Lý thuyết và ví dụ về hình học không gian cổ điển

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Mục lục

1 Hình học không gian (cổ điển)
I.
Một số vấn đề cơ bản về quan hệ song song . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . .
2.
Việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . .
3.
Một số định lý về nhận dạng quan hệ song song . . . . . . . . .
II.
Một số vấn đề cơ bản về quan hệ vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . . .
3.
Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . . . . . .
III.
Phương pháp xác định các loại góc trong không gian . . . . . . . . . . .
1.
Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (cắt nhau nhưng không
vuông góc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Góc giữa hai mặt phẳng (cắt nhau) . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV.
Phương pháp xác định khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . . . . . . . . . .
2.
Khoảng cách giữa 2 đối tượng song song nhau . . . . . . . . . .
3.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b chéo nhau . . . . . . .
V.
Một số vấn đề về khối đa diện lồi, khối đa diện đều . . . . . . . . . . . .
1.
Tính chất của một hình đa diện, khối đa diện . . . . . . . . . .
2.
Bảng tổng hợp tính chất của các đa diện đều . . . . . . . . . . .
VI.
Một số công thức tính toán hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Công thức tính toán hình học liên quan đến tam giác . . . . .
2.
Công thức tính toán hình học liên quan đến tứ giác . . . . . .
3.
Công thức thể tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ . . . .
4.
Công thức tính toán với các khối nón - trụ - cầu . . . . . . . . .
5.
Phương pháp dựng tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
VII. Một số khối đa diện thường gặp trong các đề thi . . . . . . . . . . . . . .
1.
Hình chóp tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.

Hình tam diện vuông O.ABC (vuông tại O) . . . . . . . . . . . .
3.
Hình chóp S.ABC có đường cao SA, AB vuông góc với BC . . .
4.
Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy là
tam giác “thường” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Hình chóp S.ABC có 1 mặt bên b “cân tại S” và “dựng đứng”
6.
Hình chóp tứ giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
Hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy là
“hình chữ nhật” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.
Hình chóp S.ABCD có 1 mặt bên “cân tại S” và “dựng đứng” .
9.
Hình hộp chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3

3
4
4
4
4
5
5
5
6
6
7
8
8
9
10
10
10
10
11
11
11
12
12
13


MỤC LỤC

❄ Công thức tính nhanh một số khối tứ diện đặc biệt . . . . . . . . . .
❄ Một số công thức biệt liên quan khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . .

VIII. Ví dụ giải toán điển hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
14
15

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

0


Hình học không gian (cổ điển)
I. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ song song
1. Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
α

α

B

A
β

α

a

∆
β

β

b

a

∆

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Chương 1

Nếu 2 mặt phẳng phân biệt (α) và (β) có 2 điểm chung phân biệt A và B thì đường
thẳng AB là giao tuyến của chúng.
Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt qua 2 đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng song song với cả hai đường thẳng đó hoặc trùng với 1 trong 2 đường thẳng đó.
Hai mặt phẳng phân biệt nếu thoả mãn tính chất “mặt phẳng này chứa đường thẳng
a, còn mặt phẳng kia song song với a” thì giao tuyến của chúng song song với a.
γ

β

c
α

α

a

b

a

γ

β

b

α

b

c

a
β

γ

Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau tạo thành 3 giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy
hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu có mặt phẳng thứ ba cắt mặt phẳng thứ
nhất thì mặt phẳng thứ ba đó cắt luôn mặt phẳng thứ hai, đồng thời hai đường giao
tuyến tạo thành song song với nhau.
2. Việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
d

PP cơ bản: muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với

mặt phẳng (α) ta tìm giao điểm của đường thẳng d đó
với 1 đường thẳng ∆ (hợp lý) trong mặt phẳng (α).
Nếu chưa tìm được đường thẳng ∆ trong (α) như trong
PP cơ bản đã nêu, ta thực hiện 3 bước giải như sau:
1

∆
α

I


CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN)
d

+o Bước 1: chọn mặt phẳng phụ (β) chứa đường thẳng d .
+o Bước 2: tìm giao tuyến ∆ của (β) và mp(α) đã cho.
+o Bước 3: tìm giao điểm I của ∆ và đường thẳng d .

α

I

∆

3. Một số định lý về nhận dạng quan hệ song song
Muốn chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng ta chứng minh
đường thẳng đó nằm ngoài mặt phẳng đồng thời song song với 1 đường thẳng nào đó
nằm trong mặt phẳng.
Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau ta chứng minh mặt phẳng này

chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

II. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ vuông góc
1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
d
α

β

d

d
Q

a
P b

P



(α) ⊥ (P )
(β) ⊥ (P )
⇒ d ⊥ (P )


d = (α) ∩ (β)




 d ⊥ a ⊂ (P )
d ⊥ b ⊂ (P ) ⇒ d ⊥ (P )


a∩b = I

∆

P



(P ) ⊥ (Q )
d ⊂ (Q )
⇒ d ⊥ (P )


d ⊥ ∆ = (P ) ∩ (Q )

Muốn chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng ta chứng minh
đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến
của chúng (nếu có) vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Xét 2 mặt phẳng vuông góc với nhau: nếu trong mặt phẳng này có 1 đường thẳng
vuông góc với giao tuyến của chúng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia.
2. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với
nhau ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với
một mặt phẳng chứa đường thẳng kia
d ⊥ (P )

∆ ⊂ (P )

d

⇒d⊥∆

P

∆

3. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau
ta chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia.
d ⊥ (P )
d ⊂ (Q )

⇒ (P ) ⊥ (Q )

d
Q

P

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

2

3

III. Phương pháp xác định các loại góc trong không gian
1. Góc giữa hai đường thẳng

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a và b cắt nhau lần
lượt song song hoặc trùng với hai đường thẳng a, b đó.
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (cắt nhau nhưng không vuông góc)
Bước 1: Xác định giao điểm I của d và (α)
(góc cần vẽ có đỉnh đặt tại đây)

d

A

Bước 2: Tìm hình chiếu vuông góc d của d lên (α)
+o Trên d , lấy điểm A khác I .

ϕ

+o Tìm hình chiếu A của A trên (α)

α

+o Kẻ đường thẳng nối I và A , đó chính là d

I

A

Bước 3: Xác định góc ϕ = (d, (α)) = (d, d ).
d

❄ Lưu ý: Nếu đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

(β) vuông góc với (α) thì góc hợp bởi d và (α) bằng
góc hợp bởi d với giao tuyến của (α) và (β).

