Các loại Tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn và quan hệ giữa chúng

Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng đầu thế kỉ XX và
đến nay vẫn được xem như là một ngành toán học cổ điển. Trong quá trình
phát triển, giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phong phú,
những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả
các ngành toán học có liên quan, sử dụng đến công cụ giải tích và không gian
vectơ. Chính điều đó đã mở rộng phạm vi nghiên cứu cho các ngành toán học.
Với mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và
bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học cùng với sự giúp đỡ của
thầy giáo - Tiến sĩ - Tạ Ngọc Trí, em đã chọn đề tài: “Các loại tôpô thường
gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn và quan hệ giữa chúng”.

2. Cấu trúc của khóa luận
Nội dung của khóa luận bao gồm ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Cách xác định tôpô qua nửa chuẩn.
Chương 3: Các loại tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính
bị chặn và quan hệ giữa chúng.

3. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về tôpô, một nội dung khá quen thuộc, bao hàm nhiều tính chất đặc trưng
và tổng quát của giải tích hàm. Đặc biệt là ba loại tôpô thường gặp trong
không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.

Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí

1


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí

Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

2


Nghiên cứu về cách xác định tôpô qua nửa chuẩn, ba loại tôpô thường
gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn, quan hệ giữa chúng và
một số định lý liên quan đến chúng.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp.
Trong thời gian học tập, nghiên cứu em đã nhận được sự quan tâm, giúp
đỡ tận tình của các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích và
đặc biệt là TS. Tạ Ngọc Trí, người đã trực tiếp hướng dẫn em, để em có thể
hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp đại học này. Em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích và TS.
Tạ Ngọc Trí.
Cuối cùng em xin chúc các thầy cô cùng gia đình mạnh khỏe, hạnh phúc
và thành công trong cuộc sống.
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Đỗ Thị Lan

NỘI DUNG
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trước khi tìm hiểu về các loại tôpô thường gặp trong không gian các
toán tử tuyến tính bị chặn, chúng ta cần nắm được một số kiến thức cơ bản.
Chương 1 này nhắc lại một số kiến thức cơ bản đó. Các khái niệm và kết quả
trình bày trong chương này được tham khảo ở các tài liệu [1], [2], [3],[5] và
[6].

1.1. Không gian tuyến tính
Ở mục này, ta đi nhắc lại một số kiến thức về không gian tuyến tính.
Những khái niệm và kết quả ở đây được tham khảo trong tài liệu [3].
Định nghĩa 1.1.1. (Không gian tuyến tính)
Giả sử F là trường số thực ¡ hoặc số phức £ . Tập X khác rỗng cùng
với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân với vô hướng ):
Phép cộng xác định trên X X và lấy giá trị trong X:
(x,y)

x + y ; x, y X

Phép nhân vô hướng xác định trên F´ X và lấy giá trị trong X :
( , x)

x;

F, x

X

gọi là một không gian tuyến tính nếu các điều kiện sau thỏa mãn :
(i)

x, y

X:x+y=y+x

(ii)

x, y, z

(iii)

x

X:x+0=x

(iv)

x

X,

x

(v)

x

X,

,

(vi)

x, y

(vii)

x

X : x + (y+ z) = (x + y) + z

F: (

X,
X,

X : x + ( x) = x
x) = (

x=0
)x

F : (x + y) = x + y
,

F:( + )x= x+ x

(viii)

x

X : 1.x = x .

Nếu F = ¡ thì X được gọi là không gian tuyến tính thực. Nếu F = £ thì X
được gọi là không gian tuyến tính phức.
Không gian tuyến tính thường gọi là không gian véctơ và các phần tử của
nó thường gọi là các véctơ.
Định nghĩa 1.1.2. ( tập lồi)
Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số thực. Một tập con K
của X được gọi là lồi nếu với mỗi x, y

K thì ax + (1

a)y

K, 0

a

1.

