Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=======***=======

PHẠM THỊ HUYỀN TRANG

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ CÁC BÀI TOÁN
CHỨNG MINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI - 2014


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Đinh Văn Thủy, thầy
đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân trọng cảm ơn thầy, cô trong tổ hình học, các thầy cô và
toàn thể các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý, giúp đỡ em trong
suốt thời gian học tập nghiên cứu để hoàn thành khóa luận.
Do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nên
nội dung em trình bày trong khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót,
em kính mong nhận được sự góp ý, phê bình của thầy cô giáo và các bạn sinh
viên để khóa luận của em được hoàn thiên hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thị Huyền Trang

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

1


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận
tình của thầy giáo Đinh Văn Thủy cùng với sự cố gắng của bản thân.
Tôi xin cam đoan các vấn đề tôi trình bày trong khóa luận là kết quả
nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo Đinh Văn Thủy.
Tôi xin chịu mọi trách nhiệm về lời cam đoan của mình.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Phạm Thị Huyền Trang

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Mở đầu.............................................................................................................. 4
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 4
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................... 4
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu..................................................................... 5
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 5
Chương 1: SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO ............................................ 6
1.1 Khái niệm về phép nghịch đảo .................................................................... 6
1.2 Các tính chất cơ bản .................................................................................... 6
1.3 Các định lý quan trọng ................................................................................ 8
Chương 2: ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC ....................................... 15
2.1 Bài toán chứng minh ................................................................................. 15
2.2 Sử dụng phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh .............................. 15
2.3 Ứng dụng phép nghịch đảo để giải một số lớp bài toán chứng minh ....... 16
2.3.1 Bài toán chứng minh mối quan hệ về góc giữa các đường .................... 16
2.3.2 Bài toán chứng minh yếu tố cố định trong hình học .............................. 20
2.3.3 Bài toán chứng minh hệ thức mối liên hệ giữa các đại lượng hình
học ................................................................................................................... 27
2.3.4 Bài toán chứng minh mối quan hệ giữa các điểm, đường thẳng............ 33
2.4 Bài tập đề nghị và lời giải ......................................................................... 38
Kết luận .......................................................................................................... 47
Tài liệu tham khảo......................................................................................... 48

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

3


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mỗi bài tập hình học có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau:
phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp véctơ và phương
pháp biến hình. Bài toán chứng minh là bài toán quen thuộc trong hình học.
Trong đó, phép biến hình có một vai trò quan trọng bởi tác dụng hữu hiệu của
nó khi ứng dụng vào một số bài toán chứng minh.
Trong chương trình toán phổ thông các phép biến hình được giới thiệu
đó là: phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự trong
hai nội dung chính là phép dời hình và phép đồng dạng. Còn phép nghịch đảo
là phép biến hình không được đưa vào chương trình phổ thông chỉ được đề
xuất trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh một số lớp chuyên
toán.
Với tính chất bảo toàn góc, có khả năng biến đường thẳng thành đường
thẳng hoặc đường tròn, có khả năng biến đường tròn thành đường tròn hoặc
đường thẳng và nhiều tính chất khác quan trọng. Phép nghịch đảo có thể đơn
giản hóa được một số yếu tố phức tạp trong bài toán chứng minh, giúp cho lời
giải trở nên ngắn gọn hơn.
Do vậy, với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về ứng dụng của phép biến
hình để có một số tư liệu quan trọng cho công tác giảng dạy hình phổ thông,
tôi quyết định nghiên cứu đề tài: “Phép nghịch đảo và các bài toán chứng

minh”.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng
phép nghịch đảo để giải một số lớp các bài toán chứng minh.

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

4


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

Xây dựng các bài tập minh họa có sử dụng phép nghịch đảo vào bài
toán chứng minh.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp các bài toán chứng minh trong hình
học sơ cấp.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo trình, các tài liệu tham khảo và các bài giảng
chuyên đề.