ϕ

I

α

(giao tuyến của (α) và (β) trong trường hợp này
chính là hình chiếu vuông góc của d lên (α))
3. Góc giữa hai mặt phẳng (cắt nhau)
Bước 1: xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng
(α) và (β).

β

c

Bước 2: tìm 2 đường thẳng a, b cắt nhau, cùng
vuông góc với giao tuyến c, lần lượt nằm trong 2
mặt phẳng (α) và (β).

a
I

Bước 3: xác định góc giữa 2 mặt phẳng (α) và (β): α
góc đó chính là góc (a, b) 90◦ .

❄ Lưu ý: góc giữa 2 mặt phẳng được định nghĩa là

b

góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với 2
mặt phẳng đó.
α

α

M
d

∆
N

❄ Đặc biệt:

M
d

β

I

ϕ

N

β

Nếu có đường thẳng ∆ vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) và (β) mà đường
thẳng ∆ đó đi qua 2 điểm M ∈ (α) và N ∈ (β) , để xác định góc giữa 2 mặt phẳng (α) và
(β), từ điểm N ta vẽ N I ⊥ d tại I ∈ d . Khi đó ((α), (β)) = M I N .


4

CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN)

IV. Phương pháp xác định khoảng cách

Bài toán cơ bản 1:
Cho M là hình chiếu vuông góc của điểm S ∉ (β) lên
mặt phẳng (β). Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng nằm nghiêng (α) qua S và cắt (β) ta làm như sau:

α

S
H

d

+o Bước 1: Xác định giao tuyến d của (α) và (β).
+o Bước 2: Từ M , vẽ M I ⊥ d tại I ∈ d .

I

β

M

+o Bước 3: Vẽ MH ⊥ SI tại H ∈ SI thì d M, (α) = MH .
Bài toán cơ bản 2:
Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau, điểm
M ∈ (β). Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
(α) ta làm như sau:

α

+o Bước 1: Xác định giao tuyến d của (α) và (β).
+o Bước 2: vẽ MH ⊥ d tại H ∈ d thì d M, (α) = MH .

β

d

H

M

Một số lưu ý:
A

A

M

B

B

A

α

B

d A, (α)
d B, (α)

α

=

AI
BI

C

A

I

A

B

α

d A, (α) = d B, (α)

B

d M, ( ABC ) =

3.VM ABC
S ABC

2. Khoảng cách giữa 2 đối tượng song song nhau
Khoảng cách giữa d và d (song song nhau) là khoảng cách từ điểm M ∈ d đến d .
Khoảng cách giữa d và (α) (song song nhau) là khoảng cách từ điểm M ∈ d đến (α).
Khoảng cách giữa (α) và (β) (song song nhau) là khoảng cách từ điểm M ∈ (α) đến (β).
3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b chéo nhau
a

a

A

M

A

α

β

b

B

P

b

B

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (a và b) bằng độ dài đoạn vuông góc chung
của chúng (tức đoạn thẳng AB có A ∈ a, B ∈ b và AB ⊥ a, AB ⊥ b).
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này
và một mặt phẳng song song với nó đồng thời chứa đường thẳng kia.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song
song với nhau lần lượt chứa 2 đường thẳng đó.

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng


5

V. Một số vấn đề về khối đa diện lồi, khối đa diện đều

1. Tính chất của một hình đa diện, khối đa diện

Mỗi cạnh của bất kỳ đa giác nào cũng đều là cạnh chung của đúng 2 đa giác.
Bất cứ hình đa diện nào cũng có thể phân chia thành nhiều khối tứ diện.

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Hai đa giác phân biệt chỉ có thể: hoặc là không có điểm chung, hoặc chỉ có 1 đỉnh
chung, hoặc chỉ có 1 cạnh chung. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 đa giác.

Bất cứ hình đa diện nào cũng có ít nhất 4 đỉnh, ít nhất 4 mặt và ít nhất 6 cạnh.
Hình chóp có mặt đáy là n-giác thì có (n + 1) đỉnh, (2 n) cạnh và (n + 1) mặt.
Hình lăng trụ có mặt đáy là n-giác thì có (2 n) đỉnh, (3 n) cạnh và (n + 2) mặt.

Mp
cạnh.
2
Với một đa diện lồi bất kỳ có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì M + C − Đ = 2 (định lý Euler).

Một hình đa diện có M mặt, mỗi mặt có p cạnh thì có

Khối đa diện là phần không gian giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Khối đa diện lồi là một khối đa diện mà đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ của khối đa
diện đó luôn thuộc vào chính nó.
2. Bảng tổng hợp tính chất của các đa diện đều

Tứ diện đều

H.lập phương

Bát diện đều

Số
Số
Số Số mặt
đỉnh cạnh mặt đ.xứng

12 mặt đều
Số trục
đ.xứng

Tên đa diện

Loại

Tứ diện đều

{3;3}

4

6

4

6

3

H.lập phương

{4;3}

8

12

6

9

9

Bát diện đều

{3;4}

6

12

8

9

12 mặt đều

{5;3}

20

30

12

15

20 mặt đều

{3;5}

12

30

20

15

20 mặt đều

Thể tích
V=

2 c3
12

V = c3
V=

2 c3
3

Bán kính
mc ng.tiếp
6c
4
3c
R=
2
2c
R=
2

R=

Ký hiệu { p; q} cho biết p là số cạnh của mỗi mặt, q là số mặt đi qua mỗi đỉnh


6

CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN)

VI. Một số công thức tính toán hình học
1. Công thức tính toán hình học liên quan đến tam giác
Đối với tam giác đều
+o Độ dài đường cao: h =

(cạnh) × 3
2

+o Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R =
+o Bán kính đường tròn nội tiếp: r =

(cạnh) × 3

O

3

(cạnh) × 3

B

H

C

6

A

Đối với tam giác vuông cân
+o Độ dài cạnh huyền: cạnh huyền = (cạnh góc vuông) × 2
cạnh huyền
+o Độ dài cạnh góc vuông: cạnh góc vuông =
2

B

C

Hệ thức lượng trong tam giác vuông
A

+o a2 = b2 + c2

+o ah = bc

+o b2 = b .a

+o c2 = c .a

c

1
1
1
+o 2 = 2 + 2
h
b
c
+o a = 2.m a

b2 + c2
+o h2 = b .c
b2
b
+o
=

a a2

c
B

2

c
c
= 2
a a

+o

b
h

ma

+o h =

bc

b
H

M
a

C

Hệ thức lượng trong mọi tam giác
A

+o Định lý côsin: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
b 2 + c 2 − a2
2 bc
a
b
c
+o Định lý sin:
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
b 2 + c 2 a2
+o Định lý trung tuyến: m2a =
−
2
4

+o Công thức tính góc: cos A =

c

b
ma

B

a M

Công thức tính diện tích tam giác
+o Diện tích của tam giác đều: S

đều =

(cạnh)2 × 3
4

+o Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích của hai cạnh góc vuông.
+o Diện tích của mọi tam giác (bất kỳ):
S

ABC

1
1
abc
= a.h a = bc sin A =
= pr =
2
2
4R

p( p − a)( p − b)( p − c)
a+b+c
: nửa chu vi
2

* h a : đường cao ứng với cạnh đáy a.

