Tìm hiểu về một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

Phạm Thị Hải Yến

Một số quy luật phân phối
xác suất thông dụng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ
tác giả hoàn thành khoá luận này.
Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Kiều
Văn Hưng đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong việc triển khai nghiên cứu
đề tài khoá luận.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn sinh viên K36 Toán,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã cổ vũ, động viên và giúp đỡ tác
giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Phạm Thị Hải Yến


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi đã trình bày trong khóa
luận này là kết quả nghiên cứu nghiêm túc của bản thân tôi dưới sự

hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là thầy Kiều
Văn Hưng.
Những nội dung này không trùng với kết quả của các tác giả khác,
nếu có gì sai sót tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Phạm Thị Hải Yến

3


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU

5

Chương 1: Kiến thức cơ sở

7

1.1. Biến ngẫu nhiên

7

1.1.1. Định nghĩa

7

1.1.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc

7

1.1.3. Biến ngẫu nhiên liên tục

8

1.1.4. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

9

1.2. Một số tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

11

1.2.1. Kỳ vọng

11

1.2.2. Phương sai

13

1.2.3. Độ lệch tiêu chuẩn

15

1.2.4. Mode

15

1.2.5. Median

16

1.2.6. Một số tham số đặc trưng khác

17

Chương 2: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

19

2.1. Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc thông dụng

19

2.1.1. Phân phối Poisson

19

2.1.2. Phân phối nhị thức

23

2.1.3. Phân phối siêu bội

27

4


2.1.4. Các phân phối rời rạc khác

31

2.2. Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục

33

2.2.1. Phân phối chuẩn

33

2.2.2. Phân phối đều

38

2.2.3. Phân phối mũ

41

2.2.4. Các phân phối liên tục khác

43

KẾT LUẬN

49

Tài liệu tham khảo

50

5


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết xác suất là một ngành khoa học đang giữ vị trí quan
trọng trong các lĩnh vực ứng dụng rộng rãi và phong phú của đời sống
con người. Trong đó các quy luật phân phối xác suất được xem như là
các mô hình cho sự đo lường được thực hiện trong các điều kiện quan sát
hay thí nghiệm đã phát sinh trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý,
hóa học, kinh tế học, xã hội học.
Các bài toán về quy luật phân phối xác suất thường xuất hiện rất
nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic Toán học.
Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu về các quy luật phân phối xác suất
chưa nhiều. Các dạng bài tập chưa được phân loại rõ ràng và hệ thống
hóa đầy đủ cũng như đưa ra phương pháp giải một cách tường minh.
Với những lý do trên cùng với sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của
thầy Kiều Văn Hưng, em đã chọn đề tài “Một số quy luật phân phối xác
suất thông dụng” làm khóa luận tốt nghiệp.
Nội dung chính của khóa luận gồm có hai chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở.
Chương 2: Một số quy luật phân phối thông dụng.
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày những kiến thức cơ bản về một số quy luật phân phối

xác suất thông dụng, một số bài tập về quy luật phân phối xác suất thông
dụng và khả năng ứng dụng trong thực tiễn, nhất là trong lĩnh vực
kinh tế.

6


3. Đối tượng nghiên cứu
Các định nghĩa, tính chất, tham số đặc trưng của một số quy luật
phân phối xác suất thông dụng và cách giải quyết các dạng bài tập của
phần này.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa.

7


Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Biến ngẫu nhiên
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1. Khi nghiên cứu xác suất của một biến cố, có nhiền hiện
tượng ngẫu nhiên mà sự thay đổi của nó được đặc trưng bởi các số.
Chẳng hạn, khi gieo một con xúc sắc, gọi X là “số chấm xuất hiện” thì
X sẽ phụ thuộc vào phép thử và nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 6. Để

nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên tương tự như trên, người ta đưa
vào khái niệm biến ngẫu nhiên. Ta định nghĩa biến ngẫu nhiên như là
một hàm đo được có giá trị thực xác định trên không gian các biến cố sơ

cấp (nhận mỗi giá trị tương ứng với một xác suất nào đó).
Ta dùng các chữ cái in hoa như X ,Y , Zđể kí hiệu biến ngẫu
nhiên.
1.1.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
1.1.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Định nghĩa 2. Gọi tập giá trị của biến ngẫu nhiên X là X    .
Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu X    là một hữu hạn hoặc một
số vô hạn đếm được: X      x1 , x2 ,..., xn  hay X      x1 , x2 ,..., xn ,... .
Ta kí hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị xn là X  xn và xác suất để X
nhận giá trị xn là P{X  xn } .
1.1.2.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập luật phân phối xác suất của
biến ngẫu nhiên rời rạc, nó chứa 2 thông tin: thông tin thứ nhất là các giá