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

5


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

CHƯƠNG 1
SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
1.1 Khái niệm về phép nghịch đảo
1.1.1 Định nghĩa 1:
Không gian En ( n=2,3 ) bổ sung phần tử {¥} được gọi là không gian
bảo giác Bn .
Quy ước: Trong không gian Bn, mọi đường thẳng, mọi mặt phẳng đều
đi qua {¥} .
1.1.2 Định nghĩa 2:
Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O và một số thực k ¹ 0. Phép
biến hình của Bn cho ứng mỗi điểm M với điểm M’ được xác định như sau:
+ Nếu M º O thì M’ º ¥
+ Nếu M º ¥ thì M’ º O
+ Nếu M Ï {O, ¥} thì M’ nằm trên đường thẳng OM thỏa mãn

OM .OM ' = k được gọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k.
Ký hiệu:

N (O, k)

1.2 Các tính chất cơ bản
1.2.1 Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp
Thật vậy, " M Î Bn, N (M)=M’ Þ N 2 (M)= N (N (M) )= N (M’)=M
2

Þ N (O, k)= id Bn .

¨

1.2.2 Nếu M, M’ tương ứng nhau qua N (O, k) thì O, M, M’ thẳng hàng.
Hiển nhiên theo định nghĩa.

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

6


Khúa lun tt nghip i hc

Phm Th Huyn Trang K36B SP Toỏn

1.2.3 Nu phng tớch nghch o k<0 thỡ phộp nghch o khụng cú im bt
ng. Nu phng tớch nghch o k>0 thỡ phộp nghch o cú tp hp cỏc
im bt ng l siờu cu tõm O, bỏn kớnh k .
Tht vy, xột phộp nghch o N (O, k), k ạ 0.
im M ẻ En (n=2, 3) l im bt ng khi v ch khi OM .OM = k
2

OM = k

ỡùk > 0
ớ
ùợOM = k

Do ú M thuc siờu cu tõm O, bỏn kớnh

k. ă

1.2.4 Nu M, N ẽ {O, Ơ } v ng thng MN khụng i qua O, N (M) = M,
N (N) = N thỡ M, N, M, N thuc mt ng trũn

Chng minh:
Ta cú OM .OM= ON .ON


ị OMN ng dng vi

OM ON '
=
ON OM '

ã' = ONM
ã'
ONM ị OMN

Do ú t giỏc MMNN ni tip.

ă

1.2.5 Mi siờu cu cú tớnh cht phng tớch ca cc nghch o i vi nú
bng phng tớch nghch o l siờu cu bt ng

Phộp nghch o v cỏc bi toỏn chng minh

7

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

Hiển nhiên theo định nghĩa của phép nghịch đảo và tính chất của
phương tích
1.2.6 Mọi phép nghịch đảo N (O, k) đều có thể phân tích thành tích của phép
nghịch đảo N (O,-k) và phép đối xứng tâm O (Đo)
N (O, k) = Đo . N (O,-k)
Hiển nhiên theo định nghĩa phép nghịch đảo và phép đối xứng tâm
1.3 Các định lý quan trọng
1.3.1 Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành
siêu cầu đi qua cực nghịch đảo, biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo thành
siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo
Chứng minh:

Giả sử phép nghịch đảo N (O, k) trong E3, (α) là mặt phẳng không đi qua O, H
là hình chiếu của O lên (α), H’ = N (H)
’

’

’

" M Î (α), M = N (M) khi đó tứ giác MHH M nội tiếp

·
' H ' = 900 Þ M Î (OH’) (Mặt cầu đường kính OH’ )
Do đó OM
Ngược lại, nếu lấy điểm Q’ Î (OH’), Q = N (Q’), tứ giác HH’QQ’ nội tiếp

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

8


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

· = 90 0 . Do đó Q Î (α).
Þ OHQ
Tóm lại N [(α)] = (OH’).

