Dạy học giải toán phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số ở THPT ( Luận án tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

HOÀNG TRUNG HIẾU

DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH
BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƢỜNG THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thái Nguyên, 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

HOÀNG TRUNG HIẾU

DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH
BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƢỜNG THPT

Chuyên ngành: Lí luận và PPDH môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Trần Việt Cƣờng

Thái Nguyên, 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên
cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014
Tác giả luận văn

Hoàng Trung Hiếu

Xác nhận
của trƣởng khoa chuyên môn

Xác nhận
của ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. Trần Việt Cường

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ
Lời cam đoan ...........................................................................................................

i

Mục lục....................................................................................................................

ii

Danh mục ký hiệu, từ viết tắt ..................................................................................

iii

MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 4
1.1. Nội dung dạy học hàm số ở trƣờng THPT ................................................ 4
1.2. Nội dung dạy học PT, BPT ở trƣờng THPT ............................................. 9
1.3. Một số sai lầm thƣờng gặp khi giải toán PT và BPT bằng phƣơng
pháp hàm số .................................................................................................... 24
1.4. Thực trạng vận dụng phƣơng pháp hàm số để giải một số dạng toán
về PT và BPT của HS phổ thông ................................................................... 32
1.5. Kết luận chƣơng I .................................................................................... 33
Chƣơng 2. DẠY HỌC GIẢI TOÁN PT VÀ BPT BẰNG PHƢƠNG PHÁP
HÀM SỐ Ở TRƢỜNG THPT ........................................................................... 34
2.1. Một số kiến thức cơ bản liên quan giữa hàm số, PT và BPT.................. 34
2.2. Vận dụng các kết quả nghiên cứu hàm số để giải các bài toán về PT
và BPT ............................................................................................................ 38
2.3. Một số chú ý khi dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm
số ở trƣờng THPT .......................................................................................... 63
2.4. Kết luận chƣơng 2 ................................................................................... 65
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ........................................................... 66
3.1. Mụ

c nghiệm sƣ phạm .............................................................. 66
3.2. Nộ
ệm sƣ phạm .............................................................. 66
3.3. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm............................................................. 67
ệm sƣ phạm .............................................................. 67
3.5. Kết luận chƣơng 3 ................................................................................... 72
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 73
CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN ....................... 74
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................... 75

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt

TT

Cụm từ viết tắt

1.

BPT

Bất phƣơng trình

2.

GTLN

Giá trị lớn nhất

3.

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

4.

GV

5.

HS

Học sinh

6.

NXB

Nhà xuất bản

7.

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

8.

PT

Phƣơng trình

9.

THPT

Trung học phổ thông

10. TXĐ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Tập xác định

/>

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong đổi mới phƣơng pháp dạy học (PPDH) môn Toán ở trƣờng Trung
học phổ thông (THPT), đổi mới PPDH giải bài tập có vai trò quan trọng vì: “Ở
trƣờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán. Học sinh (HS) có thể xem
việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở
trƣờng phổ thông là một phƣơng tiện hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri
thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực
tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích

dạy học ở trƣờng phổ thông” ([16]).
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán đƣợc sử dụng với nhiều chức năng
khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để
làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra... Giải toán giúp cho HS
hình thành đƣợc thế giới quan duy vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say
mê tìm tòi sáng tạo.
Trong nội dung chƣơng trình môn toán ở trƣờng phổ thông, phƣơng trình
(PT) và Bất phƣơng trình (BPT) là một trong những nội dung quan trọng và
chiếm một khối lƣợng lớn kiến thức, cũng nhƣ thời gian học ở trƣờng phổ
thông. Chủ đề PT, BPT có mối liên hệ mật thiết với chủ đề hàm số. Hơn nữa,
việc sử dụng các tính chất của hàm số trong giải một số dạng toán tỏ ra khá
hiệu quả. Bởi vậy, việc sử dụng các kết quả nghiên cứu về hàm số để giải các
bài toán về PT và BPT là điều cần thiết và bổ ích đối với HS. Phƣơng pháp giải
các bài toán về PT và BPT bằng cách sử dụng các kết quả nghiên cứu về hàm
số ta có thể gọi là "phƣơng pháp hàm số".
Phƣơng pháp hàm số không phải là phƣơng pháp có tính chất thuật giải
nhƣ phƣơng pháp giải PT bậc hai bằng cách tính biệt số