8


trị có thể x1 , x2 ,..., xn , ... của biến ngẫu nhiên X và thông tin thứ hai là
các xác suất tương ứng p1, p2 ,..., pn , ... của các giá trị có thể đó.
X

x1

x2

…

xn

…

P{X  xi }

p1

p2

…

pn

…

Nếu các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X gồm hữu hạn các số
x1 , x2 ,..., xn thì các biến cố X  x1, X  x2 ,..., X  xn lập thành 1 nhóm các

biến cố đầy đủ xung khắc từng đôi một.
Do đó:


n

 p 1 ; p  0
i 1

i

i

 Pa  X  b 

i  1,2,...



a xi b

pi .

1.1.3. Biến ngẫu nhiên liên tục
1.1.3.1. Biến ngẫu nhiên liên tục
Định nghĩa 3. Tập giá trị của biến ngẫu nhiên X là X    . Biến ngẫu
nhiên được gọi là liên tục nếu X    là một đoạn  a; b   R hoặc một số
đoạn hoặc cũng có thể là toàn trục số.
Ta có: P  X  a  0,  a.
1.1.3.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Đối với biến ngẫu nhiên liên tục X , xác suất để X nhận một giá
trị cụ thể nào đó luôn luôn bằng không: P {X = a} = 0 nên ta quan tâm
đến xác suất để X rơi vào một khoảng (a, b) nào đó, chứ không quan
tâm tới xác suất để X nhận một giá trị cụ thể như trong trường hợp biến
ngẫu nhiên rời rạc.

9


Để mô tả (hay xác định) biến ngẫu nhiên liên tục ta dùng khái
niệm hàm mật độ. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X . Hàm f ( x); x  R
được gọi là hàm mật độ xác suất của X nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:
i. f  x   0 x  R


ii.

 f  x  dx  1.



Xác suất để X   a; b  được tính như sau:
b

P a  X  b   f  x  dx

a  b

a

Chú ý rằng vì P  X  a  P  X  b  0 nên ta cũng có:
b

P a  X  b  P a  X  b   f  x  dx .
a

1.1.4. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
1.1.4.1. Định nghĩa
Định nghĩa 4. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu

F  x  là hàm xác định với mọi số thực x theo công thức:

F  x   P  X  x
Hàm phân phối xác suất F  x  phản ánh mức độ tập trung xác suất về

bên trái của số x .
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận hữu hạn các giá trị có thể
x1 , x2 ,..., xn với các xác suất tương ứng là pk  P  X  xk  thì hàm phân

phối xác suất được cho như sau:

10


; x  x1
0

F  x    p1  p2  ...  pk 1 ; xk 1  x  xk
1
; x  xk

Nếu X nhận một số vô hạn đếm được các giá trị x1  x2  ...  xn  ... với
các xác suất tương ứng là pk  P  X  xk  thì hàm phân phối được cho
như sau:
; x  x1
0
F  x  
 p1  p2  ...  pk 1 ; xk 1  x  xk

Vậy hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là một
hàm bậc thang, không giảm có bước nhảy tại các giá trị có thể của X .
Độ lớn của bước nhảy tại điểm xk là pk  P  X  xk  .
- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

f  x  thì hàm phân phối được tính theo công thức:

x

F  x 

 f t  dt



1.1.4.2. Tính chất
1. 0  F  x   1 ; x  R
2. F  x  là hàm không giảm tức là nếu x1  x2 thì F  x1   F  x2 
3. P a  X  b  F  b   F  a 
4. F     lim F  x   0

F     lim F  x   1

x

5.

x

f  x  và F  x  tương ứng là hàm mật độ và hàm phân phối

xác suất của biến ngẫu nhiên X thì:

f  x   F ' x 

11

F  x 

x

 f t  dt



1.1.4.3. Liên hệ với phân phối xác suất
Với biến ngẫu nhiên rời rạc: pi  F  xi1   F  xi 
Với biến ngẫu nhiên liên tục ta có:
1. F  x  liên tục tại x (suy ra từ định nghĩa về hàm liên tục).
2. F '  x   f  x  tại những điểm f  x  liên tục.
Thật vậy, ta có:

