Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (362.63 KB, 86 trang )
Vũ Thị Hương
K31A
Chuyển động của hạt mang điện trong
điện từ trường
PHẦN1: PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những
quy luật đơn giản nhất và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên
cứu tính chất và cấu trúc của vật chất và những quy luật của sự vận động của
vật chất.
Cùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật các giai đoạn phát triển của
vật lí học được chia làm hai giai đoạn: giai đoạn vật lí cổ điển và giai đoạn vật
lí hiện đại.
Vật lí học cổ điển là một khoa học xây dựng trên việc đúc kết các kết quả
thực nghiệm khi nghiên cứu các hiện tượng vật lí xảy ra đối với các hệ chứa
một số rất lớn các nguyên tử, tức là nghiên cứu tính chất, sự tương tác và dịch
chuyển của các hệ vĩ mô trong không gian. Về cơ bản vật lí học cổ điển hoàn
thành vào đầu thế kỉ XIX, nó bao gồm cơ học Newton, điện động lực học,
nhiệt động lực học…. nội dung chủ yếu của nó là giải thích các tính chất và
các hiện tượng vật lí xảy ra trong thế giới vĩ mô.
Nhờ sự hoàn thiện và ứng dụng các phương tiện kĩ thuật vào việc nghiên
cứu các vấn đề vật lí mà cuối thế kỉ XIX người ta đã khám phá ra các
electron, tia Roentgen và tính phóng xạ. Điều đó mở ra khả năng nghiên cứu
từng nguyên tử và phân tử riêng biệt. Đến lúc đó người ta nhận thấy rằng, vật
lý cổ điển không thể giải thích được tính chất của các nguyên tử và sự tương
tác của chúng với các bức xạ điện từ. Đây chính là tiền đề đầu tiên cho sự
xuất hiện nền vật lí hiện đại, chuyên đi sâu nghiên cứu thế giới vi mô, một
trong những môn khoa học quan trọng của nền vật lí này là môn cơ học lượng
tử: đó là môn khoa học dựa trên tính chất sóng - hạt của vật chất để nghiên
1
Vũ Thị Hương
K31A
Chuyển động của hạt mang điện trong
điện từ trường
2
cứu và giải thích các tính chất, hiện tượng xảy ra trong không gian có kích
-6
-13
thước dài cỡ 10 cm đến 10
cm.
Không gian có kích thước dài như thế gọi là không gian vi mô và đối
tượng chủ yếu của cơ học lượng tử là các nguyên tử, phân tử và các hạt cơ
bản.
Như chúng ta đã biết chuyển động của hạt theo quan điểm của vật lý học
cổ điển được mô tả bằng các đại lượng tọa độ và xung lượng…. Còn theo
quan điểm của cơ học lượng tử thì chuyển động của một hạt sẽ được mô tả
bằng hàm sóng r;t
phương trình Schrodinger i
và hàm sóng này sẽ tìm được bằng cách giải
t
H□ .
Nhưng dù xét theo quan điểm nào thì chuyển động của hạt cũng phụ
thuộc rất nhiều vào môi trường hạt chuyển động cũng như các điều kiện ban
đầu. Đối với hạt mang điện là hạt vi mô thì môi trường gây ảnh hưởng rõ rệt
nhất tới chuyển động của hạt đó là trường điện từ.Vậy trong môi trường điện
từ chuyển động của hạt mang điện ra sao, chúng ta cùng nhau đi nghiên cứu
đề tài: “chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường”.
2. Đối tượng nghiên cứu
Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường.
3. Nội dung nghiên cứu
- Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm
của cơ học cổ điển.
+ Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường dựa trên cơ sở
các định luật Newton.
+ Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường dựa trên cơ học lí
thuyết.
- Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm
của cơ học lượng tử.
+ Các đại lượng động học và các toán tử.
+Toán tử Hamilton
+Toán tử Hamilton trong điện từ trường.
+Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm
của cơ học lượng tử.
+Một số bài tập áp dụng lí thuyết lượng tử vào tìm hàm sóng, năng lượng
và tính chất hạt mang điện chuyển động trong điện từ trường.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp vật lí toán, phương pháp cơ học lượng tử.
PHẦN 2: NỘI DUNG
Chương 1: Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ
trường theo quan điểm của vật lý học cổ điển.
1.1Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường trên cơ sở cơ
học Newton.
Khi một hạt mang điện, có điện tích e, chuyển động trong không
gian, ở đó có cả điện trường và từ trường, thì nó chịu tác dụng của cả lực điện
( F eE ) và lực từ ( f e
v.B ). Theo định luật hai Newton, phương trình
chuyển động của hạt có dạng:
dv
m eE e v.B
dt
(1.1)
Trong đó m là khối lượng của hạt, v là vận tốc của hạt.