1.2 Không gian metric
Trong mục 1.2. này ta đi nhắc lại một số kiến thức về không gian metric.
Các khái niệm và kết quả ở mục này được tham khảo trong tài liệu [1] và [3].
Định nghĩa 1.2.1. (Không gian metric, metric) Ta gọi là không gian metric

một tập hợp X ¹

cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X´ X vào tập số

thực ¡ thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) (

x, y

X ) d(x,y)

0, d(x,y) = 0 Û x = y ; ( Tiên đề đồng nhất) ;

2) (

x, y

X ) d(x,y) = d(y,x) ; ( Tiên đề đối xứng ) ;

3) (

x, y, z

X ) d(x,y)

d(x,z) + d(z,y) ; ( Tiên đề tam giác).

Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x
và y. Các phần tử của X gọi là các điểm ; Các tiên đề 1) , 2), 3) gọi là hệ tiên
đề metric. Không gian metric kí hiệu là M = (X,d).

Ví dụ 1.2.1. Với hai phần tử bất kì x, y

¡ ta đặt : d(x,y) = |x

y|

(1)

Hệ thức này xác định một metric trên ¡ . Không gian tương ứng được kí hiệu
là ¡ 1 . Ta gọi metric này là metric tự nhiên.
Ví dụ 1.2.2. Ta ký hiệu l2 là tập tất cả các dãy số thực hoặc phức x = (xn
2
¥
x n hội tụ.
)n=1 sao cho chuỗi số dương ån=
1



Với hai dãy số bất kỳ x = (xn)n=1 và
d(x,y) =

¥

å

x n - yn

y = (yn )n=1 ta đặt :
2

n= 1

Hệ thức này xác định một metric trên l2. Không gian metric tương ứng kí hiệu
là l2.
Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian metric M = (X,d), dãy điểm (xn)
điểm x0
n®

X,

X. Dãy điểm (xn) gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian M khi

, nếu (

> 0) ( n0

*

N)( n

lim xn = x0 hay xn® x0

n

n0) d(xn,x0) < , ký hiệu :

(n®

)

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy (xn) trong không gian M.
Định nghĩa 1.2.3. (Hình cầu mở, hình cầu đóng)
Cho (X, d) là không gian metric.
Ta gọi là hình cầu mở tâm a
S(a;r) = {x

X: d (x,a) < r};

Ta gọi là hình cầu đóng tâm a
S (a;r) = {x
(x,a)

X bán kính r > 0 tập hợp

X: d

X bán kính r > 0 tập hợp
r}.

Định nghĩa 1.2.4. (Lân cận) Cho không gian metric M = (X,d). Ta gọi là lân
cận của điểm x X trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r >
0 nào đấy.
Định nghĩa 1.2.5. (Tập mở, tập đóng) Cho không gian metric M = (X,d) và
tập A X. Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu điểm x A, thì tồn
tại một lân cận của x bao hàm trong A.
Tập A được gọi là tập đóng trong không gian M, nếu điểm x
tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A.

A, thì tồn

Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian metric M = (X, d) và hai tập con khác rỗng
A, B của X. Tập A gọi là trù mật trong tập B, nếu với mỗi phần tử x B đều
có ( > 0) ( y A) d(y, x) < . Khi tập B = X thì tập A gọi là trù mật khắp
nơi trong không gian M (hay trong X) .
Định nghĩa 1.2.7. (không gian tách được) Không gian metric M = (X, d) gọi
là không gian tách được, nếu tập X chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi
trong không gian M.
Ví dụ 1.2.3. Không gian metric ¡

1

là không gian tách được.

Ví dụ 1.2.4. Không gian l2 là không gian tách được.
Định nghĩa 1.2.8. (Ánh xạ liên tục) Cho hai không gian metric X và Y (metric
trên X sẽ kí hiệu là

X

, metric trên Y sẽ kí hiệu là

Y gọi là liên tục tại điểm x0

Y

). Một ánh xạ

từ X vào

X nếu

(" e > 0)($d> 0)(" X): r X (x, x0 )< dÞ
xÎ
(¦

Y

(x),¦ (x0 )) < .

Cũng như trong giải tích cổ điển, điều này tương đương với :
(xn)

(x0) cho mọi dãy xn

x0 .

