Bài giảng động lực học - Chương 3

CHƯƠNG 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO
3.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
3.1.1 Lựa chọn bậc tự do
Ý nghóa: thực tế kết cấu thường là hệ phân bố,
có vô hạn bậc tự do. Đưa về sơ đồ một bậc tự do
chỉ thích hợp trong một số trường hợp đặc biệt, khi
hệ hầu như chỉ dao động với một dạng nhất đònh.
Để thu được kết quả chính xác hơn, ta phải đưa hệ
kết cấu về hệ rời rạc nhiều bậc tự do. Số bậc tự do
được chọn dựa vào bài toán cụ thể.
Các cách chọn bậc tự do: có hai cách
- Chọn biên độ dao động tại một số điểm rời
rạc: bao gồm phương pháp dồn khối lượng và phần
tử hữu hạn (FEM) để rời rạc hóa.
- Chọn tọa độ suy rộng, là biên độ của một số
kiểu (pattern) biến dạng của hệ.
3.1.2 Phương trình cân bằng động
Để đơn giản ta xét hệ liên tục như hình vẽ, với
các bậc tự do là chuyển vò tại các điểm 1, 2, 3, ...,
N.
Tại mỗi điểm (nút) có các lực tác dụng: tải
trọng p
i
(t), lực quán tính f
Ii
, lực cản f
Di
, và lực đàn
hồi f
Si
. Phương trình cân bằng nút i:

f
Ii

+ f
Di
+ f
Si
= p
i
(t) , i = 1, 2, 3, ..., N
Dạng ma trận:
[f
I
] + [f
D
] + [f
S
] = [p(t)] (3.1)
trong đó:
[f
I
] =















IN
I
I
f
f
f

2
1
, [f
D
]=















DN
D
D
f
f
f

2
1
, [f
S
]=














SN
S

S
f
f
f

2
1
, [p(t)] =














)(
)(
)(
2
1
tp
tp
tp

N

- Lực đàn hồi
Dùng nguyên lí cộng tác dụng, ta có:
f
Si
= k
i1
v
1
+ k
i
2
v
2
+ .... + k
iN
v
N

với i =
N,1
v
1
(t)
v
2
(t)
v
i

(t)
v
N
(t)
1
2
i
Ν
p(x,t)
m(x)
EI(x)
chiều dương
chuyển vò
chiều dương
của lực
chuyển vò
f
Di

f
Ii
m
i
v
i
(t)
p
i
(t)
f

Si

với k
ij
là lực tại nút i do chuyển vò v
j
= 1 gây ra.
Chú ý: Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy
trì đường đàn hồi (ngược chiều với lực nút).
Dạng ma trận:














SN
S
S
f
f
f


2
1
=












NNNN
N
N
kkk
kkk
kkk




21
22221
11211















N
v
v
v

2
1
(3.2)
hay: [f
S
] = [K][v] (3.3)
[K] gọi là ma trận cứng (Stiffness Matrix).
- Lực cản- kết quả tương tự như lực đàn hồi















DN
D
D
f
f
f

2
1
=













NNNN
N
N
ccc
ccc
ccc




21
22221
11211
















N
v
v
v




2
1
(3.4)
với c
ij
là lực tại nút i do
j
v

= 1 gây ra, gọi là hệ số
ảnh hưởng cản.
hay: [f
D

]= [C][
v

] (3.5)
trong đó: [C] là ma trận cản (Damping Matrix)
- Lực quán tính















IN
I
I
f
f
f

2
1
=













NNNN
N
N
mmm
mmm
mmm




21
22221
11211
















N
v
v
v




2
1
(3.6)
với m
ij
: lực tại nút i do
j
v

= 1 gây ra, là hệ số ảnh
hưởng khối lượng,
hay: [f
I

]= [M][
v

] (3.7)
trong đó: [M] là ma trận khối lượng (Mass Matrix)