Dựa vào phương trình (1.1) để xét chuyển động của những hạt mang
điện trong một số trường hợp đơn giản.
Đầu tiên ta xét trường hợp đơn giản nhất đó là chuyển động của hạt
mang điện trong từ trường đều.
Giả sử vận tốc ban đầu của hạt là v , đi vào từ trường đều có cảm ứng
từ B . Để đơn giản ta xét trường hợp vuông góc với cảm ứng từ B . Trước
v
hết ta nhận thấy rằng lực Lorenxơ luôn luôn vuông góc với v điều đó có
nghĩa là công của lực này luôn bằng không. Vì thế độ lớn của vận tốc v là
không đổi trong quá trình chuyển động. Lực Lorenxơ cũng không đổi và có
giá trị f e v B.
v
Lực này luôn vuông góc với phương chuyển động nên
đóng vai trò của lực hướng tâm. Dưới tác dụng của lực đó
hạt chuyển động theo một đường tròn. Bán kính R của quỹ
đạo tròn này được xác định từ điều kiện: e v B
mv
R
2
B
. Do đó
mv
R eB
(1.2)
Bán kính R của quỹ đạo tròn phụ thuộc vào vận tốc v của hạt mang
điện và độ lớn của cảm ứng từ B và tỉ số e/m gọi là điện tích riêng của hạt
mang điện.
Một đặc điểm của chuyển động này là chu kỳ chuyển động của hạt
(thời gian chuyển động một vòng) không phụ thuộc vào vận tốc của hạt. Chu
kỳ chuyển động T có giá trị là
có: T
T
2m
2 R
v
. Thay giá trị ở các biểu thức trên ta
(1.3)
eB
Tần số góc của hạt (góc quay được trong 1s) có giá trị:
2 e
B
T
(1.4)
m
và được gọi là tần số xyclotron.
Ta thấy chu kỳ chuyển động T và tần số góc chỉ phụ thuộc vào điện
tích riêng e / m và cảm ứng từ B.
v2
Hình vẽ bên cho ta quỹ đạo của hai hạt giống nhau có
vận tốc v ;
1
v2
khác nhau. Nếu hai hạt cùng xuất phát từ
một điểm O thì sau khi chyển động một vòng với cùng một
khoảng thời gian, chúng sẽ gặp lại nhau ở O.
O
v1
Trên đây ta giả sử vận tốc v vuông góc với
hợp tổng quát khi vận tốc v hợp với cảm ứng từ
B . Bây giờ ta xét trường
B một góc nào đó khác
/ 2 .
Ta sẽ phân tích v thành hai thành phần v vuông góc với B và v// song song
với B , ta
v vsin ; v// vcos . Lực Lorenxơ tác dụng lên hạt có giá
có:
trị: f e v Bsin e v B
.
Lực này xác định bởi thành phần v , khiến cho hạt chuyển động theo
đường tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc với B . Lực gây nên bởi thành
phần v// bằng không. Do đó chuyển động của hạt là tổng hợp của hai chuyển
động:
● Chuyển động tròn đều trong mặt phẳng vuông góc với B , với vận tốc
dài bằng v , với bán kính quỹ đạo, chu kỳ, tần số được xác định theo
các biểu thức (1.2); (1.3); (1.4),chỉ cần thay trong đó các giá trị của v
bằng v vsin .
● Chuyển động đều theo quán tính với vận tốc v// vcos , dọc theo
phương của B .
Vì thế quỹ đạo của hạt là một đường xoắn ốc hình trụ có trục trùng với
v v
v//
phương của cảm ứng từ B
.
Bước của đường xoắn ốc là:
B
2vcos
h v // T
e
1
B
2vmcos
eB
.
m
1.2. Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo cơ học lí
thuyết.
1.2.1. Mô tả chuyển động của hạt dựa vào phương trình Lagrange
Trong cơ học Newton chuyển động của một hạt được mô tả bằng
phương trình của định luật II Newton còn trong cơ học lý thuyết thì chuyển
động của hạt được mô tả bằng phương trình Lagrange loại II (hay phương
trình Lagrange trong tọa độ suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng qk)
d T
dt q k
T Qk
– q
k
(1.5)
(k = 1, 2,…,s ) với s là số bậc tự do của hệ, Qk là lực suy rộng và T là động
năng của hệ.
Để tìm định luật chuyển động của cơ hệ chỉ cần giải hệ thống s phương
trình Lagrange loại II.
Đại lượng q
k
dq
dt k gọi là vận tốc suy rộng,
2
dq
đại lượng qk 2 gọi là gia tốc suy rộng
dt
T
và đại lượng p
gọi là xung lượng suy rộng.
k
qk
k
Xét trường hợp liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng.