1.3. Không gian định chuẩn
Trong mục 1.3. này ta đi nhắc lại một số kiến thức mở đầu về không gian
định chuẩn, và các kiến thức về toán tử tuyến tính bị chặn. Các khái niệm và
kết quả này được tham khảo trong các tài liệu [1] và [5].
Định nghĩa 1.3.1. (Không gian định chuẩn)
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là
không gian tuyến tính X trên trường P (P = ¡ hoặc P = £ ) cùng với một ánh
xạ từ X vào tập số thực ¡ , kí hiệu là × và đọc là chuẩn thỏa mãn các tiên đề
sau :
1) ( x

X) x

0, x = 0 Û x =

( Ký hiệu phần tử không là ) ;


2) ( x

X) (

P) a x = a x ;


3) ( x, y
£

X) x + y

x + y .

Số x gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng kí kiệu không gian định chuẩn là X.
Định lý 1.3.1. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai véctơ bất kỳ x, y
X ta đặt d(x,y) = x
-

y . Khi đó d là một metric trên X.

Định nghĩa 1.3.2. (Dãy hội tụ) Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X
gọi là hội tụ tới điểm x

X, nếu lim xn - x = 0.
n

Ký hiệu: xn = x hay xn ® x (n ®

).

Định nghĩa 1.3.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X
gọi là dãy cơ bản, nếu lim x n - x m = 0.
m,n
Định nghĩa 1.3.4. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X gọi là
không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.3.1. Đối với dãy số thực bất kỳ x ¡ ta đặt x = x .

(1)

Công thức này cho một chuẩn trên ¡ . Không gian định chuẩn tương ứng ký
hiệu là ¡
.

1

¡

1

là không gian Banach.

Ví dụ 1.3.2. Cho không gian véctơ l2. Đối với véctơ bất kỳ x = (xn)

x =

¥

å

xn

2

l2 ta đặt

(2)

n= 1

Công thức này xác định một chuẩn trên l2. Không gian định chuẩn tương ứng
ký hiệu là l2. l2 là không gian Banach.
Định nghĩa 1.3.4. (Toán tử tuyến tính) Cho hai không gian tuyến tính X và Y
trên trường P (P là trường số thực ¡ hoặc trường số phức £ ). Ánh xạ A từ


không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các
điều kiện:
1) ( x, x

X) A(x + x ) = Ax + Ax ;


2) ( x

X) (

P) A x = Ax.

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y = P thì toán
tử A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.5. (Toán tử bị chặn) Cho hai không gian định chuẩn X và Y.
Toán tử tuyến tính từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn
tại hằng số C > 0 sao cho: Ax
Y

£ C x

X

,

x

X.

Định nghĩa 1.3.6. (Chuẩn của toán tử) Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ
không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Hằng số C
nhất thỏa mãn hệ thức Ax

Y

£ C x

X

,

0 nhỏ

xX gọi là chuẩn của toán tử A và

ký hiệu là A .
Từ định nghĩa ta thấy chuẩn của toán tử có các tính chất :
1) ( x
£

X) Ax

2) (
A

0) (

x

A x ;
X)

(

- e) x
<

Axe .

Định lí 1.3.2. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y. Ba mệnh đề sau tương đương :
1) A liên tục;
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X;
3) A bị chặn.
Định lý 1.3.3. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y. Nếu toán tử A bị chặn, thì
A = sup Ax hay A = sup Ax
x£1

x =1

Định nghĩa 1.3.7. (Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn)


Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiệu B(X,Y) là tập hợp tất cả
các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y. Ta đưa vào
B(X,Y) hai phép toán:


Tổng của hai toán tử A, A B(X,Y) là toán tử, ký hiệu A + A , xác định
bằng hệ thức: (A + A )(x) = Ax + A x ,
Tích của vô hướng P (P = ¡

x

X.

hoặc P = £ ) với toán tử A B(X,Y) là

toán tử , ký hiệu là A, xác định bằng hệ thức ( A)(x) = (Ax) .
Dễ dàng kiểm tra A + A B(X,Y), A