Hệ N phương trình vi phân chuyển động:
[M][
v

] + [C][
v

] + [K][
v
] = [p(t)] (3.8)
Phương trình trên là phương trình mang tính
chất tổng quát của bài toán động lực học.
Tùy thuộc vào [p(t)] mà ta có các trường hợp
phân tích động lực học của hệä:
Phân tích dao động tự do,
Phân tích phản ứng của hệ với tải trọng động
như tải gió, động đất, sóng biển...
3.1.3. Ảnh hưởng của lực dọc (nén)
Lực dọc làm tăng thêm chuyển vò nút, nên sẽ
có vai trò như lực nút tác dụng theo chiều của
chuyển vò nút, ký hiệu bởi ma trận [f
G
]. Khi này
phương trình cân bằng nút (3.1) trở thành:
[f
I
] + [f
D
] + [f
S

] - [f
G
] = [p(t)] (3.9)
Lực nút [f
G
] tương đương với vai trò của lực dọc,
được biểu diễn bởi các hệ số cứng hình học
(Geometric - Stiffness Coefficients) như sau:














GN
G
G
f
f
f

2

1
=












GNNGNGN
NGGG
NGGG
kkk
kkk
kkk




21
22221
11211
















N
v
v
v

2
1
(3.10)
với k
Gij
là lực tại nút i do v
j
= 1 gây ra, có ảnh
hưởng của lực dọc
hay: [f
G
] = [K
G

][v]
(3.11)
trong đó: [K
G
] là ma trận cứng hình học
(Geometric - Stiffness Matrix)
Phương trình (3.9) trở thành:
[M][
v

] + [C][
v

] + [K][
v
] – [K
G
][v] = [p(t)] (3.12)
hay: [M][
v

] + [C][
v

] + [
K
][
v
] = [p(t)] (3.13)
với: [

K
] = [K] – [K
G
] là ma trận độ cứng tổng hợp
(Combined Stiffness Matrix) (3.14)
Như vậy, lực dọc làm giảm độ cứng của kết cấu
(làm cho kết cấu mềm đi).
3.2 XÁC ĐỊNH CÁC MA TRẬN TÍNH CHẤT
3.2.1 Tính chất đàn hồi
3.2.1.1 Độ mềm của kết cấu
Gọi: f
ij
là chuyển vò tại i do p
j
= 1 gây ra. Tập
hợp các f
ij
(i = 1,N) tạo nên đường đàn hồi do p
j
= 1
gây ra (hình vẽ). Chiều dương của chuyển vò và
lực theo chiều dương của trục tọa độ.
Chuyển vò tại điểm i do các lực p
j
(j = 1,N)
theo nguyên lý cộng tác dụng:
v
i
= f
i

1
p
1
+ f
i
2
p
2
+ .... + f
iN

p
N

i =
1, N
Dạng ma trận:
f
1j
2j
f
ij
f
jj
f
Nj
f
1 2 3
j
Ν

j
p














N
v
v
v

2
1
=













NNNN
N
N
fff
fff
fff




21
22221
11211
















N
p
p
p

2
1
(3.15)
hay: [v] = [f][p]
(3.16)
trong đó:
[f] : Ma trận độ mềm của kết cấu (Flexibility
Matrix)
[p]: Ma trận tải trọng nút, có cùng chiều dương
với chuyển vò nút. Lực đàn hồi cân bằng lực nút
[p] = [f
S
], (3.16) trở thành:
[v] = [f][f
S
] (3.17)
p
1
p
2
p

3
S1
f
S2
f
S3
f
1
v v
2
v
3
1
i
j
Ν
1
i
Ν
j
j
v=1
1
p=k
1j
p=k
i ij
p=k
N
Nj

p=k
j jj
k
1j
k
ij
k
jj
k
Nj
j
v=1
3.2.1.2 Độ cứng của kết cấu
Hệ số cứng k
ij

(được minh họa trên hình vẽ)

là
các lực nút do chuyển vò v
j
= 1 gây ra (các chuyển
vò khác v
i
= 0, với i ≠ j). k
ij

chính là phản lực tại nút
nếu đặt thêm các liên kết.
Thường ma trận độ cứng [K] được suy ra từ ma

trận độ mềm [f] hoặc dùng phương pháp phần tử
hữu hạn (FEM).
3.2.1.3 Các khái niệm cơ sở
- Thế năng biến dạng: (bằng công ngoại lực)

