Dạy học giải toán phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số ở THPT

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM




HOÀNG TRUNG HIẾU





DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH
BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƢỜNG THPT





LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thái Nguyên, 2014


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu







ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM




HOÀNG TRUNG HIẾU




DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH

BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƢỜNG THPT




Chuyên ngành: Lí luận và PPDH môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC


Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Trần Việt Cƣờng




Thái Nguyên, 2014


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên
cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014
Tác giả luận văn

Hoàng Trung Hiếu


Xác nhận
của trƣởng khoa chuyên môn
Xác nhận
của ngƣời hƣớng dẫn khoa học




TS. Trần Việt Cường







Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ

Lời cam đoan
i

Mục lục
ii
Danh mục ký hiệu, từ viết tắt
iii

MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Nội dung dạy học hàm số ở trƣờng THPT 4
1.2. Nội dung dạy học PT, BPT ở trƣờng THPT 9
1.3. Một số sai lầm thƣờng gặp khi giải toán PT và BPT bằng phƣơng
pháp hàm số 24
1.4. Thực trạng vận dụng phƣơng pháp hàm số để giải một số dạng toán
về PT và BPT của HS phổ thông 32
1.5. Kết luận chƣơng I 33
Chƣơng 2. DẠY HỌC GIẢI TOÁN PT VÀ BPT BẰNG PHƢƠNG PHÁP
HÀM SỐ Ở TRƢỜNG THPT 34
2.1. Một số kiến thức cơ bản liên quan giữa hàm số, PT và BPT 34
2.2. Vận dụng các kết quả nghiên cứu hàm số để giải các bài toán về PT
và BPT 38
2.3. Một số chú ý khi dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm
số ở trƣờng THPT 63
2.4. Kết luận chƣơng 2 65
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 66
3.1. Mụ c nghiệm sƣ phạm 66
3.2. Nộ ệm sƣ phạm 66
3.3. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm 67
ệm sƣ phạm 67
3.5. Kết luận chƣơng 3 72
KẾT LUẬN 73
CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 74

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 75

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

TT
Viết tắt
Cụm từ viết tắt
1.
BPT
Bất phƣơng trình
2.
GTLN
Giá trị lớn nhất
3.
GTNN
Giá trị nhỏ nhất
4.
GV

5.
HS
Học sinh
6.
NXB
Nhà xuất bản
7.
PPDH

Phƣơng pháp dạy học
8.
PT
Phƣơng trình
9.
THPT
Trung học phổ thông
10.
TXĐ
Tập xác định




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong đổi mới phƣơng pháp dạy học (PPDH) môn Toán ở trƣờng Trung
học phổ thông (THPT), đổi mới PPDH giải bài tập có vai trò quan trọng vì: “Ở
trƣờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán. Học sinh (HS) có thể xem
việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở
trƣờng phổ thông là một phƣơng tiện hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri
thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực
tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích
dạy học ở trƣờng phổ thông” ([16]).
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán đƣợc sử dụng với nhiều chức năng
khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để
làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Giải toán giúp cho HS
hình thành đƣợc thế giới quan duy vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say

mê tìm tòi sáng tạo.
Trong nội dung chƣơng trình môn toán ở trƣờng phổ thông, phƣơng trình
(PT) và Bất phƣơng trình (BPT) là một trong những nội dung quan trọng và
chiếm một khối lƣợng lớn kiến thức, cũng nhƣ thời gian học ở trƣờng phổ
thông. Chủ đề PT, BPT có mối liên hệ mật thiết với chủ đề hàm số. Hơn nữa,
việc sử dụng các tính chất của hàm số trong giải một số dạng toán tỏ ra khá
hiệu quả. Bởi vậy, việc sử dụng các kết quả nghiên cứu về hàm số để giải các
bài toán về PT và BPT là điều cần thiết và bổ ích đối với HS. Phƣơng pháp giải
các bài toán về PT và BPT bằng cách sử dụng các kết quả nghiên cứu về hàm
số ta có thể gọi là "phƣơng pháp hàm số".
Phƣơng pháp hàm số không phải là phƣơng pháp có tính chất thuật giải
nhƣ phƣơng pháp giải PT bậc hai bằng cách tính biệt số , nhƣng cũng không
hoàn toàn là một phƣơng pháp có tính chất tìm kiếm nhƣ quy lạ về quen, tƣơng
tự hóa Vì vậy, chúng tôi nghĩ rằng cần nghiên cứu phƣơng pháp này để có
cách truyền thụ thích hợp cho HS.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Phƣơng pháp hàm số cũng nhƣ mọi phƣơng pháp khác không phải thích
hợp cho mọi bài toán về PT và BPT. Tuy vậy, số bài tập có thể áp dụng đƣợc
phƣơng pháp hàm số để giải cũng không phải là ít. Thực tế cho thấy, phƣơng
pháp hàm số ít đƣợc áp dụng trong nhà trƣờng phổ thông nên có thể xem là
phƣơng pháp mới. Thông qua cách giải bằng phƣơng pháp hàm số, HS thấy
đƣợc sự liên hệ mật thiết giữa hàm số và PT, BPT, thấy đƣợc sự tác động qua
lại giữa chúng, bổ sung và hỗ trợ cho nhau và cho ta thấy đƣợc mối quan hệ
chặt chẽ giữa đại số và giải tích. Giải toán bằng phƣơng pháp hàm số giúp HS
phát triển khả năng tổng hợp, rèn luyện tƣ duy linh hoạt, sáng tạo
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Dạy học giải
toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số ở trường THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu

Dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng THPT.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng
THPT một cách hợp lý thì sẽ góp phần nâng cao khả năng giải toán PT và BPT
cho HS THPT.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về vai trò của phƣơng pháp hàm số trong dạy học toán ở
trƣờng phổ thông.
- Nghiên cứu việc dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số
ở trƣờng THPT.
- Bƣớc đầu thử nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu
quả của việc dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng
THPT.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về PPDH toán và các tài
liệu có liên quan tới đề tài.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu hồ sơ kinh nghiệm dạy
học của giáo viên (GV) phổ thông để thấy đƣợc vƣớng mắc và khó khăn của
HS khi học nội dung này.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm dạy học một số nội
dung hƣớng dẫn HS giải bài toán về PT và BPT bằng phƣơng pháp hàm số để
bƣớc đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của việc nghiên cứu.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”,
luận văn gồm có các nội dung sau:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2. Dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở

trƣờng THPT.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.
















Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

CHƢƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Nội dung dạy học hàm số ở trƣờng phổ thông
1.1.1. Vị trí và tầm quan trọng của nội dung hàm số
Khi đánh giá về vị trí và tầm quan trọng của khái niệm hàm số trong
chƣơng trình môn toán ở trƣờng phổ thông, nhà toán học Khinsin viết: “Không
có khái niệm nào khác có thể phản ánh hiện thực khách quan một cách trực tiếp
và cụ thể nhƣ khái niệm tƣơng quan hàm, không có một khái niệm nào có thể
thể hiện đƣợc ở trong nó những nét biện chứng của tƣ duy toán học hiện đại
nhƣ khái niệm tƣơng quan hàm” [19]. Thật vậy, bản chất của vật chất là vận
động và sự vận động diễn ra trong những mối tƣơng quan nhất định.

Với khái niệm hàm, ngƣời ta nghiên cứu các sự vật trong trạng thái biến
đổi liên tục và trong mối liên hệ tác động lẫn nhau của nó chứ không phải trong
trạng thái tĩnh tại và tách rời nhau. Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực
khách quan và thể hiện rõ nét tƣ duy biện chứng trong quá trình nghiên cứu.
Chính vì vậy, khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản của toán
học, nó giữ vị trí trung tâm trong chƣơng trình môn Toán ở nhà trƣờng phổ
thông. Việc dạy học môn toán ở nhà trƣờng phổ thông cho HS đều đƣợc xoay
quanh khái niệm này [19].
Việc đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số sẽ tăng cƣờng tính
thống nhất của sách giáo khoa phổ thông, góp phần xóa bỏ ranh giới “giả tạo”
giữa các phân môn toán học, giữa các phần khác nhau của chƣơng trình môn
toán ở trƣờng phổ thông. Quan điểm này đƣợc thể hiện rõ nét trong chƣơng
trình toán THPT [16]. Việc làm cho HS nắm vững khái niệm hàm sẽ giúp cho
HS học tập thuận lợi và có kết quả tốt các nội dung có liên quan nhƣ: Đại số,
lƣợng giác, hình học và vật lý…
1.1.2. Sơ lƣợc quá trình hình thành và phát triển nội dung dạy học hàm số
ở trƣờng phổ thông
Căn cứ vào nội dung chƣơng trình môn toán ở nƣớc ta hiện nay, chúng ta
thấy:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Trƣớc lớp 7: HS chƣa đƣợc học định nghĩa hàm số một cách tƣờng minh.
Tuy nhiên, HS dần đƣợc tiếp xúc với những ví dụ cụ thể của khái niệm này.
Chẳng hạn một số phép toán số học hoặc đại số ở trƣờng THCS.
Ở lớp 7: HS bắt đầu đƣợc giới thiệu định nghĩa hàm số, khái niệm đồ thị
hàm số, tiếp đó là nghiên cứu một số hàm số cụ thể: Hàm số y = ax (a ≠ 0) và
hàm số
a
( 0)ya

x
. Trên tập số hữu tỷ thể hiện sự tƣơng quan đại lƣợng tỉ lệ
thuận và đại lƣợng tỉ lệ nghịch.
Lớp 9: HS đƣợc xét các hàm số trên tập số thực

hoàn chỉnh hơn và bắt
đầu đƣợc làm quen với khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. Sau
đó, HS đƣợc nghiên cứu các hàm số bậc nhất y = ax (a ≠ 0) và hàm số y =
ax
2
(a ≠ 0) trên