B(X,Y) và hai phép toán trên

đây thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính; Tập B(X,Y) trở thành một không gian
tuyến tính trên trường P.
Bây giờ với toán tử bất kỳ A

B(X,Y) ta đặt

A = sup Ax
x =1

Dễ thấy công thức trên thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn và không gian tuyến tính
B(X,Y) trên trường P trở thành không gian định chuẩn.
Sự hội tụ trong không gian định chuẩn B(X,Y) gọi là sự hội tụ đều của
dãy toán tử bị chặn. Dãy toán tử (An) B(X,Y) gọi là hội tụ từng điểm tới
toán tử A B(X,Y) , nếu với mỗi x
lim An x
-

n

X,

Ax = 0 trong không gian Y.

Một dãy toán tử (An)

B(X,Y) hội tụ đều tới toán tử A

B(X,Y) thì dãy

(An) hội tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y.
Định lý 1.3.4. Nếu Y là không gian Banach, thì B(X,Y) là không gian
Banach.
Định nghĩa 1.3.8. (Không gian đối ngẫu) Cho không gian định chuẩn X trên
trường P (P là trường số thực ¡ hoặc trường số phức £ ). Ta gọi không gian
B(X,P) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian
*

liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và ký hiệu X (thay cho
ký hiệu B(X,P)).
*

Nhận xét 1.3.1. X = B(X,P) là không gian Banach.



Định nghĩa 1.3.9.(Không gian tách được) Không gian định chuẩn X được gọi
là khả ly (hay tách được) nếu trong không gian X tồn tại một tập hợp đếm
được trù mật khắp nơi.
Định lý 1.3.5.(Định lý bị chặn đều) Cho X là một không gian Banach. Đặt F
là một họ các phiếm hàm tuyến tính bị chặn từ X vào một không gian định
chuẩn Y nào đó. Giả sử với mỗi x

{ Tx Î

T

Y

X

F} là bị chặn thì

{T

T F} bị chặn.

Î

1.4. Không gian Hilbert
Trong mục 1.4. này ta đi nhắc lại một số kiến thức mở đầu về không gian
Hilbert và toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert. Các khái niệm
và kết quả dưới đây được tham khảo trong các tài liệu [1] và [5].
Định nghĩa 1.4.1. (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên trường
P (P là trường số thực ¡ hoặc trường số phức £ ). Ta gọi là tích vô hướng
trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X

X vào trường P, kí hiệu

×,× , thỏa mãn tiên đề:
X) y,x = x, y ;

1) ( x, y
2) ( x, y, z

3) ( x, y
4) ( x

X) x + y, z = x, z + y,z ;
X) (
P)

a x,
y

X) x, x > 0, nếu x ¹

=

x, y ;

( là ký hiệu phần tử không), x, x = 0 nếu

x= .
Định lý 1.4.1. Đối với mỗi x
Khi đó với mọi x, y

X ta đặt x
=

x, x . (3)

X ta có bất đẳng thức Schwarz x, y

x y .

Hệ quả 1.4.1. Công thức x =
trên không gian X.

x, x , với mỗi x

X xác định một chuẩn


Hệ quả 1.4.2. Tích vô hướng x, y là một hàm liên tục với hai biến x, y theo
chuẩn (3).
Định nghĩa 1.4.2. (Không gian Hilbert)
Ta gọi một tập H ¹

gồm những phần tử x, y, z, … nào đấy là không

gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1)

H là không gian tuyến tính trên trường P;

2)

H được trang bị một tích vô hướng ×,× ;

3)

H là không gian Banach với chuẩn x =
k

Ví dụ 1.4.1. Ký hiệu ¡
Với mọi x = (xn) ¡

k

x, x , x

H.

là không gian véctơ thực k chiều.

,y=

¡

k

ta đặt

(yn)
k

x, y =

å

xn yn

n=

1

Công thức này xác định một tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng
này là:
k

x =

å

x, x

x2n

, x = (xn)

¡

k

n=
1

=

k

Chuẩn này trùng với chuẩn (1) đã biết trên không gian ¡ . Nên không gian
véctơ thực ¡

k

cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert.