F  x  x   F  x 
P x  X  x  ax
 lim
x0
x0
x
x
x x
f  t  dt
f  x  x 
= lim 
 lim
 f  x  ; 0    1.
x0

x0

x

x
x

F '  x   lim

(Định lí trung bình của tích phân).
Như vậy nếu biết được hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên thì ta hoàn toàn xác định được phân phối xác suất của nó.
1.2. Một số tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Khi biết bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X
hoặc biết hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X , thì coi như đã
nắm được toàn bộ thông tin về X . Tuy nhiên trên thực tế rất khó xác
định được thông tin này. Những thông tin cô đọng phản ánh từng mặt
của biến ngẫu nhiên được gọi là các tham số đặc trưng. Ở mục này ta xét
các tham số đặc trưng quan trọng nhất.
1.2.1. Kỳ vọng
1.2.1.1. Định nghĩa

12


Định nghĩa 5. Kỳ vọng (hay còn gọi là giá trị trung bình) của biến ngẫu
nhiên X là một số được kí hiệu là EX và được xác định như sau:
à

∑

∫

à (

à

( )

)

à

ộ ( )

{
Ý nghĩa của kỳ vọng:
 Là giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên nhận. Nó phản ánh giá
trị trung tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
 Trong thực tế sản suất hay kinh doanh nếu cần chọn phương án
cho năng suất cao (hay lợi nhuận cao) ta chọn phương án cho năng suất
kỳ vọng cao (hay lợi nhuận kỳ vọng cao).
1.2.1.2. Tính chất
1. EC  C ( C – const)
2. E  CX   C  EX 
3. E( X Y )  EX  EY
4. Nếu X ; Y độc lập (nghĩa là hai biến cố  X  x ; Y  y
độc lập với mọi x ; y ) thì: E  XY   EX .EY
5. Nếu Y   ( x) thì:
à

∑ ( )

∫

( ) ( )

{
Chứng minh:

13

à


1. P  X  C  1  EC  C.1  C.





2. P CX  Cxi  pi

 ECX   Cxi pi  C  xi pi  CEX .
i

i





3. Gọi pij  P X  xi ;Y  y j ;





và  X  xi , i  1, n ; Y  y j , j  1, m là các nhóm đầy đủ, ta có:


 m

 pi  P X  xi   P  X  xi .  Y  y j  

 j 1

m

m

m

j 1

j 1

j 1

  P  X  xi ,Y  yi    pij tương tự q j   pij .

n

m

n

m

n

m

E  X  Y     xi  yi  pij   xi pij   y j pij
i 1 j 1

i 1 j 1

i 1 j 1

 m
 m  n

= xi   pij    y j   pij 
i 1
 j1  j1  i1 
n

n

m

i 1

j 1

= xi pi   y j q j  EX  EY .





 Tương tự, do X , Y độc lập pij  P X  xi ,Y  y j  pi q j
n m

 n
 m
EXY   xi y j pij    xi pi    y j q j   EX .EY .
i 1 j 1
 i1
  j 1


Dễ dàng suy ra tính chất 5 khi X rời rạc. Ta công nhận tính chất
này khi X liên tục.
1.2.2. Phương sai
1.2.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 6. Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số không âm
được kí hiệu là DX và được xác định như sau:

14

)

∑(

∫(

)

à

à

( )

{
Chú ý: Trong tính toán ta tính phương sai bằng công thức:

DX  E ( X  EX )2  EX 2  ( EX )2

E( X  EX)2  E( X 2  2 XEX  ( EX )2 )  EX 2  2( EX )2  ( EX )2  EX 2  ( EX )2
à

∑
( )

∫
{

à

Ý nghĩa của phương sai:
 Phương sai là một số không âm, là trung bình của bình phương
độ lệch X  EX . Nó đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên
quanh giá trị trung bình nghĩa là: phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ vì
vậy độ tập trung lớn và ngược lại phương sai lớn thì độ phân tán lớn, vì
vậy độ tập trung nhỏ.
 Trong kĩ thuật phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị.
Trong kinh doanh nó đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định.
1.2.2.2. Tính chất
1. DC  0

( C  const)

2. D(CX )  C 2 DX
3. Nếu X ,Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì

D( X  Y )  DX  DY

15


Hệ quả: D  X  C   DX
1.2.3. Độ lệch tiêu chuẩn
1.2.3.1. Định nghĩa
Vì đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của biến
ngẫu nhiên X . Khi cần đánh giá đặc trưng về độ phân tán các giá trị của
biến ngẫu nhiên để có thể so sánh được với các đặc trưng khác, người ta
đưa vào một đặc trưng số mới đó là độ lệch tiêu chuẩn.