.
Lớp 10: HS đƣợc nghiên cứu một cách chính hơn hơn, đầy đủ hơn các
vấn đề về hàm số nhƣ: hàm số, tập xác định và đồ thị hàm số đồng thời đƣa ra
các khái niệm đồng biến, nghịch biến, sự biến thiên của hàm số, hàm số chẵn,
hàm số lẻ. Tiếp đó, HS đƣợc nghiên cứu hàm số bậc hai dạng tổng quát.
Lớp 11: HS đƣợc học về hàm số lƣợng giác, hàm số với đối số là số tự
nhiên: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
Việc khảo sát hàm số trƣớc lớp 12 đƣợc tiến hành bằng phƣơng pháp sơ
cấp (chủ yếu dựa vào các tính chất đã biết của hàm số).
Lớp 12: HS đƣợc làm quen với việc sử dụng đạo hàm để nghiên cứu các
tính chất của hàm số nhƣ: Tính đồng biến, nghịch biến, cực trị… của hàm số.
HS sử dụng những kiến thức này để khảo sát một số hàm số nhƣ:

32
ax ( 0)y bx cx d a


42

ax ( 0)y bx c a

ax
( 0)
b
y ad bc
cx d


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

2
ax bx c
y
px q
(Chương trình nâng cao)
Ngoài ra trong chƣơng trình lớp 12, HS đƣợc nghiên cứu về các hàm số
khác: hàm lũy thừa, hàm căn thức, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
1.1.3. Mục đích yêu cầu dạy học hàm số ở trƣờng phổ thông
Nghiên cứu hàm số đƣợc coi là nhiệm vụ chủ yếu xuyên suốt chƣơng
trình THPT. Nhiều kiến thức mở đầu về hàm số đƣợc học ở bậc THCS.
Chƣơng trình THPT hệ thống lại có bổ sung và hoàn chỉnh hơn: Hàm số với
đối số nguyên, hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đồng biến,
hàm số nghịch biến, giới hạn, liên tục… Việc khảo sát hàm số ở THPT đƣợc
tiến hành qua hai giai đoạn:
Giai đoạn I (Lớp 10, 11): Khảo sát bằng phƣơng pháp sơ cấp các hàm số
bậc hai, hàm số lƣợng giác…
Giai đoạn II (Lớp 12): Khảo sát bằng phƣơng pháp dùng đạo hàm các
hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phƣờng,
hàm số bậc nhất/bậc nhất và hàm số bậc hai/ bậc nhất…

Từ đó, mục đích yêu cầu trong dạy học hàm số ở trƣờng THPT là [19]:
- HS nắm vững đƣợc khái niệm hàm số và các khái niệm có liên quan,
thấy đƣợc những dạng khác nhau muôn hình muôn vẻ của khái niệm này trong
các phân môn toán học và qua các chƣơng mục khác nhau, từ đó thấy đƣợc vị
trí trung tâm của khái niệm này trong toàn bộ chƣơng trình môn toán ở nhà
trƣờng phổ thông (1).
- HS nắm vững đƣợc phƣơng pháp khảo sát hàm số bằng phƣơng pháp
sơ cấp và bằng công cụ đạo hàm, biết vận dụng những phƣơng pháp đó để khảo
sát một số hàm số cụ thể (Các hàm đa thức, hàm phân thức, hàm số mũ, hàm số
lôgarit, hàm số lƣợng giác…) và tiến tới rèn luyện kỹ năng thành thạo về mặt
này. Thấy đƣợc mối liên hệ qua lại giữa hàm số và đồ thị cũng nhƣ ứng dụng
của việc khảo sát hàm số trong giải toán, đặc biệt là trong việc giải PT, BPT và
giải các bài toán cực trị (2).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

- Phát triển ở HS năng lực tƣ duy hàm thông qua việc thực hiện các yêu
cầu (1) và (2) trong toàn bộ chƣơng trình môn Toán. Rèn luyện cho HS những
thao tác tƣ duy, đặc biệt là trừu tƣợng hóa và khái quát hóa trong việc hình
thành khái niệm hàm số.
- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng trƣớc hết là tập dƣợt cho
HS xem xét những sự vật, hiện tƣợng trong trạng thái động và trong những mối
liên hệ tác động lẫn nhau.
1.1.4. Một số kiến thức về hàm số thƣờng đƣợc vận dụng vào việc giải PT
và BPT ở trƣờng phổ thông
a) Định nghĩa hàm số
Cho D là một tập con khác rỗng của tập hợp các số thực

. Một hàm số
f xác định trên D là một quy tắc cho tƣơng ứng mỗi phần tử x D một và chỉ

một số thực y.
+) D gọi là tập xác định (miền xác định) của hàm f.
+) Phần tử bất kì x D gọi là biến số độc lập (biến số, đối số).
+) Số thực y tƣơng ứng với biến số x gọi là giá trị của hàm số f tại x, kí
hiệu là f(x).
+) Tập hợp tất các giá trị y = f(x) với x D đƣợc gọi là tập giá trị của
hàm số.
b) Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b):
+) Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trên khoảng (a; b) nếu với mọi
12
, ( ; )x x a b
sao cho
12
xx
:
12
( ) ( )f x f x
.
+) Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu với mọi
12
, ( ; )x x a b
sao cho
12
xx
:
12
( ) ( )f x f x
.
- Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).