¨

Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo nên phép nghịch đảo biến mặt cầu
đi qua cực nghịch đảo thành mặt phẳng không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh trong E2 tương tự
1.3.2. Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành siêu
cầu không đi qua cực nghịch đảo
Chứng minh:

Giả sử trong E3 cho phép nghịch đảo N (O, k) và mặt cầu (C ) tâm I không
qua O, đường thẳng OI cắt (C ) tại A, B
Gọi A’ = N (A), B’ = N (B)
" M Î (C ), M = N (M) ta có:
’

µ=M

·'
Tứ giác MBM’B’ nội tiếp Þ B
1
1

·
A1 = M
'2
Tứ giác MAM’A’ nội tiếp Þ µ
·' + M
·' = µ
µ = 900 Þ ·
A1 + B
A ' M ' B ' = 90 0 Þ M’ Î (A’B’).
Do đó M
1
2
1

Ngược lại, lấy P’ Î (A’B’), chứng minh tương tự trên ta có P = N (P’) Î (C )

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

9


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Tóm lại N [(C)] = (A’B’).

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

¨

Chứng minh trong E2 tương tự
1.3.3 Phép nghịch đảo biến siêu phẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính nó.
Hiển nhiên theo định nghĩa của phép nghịch đảo
1.3.4 Nếu A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo N (O, k) thì
A'B ' =

k . AB
OA.OB

1.3.5. Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa 2 đường cong và làm ngược hướng
của hình
Chứng minh:
Bổ đề: Phép nghịch đảo N (O, k) biến đường cong (C ) thành đường
cong (C ’) biến A Î (C ) thành A’ Î (C ’). Chứng minh rằng nếu tại A, A’
có các tiếp tuyến At và A’t’ thì chúng đối xứng nhau qua đường trung trực của
AA’.
Chứng minh bổ đề:
Lấy trên (C ) và(C ’). Hai điểm tương ứng M, M’ khá gần A, A’ sao
cho khoảng cách OM không bị triệt tiêu khi M tiến dần đến A. Ta có A, M,
A’, M’ nội tiếp đường tròn (K). Khi M tiến dần đến A thì M’ tiến dần đến A’,
cát tuyến AM dần đến tiếp tuyến At, cát tuyến A’M’ dần đến tiếp tuyến A’t’,
đường tròn (K) dần đến đường tròn (K0).
Khi M º A thì At, A’t’ cũng là các tiếp tuyến của đường tròn (K0), do
đó nó đối xứng nhau qua đường trung trực của AA’.

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

10


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

Chứng minh định lý:
Giả sử hai đường cong (C ) và (D) cắt nhau ở A. Các đường cong tương ứng
(C ’)và (D ’) qua phép nghịch đảo N (O, k) cắt nhau ở A’.
Theo bổ đề trên ta có các tiếp tuyến At và At’ đối xứng nhau qua đường trung
trực d của AA’, các tiếp tuyến Au và A’u’ cũng đối xứng nhau qua đường
thẳng d.

Theo tính chất của phép đối xứng trục ta có:

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

11


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

( A ' t ', A ' u ') = - ( At, Au )
Do đó phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa 2 đường cong và làm ngược hướng
của hình.

¨

1.3.6 Phép nghịch đảo bảo toàn tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng nằm trên
đường thẳng đi qua cực nghịch đảo
Chứng minh:
Giả sử 4 điểm A, B, C, D nằm trên đường thẳng a đi qua cực O của phép
nghịch đảo N (O, k), có các ảnh tương ứng là A’, B’, C’, D’ ta có:

C ' A' =

k AC
OA.OC

C 'B' =

k BC
OB.OC

D ' A' =

k AD
OA.OD

D'B' =

k BD
OB.OD

Þ (A’B’C’D’) =

C ' A ' D ' A ' CA DA
:
=
:
= (ABCD). *
C ' B ' D ' B ' CB DB

1.3.7 Điều kiện cần và đủ để hai điểm M, M’ tương ứng nhau qua phép
nghịch đảo N (O, r2) của không gian Bn (n=2, 3) là có n siêu cầu qua hai điểm
đó trực giao với siêu cầu nghịch đảo
1.3.8 Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực nghịch đảo là một phép vị tự.
Chứng minh:
Giả sử N 1 = N (O, k1) và

N 2 =N (O, k2) là hai phép nghịch đảo trong En

(n=2, 3).
Xét bất ký M Î En
Gọi M’= N 1(M), M’’= N 2(M’).
Khi đó ta có:

OM .OM ' = k1

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

12


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

OM '.OM '' = k2
uuuuur

Þ OM '' =

k 2 uuuur
.OM hay M’’ = V (O,k2/k1)
k1

Vậy N 2. N 1 = V (O, k2/k1). *
1.3.9 Tích của một phép vị tự và một phép nghịch đảo có tâm vị tự và cực
nghịch đảo trùng nhau là một phép nghịch đảo.
Chứng minh:
Giả sử trong En (n=2, 3) có phép vị tự V = V (O, k1) và phép nghịch đảo
N = N (O, k2).
Lấy M Î En
Gọi M’=V (M), M’’= N (M’).
Ta có:

OM ' = k1 OM
OM ''.OM ' = k2
Þ

OM .OM '' =

k2
k1

k2
Þ N . V =N (O,
k1 ). ¨
Chứng minh tương tự ta có:
V . N =N (O, k1.k2)
1.3.10 Tích của một phép vị tự và một phép nghịch đảo có cực nghịch đảo và
tâm vị tự khác nhau có thể phân tích thành tích của một phép tịnh tiến và một
phép nghịch đảo.
Chứng minh:

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

13


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

Giả sử trong En (n=2, 3) có phép nghịch đảo N = N (O1, k1) và phép vị tự V =
V (O2, k2) .
Ta có:
N (O1, k1) . V (O2, k2)
= N (O1, k1) . V -1(O1, 1/k2). V (O1, 1/k2) . V (O2, k2)
= N (O1,

k2
k1 ) . T ¨

Chứng minh tương tự ta có:

V . N =T . N (O1, k1.k2) .
1.3.11 Tích của hai phép nghịch đảo không đồng cực phương tích dương có
thể phân tích một cách duy nhất thành tích của một phép đối xứng qua siêu
phẳng và một phép nghịch đảo hoặc một phép nghịch đảo và một phép đối
xứng qua siêu phẳng mà siêu phẳng đối xứng là siêu phẳng đẳng phương của
hai siêu cầu nghịch đảo.

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

14


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC
2.1 Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong toán học nói chung và
trong hình học nói riêng. Bài toán chứng minh chứa đựng trong hầu hết các
bài toán hình học khác như bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính
toán.
Bài toán chứng minh là bài toán chỉ ra mệnh đề A Þ B đúng trong đó A
là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán.
Để giải bài toán chứng minh thông thường xuất phát từ giả thiết A và
những mệnh đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ, quy tắc suy luận logic,
dựa vào các định nghĩa, tiên đề, tính chất, định lý, hệ quả của các đối tượng
hình học để đi đến kết luận B. Trong một số trường hợp có thể phải chứng

minh thêm một số bài toán phụ làm cơ sở để chứng minh bài toán ban đầu.
2.2 Sử dụng phép nghịch đảo vào bài toán chứng minh
Để giải một số bài toán chứng minh có ứng dụng phép nghịch đảo,
thông thường bao gồm các thao tác sau:
+ Nghiên cứu kỹ đề bài, vẽ hình chính xác.
+ Xác định rõ yếu tố cần chứng minh, các yếu tố đã cho, các yếu tố cố
định và quan hệ ban đầu giữa các yếu tố đó.
+ Dựa vào kết quả phân tích ở trên, lựa chọn một phép nghịch đảo với
cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo xác định.
+ Xác định ảnh và mối quan hệ giữa các ảnh của các yếu tố hình học để
có thể chuyển bài toán về bài toán mới đơn giản hơn.

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

15


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

+ Giải bài toán mới.
+ Dựa vào tính chất của phép nghịch đảo để suy ra điều phải chứng minh.
2.3 Ứng dụng phép nghịch đảo để giải một số lớp các bài toán chứng minh
2.3.1 Bài toán chứng minh mối quan hệ về góc giữa các đường
Do phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa các đường nên nó bảo toàn quan
hệ tiếp xúc, song song, trực giao giữa các đường.
Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể chứng minh các
ảnh của chúng qua một phép nghịch đảo là một đường thẳng và một đường
tròn tiếp xúc nhau hoặc là hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Để chứng minh hai đường tiếp xúc nhau ta có thể chứng minh các ảnh
của chúng qua một phép nghịch đảo là hai đường tiếp xúc nhau hoặc là hai
đường thẳng song song với nhau.
Để chứng minh hai đường thẳng trực giao với nhau, đường thẳng trực
giao với đường tròn, hoặc hai đường tròn trực giao với nhau ta có thể chứng
minh các ảnh của chúng qua một phép nghịch đảo là các đường trực giao với
nhau nếu việc chứng minh quan hệ trực giao trên các ảnh đó thuận lợi hơn.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi B0, C0 lần lượt là
hình chiếu của B, C trên AC, AB.
CMR: Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) song song với B0C0, từ đó suy ra
AO ^ B0C0.
Lời giải:
Dễ thấy B, C0, B0, C cùng thuộc một đường tròn.
Do đó AB. AC0 = AC. AB0 = k
Xét phép nghịch đảo N = N (A, k)

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

16


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khi đó ta có:

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

N (B0) = C
N (C0) = B

Nên N (B0C0) = (O)
Gọi ta là tiếp tuyến tại A của (O) thì N (ta) = ta
Mặt khác ta tiếp xúc với (O) do đó ta // B0C0 (phép nghịch đảo bảo tồn góc).
Khi ấy, ta có AO ^ B0C0 (vì ta ^ AO).
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Một đường tròn tâm O đi qua hai điểm A, C và
cắt đoạn AB, BC lần lượt tai hai điểm K, N. Giả sử các đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC và KBN cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt B, M.
· = 900 .
CMR: OMB

Lời giải:
Gọi R là bán kính đường tròn tâm O, P=KN I AC, S=KC I AN .
Ta có B là đối cực của PS qua (O) và ngược lại P sẽ là đối cực của BS qua
(O). Do đó S sẽ là đối cực BP qua (O).
Gọi M’= OS I BP, khi đó ta có OM’ ^ BP
Mặt khác ta có BS ^ OP (do BS là đường đối cực của P qua (O))
Tương tự PS ^ OB.
Suy ra: S là trực tâm của D BOP. Do đó nếu gọi B’=BS I OP ta có ngay B’ là
ảnh của P qua N (O, R2)

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

17


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Ta có:

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

N (A) = A
N (C) = C

Do vậy AC a (OAC), P Î AC suy ra B’ a (OAC)
Ta được: PO.PB’=PA.PC
Mặt khác ta thấy B, M’, B’, O cùng thuộc một đường tròn, do đó
PM’.PB = PO.PB’ dẫn đến PM’.PB = PA.PC, tức là M’ Î (ABC).
Thấy rằng PA.PC = PK.PN =PM’.PB, do đó M’ Î (BKN). Hay
M’ º (BKN) I (ABC) º M
· = 900
Suy ra OMB

Ví dụ 3: Cho bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng.
CMR: Góc giữa hai đường tròn (ABC), (ABD) bằng góc giữa hai đường tròn
(CDA), (CDB).

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

18


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

Lời giải:
Xét phép nghịch đảo N = N (A, k), k ¹ 0
Ta có: N (B) = B’
N (C) = C’

N (C) = D’
Suy ra: N [(ABC)] = B’C’
N [(ABD)] = B’D’
N [(CDA)] = C’D’
N (CDB) = (B’C’D’).
Gọi D’x là tiếp tuyến của đường tròn (B’C’D’) tại D’.

1 ¼
·
·
'B'D' = C
' D ' x = sd C
'D'
Ta có C
2
Do đó góc giữa B’C’ và B’D’ bằng góc giữa C’D’ và (B’C’D’)
Do tính chất bảo toàn góc giữa hai đường của phép nghịch đảo suy ra góc
giữa (ABC) và (ABD) bằng góc giữa (CDA) và (CDB)
Ví dụ 4: Cho đường tròn (O) và hai dây AA’, BB’ vuông góc với nhau tại P
cố định nằm bên trong đường tròn (O).Gọi I là trung điểm đoạn A’B’.
CMR: PI ^ AB.

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

19


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

Lời giải:
Xét phép nghịch đảo N = N (P, P P/(O)).
Ta có:

N (A) = A’
N (B) = B’
N (AB) = (PA’B’)
N (PI) = PI

Vì D PA’B’vuông tại P mà I là trung điểm A’B’ nên PI trực giao với đường
tròn (PA’B’).
Do đó PI ^ AB.

¨

2.3.2 Bài toán chứng minh yếu tố cố định trong hình học
Trong hình học thường có các bài toán chứng minh: Đường thẳng đi
qua điểm cố định, đường tròn đi qua điểm cố định.
Sử dụng tính chất phép nghịch đảo biến hai điểm A, B thành hai điểm
tương ứng A’, B’ thì tứ giác ABA’B’ nội tiếp, nếu chỉ ra A cố định thì A’
cũng cố định (cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo cố định). Để chứng
minh đường tròn đi qua điểm A cố định ta có thể gián tiếp chứng minh ảnh
của đường tròn ấy (là đường thẳng hoặc đường tròn) qua phép nghịch đảo đi
qua điểm A’ cố định nào đó. Ngược lại để chứng minh đường thẳng đi qua
điểm cố định ta có thể chứng minh đường tròn tương ứng của đường thẳng ấy
qua một phép nghịch đảo đi qua một điểm cố định.
Có thể sử dụng tính chất bảo toàn tính tiếp xúc, tính trực giao giữa các
đường của phép nghịch đảo để tìm điểm cố định.
Ví dụ 5: Cho ba điểm thẳng hàng O, A, A’ và (C) là một đường tròn có

đường kính OA, d là đường thẳng vuông góc với OA ở A’, một cát tuyến a

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

20


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

thay đổi qua A’cắt đường tròn ở P, Q các đường thẳng OP, OQ cắt d lần lượt
ở P’, Q’.
CMR: A ' P '. A ' Q ' không đổi

Lời giải:
Phương tích của A’ đối với (C) là k= A ' A. A ' O
Xét phép nghịch đảo N = N (A’, k)
Ta có:

N (A) = O
N (P) = Q
N (d) = d

Đường thẳng OQ không qua cực A’ nên có ảnh là đường tròn

G đi qua cực

A’.
Vì

N (A) = O
N (Q) = P

nên A Î G , P Î G

Giả sử Q’’ là ảnh của Q’ qua N (A’, k)
Q’ Î OQ nên Q’’ Î G , mặt khác Q’ Î d mà d đi qua cực A’ nên Q’’ Î d.
Suy ra giao điểm P’ của d với

G là Q’’

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

21


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

Do đó: A ' P '. A ' Q ' =k. (không đổi vì k= A ' A. A ' O là phương tích của A’ đối
với đường tròn (C)).
Ví dụ 6:Cho hai đường tròn bằng nhau (C), (C’) giao nhau ở hai điểmA, B.
Một đường tròn thay đổi

G tiếp xúc với AB ở A cắt (C) và (C’)lần lượt tại P

và P’. Chứng minh PP’ luôn đi qua một điểm cố định và đường tròn (BPP’)
tiếp xúc với AB tại B.