* p=

* R : bán kính đường tròn ngoại tiếp

* r : bán kính đường tròn nội tiếp

+o Công thức tỉ số diện tích:

S
S

AB C
ABC

=

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

A

AB AC
·
, trong đó B ∈ AB, C ∈ AC .
AB AC

C

7
Định lý Menelaus

Định lý Ceva

A

A

N
B

M

K

C

B

( M, N, K thẳng hàng)

K

C

( AK, BN, CM đồng quy)

2. Công thức tính toán hình học liên quan đến tứ giác
Đối với hình vuông

D

A

+o Độ dài đường chéo: đường chéo = (cạnh) × 2
+o Độ dài cạnh: cạnh =

đường chéo
2
2

+o Diện tích hình vuông: Shv = (cạnh) =

(đường chéo) 2
B

2

C

D

A

Đối với hình chữ nhật
+o Độ dài đường chéo hình chữ nhật:
đường chéo =

2

2

(chiều dài) + (chiều rộng)

+o Diện tích: Shcn = (chiều dài) × (chiều rộng)

B

C

Đối với hình thang

D

A

+o Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với
chiều cao:
S h.thang =

(đáy lớn) + (đáy bé)
2

× (đường cao)

B

H

Đối với hình bình hành
A

+o Diện tích h.bình hành bằng cạnh nhân với đường cao
S h.bình hành = (cạnh BC ) × (đường cao AH )

+o Diện tích hình bình hành bằng tích của 2 cạnh kề
nhân với sin của một góc

B

S h.bình hành = (cạnh AB) × (cạnh BC ) × sin ABC

Đối với hình thoi

S h.thoi =

B

O

2
Đặc biệt: hình thoi có góc 60◦ hoặc 120◦ có diện tích

S h.thoi (ĐB) =

(cạnh)2 × 3

C
D

C

H

A

+o Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo
(đường chéo 1) × (đường chéo 2)

❄

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

N

M A K B NC
×
×
=1
MB K C N A

M

D

C

2

Với tứ giác lồi có 2 đường chéo vuông góc: diện tích bằng nửa tích của 2 đường chéo.


8

CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN)

Vlăng trụ = S mặt đáy × h
1
Vkhối chóp = S mặt đáy × h
3

h

h

Công thức dùng để tính tỉ số thể tích:
S

S

A

C
C
B

A

B

A

C

M

SA
SA

b=

SB
SB

D c=

SC
SC

d=

SD
SD

D

A

B
C

VS.A B C D
a+b+c+d
=
VS.ABCD
4abcd

B
VS.A B C
S A SB SC
=
·
·
VS.ABC
S A SB SC
A

a=

C

A

P

M

B

D
Q C

B
N
A

C

A

D

N
B
VMNPQ.A B C D

B
VMNP.A B C
1 AM BN CP
=
+
+
VABC.A B C
3 AA
BB
CC

VABCD.A B C D

P

C
1 AM CP
=
+
2 AA
CC

4. Công thức tính toán với các khối nón - trụ - cầu
O

Đối với hình nón - hình nón cụt
+o Diện tích mặt đáy: Sđáy = π r 2

h

l

+o Diện tích xung quanh: Sxq = π rl
+o Diện tích toàn phần: Stp = Sđáy + Sxq

l

h

1
1
+o Thể tích: Vnón = Sđáy .h = π r 2 h
3
3
+o Chu vi đường tròn đáy: C = 2π r

I

+o Góc ở đỉnh nón: 2β = 2 IO A

I

A

r

h 3
l 3
A
=
V(O,I,r)
h
l
1
+o Thể tích hình nón cụt có hai đáy ( I, r ) và ( I , r ) là: Vnón cụt = π h r 2 + rr + r 2
3
+o Diện tích xung quan hình nón cụt nêu trên là: Sxq (nón cụt) = π r + r l

+o Tỉ số thể tích:

V(O,I ,r )

=

r

r

3

r

=

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

3. Công thức thể tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ


9
Đối với hình trụ
+o Diện tích mặt đáy: Sđáy = π r 2

I

r

+o Diện tích toàn phần: Stp = 2Sđáy + Sxq

I

+o Thể tích: Vtrụ = Sđáy .h = π r 2 h

r
A

+o Chu vi đường tròn đáy: C = 2π r
Đối với hình cầu
I

+o Diện tích mặt cầu: Smặt cầu = 4πR 2
4
3

+o Thể tích khối cầu: Vkhối cầu = πR 3

R
M

5. Phương pháp dựng tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S

S

S
d

d

H

H
K

I
A

A

A
O

O

R mc =

1
R 2d + h2
4

❄ Một số lưu ý:

I

I

R mc =

O

B
b2
2h

R mc =

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

A

+o Diện tích xung quanh: Sxq = 2π rl

1
R 2d + R 2b − ( gt)2
4

+o Một hình chóp nội tiếp được một mặt cầu khi và chỉ khi mặt đáy của nó là một đa
giác nội tiếp được đường tròn.
+o Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp luôn nằm trên trục của đường tròn ngoại
tiếp mặt đáy hình chóp.
Với hình chóp có cạnh bên (S A chẳng hạn) vuông góc với mặt đáy
+o Gọi d là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy thì d chứa tâm I .
+o Gọi H là trung điểm của cạnh bên (vuông với đáy). Khi đó
I H ∥ AO và I H là 1 đường trung trực của cạnh bên S A .
Với hình chóp đều
+o Gọi SO là đường cao của hình chóp đều thì SO chứa tâm I .
+o Gọi H là trung điểm của cạnh bên S A . Khi đó
I H là 1 đường trung trực của cạnh bên S A .
Với hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với mặt đáy
+o Gọi d là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy thì d chứa tâm I .
+o Gọi K tâm của đường tròn ngoại tiếp mặt bên (vuông với đáy). Khi đó
IK là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên đó.