+) Nếu
'( ) 0, ( ; )f x x a b
thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng
(a; b).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

+) Nếu
'( ) 0, ( ; )f x x a b
thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng
(a; b).
+) Nếu
'( ) 0 ( '( ) 0), ( ; )f x f x x a b
và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số
hữu hạn điểm thì hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b).
c) Cực đại, cực tiểu của hàm số
- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và
;0hh
.
+) Điểm
0
( ; )x a b
gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại
một lân cận
00
( ; )x h x h
của x
0
sao cho với mọi
0 0 0 0

( ; ),x x h x h x x
ta có
0
( ) ( )f x f x
.
+) Điểm
0
( ; )x a b
gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại
một lân cận
00
( ; )x h x h
của x
0
sao cho với mọi
0 0 0 0
( ; ),x x h x h x x
ta có
0
( ) ( )f x f x
.
+) Các điểm cực đại, cực tiểu đƣợc gọi chung là điểm cực trị của hàm số.
+) Giá trị của hàm số tại điểm cực trị đƣợc gọi là cực trị của hàm số.
- Định lý: Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trong một lân cận
(x
0
– h; x
0
+ h) của điểm x
0

, tại đó f’(x) = 0. Khi đó:
+) Nếu
'( ) 0fx
trên
00
( ; )x h x
và
'( ) 0fx
trên
00
( ; )x x h
thì x
0
là
điểm cực đại của hàm số.
+) Nếu
'( ) 0fx
trên
00
( ; )x h x
và
'( ) 0fx
trên
00
( ; )x x h
thì x
0
là
điểm cực tiểu của hàm số.
d) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
+) Số M đƣợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f(x) trên tập
D nếu:
00
: ( ) , : ( ) .x D f x M x D f x M
Kí hiệu:
ax ( )
D
M m f x
.
+) Số m đƣợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trên tập
D nếu:
00
: ( ) , : ( ) .x D f x m x D f x m
Kí hiệu:
min ( )
D
m f x
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

- Một số định lý:
+) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thì nó đạt đƣợc GTLN, GTNN
và mọi giá trị trung gian giữa GTNN và GTLN trên đoạn đó.
+) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f’(a).f’(b) < 0 thì tồn tại ít
nhất một điểm
( ; )c a b
sao cho
'( ) 0fc

.
+) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu tăng trên [a; b] thì:
;
;
ax ( ) ( ); min ( ) ( )
ab
ab
m f x f b f x f a

+) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu giảm trên [a; b] thì:
;
;
ax ( ) ( ); min ( ) ( )
ab
ab
m f a f b f x f b

+) Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn
trên [a; b] thì:
12
;;
12
;;
ax ( ) ax ( ), ( ), ( ), ( ), ( )
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), ( )
n
a b a b
n
a b a b
m f x m f x f x f x f a f b

f x f x f x f x f a f b

trong đó
12
, , ;
n
x x x a b
là các điểm tới hạn của hàm số.
1.2. Nội dung dạy học PT, BPT ở trƣờng phổ thông
1.2.1. Vị trí và tầm quan trọng của nội dung PT, BPT trong chƣơng trình
toán học ở nhà trƣờng phổ thông
PT, BPT là một trong những khái niệm quan trọng của toán học. Theo
Ănghen: Toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lƣợng và hình dạng
không gian của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn hoặc nhỏ hơn
giữa hai số lƣợng, giữa hai đại lƣợng là những quan hệ cơ bản.
Lý thuyết PT đã đƣợc nhiều nhà toán học nghiên cứu, phát triển thành lý
thuyết đại số, số học và nó còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ môn khác
của toán học. Ngƣời ta nghiên cứu không chỉ là những PT đại số mà còn cả các
PT vi phân, PT tích phân, PT toán lý, PT hàm…
PT và BPT là một trong những nội dung chiếm một vị trí quan trọng trong
chƣơng trình môn toán ở nhà trƣờng phổ thông. Từ lớp 1, HS đã đƣợc làm quen

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

với PT và BPT dƣới dạng ẩn tàng là các bài toán điền vào chỗ trống, so sánh…
Có thể nói, xuyên suốt từ lớp 1 cho đến lớp 12, nội dung PT và BPT xuất hiện ở
mọi cấp học, bậc học và mọi lớp học. Do đó, trình bày lý thuyết PT, BPT một
cách hợp lý cũng là một yêu cầu của cải cách giáo dục [19].
1.2.2. Triển khai dạy học PT, BPT qua các lớp ở trƣờng phổ thông
Căn cứ vào nội dung chƣơng trình môn toán ở nƣớc ta hiện nay, chúng ta

