số

( un )

Chuyên đề : Giới han-

u1 = 0; u2 = 1

2u = u + u ( n ≥ 1)
được xác định bởi:  n + 2 n +1 n
.

1
un +1 = − un + 1, ∀n ≥ 1
2
a. Chứng minh rằng:
.

b. Đặt

vn = un −

2
3 . Tính vn theo n . Từ đó tìm lim un .

Lời giải
1
2un +1 + un = 2un + un −1 = 2un −1 + un −2 = ... = 2u2 + u1 = 2 ⇒ un +1 = − un + 1
2
a) Ta có:
.
2
vn = un − ⇒ 3vn = 3un − 2 ⇒ 3vn = 2un + ( un − 2 ) = 2un − 2un +1 = 2un − ( un + un −1 ) = un − un −1
3

b)
1
3
1
1
1
2
1
3vn = un − un −1 = − un −1 + 1 − un −1 = − un −1 + 1 ⇒ vn = − un −1 + = −  un −1 − ÷ = − vn −1
2
2
2
3
2
3
2
.
n −1

n −1

1
2  1
 1
vn = − vn −1 =  − ÷ v1 = .  − ÷
2
3  2
 2
Từ đó, suy ra:

Suy ra,

Trang 13 |

n −1
2   1  2
lim un = lim . 1 −  − ÷  =
3   2   3

n −1
2 2   1 
⇒ un = vn + = . 1 −  − ÷ 
3 3   2  
.

.

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN