4 gioi han cua day so DE 1

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (ĐỀ 01)

Câu 1:

Cho dãy số

( un ) với

un =

1
A. 2 .

1
1
1
+
+... +
1.3 3.5
( 2n - 1) ( 2n +1)

1
B. 4 .

C. 1 .

. Ta có lim un bằng:

D. 2 .

Lời giải
Chọn A
un =

Xét

� 2un =

1
1
1
+
+... +
1.3 3.5
( 2n - 1) ( 2n +1)

3- 1 5- 3
2n +1- 2n +1
+
+... +
1.3
3.5
( 2n - 1) ( 2n +1)

� 2un = 1-

� un =

n
2n +1 .

Do đó

Câu 2:

.

1 1 1 1 1
1
1
1
n
+ - + - +... +
= 1=
3 3 5 5 7
2n - 1 2n +1
2n +1 2n +1 .

lim un = lim

lim

.

n
1

1
=
=
2n +1 2 + 1 2
n
.

3n - 4.2n+1 - 3
3.2n + 4n
bằng

A. +� .

B. 1 .

C. 0 .

D. - �

Lời giải
Chọn C
n
n
n
��
��
��
3
1
1

�
�
�
�
�- 8�
�- 3�
�
�
�
�
�
�
�
3n - 4.2n+1 - 3
3n - 8.2n - 3
��
4 � ��
2 � ��
4�
lim
= lim
= lim
=0
n
3.2n + 4n
3.2n + 4 n
��
1
�
3.�

�
�
�+1
�
��
2
Ta có
.

Câu 3:

lim

A.

n3 - 2n
1- 3n 2 bằng

-

1
3.

B. +� .

C. - � .

2
D. 3 .

Lời giải
Trang 1 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

Chọn C
2
nn3 - 2n
n�
n = lim �
�
lim
= lim
- �
=- �
�
�
2
�
� 3�
1
1- 3n
- 3
n2

Ta có
.
Câu 4:

Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng - 1?
2n 2 - 3
lim
- 2 n3 - 4 .
A.

2n 2 - 3
lim
- 2n 2 - 1 .
B.

2n 2 - 3
lim
- 2n 3 - 2n 2 .
C.

2n 3 - 3
lim
- 2n 2 - 1 .
D.

Lời giải
Chọn B
3
2n - 3
n 2 =- 1.

lim
=
lim
1
- 2n 2 - 1
- 2- 2
n
2-

2

Câu 5:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
lim un = +�

thì lim un =- � .
lim un = 0
C. Nếu lim un = 0 thì
.
A. Nếu

lim un = a
B. Nếu lim un =- a thì
.
lim un = +�
D. Nếu
thì lim un = +� .

Lời giải

Chọn C
lim un = +�

thì lim un = +� hoặc lim un =- �
lim un = a
Nếu lim un =- a thì
thì a < 0
Nếu

Câu 6:

Cho dãy số
A. +� .

( un ) với

un = ( n +1)
B. 1 .

2n + 2
.
n + n 2 - 1 Chọn kết quả đúng của lim un
C. - � .
D. 0 .
4

Lời giải
Chọn D
3

2 ( n +1)
2n + 2
un = ( n +1)
= 4
4
2
n +n - 1
n + n2 - 1
Số mũ trên tử nhỏ hơn số mũ dưới mẫu nên lim un = 0.
Câu 7:

bằng:

1
A. 3 .

B. 1 .

1
C. 4 .

1
D. 2 .

Lời giải
Trang 2 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

Chọn A
4
5
1+ 2 - 3
n 3 + 4n - 5
n
n =1
lim 3
= lim
2
1
1 7
3n + n + 7
3
lim k = 0 ( k ��+ )
3+ + 3
n n
n
Ta có
(Do
).

Câu 8:

Nếu

lim un = L

thì

1
L +2 .

3

A.

lim

1
3 u +8
n

bằng bao nhiêu?

1
L +8

B.

C.

3

1

L +8 .

1
L+ 8

D.

Lời giải
Chọn C
lim

Ta có:

Câu 9:

lim1
1
1
=
=3
3 u +8
3 lim ( u + 8)
L +8
n
n

Kết quả đúng của

A.

lim

2 - 5n+2
3n + 2.5n

25
2 .

-

.

5
B. 2 .

C. 1 .

D.

-

5
2.