có thể thấy:
Trƣớc khi học tƣờng minh về PT và BPT, HS ở bậc tiểu học cũng đã
đƣợc làm quen một cách ẩn tàng với những bài toán về PT và BPT. Ở lớp 1,
HS đƣợc làm quen với các bài toán về PT, BPT dƣới dạng “điền vào ô trống”.
Ở lớp 2, lớp 3, lớp 4, HS đƣợc làm quen với các bài toán về PT, BPT dƣới dạng
“Tìm x trong các biểu thức” dạng a - x = b; ax = b hay
a
b
x
trên tập hợp số tự
nhiên.
Khái niệm PT và BPT đƣợc định nghĩa ở lớp 7, sau đó đƣợc định nghĩa
lại ở lớp 10. Các kiến thức về PT và BPT nhƣ quan hệ tƣơng đƣơng, quan hệ hệ
quả giữa hai PT và hai BPT, giải PT và BPT đƣợc đƣa dần ở mức độ thích hợp
với từng lớp và có phần lặp đi lặp lại, nâng cao dần từ lớp 8 đến lớp 10. HS
đƣợc dần dần làm quen với từng loại PT, BPT thích ứng với những yếu tố lý
thuyết đã học.
- Lớp 8: HS đƣợc học khái niệm PT, ẩn số, nghiệm của PT và giải PT,
quan hệ tƣơng đƣơng giữa hai PT và BPT. Dạng PT tƣơng ứng: PT, BPT bậc
nhất, PT có hệ số bằng chữ, PT có ẩn ở mẫu.
- Lớp 9: HS đƣợc học về hệ PT, các phép biến đổi tƣơng đƣơng về hệ
PT. Dạng PT tƣơng ứng: PT bậc 2 một ẩn số, PT quy về PT bậc 2, hệ PT bậc
nhất 2 ẩn số, các phƣơng pháp giải hệ PT.
- Lớp 10: Tổng kết và nâng cao những kiến thức về PT mà HS đã đƣợc
học ở THCS. Các dạng PT tƣơng ứng: PT bậc nhất, bậc 2 một ẩn số, hệ PT bậc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

nhất 2 ẩn, nhiều ẩn số, hệ PT đƣa về một PT bậc 2, đi sâu vào các PT có chứa
tham số, BPT bậc 2.

- Lớp 11: HS đƣợc học về PT lƣợng giác. Các dạng PT tƣơng ứng: PT
lƣợng giác cơ bản, PT bậc nhất, bậc 2 đối với một hàm số lƣợng giác
- Lớp 12: HS đƣợc học về các PT mũ, lôgarit và PT nghiệm phức.
1.2.3. Mục đích yêu cầu trong dạy học PT và BPT ở trƣờng phổ thong
Dạy học PT và BPT ở trƣờng THPT nhằm mục đích yêu cầu sau [19]:
- HS nắm vững khái niệm PT, BPT và những khái niệm có liên quan
nhƣ: Nghiệm của PT, BPT; giải PT, BPT; phép biến đổi tƣơng đƣơng, phép
biến đổi hệ quả
- Thông qua chủ đề PT, BPT cần củng cố và đào sâu cho HS một số kiến
thức về tập hợp và lôgic toán nhƣ: tập hợp, quan hệ bao hàm, quan hệ giao
nhau, các phép toán về tập hợp, giao của các tập hợp, các phép toán lôgíc nhƣ
kéo theo, tƣơng đƣơng
- HS có kỹ năng giải PT và BPT, thành thạo với việc giải PT và BPT
theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi, xác
định. HS có kỹ năng giải bài toán bằng cách lập PT, BPT thông qua đó rèn
luyện khả năng toán học hóa những tình huống thực tế, làm quen với một số bài
toán tối ƣu đơn giản có vận dụng kiến thức về PT và BPT.
- HS biết nhìn nhận khái niệm PT, BPT cả về mặt ngữ nghĩa và cú pháp.
HS biết cách giải PT, BPT bằng đồ thị, thông qua đó giúp HS thấy đƣợc mối
quan hệ giữa nội dung PT, BPT với nội dung hàm số.
- HS đƣợc phát triển về tƣ duy thuật giải trong việc giải PT và BPT theo
thuật giải hoặc theo một hệ quy tắc xác định. HS đƣợc rèn luyện về tính linh
hoạt và khả năng sáng tạo, đặc biệt là trong việc giải những PT theo nội dung,
những PT không mẫu mực.
- HS đƣợc rèn luyện về tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỷ luật trong việc
giải PT và BPT theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống quy tắc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

biến đổi xác định đƣợc giáo dục về tính cẩn thận, tính chính xác và thói quen tự

kiểm tra trong việc giải PT và BPT nói chung.
- HS thấy rõ đƣợc ý nghĩa thực tế của PT và BPT thông qua việc giải
những bài toán có nội dung vật lý, kỹ thuật và thực tế.
1.2.4. Dạy học giải các bài toán về PT và BPT ở trƣờng phổ thông
a) Dạy học biến đổi PT và BPT
Khi dạy học giải các bài toán về PT (BPT), GV thƣờng hƣớng dẫn HS
biến đổi PT (BPT) đã cho về những PT (BPT) đơn giản hơn và cuối cùng dẫn
đến những PT (BPT) đã biết cách giải. Việc dạy học BPT nhìn chung tƣơng tự
nhƣ dạy học PT nên trong phần này, chúng tôi chỉ tập trung trình bày về dạy
học PT.
Biến đổi PT hiểu theo nghĩa rộng bao gồm những phép biến đổi đồng
nhất và những phép biến đổi biến số (đặt ẩn phụ). Khi thực hiện phép biến đổi
đồng nhất cần phải quan tâm đến miền xác định. Khi ta sử dụng những phép
biến đổi đồng nhất không làm thay đổi miền xác định của biểu thức biến đổi thì
ta đƣợc một PT tƣơng đƣơng. Khi ta sử dụng những phép biến đổi đồng nhất
làm thay đổi miền xác định của biểu thức biến đổi thì nói chung ta đƣợc một
PT không tƣơng đƣơng với PT đã cho. Nếu phép biến đổi đó làm cho miền xác
định mở rộng thì nói chung dẫn đến PT hệ quả (có thể có thêm nghiệm). Khi
đó, ta phải thử nghiệm vào PT đầu để loại những nghiệm ngoại lai. Nếu phép
biến đổi làm thu hẹp miền xác định thì nói chung sẽ làm mất nghiệm của
phƣơng trình ban đầu. Ta cần phải căn cứ vào phép biến đổi để tìm nghiệm đã
mất. Việc thử nghiệm để loại những nghiệm ngoại lai hoặc tìm những nghiệm
đã mất sẽ gây ra những khó khăn trong khâu tính toán. Do vậy khi thực hiện
các phép biến đổi đồng nhất phải chú ý đến những phép biến đổi làm thay đổi
miền xác định.
Ví dụ 1.1: Tìm m để PT
21x x m
(1) có hai nghiệm phân biệt.
Một HS giải như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Ta có (1)
2 1 (2)x x m


22
22
2 2 1 2 2 (3)
(2 1) 2 3 0
x x m m mx x
x m x m m

Ta có
22
(2 1) 4( 2 3) 4 11m m m m

Do đó,
11
0 4 11 0
4
mm

Vậy với
11
4
m
thì PT (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Nhận xét: Trong lời giải trên, HS đã mắc sai lầm: phép biến đổi từ PT
(2) sang PT (3) là không tƣơng đƣơng do đã làm mở rộng miền xác định của

PT. Trong khi đó, HS lại không tiến hành thử lại để loại nghiệm ngoại lai. Do
đó, lời giải bài toán không chính xác.
Đáp số đúng của bài toán này:
11
3
4
m
.
Vậy khi biến đổi PT mà không thay đổi biến ta cần lƣu ý HS những phép
biến đổi đồng nhất làm cho biểu thức mở rộng hoặc thu hẹp miền xác định.
Khi biến đổi PT có thay đổi biến ta cần lƣu ý HS về quan hệ tập xác định
của hai PT đối với hai biến. Chẳng hạn: PT
( ) 0 (1)fx
với
xX
biến đổi
thành PT
( ) 0 (2)gt
với
tT
phải bảo đảm mỗi
tT
phải tồn tại
xX

tƣơng ứng và ngƣợc lại. Có vậy thì hai bài toán mới tƣơng đƣơng.
Ví dụ 1.2: Bài toán 1: Tìm m để PT
( 1).( 2).( 3).( 4) (1)x x x x m

có 4 nghiệm phân biệt.

Ta có:
22
(1) ( 5 4).( 5 6) 0x x x x m

Đặt
2
5 4 (*)x x t
. Khi đó, ta có
2
(*) 5 4 0 (2)x x t

PT (2) có nghiệm khi và chỉ khi
9
25 4(4 ) 0
4
tt

Ta có, PT (1) trở thành:
2
( 2) 0 2 0 (3)t t m t t m

Nhƣ vậy, tập xác định của PT (1) là
X 


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Tập xác định của PT (3) là:
9
;

4
T
;
Căn cứ vào phép biến đổi ta thấy:
Nếu
9
4
t
thì PT (2) có đúng một nghiệm
xX
.
Nếu
9
4
t
thì PT (2) có hai nghiệm phân biệt
xX
.
Vậy để PT (1) có 4 nghiệm phân biệt
xX
thì (3) phải có hai nghiệm
phân biệt
9
;
4
t
.
Vậy ta có bài toán 2 nhƣ sau: Tìm m để PT
2
20t t m

có 2 nghiệm
phân biệt lớn hơn
9
4
. Bài toán 1 và bài toán 2 tƣơng đƣơng với nhau, tức là
với giá trị m tìm đƣợc mà điều kiện bài toán 2 thỏa mãn thì điều kiện bài toán 1
cũng thỏa mãn và ngƣợc lại.
b) Giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phƣơng diện ngữ nghĩa và
cú pháp
Trong toán học ngƣời ta phân biệt cái kí hiệu và cái đƣợc kí hiệu, cái biểu
diễn và cái đƣợc biểu diễn. Nếu ta xem xét phƣơng diện những cái kí hiệu,
những cái biểu diễn đi vào cấu trúc hình thức và những quy tắc hình thức để xác
định và biến đổi chúng thì đó là phƣơng diện cú pháp. Nếu ta xem xét phƣơng
diện những cái đƣợc kí hiệu, những cái đƣợc biểu diễn, tức là đi vào nội dung,
vào nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biểu diễn thì đó là phƣơng diện ngũ
nghĩa. Cả hai phƣơng diện này cần đƣợc coi trọng trong việc hình thành phát
triển con ngƣời toàn diện, bởi vì chúng thể hiện tính linh hoạt, sáng tạo, tính quy
củ, hợp lý trong suy nghĩ và hành động. Hai phƣơng diện này cũng phản ánh hai
loại hình tƣ duy quan trọng trong toán học: tƣ duy ngữ nghĩa và tƣ duy cú pháp.
Việc dạy học PT, BPT có thể đƣợc khai thác để rèn luyện cho HS cả hai
loại hình tƣ duy và hoạt động nói trên. Muốn vậy, ta cần giải quyết hợp lý mối