Nếu các lực tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì khi đó biểu thức của lực
suy rộng có dạng:
N
Qk F ri
i
q k
i1
U r
i U
qk
i1 ri qk
N
Và phương trình Lagrange loại II lúc đó sẽ có dạng:
d L d t
q k
L
0
qk
Trong đó L = T - U gọi là hàm Lagrange.
Nếu vị trí của cơ hệ tự do được xác định bởi những tọa độ Đecac xi, yi,
zi ( i = 1, 2,…, N) thì hàm Lagrange có dạng:
1 N
L m x 2 y 2 z 2 U x , y , z ,..., x , y , z
i
i
1
1
i
N
N
N
2 k1 k i
Những phương trình mô tả chuyển động của hạt sẽ là:
d L
d t x i
d L
L 0,
x i
d t y i
L 0,
yi
( i = 1, 2,…,N)
d L L
d t z i zi 0,
d
Hay viết dưới dạng vectơ:
L L
0
dt
ri ri
i 1, 2,..., N
Xét trường hợp hạt chuyển động trong điện từ trường:
Hạt có khối lượng m, điện tích e chuyển động dưới tác dụng của lực
điện từ F eE e v.B . Trong đó E, B, v lần lượt là cường độ điện trường,
cảm ứng từ của trường lực mà hạt chuyển động và vận tốc của hạt.
Như đã biết hạt chuyển động trongg điện từ trường có động năng và thế
năng được xác định như sau:
1
2
Động năng: T mv
2
Thế năng: V e ev A
Vì vậy hàm Lagrange của hạt là: L
1
2
2
mv e ev A
Xét trường hợp đơn giản là hạt chuyển động trong điện từ trường đều,
có E, B, v lần lượt hướng theo các phương Ox, Oz, Oy.
Với các thành phần của
B 0, 0, B , có thể chọn A By , 0,0 . Thật
vậy:
B rotA
Az
Ay ;
Ax
Az ;
Ay
Ax
y
z
z
x
x
y
Thành phần Bx 0 , để đơn giản ta đặt A y Az 0 .
Thành phần thứ hai: By 0 vì Az 0 nên Ax Ax x, y .
Thành phần thứ ba:
Bz B; A y 0 nên B
Ax
y
và có thể đặt
A x By như vậy thỏa mãn cả thành phần thứ hai.
Ta có e Fdr e Edx e E x
1
1
Suy ra
2
2
2
2
L mv e e v A m x y z eEx
eByx 2
2
Hình chiếu phương trình Lagrange trên các trục tọa độ là:
eB
y
xC
2 m
2
mx eBy eE 0
e B
eE eBC
m
y
eBx
x
x
2
0
m
m
m
z D
mz 0
x x 0 0, y y 0 0, z z 0 0,
Các điều kiện ban đầu t = 0 thì:
x 0 0, y 0 v0 , z 0 0
Phương trình (1.7) có nghiệm là:
eB
eB
mE Cm
x C cos
t C sin
t
2
m
eB
eB
1
2
m
Thay điều kiện ban đầu vào (1.6) và biểu thức của x ta có:
1.6
1.7
1.8
C v0
C v0
m E mv0
m E mv0
C
0
C
2
1
1
eB
eB
2
eB
eB
x
x 0
Vậy
mC1
eB
0
sin
eB
t eB m
mC2
eB
t
mC2
cos
eB
m
0 C2 0
eB mE v0 m
m E mv0
x eB2 eB cos
t 2
m
eB
eB
x mE2 v 0m 1 coseB t
eB
eB
m
Thay vào (1.6) ta có:
eB m E
eB
v 1 cos t v
m eB B
0
0
m
E
v
eB E
t
cos
B
0
m
B
E m eB
E
y mv0 2 sin
t tC
eB
eB
m
B
3
E
mv 0 E m eB
Từ y0 0 C3 0 y
sin
t
t
2
m
B
eB eB
Từ (1.8) và các điều kiện ban đầu ta có D 0 z 0 z D1 0
y
Vậy chuyển động của hạt được mô tả bằng các phương trình:
x mE2
eB
y mv 0
eB
v0m 1 coseB t
eB
m
E m2 sin eB t E t
eB
m
B
z 0
1.2.2. Mô tả chuyển động của hạt dựa vào hệ phương trình Hamilton
Ta biết rằng các phương trình chuyển động Lagrange là các phương
trình vi phân hạng hai. Hàm Lagrange là hàm của q k ,q k và t. Giải hệ s
phương
trình Lagrange với điều kiện ban đầu q0 và q 0 ta hoàn toàn xác định
k
k
đượcq k t
và q k t ở thời điểm t bất kì. Trạng thái cơ học của cơ hệ khi đó
được xác định bởi q và q (k = 1, 2, 3…s). Việc mô tả trạng thái của cơ hệ
k
k
bằng cách cho
qk và q k như vậy không phải là cách duy nhất. Trong nhiều
trường hợp, khi nghiên cứu các vấn đề khác của cơ học, ta xác định trạng thái
của cơ hệ bằng s tọa độ suy rộng q1, q2, q3,…, qs và s xung lượng suy rộng pk:
pk L T
q k q k
(k = 1, 2, 3,…, s).