Định nghĩa 7. Độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu là

 (X) được tính bằng công thức:
 ( X )  DX
Như vậy  ( X ) và X có cùng đơn vị đo DX   2 ( X )
1.2.3.2. Tính chất
1.  (C)  0 ( C  const)
2.  (CX )  C . ( X )
3. Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì:

 ( X  Y )   2 ( X )   2 (Y )

1.2.4. Mode
Định nghĩa 8. Mode của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu là ModX là giá trị
mà X có khả năng xuất hiện lớn nhất trong một lân cận nào đó của nó.
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì ModX là giá trị của X
ứng với xác suất lớn nhất: ModX  x0  px0  max pi . Như vậy ModX
là giá trị của X có nhiều khả năng xảy ra nhất.

16


- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì ModX là giá trị của X tại
đó hàm mật độ xác suất đạt giá trị cực đại. Như vậy ModX là giá trị mà
X có nhiều khả năng xảy ra trong khoảng thời gian chứa nó nhất. Muốn

tìm ModX ta đi khảo sát hàm f ( x) , tìm điểm dừng,…
Chú ý: Một biến ngẫu nhiên có thể có một Mode hoặc nhiều Mode.
1.2.5. Median (Trung vị)
1.2.5.1. Định nghĩa

Định nghĩa 9. Trung vị của biến ngẫu nhiên X là giá trị của X chia
phân phối xác suất thành hai phần có xác suất giống nhau hay trung vị là
điểm chia đôi phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Kí hiệu là MedX .
- Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, MedX  m nếu:

F (m) 

1
 F (m  1)
2

m  X ()

- Đối với biến ngẫu nhiên liên tục,

MedX  m

nếu

P{X  m}=P{X  m}
1.2.5.2. Nhận xét
- Từ định nghĩa ta thấy để tìm trung vị cho biến ngẫu nhiên liên
tục X ta chỉ cần giải phương trình:
x

1
1
F  m    F  x    f  x  dx  .
2
2



- Trong ứng dụng, trung vị là đặc trưng vị trí tốt nhất, nhiều khi tốt
hơn cả kỳ vọng, nhất là khi trong số liệu có nhiều sai sót. Trung vị còn
được gọi là phân vị 50% của phân phối.
Nhận xét:

17


i. Nếu phân phối của biến ngẫu nhiên X đối xứng và chỉ có một
Mode thì cả 3 đặc trưng: Kỳ vọng, Median và Mode trùng nhau.
ii. Nếu phân phối của X đối xứng hoặc gần đối xứng thì dùng kỳ
vọng định vị là tốt nhất.
iii. Nếu phân phối của X quá lệch thì dùng trung vị và Mode sẽ
định vị tốt hơn.
1.2.6. Một số tham số đặc trưng khác
1.2.6.1. Moment
Định nghĩa 10. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc X :
- Moment cấp k của biến ngẫu nhiên X là số
n

n

mk  EX   x P{X  xi }   xik pi
k

k
i

i 1

i 1

- Moment quy tâm cấp k là số
n

 k  E ( X  EX )   ( xi  EX )k pi
k

i 1

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục X :
- Moment cấp k của biến ngẫu nhiên X là số
mk  EX 
k



x

k

f ( x)dx



- Moment quy tâm cấp k của biến ngẫu nhiên X là số


 k  E ( X  EX )   ( x  EX )k f ( x)dx
k



Nhận xét:
i. Moment cấp 1 của X là kỳ vọng của X ( m1  EX ).