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

quan hệ giữa hai phƣơng diện ngữ nghĩa và cú pháp trong dạy học PT và BPT.
Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng trong dạy học PT, ban đầu cần chú
trọng chủ yếu là phƣơng diện ngữ nghĩa, càng về sau càng tăng cƣờng thêm
những yếu tố về mặt cú pháp nhƣng không đƣợc lãng quên mặt ngữ nghĩa
[19].
Đến lớp 12, thông qua việc học đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo

sát hàm số, ta có thể hƣớng dẫn HS vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải bài
toán "so sánh số với hai nghiệm của PT bậc hai" theo một phƣơng pháp khác
chú trong hơn về mặt ngữ nghĩa. Nhờ đó, HS đƣợc làm quen với những phƣơng
pháp tƣơng ứng mà nhận ra sự cần thiết của phƣơng pháp này.
Ví dụ 1.3: Với giá trị nào của m thì PT:
2
( 1)x ( 5) 1 0m m x m

a) Có hai nghiệm lớn hơn -1
b) Có hai nghiệm nằm giữa -2 và 3
Ta có thể hƣớng dẫn HS lớp 12 ứng dụng đạo hàm để giải bài toán này.

2
( 1)x ( 5) 1 0 (1)m m x m

22
(x 1) x 5 1 (2)x m x

Vì
2
x 1 0,xx
nên PT (2) tƣơng đƣơng với PT:
2
2
x 5 1
(3)
x1
x
m
x

Đặt
2
2
x 5 1
()
x1
x
fx
x
, ta có f(x) xác định trên

.
Ta có
2
2
2
4x 4
'( )
x1
fx
x
.
Do đó,
'( ) 0 1f x x

Ta có bảng biến thiên:


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

x
-2 -1 1 3
f’(x)
+ 0 - 0 +


f(x)

7
3
1

15
7

5
7

1 -3
Từ kiến thức về hàm số và đồ thị ta có thể hƣớng dẫn HS nhận thấy:
a) PT có hai nghiệm lớn hơn -1 khi
31m

b) PT có hai nghiệm nằm giữa -2 và 3 khi
15 7
73
m
hoặc
5

3
7
m
.
Ví dụ 1.4: Với giá trị nào của m thì BPT
2
2 1 0 (1)x x m
nghiệm
đúng với
0;2x
?
Khi HS chƣa đƣợc học về đạo hàm, GV có thể hƣớng dẫn HS giải bài
toán trên nhƣ sau:
Đặt
2
( ) 2 1f x x x m
. Ta có
'2m
.
+ Nếu
' 0 2 0 2mm
thì (1) nghiệm đúng
.x 
Do đó (1)
nghiệm đúng
0;2x
.
+ Nếu
' 0 2m
thì (1) có nghiệm

12
( ; ) ( ; )x x x
, trong đó
x
1
và x
2
là nghiệm của f(x) = 0 và x
1
< x
2
). BPT (1) nghiệm đúng
0;2x
khi
và chỉ khi:
2
2
. (2) 0
7 0 ( )
2
12
2
2
2
1 0 1 2
. (0) 0
10
0
2
m

m
af
m VN
S
m
m
mm
af
S


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Từ kết quả hai trƣờng hợp trên, suy ra với
1m
thì BPT (1) nghiệm
đúng
0;2x
.
Song với bài toán này ta có thể hƣớng dẫn HS lớp 12 sử dụng đạo hàm để
xét sự biến thiên của hàm số
2
( ) 2f x x x
với
0;2x
rồi căn cứ vào BPT
()fx
nghiệm đúng
min ( )
D

x D f x
để xác định giá trị cần tìm của m.
Ta có lời giải nhƣ sau:
Ta có
2
1 2 1 –x x m
(2)
Xét hàm số
2
( ) 2f x x x
trên
0;2
; Ta có
'( ) 2 2.f x x

Bảng biến thiên:
x
0 2
f’(x)

+


f(x)

8

0

Từ bảng biến thiên, ta có:
0;2
min ( ) 0fx
.
Vậy (1) nghiệm đúng
0;2 1 0 1x m m
.
Nhƣ vậy, ta có thể hƣớng dẫn HS giải bài toán trên bằng hai cách khác
nhau. Theo cách thứ nhất, ta vận dụng cho HS quy tắc có tính thuật giải. Việc
làm đó đƣợc lặp đi lặp lại nhiều lần với một quy tắc xác định sẽ giúp HS nâng
cao đƣợc năng lực giải toán về PT, BPT và kỹ năng, kỹ xảo giải PT, BPT đƣợc
phát triển. Theo cách thứ hai, xuất phát từ nội dung bài toán, trên quan điểm
hàm số ta hƣớng dẫn HS tìm đƣợc lời giải. Việc làm đó có tác dụng gây hứng
thú học tập, bồi dƣỡng khả năng sáng tạo, tƣ duy linh hoạt, chống máy móc
hình thức theo khuân mẫu cho HS.
Nhƣ vậy, tƣơng ứng với mỗi nội dung tri thức, ta có thể tập luyện cho
HS những hoạt động ăn khớp với những tri thức phƣơng pháp cần đƣợc thông