Ví dụ 1.4.2. Ký hiệu l2 là không gian véctơ các dãy số phức x = (xn) sao cho
¥

chuỗi số

å

2

xn hội tụ. x = (xn)

n=
1

¥

x, y = å x n y n
n= 1

l2 ,

y = (yn)

l2, ta đặt

Hệ thức này xác định một tích vô hướng. Và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng
đó là


¥

å

x =

xn

2

, x = (xn)

l2

n= 1

Chuẩn này trùng với chuẩn (2) đã biết trên không gian l2. Nên không gian
véctơ l2 cùng với tích vô hướng này là một không gian Hilbert.
Định lý 1.4.2. (Định lý về hình chiếu lên không gian con) Cho không gian
Hilbert H và H0 là không gian con của H. Khi đó phần tử bất kỳ x H biểu
diễn một cách duy nhất dưới dạng x = y + z , y

H0 , z

H0 .

(4)

Phần tử y trong biểu diễn (3) gọi là hình chiếu của phần tử x lên không gian
con H0.
Chú ý 1.4.1. Phần tử y trong biểu diễn (4) còn được gọi là phần tử của H0 gần
phần tử x nhất theo nghĩa

d(x,
y)=

x- y
£

x - u = d(x,u) " u H0 . Ta kí
Î

hiệu y = Px và nhận được toán tử tuyến tính liên tục P ánh xạ H lên H0 ,
P = 1. Toán tử P thường được gọi là toán tử chiếu vuông góc (hay toán tử
chiếu trực giao) không gian H lên không gian con H0

H.

Định nghĩa 1.4.3. (Hai véc tơ trực giao) Cho không gian Hilbert H. Hai phần
tử x, y

H gọi là trực giao, ký hiệu x

y, nếu x, y = 0.

Định nghĩa 1.4.4. Cho không gian Hilbert H và tập con A

tử x

H gọi là trực giao với tập A, nếu x

y( y

H, A ¹

A), ký hiệu x

. Phần

A.

Định nghĩa 1.4.5. Cho không gian Hilbert H. Một tập (còn gọi là hệ thống)
gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử (en)n
nếu ei ,
ej
= 1,2,…).

=

i,j

(

i,j

là ký hiệu Kroneckes,

1

i,j

H gọi là một hệ trực chuẩn,
= 0 với i ¹ j,

i,j

=1 với i = j (i,j


Định nghĩa 1.4.6. Hệ trực chuẩn (en)n 1 trong không gian Hilbert H gọi là cơ
sở trực chuẩn của không gian H, nếu trong không gian H không tồn tại véctơ
khác không nào trực giao với hệ đó.


Định lý 1.4.3. Không gian Hilbert có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi không
gian đó là không gian tách được.
Định nghĩa 1.4.7. Không gian B(H, £ ) được gọi là không gian đối ngẫu của
*

*

của không gian Hilbert H và được ký hiệu là H . Mỗi phần tử của H được gọi
là phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Định lý 1.4.5. (F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian
Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (x) = x,a , x
đó phần tử a

H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm

H trong

và f = a .

Định nghĩa 1.4.8. (Toán tử liên hợp) Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh
xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y. Toán tử B ánh xạ không
gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu
Ax, y = x, By , x

X, y

Y.
*

Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A .
Định lý 1.4.6. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert
*

X vào không gian Hilbert Y. Khi đó tồn tại toán tử A liên hợp với toán tử A
ánh xạ không gian Y vào không gian X.
Định lý 1.4.7. Cho A là toán tử bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào
*

không gian Hilbert Y. Khi đó toán tử liên hợp A với toán tử A cũng là toán
*

tử tuyến tính bị chặn và A = A .
*

Chú ý 1.4.2. Ngoài ra toán tử liên hợp A còn có một số tính chất sau:
Cho hai không gian Hilbert X và Y. Nếu A, A
1) (A
+

*

B)* = A* + B , (" l
Î

2) (AB)* A*B*.
=
3)

(A

*

*

) = A.

B(X,Y) thì
*

P), (l A )* = l A .