18


ii. Moment quy tâm cấp 2 của X là phương sai của X



2

 m2  m12  DX 
iii. 3  m3  3m2 m1  2m13 , 4  m4  4m1m3  6m12 m2  3m14

1.2.6.2. Hàm moment sinh
Định nghĩa 11. Hàm moment sinh của biến ngẫu nhiên X là hàm xác
định trên R cho bởi:

  etx p ( x )

 (t )  E (e )   x
  etx p ( x ) dx
 
tX

Tính chất:

1.  '(0)  EX
2.  ''(0)  EX 2
3. Tổng quát:  n (0)  EX n , n  1.
Chứng minh:

1.  '(t ) 

d
E(etX )  E( XetX )   '(0)  EX
dt

2.  ''(t) 

d
d
d
 '(t )  E( XetX )  E[ ( XetX )]  E( X 2etX )
dt
dt
dt

  ''(0)  EX 2
1.2.6.3. Hệ số bất đối xứng: Hệ số bất đối xứng S được định nghĩa bởi
công thức S 

3


nếu X là B.n.n rời rạc và S  33 nếu X liên tục.
3
x
2 2

1.2.6.4. Hệ số nhọn: Hệ số nhọn E được định nghĩa bởi công thức

E

4
 3 đối với cả hai biến ngẫu nhiên X rời rạc và liên tục.
 22

19


Chương 2

MỘT SỐ QUY LUẬT
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
2.1. Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc thông dụng
2.1.1. Phân phối Poisson
2.1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 12. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận tập giá trị là

X ()  {0;1;...;n;...} và hàm mật độ xác suất của nó có dạng
P{X  x}  e



x
x!

; x  X () được gọi là có phân phối Poisson với

tham số  (  0) , kí hiệu X

P( ) .

Các biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poisson:

 Số cuộc điện thoại được ở trạm điện thoại trong 1 phút
 Số khách hàng đến ngân hàng đối với mỗi chu kỳ 30 phút
 Số máy bị hỏng trong một ngày của 1 nhà máy
Công thức:

P( x  X  x  h)  Px  Px1  ...  Pxh

 x 
với Px  e .
x!
2.1.1.2. Các tham số đặc trưng
Nếu X

P( ) thì EX  DX   và ModX  x0 với   1  x0  

Chứng minh:


k

k 0

k!

Sử dụng khai triển chuỗi Maclaurin e  


20

, ta có:






x

 P{X  x}  e  x!


x 0

x 0


x x
 x1
 e   

 e .e  
x 0 x !
x 1 ( x  1)!


EX  e 

x2 x x( x  1) x x x
Tương tự dùng biến đổi:


, ta tính được
x!
x!
x!

EX 2   2   do đó DX  EX 2  ( EX )2  .
Công thức tính ModX được suy ra từ định nghĩa ModX  x0

 P{X  x0}  P{X  x0  1}  x0  1  


 P{X  x0}  P{X  x0  1}   x0
   1  x0  
Chú ý: Có nhiều cách tìm ModX . Ví dụ để tìm ModX ta xét

P{X  k}

 1   k
P{X  k  1} k

Vậy P{X  k} lớn nhất khi k là số nguyên lớn nhất bé hơn  . Nói cách
khác thì ModX     .
Bài toán dẫn đến phân phối Poisson
Gọi X là số lần xuất hiện của một biến cố A tại những thời điểm
ngẫu nhiên trong khoảng thời gian ( t1, t2 ) thỏa mãn hai điều kiện:
- Số lần xuất hiện của một biến cố A trong khoảng thời gian ( t1, t2 )
không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của A trong khoảng thời gian kế
tiếp.
- Số lần xuất hiện của một biến cố A trong khoảng thời gian tỉ lệ
với độ dài của khoảng đó.

21


Khi đó X

P( ) với   c(t2  t1 ). Hằng số c được gọi là cường

độ xuất hiện của A.
Chẳng hạn, số xe qua một trạm, số cuộc điện thoại tại một trạm…
2.1.1.3. Ví dụ
Ví dụ 1. Một nhà máy có 1000 công nhân. Xác suất để 1 ngày có một
công nhân nghỉ là 0,002. Tìm xác suất để trong 1 ngày không quá hai
công nhân nghỉ?
Lời giải:
Việc theo dõi trong một ngày có bao nhiêu công nhân nghỉ là một
phép thử. Một nhà máy có 1000 công nhân nên ta có n  1000 phép thử
độc lập.
Gọi A là biến cố công nhân nghỉ và X là số công nhân nghỉ trong
một ngày thì P  P( A)  0,002 và X  B(1000;0,002)

Vì n  1000 khá lớn và np  2 không đổi nên ta xem X

P( )

Do đó xác suất để trong một ngày có không quá hai công nhân
nghỉ là:

P{0  X  2}  P1  P2  P3
20 2
P0  P{X  0}  e
0!
21
P1  P{X  1}  e2
1!
22
P2  P{X=2}= e2 .
2!
Do đó, P{0  X  2}  (1  2  2)e2  5.(2,71)2  0,6808.
Trước khi trình bày ví dụ tiếp theo, chúng ta phát biểu và chứng
minh kết quả sau đây.