10

CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN)

VII. Một số khối đa diện thường gặp trong các đề thi
1. Hình chóp tam giác đều
S

S

b

A

I

α

O

d

A

C

ϕ

C

A

C
O

M

B

O

B

B

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: α = S AO = SBO = SCO
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ϕ = SMO
1
b2 − d 2 =
3

Công thức tính độ dài đường cao: h =

b tan ϕ
tan2 ϕ + 4

d 2 3 b2 − d 2 d 3 tan ϕ d 3 tan α
=
=
12
24
12

2
b
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R =
2h
Khoảng cách giữa 2 cạnh đối diện nhau: d(S A, BC ) = d( M, S A )

Công thức thể tích khối chóp tam giác đều: V =

Tâm mặt cầu ngoại tiếp luôn thuộc SO đồng thời cách đều 2 điểm S và A .
2. Hình tam diện vuông O.ABC (vuông tại O)
A

OH ⊥ ( ABC ) tại H
⇔ H là trực tâm của

A
E

ABC

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2

OH
OA
OB
OC 2

I
H

G
C

O

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
1
O A 2 + OB2 + OC 2
B
2
Đặt a = O A, b = OB, c = OC và S1 = S

M

R=

O AB ;

VO.ABC =

C

O
B

S2 = S

OBC ;

S3 = S

O AC

thì

2S 1 S 2 S 3
3

abc
=
6

3. Hình chóp S.ABC có đường cao SA, AB vuông góc với BC
S

AH ⊥ (SBC ), BC ⊥ (S AB),

S

SC ⊥ ( AHK ), SC ⊥ (BMN ),

K

I

BM ⊥ (S AC ).
((SBC ), (S AC )) = AK H = BN M
((SBC ), ( ABC )) = SBA .

A

d A, (SBC ) = AH, d M, (S AC ) = BM

H

B

O

N

C

A

M

B

C

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

S


11
Tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC (trường hợp này) là trung điểm I của cạnh bên SC .
Tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồi HK.ABC là trung điểm O của cạnh đáy AC .
Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCMN là trung điểm của cạnh đáy BC .

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B.S AMN là trung điểm của cạnh bên SB.
4. Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy là tam giác “thường”
S

S

((SBC ), ( ABC )) = SM A
d A, (SBC ) = AH .
d A, (S AC ) = d B, AC

H

Nếu mặt đáy ABC cân tại A

T
C

A

(hoặc mặt đáy ABC đều) thì

M là trung điểm của cạnh

A

M
B

BC , ngoài ra SB = SC .

∆

B

K

Khoảng cách giữa 2 cạnh đối diện SB và AC : d SB, AC = d AC, (SBK ) = AT
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R =

1
R 2d + h2
4

C

(trong đó đường cao h = S A và R d là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt đáy ABC )
5. Hình chóp S.ABC có 1 mặt bên b “cân tại S” và “dựng đứng”
Nếu

S

ABC vuông tại A thì

S

M là trung điểm cạnh AB
N là trung điểm cạnh AC
((S AB), ( ABC )) = SMH

P
B

((S AC ), ( ABC )) = SN H
d A, (SBC ) = d A, BC

Q
H

B

H

N

M

d H, (S AB) = HP, d H, (S AC ) = HQ

T
C

A

K

A

Khoảng cách giữa hai cạnh S A và BC là d S A, BC = d BC, (S AK ) = AT
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R =

R 2d + R 2b − 14 ( gt)2

C

(R d , R b : bán kính đ.tròn ngoại tiếp mặt đáy và mặt bên, gt: giao tuyến của chúng)
6. Hình chóp tứ giác đều
S

S

A
B

H
O

E
C

S

A I
B

A

D

D
O
C

B

D
O
C


12

CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN)
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: α = S AO = SBO = SCO = SCO
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ϕ = SEO

d

4 b2 − 2 d 2
6

tan2 ϕ + 2

3

=

d tan ϕ
6

b2
2h
Tâm mặt cầu ngoại tiếp luôn thuộc SO đồng thời cách đều 2 điểm S và A .

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp (mọi hình chóp đều): R =

7. Hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy là “hình chữ nhật”
S

BC ⊥ (S AB),

S

AH ⊥ (SBC ),

I

AK ⊥ (SCD ),

N

H

SC ⊥ ( AHPK ),

T

D

A

BD ⊥ (S AE ),
AT ⊥ (SBD )

K

P

CD ⊥ (S AD ),

O

D

A

O
E

M

B

B

C

C

((SBC ), ( ABCD )) = SBA ; ((SCD ), ( ABCD )) = SD A ; ((SBD ), ( ABCD )) = SE A
d A, (SBC ) = AH ; d A, (SCD ) = AK ; d A, (SBD ) = AT ; d SB, AC = AN
1
1
1
1
=
+
+
AT 2 S A 2 AB2 AD 2

❄ Chú ý: nếu ABCD là hình vuông thì E ≡ O;

AM ∥ OB; AH = AK ; HK ∥ BD
h 2
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R = R 2d +
2
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là trung điểm I của cạnh bên SC

Mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồi HPK.ABCD có tâm là tr.điểm O của mặt đáy ABCD
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHPK có tâm là trung điểm của đường cao S A
8. Hình chóp S.ABCD có 1 mặt bên “cân tại S” và “dựng đứng”
S

CD ⊥ (SHE ),

S

HK ⊥ (SCD ),
N

AM ⊥ (SBC ),
BN ⊥ (S AD ),

M

K

A

HT ⊥ (SBD )

d B, (S AD ) = BN

B

H

E

H

d A, (SBC ) = AM

A

D

D

T
M

C

B

((SBC ), ( ABCD )) = SBA ; ((SCD ), ( ABCD )) = SEH ; ((SBD ), ( ABCD )) = SMH

C

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Công thức thể tích: V =

2

b tan ϕ

1
b2 − d 2 =
2

Công thức tính độ dài đường cao: h =


13
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R =

R 2d + R 2b − 14 ( gt)2

(R d , R b : bán kính đ.tròn ngoại tiếp mặt đáy và mặt bên, gt: giao tuyến của chúng)

A

Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật:
a2 + b 2 + c 2
1
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = AC
2
Thể tích hình hộp chữ nhật: Vhhcn = abc =

O

a

AC =

G

B
S1 S2 S3

b

c

I

A

(S 1 , S 2 , S 3 là diện tích của 3 mặt chung 1 đỉnh của hhcn)
1
B
Thể tích khối chóp BD A C : VBD A C = Vhình hộp
3