Lời giải:
Gọi O là trung điểm của AB. Một cát tuyến bất kỳ qua O cắt (C) tại L, M, ta
uuur uuuur
có phương tích của O đối với (C) là OL.OM .
Gọi K là điểm đối xứng qua O của M, thì K thuộc đường tròn (C’) vì hai
đường tròn (C) và (C’) đối xứng với nhau qua O.

uuur

uuuur

Do đó, OK = -OM

uuur uuuur uuur uuur
Xét phép nghịch đảo N = N (O,k) với k = OA2 hay k = -OL.OM = OK .OL
thì N (L) = K
Mặt khác phương tích của O đối với đường tròn

G bằng k = OA2

Nên phép nghịch đảo N (O, k) biến đường tròn

G thành chính nó.

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

22


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

Như vậy N (P) = P’ với P là giao điểm của (C) và P’ là giao điểm của (C’) với

G , tức là O, P, P’ thẳng hàng hay PP’luôn đi qua điểm O cố định là trung
điểm của AB.

uuur uuuur
Mặt khác có OA = OB nên OB = OA = OP.OP ' nên đường tròn (BPP’) tiếp
2

2

xúc với AB tại B.
Ví dụ 7: Cho đường tròn (C) tâm O bán kính R, một đường thẳng D và điểm
A trên D .
CMR:
- Tồn tại hai đường tròn (C1) và (C2) cùng tiếp xúc với D ở A và tiếp
xúc với đường tròn (C).
- Khi cho đường thẳng D quay xung quanh A, đường thẳng nối tiếp hai
điểm T1,T2 của đường tròn (C) lần lượt với hai đường tròn (C1) và (C2) luôn đi
qua một điểm cố định .
Lời giải:
Xét phép nghịch đảo N = N (A, k) bảo toàn đường tròn(C).
Khi đó N (A, k) biến đường tròn tiếp xúc với D ở A và tiếp xúc với (C) (nếu
có) thành đường thẳng song song với D và tiếp xúc với đường tròn (C)

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

23


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán

Dễ thấy tồn tại hai đường thẳng như vậy (song song với D và tiếp xúc với
(C)) gọi là d1 và d2.
Ta thấy N (d1) = (C1)
N (d2) = (C2)
Với (C1) và (C2) cùng tiếp xúc với D ở A và tiếp xúc với (C) lần lượt tại T1,
T2.
Để chứng minh T1T2 đi qua một điểm cố định khi D quay quanh A ta chỉ cần
chứng minh ảnh của T1T2 trong phép ngịch đảo trên đi qua điểm cố định.
Thật vậy: N (T1) = T1’
N (T2) = T2’

với T1, T2 Î (C)
và T1’, T2’ Î (C) là hai tiếp điểm của các tiếp tuyến

d1 và d2 với (C).
Nên T1’, T2’ là hai điểm mút của một đường kính của đường tròn (C).
uuuur uuuur
2
OT
Suy ra:
1 '.OT2 ' = - R
Vì N (T1T2) = (AT1’T2’) với T1T2 không đi qua cực A và (AT1’T2’) đi qua cực
A.

N (P) = P’ với P = OA I T1T2 và P’ =OA I (AT1’T2’).
uuur uuuur uuuur uuuur
2
Xét đường tròn (AT1’T2’), ta có OA.OP ' = OT1 '.OT2 ' = - R .
Suy ra:

Suy ra P’ là điểm cố định, nên P là điểm cố định.
Vậy đường thẳng T1T2 luôn qua điểm cố định P.
Ví dụ 8: Cho một đường thẳng D và một điểm O cố định ở ngoài đường
thẳng ấy .Ứng với mỗi điểm M chạy trên D người ta vẽ một điểm N trên nửa
đường thẳng OM sao cho OM .ON = 1 .
a) CMR: Qũy tích điểm N là một đường tròn (C) đi qua O.

Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

24