]][[
2
1
]][[
2
1
2
1
1
pvvpvpU
TT
i
N
i
i
==
∑
=
=
(3.18)
Theo (3.16) vào (3.18) ta được:

]][][[
2
1

pfpU
T
=
(3.19)
Hoặc thế (3.3) vào (3.18), với chú ý rằng [p] = [f
S
]:

]][][[
2
1
vKvU
T
=
(3.20)
Vì U > 0 nên suy ra:
[v
T
][K][v] > 0 và [p
T
][f][p] > 0 (3.21)
[K] và [f] thỏa (3.21) với mọi [v], [p] ≠ 0 nên là
các ma trận xác đònh dương (Positive Definite),
không suy biến và nghòch đảo được.
Thiết lập quan hệ [K], [f], (3.3): [f
s
] = [K].[v]
hay [K
-1
][f

s
] = [v]
Mặt khác (3.17): [v] = [f].[f
s
]
suy ra: [f] = [K
-1
] hoặc [K] = [f
-1
] (3.22)
Thường xác đònh ma trận cứng thông qua ma trận
mềm theo (3.22).
- Đònh lý Betti:
“Công khả dó của lực ở trạng thái (a) trên chuyển
vò ở trạng thái (b) bằng công khả dó của lực ở
trạng thái (b) trên chuyển vò ở trạng thái (a)”
[p
a
T
]

[v
b
] = [p
b
T
]

[v
a

] (3.23)
hay [p
a
T
][f][p
b
] = {[p
b
T
][f][p
a
]}
T
= [p
a
T
] [f
T
] [p
b
]
suy ra: [f] = [f
T
] Ma trận đối xứng (3.24)
Một cách tương tự, ma trận cứng đối xứng:
K = K
T
(3.25)
a1
p

v
a
1
a2
p
a
2
v
a3
p
v
a
3
b
1
p
b1
v
b
2
p
b2
v
b
3
p
b3
v
1
2 3

Trạng thái (a)
Trạng thái (b)
3.2.1.4 Thiết lập ma trận độ cứng bằng phương
pháp phần tử hữu hạn (FEM)
Hệ được quan niệm gồm nhiều phần tử nối với
nhau tại một số hữu hạn nút. Tính chất của hệ
được tìm bằng cách chồng chất các phần tử một
cách thích hợp.
Xét phần tử dầm thẳng có 2 nút như hình vẽ:
Có hai bậc tự do mỗi nút: bao gồm chuyển vò
thẳng và góc xoay.
Hàm dạng
ψ
i
(x) chỉ chuyển vò v
i
= 1 gây ra, còn
các chuyển vò nút khác đều bằng 0. Hàm
ψ
i
(x)
phải thỏa mãn điều kiện biên, nhưng thường chọn
hàm chuyển vò trong dầm có độ cứng EI = const
do chuyển vò nút v
i
= 1 gây ra. Đó là các hàm đa
thức Hermit bậc ba như sau:
ψ
1
(x) = 1 - 3

2






L
x
+ 2
3






L
x
(a)
ψ
3
(x) = x(1-
L
x
)
2
(b)
ψ
2

(x) = 3
2






L
x
- 2
3






L
x
(c)
ψ
4
(x) =







−1
2
L
x
L
x
(d) (3.26)
EI(x)
L
x
a
b
v(x)
1
v
v
3
2
v
4
v
1
a
v =v =1
1
θ
=v =1
a
3
ψ

(x)
1
3
ψ
(x)
Dùng bốn hàm nội suy này, chuyển vò của dầm
xác đònh theo các chuyển vò nút:
v(x) =
ψ
1
(x) v
1
+
ψ
2
(x) v
2
+
ψ
4
(x) v
3
+
ψ
4
(x) v
4
(3.27)
trong đó:















4
3
2
1
v
v
v
v
=















b
a
b
a
v
v
θ
θ
(3.27’)
Hệ số cứng của phần tử là các phản lực nút do
chuyển vò nút gây ra. Để đơn giản ta xét phần tử
dầm như hình vẽ. Hệ số k
13
, tức là phản lực p
a
trên
hình vẽ được xác đònh như sau:
Dùng nguyên lí công khả dó: W
E
= p
a
δ
v
a

= k
13
δ
v
1
Momen do
θ
a
= 1 gây ra là: M(x) = EI(x)
''
3
ψ
(x)
Công khả dó của nội lực: W
I
=
δ
v
1
dxxxxEI
L
)()()(
''
3
0
''
1
ψψ
∫
θ

=v
3
=1
1
3
ψ
(x)
δ
v =
δ
v
1
a
k
13
= p
a
=p
a
δ
v(x)=
ψ
(x)
δ
v
1
1
(chuyển vò khả dó)
Cho W
I

=W
E
suy ra: k
13
=
dxxxxEI
L
)()()(
''
3
0
''
1
ψψ
∫
(3.28)
Tổng quát hóa:
k
ij
=
dxxxxEI
j
L
i
)()()(
''
0
''
ψψ
∫

: Độ cứng suy rộng (3.29)
vì k
ij
= k
ji
nên ma trận độ cứng đối xứng.
Với dầm có độ cứng đều EI = const, ta có:














4
3
2
1
S
S
S
S
f

f
f
f
=
3
2
L
EI













−
−
−−−
−
22
22
233
233
3366

3366
LLLL
LLLL
LL
LL















4
3
2
1
v
v
v
v
(3.30)
Nếu dầm có độ cứng EI(x) thay đổi thì (3.30)

là gần đúng. Độ chính xác sẽ cao hơn, nếu chia
dầm ra các phần tử nhỏ hơn.
Hệ số độ cứng k
ij
của kết cấu bằng tổng các hệ
số cứng tương ứng của các phần tử nối vào nút.
Chẳng hạn, nếu các phần tử m, n, p cùng nối vào
nút i thì hệ số cứng của kết cấu tại nút i là:
k
ii
=
)(m
ii
k
+
)(n
ii
k
+
)( p
ii
k
(3.31)
trong đó
)(m
ii
k
,
)(n
ii

k
,
)( p
ii
k
là hệ số cứng của phần tử đã
biến đổi sang hệ tọa độ chung(từ tọa đòa phương).
Thí dụ:
Xét hệ như hình vẽ, gồm 3 phần tử nối tại 2
nút. Bỏ qua biến dạng dọc trục, hệ có 3 bậc tự do:
v
1
, v
2
và v
3
Các hệ số độ cứng của hệ được xác đònh bằng
cách lần lượt cho các chuyển vò cưỡng bức đơn vò
v
i
= 1 và cộng lực nút ứng với các phần tử. Ma
trận độ cứng kết cấu:
)26(
2
3
11
x
L
EI
k = )3(

2
3
21
L
L
EI
k = )3(
2
3
31
L
L
EI
k =
2L
L
EI
EI
4EI
v
1
v
2
v
3
EI
EI
4EI
k
11

k
21
k
31
v
1
=1
EI
EI
4EI
k
12
k
22
k
32
v
2
=1
)6(
2
)2(2
)2(
42
)2(
2
2
3
2
3

2
3
2233
L
L
EI
Lx
L
EIx
L
L
EI
kk =+==
)2(
2
)2(
)2(
42
2
3
2
3
32
L
L
EI
L
L
EIx
k ==





