Công thức tính nhanh thể tích của một số khối tứ diện đặc biệt

Điều kiện
S A = a, SB = b, SC = c
ASB = α, BSC = β, CS A = γ

Công thức tính thể tích
V=

abc
6


S A = a, SB = b, SC = c




ASB = α, ASC = β



((S AB), (S AC )) = ϕ


S A = BC = a
SB = AC = b


SC = AB = c

1
V = abd. sin α
6

BC = a, AC = b, AB = c

D

C

(biết 2 cạnh đối diện; khoảng cách và góc giữa chúng)
V=

2S 1 S 2 sin ϕ
3a

(biết 1 cạnh; diện tích và góc giữa 2 mặt kề với nó)
1
V = .abc. sin α sin β sin ϕ
6

(biết 3 cạnh chứa đỉnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc nhị diện)
V=

2
12

(a2 + b2 − c2 )( b2 + c2 − a2 )(a2 + c2 − b2 )

(biết các cặp cạnh đối diện bằng nhau)

2 2 2
2
2
2
2
2 1

 M = a x (b + c + y + z − a − x )



 N = b2 y2 (a2 + c2 + x2 + z2 − b2 − y2 )

S A = x, SB = y, SC = z

C

(biết 3 cạnh chung đỉnh và 3 góc tại đỉnh đó)

S A = a, S S AB = S 1 , S S AC = S 2
((S AB), (S AC )) = ϕ

D

1 − cos2 α − cos2 β − cos2 γ + 2 cos α cos β cos γ

S A = a, BC = b
d(S A, BC ) = d ; (S A, BC ) = α

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

9. Hình hộp chữ nhật


P = c2 z2 (a2 + b2 + x2 + y2 − c2 − z2 )




Q = (abc)2 + (a yz)2 + ( x yc)2 + ( xbz)2

V=

1
12

M + N +P −Q


14

CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN)

Công thức

Hình minh hoạ

S xq = 2πRh = π( r 2 + h2 )
h
πh 2
=
(h + 3r2 )
Vchỏm cầu = π h2 R −
3
6

h
H

r
R

O

S xq = π r ( h 1 + h 2 )

h1 + h2
V = πr2
2

h2
h1
r

O

h

2
2
Vhình nêm = r 3 tan ϕ = r 2 h
3
3


4
S 
S parabol = rh ;
=
3
S

3
r
h
=

h
r

r
O

ϕ

r

r

r

3

r
h

h
r

1
Vparabolic = π r 2 h
2

h
B

S elip = πab

4
Vquay quanh 2a = πab2
3
4
Vquay quanh 2b = πa2 b
3

b
A

a

A

O
B
A

A

Quay mọi tam giác ABC
xung quanh cạnh AB
ta sẽ được hình tròn xoay có
2

4π S ABC
·
3
AB
AC + BC

S xq = 2πS ABC
AB

V=

B

H
C

H
B

C

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Một số công thức về hình, khối đặc biệt liên quan khối tròn xoay


15

VIII. Ví dụ giải toán điển hình

Lời giải

❄ Phương pháp cổ điển

S

Để tính được góc giữa hai
đường thẳng chéo nhau
thường ta dựng thêm một
đường thẳng song song với
1 trong 2 đường thẳng đó và A
cắt đường thẳng còn lại.

S

2a

N

C
a

Góc giữa AM & SC dễ dựng
hơn góc giữa SM & NC !

A
a

M

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Ví dụ 1. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M
là trung điểm của cạnh BC .Tính góc hợp bởi hai đường thẳng dưới đây:
a) AM và SC .
b) SM và NC .

C

M

B

B

Câu a. Gọi K là trung điểm cạnh SB thì MK ∥ SC , do đó ( AM, SC ) = ( AM, MK )

S A 2 + AB2 SB2 3a2
1
a 3
−
=
; MK = SC = a ; AM =
2
4
2
2
2
3
AM 2 + MK 2 − AK 2
=
⇒ ( AM, SC ) = AMK ≈ 81◦ 42 .
AMK có cos AMK =
2.AM.MK
12

Ta có AK 2 =

Câu b. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AM thì N I ∥ SM , do đó (SM, NC ) = ( N I, NC )

a 6
1
1
a 15
a 7
; N I = SM =
SC 2 − MC 2 =
; IC = I M 2 + CM 2 =
2
2
2
4
4
2
2
2
N I + NC − IC
4 10
I NC có cos I NC =
=
⇒ (SM, NC ) = I NC ≈ 32◦ 30 .
2.N I.NC
15
z
S
S

S

Ta có NC = AK =

2a

2a

N
K

x
C

A
a

a

M
B

C

A

❄ Phương pháp toạ độ

I
M

C

A
a
y

B

H
B

a 3
a 3
1
1
a 33
; AH =
; SH = b2 − d 2 = (2a)2 − a2 =
.
2
6
3
3
3
Gắn hệ trục Mx yz (như hình vẽ) với toạ độ các điểm như sau:

Ta có AM =

M (0; 0; 0) ; A

3
1
; 0; 0 ; C 0; − ; 0 ; H
2
2

3
; 0; 0 ⇒ S
6

3
33
; 0;
⇒N
6
3

M

3
33
; 0;
3
6

Đến đây dùng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta giải được cả 2 câu a và b.
# »# »
# »# »
AM.SC

SM. NC
cos (SM, SC ) =
; cos (SM, NC ) =
AM.SC

SM.NC


16

CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN)

Lời giải
Câu a. Ta có SC ∩ (S AB) = S
Do

BC ⊥ AB
BC ⊥ S A

S

nên BC ⊥ (S AB) tại B. Do đó

(SC, (S AB)) = (SC, SB) = BSC

a 3

E

S A 2 + AB2 = 2a

BC
SBC vuông tại B có tan BSC =
= 1 ⇒ BSC = 45◦
SB

S AB vuông tại A có SB =

A
a

◦

Vậy (SC, (S AB)) = 45

2a

D

Câu b. Ta có AC ∩ (SCD ) = C
Vẽ AE ⊥ SD tại E ∈ SD thì ... AE ⊥ (SCD )

B

C

Như vậy ( AC, (SCD )) = ( AC, CE ) = ACE
Ta có AE =

S A.AD
S A 2 + AD 2

=

2a 3
7

; AC =

AB2 + BC 2 = a 5 ; sin ACE =

AE 2 105
=
AC
135

◦

Vậy ( AC, (SCD )) ≈ 35 50 .
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, BD = 3a,
mặt bên S AB là tam giác cân tại S đồng thời nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt
đáy. Biết SB = a 5, hãy tính góc hợp bởi các cặp mặt phẳng sau đây:
a) (SCD ) và ( ABCD )
b) (SBD ) và ( ABCD )
c) (SBC ) và (S AD )
Lời giải
Gọi H là trung điểm của cạnh AB thì SH ⊥ AB (do


(S AB) ⊥ ( ABCD )
Mà SH ⊂ (S AB)

nên SH ⊥ ( ABCD ).


AB = (S AB) ∩ ( ABCD )

SHB vuông tại H có SH =

SB2 − HB2 = 2a.

ABD vuông tại A có AD =

BD 2 − AB2 = a 5

S AB cân tại S )
S

A

D

Câu a. Gọi K là trung điểm cạnh CD ta có
CD ⊥ HK

H
⇒ CD ⊥ (SHK ) ⇒ CD ⊥ SK

K
I

CD ⊥ SH

B


CD = (SCD ) ∩ ( ABCD )
Do CD ⊥ HK ⊂ ( ABCD ) nên ((SCD ), ( ABCD )) = (SK, HK )


CD ⊥ SK ⊂ (SCD )
2a
2
SH
SHK vuông tại H có tan SK H =
=
=
⇒ SK H ≈ 41◦ 48
HK a 5
5

Vậy ((SCD ), ( ABCD )) ≈ 41◦ 48 .

C

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a,
S A = a 3 và S A vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt
phẳng sau đây:
a) SC và (S AB)
b) AC và (SCD )

17
Câu b. Vẽ H I ⊥ BD tại I ∈ BD , ta sẽ chứng minh được BD ⊥ (SH I ) và BD ⊥ SI .

Ta có

BAD nên

BI H

Cuối cùng tan SI H =

H I BH
AD.BH a 5.a a 5
=
⇒ HI =
=
=
AD BD
BD
3a
3

6
SH
=
, do đó ((SBD ), ( ABCD )) = SI H ≈ 69◦ 33 .
IH
5

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Với kết quả đó ta tiếp tục chứng minh được ((SBD ), ( ABCD )) = (SI, H I )

Câu c. Do (SBC ) và (S AD ) có chung điểm S và có BC ∥ AD nên giao tuyến ∆ của chúng
đi qua đỉnh S và song song với hai cạnh BC , AD .

Hình chóp S.ABCD này có tính chất SB ⊥ BC và S A ⊥ AD vì thế SB ⊥ ∆ và S A ⊥ ∆
Như vậy ((SBC ), (S AD )) = (SB, SC ) = 2.BSH ≈ 53◦ 8 .

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng a, cạnh
bên S A vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60◦ .
a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD )
Lời giải

Câu a. Do SC ∩ ( ABCD ) = C và S A ⊥ ( ABCD ) nên (SC, ( ABCD )) = (SC, AC ) ⇒ SC A = 60◦
Tam giác S AC vuông tại C có tan SC A =

SA
AC

S

⇒ S A = AC. tan SC A = a 2. tan 60◦ = a 6

1
3

1

3

Vậy VS.ABCD = S ABCD .S A = .a2 .a 6 =

H

a3 6
3
A

Câu b. Vẽ AH ⊥ SD tại H ∈ SD ta sẽ chứng minh được
AH ⊥ (SCD ) tại H ∈ (SCD )

Suy ra d( A, (SCD )) = AH =

S A.AD
S A 2 + AD 2

=

a 42
.
7

B

C

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D với CD = a, AB = AD = 2a, mặt bên S AD cân tại S đồng thời nằm trong mặt phẳng

vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa (SBC ) và ( ABCD ) bằng 60◦ . Tính theo a
a) Thể tích của khối chóp S.ABCD
b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC )
Lời giải
Câu a. Gọi H là trung điểm cạnh AD thì SH ⊥ ( ABCD )
Vẽ H I ⊥ BC tại I ∈ BC ta được BC ⊥ SI , từ đó ((SBC ), ( ABCD )) = SI H = 60◦ .

D


18

CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN)
1
2
Suy ra S HBC = S ABCD − S H AB − S

Hình thang ABCD có S ABCD = ( AB + CD ).AD = 3a2
HCD

=

3a
2

S

2

2S HBC

3a 5
3 a2
=
=
BC
5
a 5
A
3a 15
3a 5
◦
tan 60 =
SH I có SH = I H. tan SI H =
H
5
5
2
3
3a 3a 15 3a 15
Vậy V =
·
=
D
C
3
5
5
3
1
a

15
Câu b. S ABC = S ABCD − S ACD = 2a2 ⇒ VS.ABC = S ABC .SH =
3
5
1
6a 5
⇒ S SBC = BC.SI = 3a2
SI H có SI = SH 2 + I H 2 =
5
2
3VS.ABC a 15
Như vậy d( A, (SBC )) =
=
S SBC
5

B

I

Ví dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, BC = a, mp( A BC ) tạo với đáy một góc 30◦ và ∆ A BC có diện tích bằng a2 3. Tính
thể tích khối lăng trụ.
Lời giải
Do

BC ⊥ AB

nên BC ⊥ A B
BC ⊥ A A



BC ⊥ AB ⊂ ( ABC )
Do BC ⊥ AB ⊂ ( A BC )
nên (( A BC ), ( ABC )) = ABA


BC = ( ABC ) ∩ ( A BC )
2.S A BC 2a2 3
=
= 2 a 3.
BC
a
ABA có AB = A B · cos ABA = 2a 3 · cos 30◦ = 3a

C

A

B
A

Ta có A B =

C
◦

30

A A = A B · sin ABA = 2a 3 · sin 30◦ = a 3

1
2

Vậy VABC.A B C = B · h = S ABC · A A = AB · BC · A A =

B
1
3 a3 3
· 3a · a · a 3 =
.
2
2

Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đường cao S A = a, AB vuông góc với BC , các
cạnh AB = a 3 và AC = 2a. Một mặt phẳng (α) đi qua điểm A vuông góc với cạnh SB,
cắt SB và SC lần lượt tại M và N . Tính theo a thể tích của khối chóp A.BCN M .
Lời giải

S

Dễ dàng chứng minh được BC ⊥ (S AB) và BC ⊥ SB
Do SB ⊥ ( AMN ) nên SB ⊥ AM và SB ⊥ MN
Xét trong ( AMN ),
Do VS.AMN =