(1.9)
Chuyển từ một tập hợp những biến số độc lậpq k và
q k sang một tập hợp
những biến số khác qk, pk dùng để mô tả trạng thái của cơ hệ cần phải thực
hiện các phép biến đổi sau đây.
Vi phân toàn phần hàm lagrange cho ta:
s
L
L
L
dq k
dt
dL
dq
q
k
k
k1
t
q k
L
L
d L
Lưu ý rằng: q pk , q dt q p k
k
k
k
(1.10)
Ta được:
s
dL p kdpk pkdq k
k1
s
L
t
dt
p kdpk d pkq k q kdpk
k1
L
t
dt
s
Hay dH p k dpk q k dp k
(1.11)
L
t dt
k1
s
(1.12)
Trong đó H H q k , p k , t p kq k
L
k1
Là hàm của qk, pk, t và gọi là hàm Hamilton. Trong biểu thức của hàm
Hamilton H, các vận tốc suy rộng q k được biểu diễn qua qk, pk và t nhờ các
hệ thức (1.5).
Biểu thức vi phân toàn phần của hàm Hamilton cũng có thể viết dưới
dạng:
s
H
H
H
dq k
dt
dH
dpk
p
q
k
k
k1
t
Từ (1.7) và (1.9) dễ dàng ta thấy rằng:
H , p k H
k 1, 2,3,...,s
q k
p
q
k
dH
dt
(1.13)
(1.14)
k
H
t
(1.15)
L
t
Các phương trình vi phân hạng nhất (1.15) gọi là các phương trình
Hamilton. Đó là một hệ 2s phương trình chuyển động trong các biến số qk và
pk. Giải hệ 2s phương trình vi phân hạng nhất này, ta tìm được:
q k q k t, 1 , 2 , 3 ,..., 2s ,
pk pk t, 1, 2 , 3 ,..., 2s ; k 1, 2,...,s
Trong đó , , ,..., là những tích phân của chuyển động được
1
2
3
2s
xác định từ điều kiện ban đầu q0 ,
p
0
k
(k = 1, 2,…, s).
Như vậy, mô tả những định luật chuyển động của cơ hệ ta có dùng s
phương trình Lagrange loại hai hay 2s phương trình Hamilton. Nếu định luật
chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng những phương trình Lagrange thì
trạng thái của hệ được xác định bởi q k và q k . Những biến số q k q và t được
,
k
gọi là những biến số Lagrange. Nếu định luật chuyển động của cơ hệ được mô
tả bằng những phương trình Hamilton thì trạng thái của hệ được xác định bởi
qk và pk. Những biến số qk, pk và t gọi là những biến Hamilton.
Giải hệ 2s phương trình Hamilton dẫn tới cần thiết nghiên cứu dạng của
Hamilton. Người ta đã chứng minh được rằng khi liên kết đặt lên cơ hệ là
dừng thì hàm Hamilton trùng với cơ năng của cơ hệ: H = T + U.
Áp dụng đối với trường hợp hạt mang điện chuyển động trong điện từ
trường dưới tác dụng của lực điện từ F eE e v.B .
Ta có hàm Lagrange và xung lượng suy rộng P có dạng
2
L 1 mv e ev A; P L mv eA.
2
v
Hàm Hamilton của chất điểm bằng:
2
H v L
L mv e
2
v
P e A
2m
2
e
Xét trường hợp đơn giản là hạt chuyển động trong điện từ trường đều,
có E, B, v lần lượt hướng theo các phương Ox, Oz, Oy.
A By , 0,0 .
Với các thành phần của B 0, 0, B , có thể
chọn
Khi đó hàm Hamilton có thể viết được dưới dạng sau:
PeA 2
Px eBy2 P2 y P2 z
H
e
eEx 2m
2m
2
2 2 2
2
2
P
eBy
eB y
Py
Px
z
P
eEx
2m 2m 2m 2m x
2m
Các phương trình Hamilton mô tả chuyển động của hạt là:
x
x H P
eBy
Px
m
m
(1.16)