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

báo cho HS trong hoạt động giải toán về PT và BPT. Đây cũng là một trong
những hoạt động quan trọng trong chƣơng trình môn toán ở trƣờng phổ thông
cho HS.
c) Một số phƣơng pháp giải các dạng toán về PT và BPT
Các bài toán về PT, BPT cũng nhƣ hệ PT có thể xem nhƣ những dạng
toán cơ bản của chƣơng trình đại số ở bậc THPT. Mỗi bài toán có thể có nhiều
cách giải. Chủ đề PT, BPT trong chƣơng trình toán ở trƣờng phổ thông có nội
dung rất phong phú. Vì vậy trong phạm vi của đề tài này, chúng tôi không có
tham vọng có thể xem xét hết các khía cạnh của vấn đề này. Tuy nhiên, việc hệ
thông hóa các phƣơng pháp giải các bài toán về PT và BPT sẽ cho phép nhìn

nhận các bài toán theo một hệ thống nhất quán, từ đó giúp cho HS thấy đƣợc
thuật toán chung để giải một số dạng PT, BPT. Các phƣơng pháp giải toán ở
đây chủ yếu có tính định hƣớng chung cho những bài toán cơ bản thƣờng gặp
trong sách giáo khoa và trong các kì thi.
Các phƣơng pháp thƣờng áp dụng để giải PT, BPT.
1. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng, biến đổi hệ quả.
2. Phƣơng pháp đổi biến số
3. Phƣơng pháp sử dụng tam thức bậc hai.
4. Phƣơng pháp đánh giá.
5. Phƣơng pháp đồ thị.
6. Phƣơng pháp miền giá trị.
7. Phƣơng pháp đạo hàm.
Trong các phƣơng pháp trên, phƣơng pháp 5, 6, 7 ta có thể gọi chung là
phƣơng pháp hàm số.
Phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả.
Khi giải một PT, BPT, hệ PT ta có thể biến đổi chúng về PT, BPT, hệ PT
tƣơng đƣơng hay hệ quả đã biết cách giải nhờ vào các phép biến đổi đã biết.
Tuy nhiên, cần hạn chế biến đổi BPT đã cho về BPT hệ quả.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Ví dụ 1.5: Giải hệ PT:
3
3
38
38
x x y
y y x

Hệ PT tƣơng đƣơng với:

33
3 3 2 2
3 8 3 8
5( ) ( )( 5) 0
x x y x x y
x y x y x y x xy y

3
22
2
3
38
0
5 0 ( )
( 11) 0
11
38
0
x x y
xy
x xy y VN
xx
xy
xy
x x y
xy

Vậy hệ PT đã cho có 3 nghiệm:
(0;0); ( 11; 11); ( 11; 11)

Phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ)
Do một bộ phận khá lớn các PT, BPT giải đƣợc bằng cách dùng ẩn phụ
nên ta có thể xem việc dùng ẩn phụ để giải PT, BPT là một trong các đƣờng lối
chủ yếu.
Để giải PT, BPT ta có thể thực hiện theo các bƣớc sau:
- Đặt ẩn số ban đầu:
()xt
hay
()tx
trong đó t đƣợc coi là ẩn số,
là hàm số liên tục theo biến t sao cho khi t biến thiên trên tập D
1
thì x biến thiên
trên tập xác định D của PT hay BPT đã cho.
- Giải PT hay BPT theo ẩn số mới t.
- Kết hợp với tập xác định D và các điều kiện ràng buộc khác, đƣa ra kết
luận về nghiệm theo ẩn ban đầu.
Ví dụ 1.6: Tìm các giá trị của tham số a để PT sau có nghiệm
22
3( 3 )x a x a
.
Đặt
2
3t a x
. PT đã cho trở thành:

2
2
2

3
3
( )(1 3 3 ) 0
3
x t a
x t a
x t x t
t x a


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

2
2
30
()
9 3 1 3 0
()
1
(1 3 )
3
x x a
I
xt
x x a
II
tx

Hệ (I) có nghiệm
1

1
1 12 0
12
aa
.
Hệ (II) có nghiệm
2
1
9 36(1 3 ) 0
4
aa
.
Vậy, PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
1
12
a
.
Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai.
Phƣơng pháp sử dụng tam thức bậc hai thƣờng đƣợc áp dụng để giải các
bài toán về PT và BPT. Vì khá nhiều PT bậc cao, PT vô tỷ, PT siêu việt thông
qua một vài phép biến đổi sẽ dẫn tới một PT bậc hai.
Phép giải các bài toán về PT bậc hai dựa trên việc xét dấu biểu thức
hoặc dựa vào định lý về dấu của tam thức bậc hai. Các bài toán về PT bậc hai
thƣờng gặp ở hai dạng:
Dạng 1: Các bài toán về điều kiện tồn tại nghiệm.
Dạng 2: Các bài toán về tính chất nghiệm.
Ví dụ 1.7: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh
rằng PT
2 2 2 2 2 2 2
( ) 4 0a b c x abx a b c

có nghiệm.
Lời giải. - Nếu
2 2 2
0a b c
thì ta có
ABC
vuông tại C. Khi đó, PT có
nghiệm x = 0.
- Nếu
2 2 2
0a b c
thì ta có:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' 4 2 2a b a b c ab a b c ab a b c

22
22
.a b c c a b


0a b c a b c a c b b c a
(Vì a, b, c là độ dài 3
cạnh của ABC).