Lời giải
Chọn A
n
��
1�
2.�

�
�
�- 25
�
25
5�
=
lim
=n
2
��
3�
2 - 5n+2
2 - 25.5n
�
+2
lim n
=
lim
�
�
n
n
n
�
�
��
5
3 + 2.5
3 + 2.5

Ta có:
.

Câu 10:

là:

C. +� .

B. - � .

A. 1 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn D

= lim

Ta có:
Câu 11:

lim

(

n +1 -

n

)

(

1
n +1- n
1
n
= lim
= lim
=0
n +1 + n
1
n +1 + n
1 + +1
n

)

là:

Trang 3 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

D. - 6 .

C. +� .

B. - � .

A. - 4 .

Lời giải
Chọn B
Ta có:

L  lim  5n  n3   �

.

1
Câu 12: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 5 ?

A.

un =

1- 2n 2
5n + 5 .

B.

un =

n 2 - 2n
5n + 5n 2 .

C.

un =

1- 2 n
5n + 5n2 .

D.

un =

1 - 2n
5n + 5 .

Lời giải
Chọn B
� 2�
�
� 2�
�
n2 �
1- �
1- �
�
�

�
�
� 1
�
�
n�
n�
=
lim
=
lim
=
�
1 �
1 �
n 2 - 2n
5
2�
�
�
�
�
5n � +1�
5 � +1�
lim
2
�
�
�
�

�
�
n �
n � .
5n + 5n
Câu 13: Dãy số nào sau đây không có giới hạn ?
n

n

- 0,99)
A. (
.

n

- 0,89)
B. (
.

0,99)
C. (
.

n

- 1
D. ( ) .

Lời giải

Chọn D
n

- 1
Dãy ( ) là dãy đan dấu nên không có giới hạn.

 1 Cho
n

Câu 14:

A. 0 .

un 

2 n  5n
lim un
5n
. Khi đó
bằng
7
2
B. 5 .
C. 5 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn D
n

�
�2 � �
2n  5n  lim �
1
� � 1�
lim un  lim
�
�
n
5
�
�
�
� .
5
Ta có

Câu 15:

lim n

A. 0 .
Trang 4 |



n 1  n

 bằng
1

B. 2 .

1
C. 3 .

1
D. 4 .

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

Lời giải
Chọn B

Ta có

Câu 16:

lim n



n 1  n



 lim

u
Cho dãy số  n  xác định bởi





n 2  n  n 2  lim

un   1

n

n

1
1
1
1 1 
n
2.

 lim

n2  n  n2

n 1

n  n  1 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề
2

sau?
A.
C.

lim un  0

.

lim un  2

B.
.

D.

lim un  0
lim un  1

không tồn tại.
.

Lời giải
Chọn A

Ta có

un   1

n

n 1
n 1
 2
n  n 1
n  n 1 .
2

1 1
 2
 lim n n  0
n 1
1 1
lim un  lim 2
1  2
lim un  0
n  n 1
n n
Suy ra
. Do đó
.

un 

Câu 17: Cho
4
A. 5 .

1  4n
lim un
5n . Khi đó
bằng
4

B. 5 .

3
C. 5 .

D.



3
5.

Lời giải
Chọn B
1
4
1  4n
4
n

lim

lim


lim un
5n
5
5.
Ta có
9n 2  n  1
lim
4n  2
Câu 18: Tính
. Kết quả là
2
3
A. 3 .
B. 4 .

C. 0 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn B
Trang 5 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

 lim

9n 2  n  1
lim
4n  2
Ta có
Câu 19:

lim



n 2  2n  n 2  2n

A. 4 .

Chuyên đề : Giới hạn-

1 1

n n2  3
2
4
4
n
.

9

 có kết quả là
B. 2 .

D. �.

C. 1 .
Lời giải

Chọn B

Ta có

Câu 20:

lim





n  2n  n  2n  lim
2

u
Dãy số  n  với

2

un 

3

A. 1 .

 lim

4n
n 2  2n  n 2  2n

5  8n
n  3 có giới hạn là
B. 2 .
C. 2 .

4
2
2
1  1
n
n

2

.

D. 8 .

Lời giải
Chọn B
5
8
5


8
n
lim 3
 lim 3 n
8
3
n3
 2
1  3
n
1
Ta có
.