22


Định lí: Nếu X

Z  X Y

P( ) và Y

P( ) , ngoài ra X và Y độc lập thì

P(   ) .

Chứng minh:
Ta có P{Z  k}  P{X  Y  k} 
k

  P{X  i,Y  k  i}
i 0
k

  P{X  i}P{Y  k  i}
i 0
k

 e



i 0

 i e  k i
i ! (k  i)!

e (    ) k i i k i

 Ck  
k ! i 0
e  (    ) (   ) k


k!
Ví dụ 2. Một cửa hàng bán đồ điện tử gồm hai mặt hàng: tivi và Radio.
Số tivi và Radio bán trong một ngày đều tuân theo luật phân phối
Poisson và chúng độc lập với nhau. Trung bình mỗi ngày bán được 1 tivi
và 2 Radio.
Tìm xác suất để một ngày cửa hàng bán được ít nhất 4 chiếc (tivi
và Radio).
Lời giải:
Gọi X và Y tương ứng là số tivi và số Radio bán được trong một
ngày. Ta có, X
thì X  Y

P(1) và Y

P(2) , X và Y độc lập. Theo định lí trên

P(3) .

Do đó,

P{X  Y  3}  1  P{X  Y  3}  1  0,647  0,353.

23


2.1.2. Phân phối nhị thức
2.1.2.1. Phân phối Bernoulli
Định nghĩa 13. Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo lu t phân phối
Bernoulli, kí hiệu là X

B(1; p) , nếu hàm xác suất của nó có dạng:

p( x)  p x (1  p)1 x , x  0 và 1.
Ta thấy mọi phép thử chỉ có 2 kết cục đều có thể mô hình hóa
bằng phân phối này. Chẳng hạn một phép thử chỉ có kết cục A với xác
suất p và A với xác suất q  1  p . Xây dựng biến ngẫu nhiên X sao
cho P( X  1)  P( A)  p và ta có X

B(1; p).

Ta lập được bảng phân phối xác suất của X như sau:

x

0

1

p ( x)

q

p

EX  0.q  1. p  p
DX  02.q  12. p  p 2  p(1  p)  pq.
Trong thực tế phân phối Bernoulli ít được sử dụng (có thể do nó
quá đơn giản), tuy nhiên nó được dùng làm cơ sở để tìm luật phân phối
của các biến ngẫu nhiên khác.

2.1.2.2. Phân phối nhị thức
Xét một phép thử ngẫu nhiên  . Ta quan tâm tới biến cố A liên
kết với  tức là tùy theo kết quả của  , A có thể xảy ra hay không xảy
ra. Giả sử P( A)  p . Phép thử  được tiến hành lặp lại n lần một cách
độc lập. Gọi X là số lần xuất hiện A trong n lần thực hiện lặp phép thử

 này. Ta thấy X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị là

24


X ()  {0,1,2,...n}
Mặt khác theo công thức Bernoulli thì

P{X  k}  Cnk p k (1  p)nk
Định nghĩa 14. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0,
1,…,n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức Bernoulli

P{X  k}  Cnk p k q nk với q  1  p
được gọi là tuân theo lu t phân phối nhị thức với tham số n, p và kí hiệu
là X

B(n, p) , ở đó n  N và 0  p  1 .
Rõ ràng phân phối Bernoulli ở trên là một trường hợp riêng của

phân phối nhị thức khi n  1 .
Công thức: Với h nguyên dương và h  n  x , ta có

P( x  X  x  h)  Px  Px1  ...  Pxh
Chú ý: Khi n khá lớn thì xác suất P không qua gần 0 và 1. Khi đó ta có

thể áp dụng công thức xấp xỉ sau:
i. Px  Cnx p x q n x 

1
f (u ) được gọi là công thức địa phương
npq

Laplace,
trong đó

x  np
u
;
npq

2

1  u2
f (u) 
e ;
2

ii. P( x  X  x  h)   (u2 )   (u1 ) được gọi là công thức tích phân
Laplace,
t
1
e 2 dt (hàm Laplace);
trong đó  (u ) 

2 0

u

25

2