BC ⊥ SB
MN ⊥ SB

⇒ MN ∥ BC ⇒

SM SN
.
.VS.ABC nên
SB SC
SM 2
VA.BCN M = 1 −
VS.ABC
SB2

N

M
SM SN
=
SB
SC

C

A

B

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Từ đó I H =


19

S AB vuông tại A có

Vậy VA.BCN M = 1 −

ABC .S A

=

a3 3
6

SM S A 2
S A2
1
=
.
=
=
SB
SB2 S A 2 + AB2 4

1 a3 3 5 a3 3
.
=
.
6
32
42

Chú ý

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

ABC vuông tại B có BC = AC 2 − AB2 = a
1
a2 3
1
⇒ S ABC = AB.BC =
và VS.ABC = .S
2
2
3

Giả thiết 2 đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 không đủ để
kết luận hai đường thẳng đó song song với nhau. Chỉ khi cả 3 đường thẳng cùng nằm
trên một mặt phẳng thì kết luận đó mới đúng.
S

Ví dụ 8.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và
có thể tích là V . Gọi M là trung điểm của cạnh SB; P
là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 2DP . Mặt phẳng
( AMP ) cắt cạnh SC tại điểm N . Tính thể tích của khối
chóp S.AMNP theo V .
Nhận xét:

P

M

D

A

Nếu không dựng được thiết diện của hình chóp cắt
bởi ( AMP ) thì không thể giải được bài toán này!
B

C

Lời giải

Dựng giao điểm N = SC ∩ ( AMP ) (và tạo nên thiết diện của hình chóp cắt bởi ( AMP ))
S

+ Vẽ giao điểm O = AC ∩ BD
+ Nối SO cắt MP tại I
+ Kéo dài AI cắt SD tại N
SI
(dựa vào tỉ số diện tích các tam giác):
SO
1 2
1
+ SMP có S SMP = . .S SBD = .S SBD
(1)
2 3
3
1 SI 2 SI 1
+ S SMP = S SM I + S SP I = .
+ .

. S SBD (2)
2 SO 3 SO 2
SI
4
= .
+ Từ (1) và (2) ta tính được
SO 7
SN
Tính tỉ số
(dựa vào tỉ số diện tích các tam giác):
SC

N

Tính tỉ số

+ Dùng tỉ số giữa S

S AN

M

I
A
O

B

và S S AC 2 lần tương tự như trên ta tính được

C

SN 2
= .
SC 5

Dùng tỉ số thể tích giữa hai khối chóp tam giác để tính VS.AMNP
+ Ta có VS.AMNP = VS.AMN + VS.ANP =

P

SM SN SN SP 1
7
.
+
.
. VS.ABCD =
V.
SB SC SC SD 2
30

D


20

CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN)

Lời giải
Gọi I, M tương ứng là trung điểm của các cạnh S A, AB.

Do

S AB vuông tại B,

S

S AC vuông tại C nên I A = IB = IC = SI

Gọi O là tâm của mặt đáy ABC thì IO ⊥ ( ABC )
Ngoài ra,

I M ⊥ AB
OM ⊥ AB

I

⇒ ((S AB), ( ABC )) = I MO ⇒ I MO = 60◦

a 3
a
. tan 60◦ =
A
6
2
2
2 a2 3 a a3 3
M
Suy ra VS.ABC = 2VI.ABC = .S ABC .IO = .
. =
.

3
3 4 2
12
I MO có IO = OM. tan M =

C
O

B
d tan ϕ
❄ Ghi nhớ: V
=
24
❄ Chú ý: nếu thuộc được công thức tính thể tích khối chóp tam giác đều khi biết trước
3

hình chóp đều S.ABC

cạnh đáy và góc hợp bởi mặt bên với mặt đáy thì bài toán sẽ được giải nhanh hơn
Ví dụ 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có mặt đáy ABC là tam giác vuông
tại A . Biết AB = a 3, AC = a, A A = 2a, hãy tính khoảng cách giữa:
a) B và ( ACB )

b) A B và AC .

c) BC và AC .

Lời giải
C

B

C

B

C

B

A
A

A

K

I
H
B

C

B

C

A

B

C

A

A

Chú ý: Với giả thiết của bài toán ta chứng minh được A C ⊥ ( ABB A ) và A B ⊥ ( ACC A ).
Câu a. Từ B, ta vẽ BH ⊥ AB tại H ∈ AB thì sẽ chứng minh được BH ⊥ ( ACB ) tại H .
Từ đó d(B, ( ACB )) = BH =

BA.BB
BA 2 + BB 2

=

2a 21
.
7

Câu a có thể giải bằng phương pháp thể tích như sau (nếu không vẽ được hình)
d(B, ( ACB )) =

3VB .ABC Vlăng trụ
=
(có thể dùng CT. Hê-rông để tính S
S ACB
S ACB

ACB

)

Câu b. Từ A , ta vẽ A K ⊥ AC sẽ chứng minh được A K ⊥ A B .
Kết hợp A K ⊥ AC ta suy ra được d( A B , AC ) = A K =

A C .A A
A C 2 + AA 2

=

2a 5
.
5

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác S AB
vuông tại B, tam giác S AC vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và ( ABC )
bằng 60◦ . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.


21
Câu c. Ta có BC ∥ ( AB C ) nên d(BC, AC ) = d(BC, ( AB C )) = d(C, ( AB C ))
Do C A cắt ( AB C ) tại điểm I là trung điểm của C A nên d(C, ( AB C )) = d( A , ( AB C ))

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

A .AB C là một tam diện vuông tại A nên nếu đặt h = d( A , ( AB C )) thì
1

1
1
2a 57
1
19
=
=
⇒
d(
A
.
+
+
,
(
AB
C
))
=
h
=
19
h2 A B 2 A C 2 A A 2 12a2

Ví dụ 11. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng
DE . Tính thể tích của khối đa diện ABCDSEF .
Lời giải
Cắt khối đa diện ABCDSEF bởi mặt phẳng (CDFE ) ta được
khối lăng trụ ABC.A B C và khối chóp S.CDFE .

Ta có VABC.A B C =

A

F

1
1
1
.BC.BE .AB = .1.1.1 = .
2
2
2

Gọi I = DE ∩ BS ta có

D

BS ∩ (CDFE ) = I

IB = IS
⇒ d (S, (CDFE )) = d (B, (CDFE ))

I

BC.BE
2
=
.
CE

2
1
1
2 1
⇒ VS.CDFE = .S CDFE .d (S, (CDFE )) = . 2.
=
3
3
2
3
1 1 5
Vậy VABCDSEF = VABC.A B C + VS.CDFE = + = .
2 3 6
= d (B, CE ) =

B

1
1

E
2

C

S

Ví dụ 12. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 3a. Một
mặt phẳng thay đổi luôn song song với hai cạnh SB và AC , cắt hình chóp theo thiết
diện là một đa giác (H ). Tính diện tích lớn nhất của (H ).

Lời giải
Gọi (P ) là mặt phẳng song song với SB và AC , (P ) cắt AB tại M .

S

Khi đó thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi
(P ) là hình hình hành MNPQ (như hình vẽ)

N

P

Do S.ABC là hình chóp đều nên SB ⊥ AC , từ đó
MNPQ là hình chữ nhật.
A
N A MN
x
Đặt MN = x (0 < x < 3a), ta có
=
=
SA
SB
3a
M
Q
SN 3a − x
NP SN 3a − x
3a − x
Suy ra
=

⇒
=
=
⇒ NP =
B
SA
3a
AC S A
3a
3
x(3a − x) 1 x + (3a − x) 2 3a2
Diện tích thiết diện: S MNPQ = MN.NP =
=
(*)
3
3
2
4
3a
Dấu "=" của (*) xảy ra khi và chỉ khi x = 3a − x ⇔ x =
∈ (0; 3a).
2
3 a2
Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện (H ) là Smax =
.
4

C

22

CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN)
Ví dụ 13. Cho một hình nón có độ dài đường sinh bằng 5, bán kính đáy bằng 3.
b) Một mặt phẳng (α) qua đỉnh của hình nón, cách tâm của mặt đáy một đoạn bằng
2. Tính diện tích của thiết diện tạo bởi hình nón và mặt phẳng (α) đó.
Lời giải
Xét hình nón đỉnh S có l = 5, r = 3. Khi đó h = l 2 − r 2 = 4

S

1
Câu a. S tp = S xq + Sđ = π rl + π r = π.3.5 + π.3 = 24π ; V = π.r 2 h = 12π.
3
2

2

Câu b. Xét thiết diện S AB thoả đề bài (như hình vẽ)
Gọi I là trung điểm dây cung AC
A

và H là hình chiếu vuông góc của O lên đoạn thẳng SI .

H

Khi đó ta chứng minh được OH ⊥ (S AB) tại H .

O

I
B

Suy ra OH = d(O, (S AB)) = 2

4
1
1
1
3
8
⇒ OI =
⇒ SI = SO 2 + OI 2 =
=
−
=
2
2
2
16
OI
OH
SO
3
3
33
2
33
IOB vuông tại I có IB = OB2 − OI 2 =
⇒ AB = 2 IB =

3
3
8 11
1
Vậy diện tích thiết diện S AB là S S AB = .SI.AB =
2
3

SOI vuông tại O có

Ví dụ 14. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Quay tam giác ABC
lần lượt quanh các cạnh của nó để tạo ra các khối tròn xoay. Tính tổng thể tích của
các khối tròn xoay đó.
C

Lời giải
C

B

H
A

A

A
C

B

B

Xét khối nón có trục là cạnh AC .
1
3

1
3

1
3

1
3

Khối nón này có h1 = AC = 4, r 1 = AB = 3 ⇒ V1 = π.r 21 h1 = π32 .4 = 12π.
Xét khối nón có trục là cạnh AB.
Khối nón này có h2 = AB = 4, r 2 = AC = 3 ⇒ V1 = π.r 22 h2 = π42 .3 = 16π.
Xét khối tròn xoay (T ) do

ABC quay quanh cạnh BC tạo ra.

Khi đó (T ) là hợp của hai khối nón (như hình vẽ), bán kính đáy chung r 3 = AH =
1
3

1
3

1

3

Thể tích khối này là V3 = π.r 23 .AH + π.r 23 .BH = π.r 23 .AB =
Vậy tổng thể tích của 3 khối là V1 + V2 + V3 =

188
π.
5

48
pi .
5

12
5

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón đó.


23

Lời giải
S

Gọi SMN là thiết diện qua trục vuông góc với AB của hình nón.
Gọi (T ) là thiết diện cần tìm diện tích (với đỉnh I )
1
2

3
AB 3
Theo giả thiết SM = 3 ⇒ OI = , ngoài ra O A = OB =
=
2
2
2

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Ví dụ 15. Một khối nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh
bằng 3. Một mặt phẳng qua đường kính AB của mặt đáy đồng thời hợp với mặt đáy
một góc bằng 60◦ cắt khối nón theo thiết diện là một hình parabol. Tính diện tích của
thiết diện đó.

I

Từ giả thiết ta có ION = SMN = 60◦ ⇒ IO ∥ SM và IO = SM
A

Do thiết diện là một hình parabol nên có diện tích
4
S th.diện = .O A.OI = 3.
3

M

O

N

B

Ví dụ 16. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 5, khoảng cách giữa hai đáy bằng 7.
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một đoạn bằng 3. Tính
diện tích thiết diện được tạo thành.
Lời giải
Câu a. Theo giả thiết r = 5; h = l = 7 nên
S tp = 2S đ + S xq = 2π.r 2 + 2π.rl = 2π.52 + 2π.5.7 = 120π.
O

V = π.r 2 h = π.52 .7 = 175π.

Câu b. Giả sử hình trụ (T ) có trục OO , thiết diện song song với trục
là hình chữ nhật MNPQ ( N, P ∈ (O ) và M,Q ∈ (O )).
Gọi H là trung điểm MQ khi đó O H ⊥ MQ ⇒ O H ⊥ ( MNPQ ).
Do đó d OO , ( MNPQ ) = d O , ( MNPQ ) = O H = 3.

O

Ta có MH = O M 2 − O H 2 = 4 cm ⇒ MQ = 2 · MH = 8.

Q
H
M

N

Diện tích thiết diện: S = MH · MN = 56.
Ví dụ 17.
Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh A
2 3 cm với AB là đường kính của đường tròn đáy. Gọi M là

B

M

điểm thuộc cung AB của đường tròn đáy sao cho ABM = 60◦ .
Tính thể tích của khối tứ diện ACDM .
D

C

Lời giải
Ta có AMB = 90◦ nên AM = AB. sin ABM = 2 3. sin 30◦ = 3 cm.
d( AM, CD ) = AD = 2 3 cm và ( AM, CD ) = ( AM, AB) = M AB = 30◦ .
1
1
VACDM = .AM.CD.d( AM, CD ). sin ( AM, CD ) = . 3.2 3.2 3. sin 30◦ =
6
6

3 cm2 .

P