Câu 21:

lim  34.2n 1  5.3n 
2
A. 3 .

bằng
1
D. 3 .

C. �.

B. 1 .

Lời giải

Chọn C

Ta có

lim  34.2 n1  5.3n   lim  162.2n  5.3n 

n
�� �2 �
��
 lim3n ��
162.� � 5�� �
�� �3 � ��
�
�
.

Câu 22: Dãy số nào sau đây có giới hạn là �?

A.

un 

1  n2
5n  5 .

B.

un 

n2  2

5n  5n3 .

C.

un 

n 2  2n
5n  5n 2 .

1  2n
2
D. 5n  5n .

Lời giải
Chọn A
Trang 6 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

�1
�
�n 2  1 �
 lim n �
 �

5 �
1  n2
�5  �
lim
� n �
5n  5
Ta có
.

Câu 23: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

C.

lim  3n  9 n   �

.

lim

B.

2n  1
 �
n2  3
.

D.

lim

n 1
 �
n 1
.

lim

n3
 �
n2  1
.

Lời giải
Chọn A

Ta có

lim  3n  9 n 

n
�
�1 � �
 lim9n �
� � 1� �
�3 � �
�
.

lim un  9
Câu 24: Nếu lim un  L thì
bằng

B. L  9 .

L  3.

A.

L9 .

C.

D. L  3 .

Lời giải
Chọn C
lim un  9  L  9
Câu 25: Kết quả
A. 3 .

(câu hỏi lí thuyết).

L  lim  3n 2  5n  3

là
B. �.

C. 5 .

D. �.

Lời giải
Chọn D
5 3�
2�

lim
n
3

 2 � �
�
L  lim  3n  5n  3
� n n �
.
2

lim
Câu 26: Kết quả đúng của

A.



2
3.

 n 2  2n  1

3n 4  2

1
B. 2 .

là
C.



3
3 .

D.



1
2.

Lời giải
Chọn D
Trang 7 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

lim

 n 2  2n  1

 lim

2 1

n n2
1
2
3 4  
3.
n

1 

3n 4  2

Câu 27. [1D4-2]
1

A. 2 .



limn

Chuyên đề : Giới hạn-

n2  1  n2  2

 bằng:

1
B. 2 .

3
C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C.



n  1
2

limn


n  2  limn
2

3n

 lim

2

n

2

n
1
n
2
 2 n 2  2
2
n n
n n



n2  1  n2  2 .

 lim



n2  1  n2  2

n2  1  n2  2

3
2

2

n
1
n
2
 2  2 2
2
n n
n n





  limn





n2  1  n2  2

3
2

.

� 1
1

1 �
lim�
1

 ... 
�
n(n  1) �bằng:
� 1.2 2.3
Câu 28. [1D4-2]
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn C.

Ta có

1

1
1
1
1

 ... 
 1
1.2 2.3

n(n  1)
n 1 (theo phương pháp quy nạp)

� 1
� 1 �
1
1 �
lim�
1

 ... 
1
� lim�
� 1
1.2
2.3
n
(
n

1)
n

1
�
�
�
�
Vậy





L  lim�
n n2  2  n2  4 �
�
�. Khi đó L bằng:
Câu 29. [1D4-2] Gọi
A. 6 .
B. �.
C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn D.

Trang 8 |



n2  1 n2  2

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN




Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN

Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-





� n2  2  n2  4
n2  2  n2  4
�
lim�
n n2  2  n2  4 � lim�
n
�
�
n2  2  n2  4
�
�
�
�
�
�
� 2
�
2
�
�
6
� n  2 n  4 �

 lim�
n

lim
n
�
� 3.
�
2
2
2
� n2 2
�
�
�
n

2

n

4
n
4
�
�
n 2  2 n 2  2 �
�
�
��

�
� n n
n n �
�
��
�









Câu 31. [1D4-2]
A. �.





lim 2n  3n3







 ��
�
�
�



là:
B. �.

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A.
�2
�
lim 2n  3n3  n3 � 2  3� �. 3  �
�n
�
.





Câu 32. [1D4-2] Cho dãy số
A. 4 .

u 
n

với
B. 3 .

un 

4n2  n  2
an2  5 . Để  un  có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là:
C. 4 .
D. 2 .