=











3
2
1
22
22
3
3
2
1
623
263
3312
2
v
v
v
LLL
LLL
LL
L
EI
f
f
f
S
S
S
Chú ý: Bài toán động lực học của hệ phân bố
thường đòi hỏi nhiều bậc tự do hơn so với bài toán

tónh, do ảnh hưởng của lực quán tính. Tuy nhiên,
khi đã chọn các bậc tự do cho bài toán động rồi thì
việc xây dựng ma trận cứng giống như trường hợp
bài toán tónh.
3.2.2 Tính chất khối lượng
3.2.2.1 Ma trận khối lượng thu gọn (Lumped Mass
Matrix)
Ta xem khối lượng phân bố của các phần tử
được thu gọn về các nút theo nguyên tắc tónh học,
1
m m
2
m
3
1
2
3
ta có hệ gồm các khối lượng tập trung. Ma trận
khối lượng thu gọn là ma trận đường chéo:
[M] =













N
m
m
m
00
0
0
00
2
1




(3.32)
trong đó: m
ij
= 0 với i
≠
j, vì gia tốc tại khối lượng
nào chỉ gây ra lực quán tính tại khối lượng đó.
3.2.2.2 Ma trận khối lượng tương thích (Consistent
- Mass Matrix)
Xét
phần tử dầm
có hai bậc
tự do mỗi
nút. Dùng

các hàm
nội suy
ψ
i
(x) như ma trận cứng.
Giả sử dầm chòu tác dụng của gia tốc góc bằng
đơn vò tại nút a,
3
v

=
a
θ

= 1, gia tốc chuyển động ngang của dầm là:
L
m(x)
v(x)
v
1
a
3
v
v
4
b
2
v
x
δ

v =
δ
v
θ
=v =1
a
3
a
(chuyển vò khả dó)
δ
v(x)=
ψ
(x)
δ
v
m =p
1
13
a
1
f (x)
Ι
1
1
..
..
)()(
33
xvxv
ψ


=
(3.33)
Lực quán tính:
)()()()()(
33
xvxmxvxmxf
I
ψ

==
(3.34)
Cho dầm chòu chuyển vò khả dó
δ
v(x) =
ψ
1
(x)
δ
v
1
. Cân bằng công khả dó của lực nút và lực quán
tính, ta có: p
a
δ
v
a
=
dxxvxf
L

I
)()(
0
δ
∫
hay m
13
=
dxxxxm
L
)()()(
3
0
1
ψψ
∫
KL suy rộng m
ij
=
dxxxxm
j
L
i
)()()(
0
ψψ
∫
(3.35)
vì m
ij

= m
ji
, nên ma trận tương thích đối xứng.
- Nếu dầm có khối lượng phân bố đều thì ta có:














4
3
2
1
I
I
I
I
f
f
f
f

=
420
][ LM













−−−
−
−
−
22
22
432213
341322
221315654
132254156
LLLL
LLLL
LL
LL















4
3
2
1
v
v
v
v




(3.36)
Ma trận khối lượng của kết cấu cũng được “chồng
chất’’ từ ma trận của phần tử, tương tự như ma trận

cứng.
Thí dụ
Thành lập ma trận khối lượng cho kết cấu như
hình vẽ theo hai phương pháp. Quá trình tính các
hệ số khối lượng được chỉ rõ trên các hình vẽ.
Ma trận khối lượng thu gọn:
[M] =










0
0
840
210
Lm
m
11
m
21
m
31
1
=1

m
12
m
22
m
32
1
2
=
v

2L
L
m
m
v
1
v
2
v
3
1.5
v
1
v
2
v
3
1.5L
0.5L

0.5L 0.5L
0.5L
1.5L
m
11
= 4L
m
22
= m
33
= 0
m
22
= m
33
= 0 vì giả thiết rằng khối lượng thu gọn
không có quán tính xoay, tức là các gia tốc góc tại
nút không gây ra momen quán tính.
Ma trận khối lượng tương thích:
768
210
25.1)2156(
420
11
Lm
Lxmx
Lm
m =+=
L
Lm

L
Lm
mm 11
210
)22(
420
3121
===
222
3322
26
210
)2(4
420
25.1
4
420
L
Lm
L
Lxm
L
Lm
mm =+==

22
32
)18(
210
)2()3(

420
25.1
L
Lm
Lx
Lxm
m −=−=
[M] =










−
−
22
22
261811
182611
1111786
210
LLL
LLL
LL
Lm

Nhận xét
Bài toán động lực học ứng với ma trận khối
lượng thu gọn đơn giản hơn vì:
- [M] thu gọn dạng đường chéo, trong khi [M]
tương thích có nhiều hệ số khác 0 ở ngoài đường
chéo. Các hệ số của [M] thu gọn ứng với các
chuyển vò xoay cũng bằng 0, càng làm cho bài
toán đơn giản hơn.
- Dùng [M] thu gọn có thể loại bỏ các chuyển
vò xoay, nhưng dùng [M] tương thích thì không thể
loại bỏ được.
3.2.3 Tính chất cản
Hệ số cản của phần tử được xác đònh bởi FEM,
cho bởi công thức:
c
ij
=
dxxxxc
j
L
i
)()()(
0
ψψ
∫
Hệ số cản suy rộng (3.37)
trong đó: c(x) - tính chất cản phân bố của phần tử.
Ma trận cản kết cấu cũng được chồng chất từ
ma trận cản của phần tử, tương tự ma trận độ cứng
hoặc ma trận khối lượng.

Tuy nhiên, để xác đònh hàm c(x) trong thực tế
thì không làm được. Thường tính cản của kết cấu
xác đònh bởi thực nghiệm bằng tỉ số cản
ξ
.
3.2.4 Tải trọng
Nếu tải trọng tác dụng trên phần tử thì phải
thay thế bằng tải trọng nút tương đương, dùng khái
niệm lực suy rộng. Có hai phương pháp:
3.2.4.1 Tải trọng nút tương đương tónh học
Xem như tải trọng đặt trên dầm phụ có mắt
truyền lực đặt tại nút. Lực truyền vào nút sẽ thay
thế cho tải trọng đặt trên phần tử. Như vậy không
truyền mô men tập trung vào nút.
3.2.4.2 Tải trọng nút tương thích
p(x,t)
q(x,t)
F(t)
p
i
(t) p
j
(t)
Lực nút tương đương
Tải
trọng nút được tính theo nguyên lí chuyển vò khả
dó, dùng các hàm nội suy
ψ
i
(x). Thí dụ:

p
1
(t) =
dxxtxp
L
∫
0
1
)(),(
ψ
Tải trọng suy rộng p
i
(t) =
dxxtxp
L
i
∫
0
)(),(
ψ
(3.38)
Nếu tải trọng có dạng phân ly (trường hợp này
thường gặp trong thực tế)
p(x,t) =
χ
(x)
ζ
(t)
thì lực nút suy rộng trở thành:
p

i
(t) =
ζ
(t)
dxxx
L
i
∫
0
)()(
ψχ
(3.39)
p
a
3
p
1
p
4
b
2
p
L
δ
v(x)=
ψ
(x)
δ
v
1

1
δ
v =
δ
v
a
1
p(x,t)
Tải trọng suy rộng
Chú ý rằng, với các hàm nội suy
ψ
i
(x) (i = 1,4)
ta có 2 lực nút và 2 mô men nút tại 2 đầu dầm.
3.2.5 Độ cứng hình học
Độ cứng hình học
thể hiện khuynh hướng
làm tăng chuyển vò uốn
của lực nén N. Hệ số
cứng hình học chính là
lực nút do N tạo ra. Giả
thiết rằng lực nén N do
tải trọng tónh gây ra là chủ yếu; phần do lực động
gây ra có thể bỏ qua được. Vì vậy, coi N không
đổi trong quá trình dao động.
(Nếu N(t) thay đổi theo thời gian thì [K
G
] cũng
thay đổi theo thời gian. Bài toán trở nên phi
tuyến).

Xấp xỉ tuyến tính: 1 BTD/nút
Giả sử lực dọc trong phần tử i là N
i
. Coi phân
tử i thẳng thì lực nút f
Gi
và f
Gj
được xác đònh theo
lực nén N
i
trên hình vẽ. Viết lại dạng ma trận:
i
v
j
v
i j
x
v
N
O
N
N
i
i
Li
i
v
j
v

i
Gi
f =
v -
i
v
j
L
i
i
N
i
N
Gj
f =
L
i
v -
j
v
i













−
−
=






j
i
i
i
Gj
Gi
v
v
l
N
f
f
11
11
(3.40)
Ma trận cứng hình học của kết cấu dầm:


















































+−
−+−
−+−
−+
=



























−
−
−
−
−
−
−
−
n
i
n
n
n

n
n
N
i
i
i
i
i
i
i
i
Gn
Gi
G
G
v
v
v
v
L
N
L
N
L
N
l
N
l
N
l

N
l
N
l
N
l
N
l
N
l
N
l
N
l
N
l
N
f
f
f
f
2
1
1
1
1
1
1
1
1

1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
2
1
00
0
0
00
(3.41)
có dạng 3 vệt chéo. Viết dạng kí hiệu:

]][[][ vKf
GG
=
(3.42)
+ Độ cứng hình học tương thích:
Dùng khái niệm phần tử hữu hạn, ta thu được

công thức:


( ) ( ) ( )
dxxxxNk
ji
L
o
Gij
''
ψψ
∫
=
(3.43)
Biểu đồ N(x)
P
G2
b
P
G4
P
G1
P
G3
a
Nếu phần tử có lực dọc N(x)

= N = const, dùng
các hàm nội suy trước đây, ta thu được ma trận
cứng hình học phần tử:



























−−
−−
−−−

−
=














4
3
2
1
22
22
4
3
2
1
433
433
333636
333636

30
v
v
v
v
LLLL
LLLL
LL
LL
L
N
f
f
f
f
G
G
G
G
(3.44)













−−
−−
−−−
−
=
22
22
433
433
333636
333636
30
][
LLLL
LLLL
LL
LL
L
N
K
e
G

[
e
G
K
] là ma trận độ cứng của phần tử (đối xứng).

Ma trận [K
G
] của kết cấu suy ra từ [
e
G
K
] tương
tự như [K], [M].
3.2.6 Lựa chọn cách thiết lập ma trận tính chất
Có 2 cách tính gần đúng các ma trận khối
lượng, độ cứng hình học, tải trọng:
- Phương pháp sơ cấp chỉ xét chuyển vò thẳng.
- Phương pháp tương thích xét cả chuyển vò
thẳng chuyển vò xoay.
Về nguyên tắc, phương pháp tương thích cho
độ chính xác cao hơn, vì xét đầy đủ và hệ thống
hơn các phần năng lượng liên quan đến sự làm
việc động của kết cấu. Tuy nhiên, trong thực tế thì
độ chính xác của phương pháp tương thích không
trội bao nhiêu so với phương pháp sơ cấp, nhưng
khối lượng tính toán thì lớn hơn nhiều, vì bậc tự do
xoay đóng vai trò kém quan trọng so với chuyển vò
thẳng.
Phương pháp sơ cấp dễ dàng hơn, vì các ma
trận xuất phát dễ tính hơn và số bậc tự do phải xét
cũng ít hơn.
Nếu phương pháp thu gọn khối lượng được
dùng với ma trận cứng thiết lập bằng FEM (tức là
kể đến bậc tự do chuyển vò xoay) thì có thể loại
trừ các chuyển vò xoay này trong phương trình

chuyển động. Khi đó ma trận cứng cũng được rút
gọn lại, gọi là Static Condensation (kích thước ma
trận cứng thu nhỏ lại). Để minh họa, ta viết lại
phương trình (3.2) trong đó đã sắp xếp lại các
chuyển vò thành 2 nhóm: v
t
là thành phần chuyển
vò thẳng và v
o
là thành phần chuyển vò xoay.