, nhƣng cũng không

hoàn toàn là một phƣơng pháp có tính chất tìm kiếm nhƣ quy lạ về quen, tƣơng
tự hóa... Vì vậy, chúng tôi nghĩ rằng cần nghiên cứu phƣơng pháp này để có
cách truyền thụ thích hợp cho HS.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Phƣơng pháp hàm số cũng nhƣ mọi phƣơng pháp khác không phải thích
hợp cho mọi bài toán về PT và BPT. Tuy vậy, số bài tập có thể áp dụng đƣợc
phƣơng pháp hàm số để giải cũng không phải là ít. Thực tế cho thấy, phƣơng

pháp hàm số ít đƣợc áp dụng trong nhà trƣờng phổ thông nên có thể xem là
phƣơng pháp mới. Thông qua cách giải bằng phƣơng pháp hàm số, HS thấy
đƣợc sự liên hệ mật thiết giữa hàm số và PT, BPT, thấy đƣợc sự tác động qua
lại giữa chúng, bổ sung và hỗ trợ cho nhau và cho ta thấy đƣợc mối quan hệ
chặt chẽ giữa đại số và giải tích. Giải toán bằng phƣơng pháp hàm số giúp HS
phát triển khả năng tổng hợp, rèn luyện tƣ duy linh hoạt, sáng tạo...
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Dạy học giải
toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số ở trường THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu
Dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng THPT.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng
THPT một cách hợp lý thì sẽ góp phần nâng cao khả năng giải toán PT và BPT
cho HS THPT.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về vai trò của phƣơng pháp hàm số trong dạy học toán ở
trƣờng phổ thông.
- Nghiên cứu việc dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số
ở trƣờng THPT.
- Bƣớc đầu thử nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu
quả của việc dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng
THPT.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về PPDH toán và các tài
liệu có liên quan tới đề tài.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu hồ sơ kinh nghiệm dạy

học của giáo viên (GV) phổ thông để thấy đƣợc vƣớng mắc và khó khăn của
HS khi học nội dung này.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm dạy học một số nội
dung hƣớng dẫn HS giải bài toán về PT và BPT bằng phƣơng pháp hàm số để
bƣớc đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của việc nghiên cứu.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”,
luận văn gồm có các nội dung sau:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2. Dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở
trƣờng THPT.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

CHƢƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Nội dung dạy học hàm số ở trƣờng phổ thông
1.1.1. Vị trí và tầm quan trọng của nội dung hàm số
Khi đánh giá về vị trí và tầm quan trọng của khái niệm hàm số trong
chƣơng trình môn toán ở trƣờng phổ thông, nhà toán học Khinsin viết: “Không
có khái niệm nào khác có thể phản ánh hiện thực khách quan một cách trực tiếp
và cụ thể nhƣ khái niệm tƣơng quan hàm, không có một khái niệm nào có thể
thể hiện đƣợc ở trong nó những nét biện chứng của tƣ duy toán học hiện đại
nhƣ khái niệm tƣơng quan hàm” [19]. Thật vậy, bản chất của vật chất là vận
động và sự vận động diễn ra trong những mối tƣơng quan nhất định.
Với khái niệm hàm, ngƣời ta nghiên cứu các sự vật trong trạng thái biến
đổi liên tục và trong mối liên hệ tác động lẫn nhau của nó chứ không phải trong
trạng thái tĩnh tại và tách rời nhau. Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực

khách quan và thể hiện rõ nét tƣ duy biện chứng trong quá trình nghiên cứu.
Chính vì vậy, khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản của toán
học, nó giữ vị trí trung tâm trong chƣơng trình môn Toán ở nhà trƣờng phổ
thông. Việc dạy học môn toán ở nhà trƣờng phổ thông cho HS đều đƣợc xoay
quanh khái niệm này [19].
Việc đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số sẽ tăng cƣờng tính
thống nhất của sách giáo khoa phổ thông, góp phần xóa bỏ ranh giới “giả tạo”
giữa các phân môn toán học, giữa các phần khác nhau của chƣơng trình môn
toán ở trƣờng phổ thông. Quan điểm này đƣợc thể hiện rõ nét trong chƣơng
trình toán THPT [16]. Việc làm cho HS nắm vững khái niệm hàm sẽ giúp cho
HS học tập thuận lợi và có kết quả tốt các nội dung có liên quan nhƣ: Đại số,
lƣợng giác, hình học và vật lý…
1.1.2. Sơ lƣợc quá trình hình thành và phát triển nội dung dạy học hàm số
ở trƣờng phổ thông
Căn cứ vào nội dung chƣơng trình môn toán ở nƣớc ta hiện nay, chúng ta
thấy:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Trƣớc lớp 7: HS chƣa đƣợc học định nghĩa hàm số một cách tƣờng minh.
Tuy nhiên, HS dần đƣợc tiếp xúc với những ví dụ cụ thể của khái niệm này.
Chẳng hạn một số phép toán số học hoặc đại số ở trƣờng THCS.
Ở lớp 7: HS bắt đầu đƣợc giới thiệu định nghĩa hàm số, khái niệm đồ thị
hàm số, tiếp đó là nghiên cứu một số hàm số cụ thể: Hàm số y = ax (a ≠ 0) và
hàm số y

a
(a 0) . Trên tập số hữu tỷ thể hiện sự tƣơng quan đại lƣợng tỉ lệ
x

thuận và đại lƣợng tỉ lệ nghịch.
Lớp 9: HS đƣợc xét các hàm số trên tập số thực  hoàn chỉnh hơn và bắt
đầu đƣợc làm quen với khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. Sau
đó, HS đƣợc nghiên cứu các hàm số bậc nhất y = ax (a ≠ 0) và hàm số

y=

ax2 (a ≠ 0) trên  .
Lớp 10: HS đƣợc nghiên cứu một cách chính hơn hơn, đầy đủ hơn các
vấn đề về hàm số nhƣ: hàm số, tập xác định và đồ thị hàm số đồng thời đƣa ra
các khái niệm đồng biến, nghịch biến, sự biến thiên của hàm số, hàm số chẵn,
hàm số lẻ. Tiếp đó, HS đƣợc nghiên cứu hàm số bậc hai dạng tổng quát.
Lớp 11: HS đƣợc học về hàm số lƣợng giác, hàm số với đối số là số tự
nhiên: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
Việc khảo sát hàm số trƣớc lớp 12 đƣợc tiến hành bằng phƣơng pháp sơ
cấp (chủ yếu dựa vào các tính chất đã biết của hàm số).
Lớp 12: HS đƣợc làm quen với việc sử dụng đạo hàm để nghiên cứu các
tính chất của hàm số nhƣ: Tính đồng biến, nghịch biến, cực trị… của hàm số.
HS sử dụng những kiến thức này để khảo sát một số hàm số nhƣ:
y

ax 3 bx 2

cx d (a

y

ax 4 bx 2

c (a

0)

y

ax b
(ad bc
cx d

0)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

0)

/>

y

ax 2 bx c
(Chương trình nâng cao)
px q

Ngoài ra trong chƣơng trình lớp 12, HS đƣợc nghiên cứu về các hàm số
khác: hàm lũy thừa, hàm căn thức, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
1.1.3. Mục đích yêu cầu dạy học hàm số ở trƣờng phổ thông
Nghiên cứu hàm số đƣợc coi là nhiệm vụ chủ yếu xuyên suốt chƣơng
trình THPT. Nhiều kiến thức mở đầu về hàm số đƣợc học ở bậc THCS.
Chƣơng trình THPT hệ thống lại có bổ sung và hoàn chỉnh hơn: Hàm số với

đối số nguyên, hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đồng biến,
hàm số nghịch biến, giới hạn, liên tục… Việc khảo sát hàm số ở THPT đƣợc
tiến hành qua hai giai đoạn:
Giai đoạn I (Lớp 10, 11): Khảo sát bằng phƣơng pháp sơ cấp các hàm số
bậc hai, hàm số lƣợng giác…
Giai đoạn II (Lớp 12): Khảo sát bằng phƣơng pháp dùng đạo hàm các
hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phƣờng,
hàm số bậc nhất/bậc nhất và hàm số bậc hai/ bậc nhất…
Từ đó, mục đích yêu cầu trong dạy học hàm số ở trƣờng THPT là [19]:
- HS nắm vững đƣợc khái niệm hàm số và các khái niệm có liên quan,
thấy đƣợc những dạng khác nhau muôn hình muôn vẻ của khái niệm này trong
các phân môn toán học và qua các chƣơng mục khác nhau, từ đó thấy đƣợc vị
trí trung tâm của khái niệm này trong toàn bộ chƣơng trình môn toán ở nhà
trƣờng phổ thông (1).
- HS nắm vững đƣợc phƣơng pháp khảo sát hàm số bằng phƣơng pháp
sơ cấp và bằng công cụ đạo hàm, biết vận dụng những phƣơng pháp đó để khảo
sát một số hàm số cụ thể (Các hàm đa thức, hàm phân thức, hàm số mũ, hàm số
lôgarit, hàm số lƣợng giác…) và tiến tới rèn luyện kỹ năng thành thạo về mặt
này. Thấy đƣợc mối liên hệ qua lại giữa hàm số và đồ thị cũng nhƣ ứng dụng
của việc khảo sát hàm số trong giải toán, đặc biệt là trong việc giải PT, BPT và
giải các bài toán cực trị (2).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

- Phát triển ở HS năng lực tƣ duy hàm thông qua việc thực hiện các yêu
cầu (1) và (2) trong toàn bộ chƣơng trình môn Toán. Rèn luyện cho HS những
thao tác tƣ duy, đặc biệt là trừu tƣợng hóa và khái quát hóa trong việc hình
thành khái niệm hàm số.
- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng trƣớc hết là tập dƣợt cho

HS xem xét những sự vật, hiện tƣợng trong trạng thái động và trong những mối
liên hệ tác động lẫn nhau.
1.1.4. Một số kiến thức về hàm số thƣờng đƣợc vận dụng vào việc giải PT
và BPT ở trƣờng phổ thông
a) Định nghĩa hàm số
Cho D là một tập con khác rỗng của tập hợp các số thực  . Một hàm số
f xác định trên D là một quy tắc cho tƣơng ứng mỗi phần tử x

D một và chỉ

một số thực y.
+) D gọi là tập xác định (miền xác định) của hàm f.
+) Phần tử bất kì x

D gọi là biến số độc lập (biến số, đối số).

+) Số thực y tƣơng ứng với biến số x gọi là giá trị của hàm số f tại x, kí
hiệu là f(x).
+) Tập hợp tất các giá trị y = f(x) với x

D đƣợc gọi là tập giá trị của

hàm số.
b) Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b):
+) Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trên khoảng (a; b) nếu với mọi
x1 , x2

(a; b) sao cho x1 x2 : f ( x1 )

f ( x2 ) .

+) Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu với mọi
x1 , x2

(a; b) sao cho x1 x2 : f ( x1 )

f ( x2 ) .

- Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).
+) Nếu f '( x) 0, x (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng
(a; b).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Luận án đầy đủ ở file: Luận án Full