Lời giải
Chọn D.
� 1 2�
n2 �
4  2 �
n n �
4n  n  2
4
�
limun  lim

lim
 lim
2
a
� 5�
an  5

n2 �
a 2 �
� n �
2

Để

 u  có giới hạn bằng 2 thì
n

Câu 33. [1D4-2]
4
A. 3 .

lim

giá trị của a là 2.

3 4n 2
2n  3.4n bằng:

B. 1 .

16
C. 3 .

D.



16
3 .

Lời giải
Chọn D.

Trang 9 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

3
3
1
1
n
2
n
3 4
16
4
.4
4
.4
lim n

 lim n
 lim

n
n
n
3
2  3.4
2
3.4
1 �2 � 3
 2 n

2 n
��
4 .4 4 .4
42 �4 � 42
n 2

Câu 34. [1D4-2]

2



lim 2n  5n



là:

5
B. 2 .

A. 1 .

.

C. �.

D. �.

Lời giải
Chọn A.
�2n 5n �
lim 2n  5n  lim� n  n � 1
�5 5 �





.

Câu 35. [1D4-2] Dãy số nào sau đây có giới hạn là �?
2
2
3
3
4
A. un  4n  3n .

B. un  3n  n .
C. un  3n  n .

2
3
D. un  n  4n .

Lời giải
Chọn A.
� 3�
lim  4n 2  3n   lim n 2 �
4  � �
� n�
đáp án B, C, D có kết quả là � .

Câu 36. [1D4-2]

lim

A. 0 .

n2  3n3
2n3  5n  2 bằng:
3

B. 2 .

1
C. 5 .

1
D. 2 .

Lời giải
Chọn B.
�1 �
n3 �  3�
n  3n
�n �   3
lim 3
 lim
� 5 2� 2
2n  5n  2
n3 �
2 2  3 �
� n n �
.
2

3

� n2cos2n �
lim�
5 2
�
n 1 �
�
Câu 37. [1D4-2] Kết quả đúng của
là:
1

A. 4 .
B. 4 .
C. 5 .

D. 4 .

Lời giải
Trang 10 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

Chọn A.

cos 2n �1

Do

Từ

lim

nên

n 2 cos 2n

n2
�
n2  1
n2  1

hay



n2
n 2cos 2n
n2
�
�
n2  1
n2  1
n2  1

n2
n 2 cos 2n

1
lim
1
n2  1
n2  1
nên

� n2cos2n �
lim�

5 2
� 5 1 4
n 1 �
�
Vậy
.

Câu 38. [1D4-2]
1
A. 2 .

lim

3n  1
2n  2.3n  1 là:

3
C. 2 .

B. 1 .

1
D. 2 .


Lời giải
Chọn D.
1

lim

1
3n

3 1
1
 lim

n
n
2
2  2.3  1
�2 �
1

2

�3 �
3n
��
n

n

Câu 39. [1D4-3]
A. 0 .



lim

3

n3  1  3 n3  2

 bằng:

B. 3 .

D. 2 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn A.
lim



3



 



n3  1  3 n3  2  lim �3 n3  1  n 
�





3



n3  2  n �
�

2
�3 3
�3 3
3 3
2�
� n  1  n �  n  1  n n  1  n �
�
�
 lim �
2
�3 3
3 3
2�
�
�  n  1  n n  1  n �
�
�
�
�

�
1
�
 lim �

2
�3  n3  1  3 n3  1  1
�
Câu 310.



3



2
�
��
n3  2  n �3  n3  2   n 3 n 3  2  n 2 ��
�
��
2
�
3
 n 3  2   n 3 n3  2  n 2
�
�

�
�
� 0
3 3
 n  2 1�
� .
2

3

n

3

 2

2

[1D4-2] Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là �?

Trang 11 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

A.

lim

2n 2  3n
n3  3n .

B.

Chuyên đề : Giới hạn-

lim

n 2  3n  2
n2  n .

C.

lim

n3  2n  1
n  2n3 .

D.

lim

n2  n  1
2n  1 .

Lời giải
Chọn D.

Nhận xét: Trong 4 đáp án chỉ có đáp án D là có số mũ ở tử số lớn hơn mẫu số.
Câu 41. [1D4-2]
A. 0 .



lim

 bằng:

n 5  n 1

C. 5 .

B. 1 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A.



lim



n  5  n  1  lim

Trang 12 |





n  5  n 1



  lim

n 5  n 1



n 5  n 1



4



n 5  n 1

 0.

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN