BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC tế của TÍCH PHÂN

BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TÍCH PHẦN

Câu 1:

1a
vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. 4 Tính thể tích của .
A. .
23a 3
V( H ) =
34
C. .

(CHUYÊN KHTN L4) Gọi là phần giao của ( H ) hai khối hình trụ có bán kính , hai trục hình trụ
B. .
D. .

π a 33
V(VH( )H =
=
)
42

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A.

aa)2 − x 2
O
H
S ( x )Oxyz
(=Ox

Ta
tọa
hình vẽ. Khi đó phần giao là một vật thể có đáy là một phần tư
tâm bán kính , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục là một
vuông có diện tích
a
( aH2 )− x 2 dx = 2a3
S
x
dx
=
(
)
(
)
∫0
∫0
3
a

Câu 2:

(

(CHUYÊN VINH – L2)Trong Công 16 y 2 = Oxy
x 2 25 − x 2

)

gọi trục

độ như
hình tròn
hình
Thể tích khối là .

học có những mảnh đất mang
hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó
được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong
toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được
tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ
là như hình vẽ bên.
S1 biết rằng mỗi đơn vị trong hệ
Tính diện tích của mảnh đất Bernoulli Oxy

y viên

Toán

x
tọa độ tương


ứng với chiều dài mét.
SS ==

A.
C.

125
125

m
m22 )
(
46

B.
D.

SS ==

Hướng dẫn giải

250
125
( m2 )
33

Chọn D.
Oxy
Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của
mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh
đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ .
1
Từ giả thuyết bài toán, ta có .
y = ± x 5 − x2
4
Góc phần tư thứ y = 1 x 25 − x 2 ; x ∈ [ 0;5]
4
nhất
5

1
125
125 3
x 25 − x 2 dx =
⇒S=
(m )
∫
40
12
3
OMH
x
Ox
M
=
4
V
=
V
2
V
x = ay( 0H1<) xa1 < 4 )
(CHUYÊN
VINH
–
y
L2)Gọi là thể tích khối tròn xoay
thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , và quanh
Đường thẳng cắt đồ thị hàm tại (hình vẽ bên). Gọi là thể tích

khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh trục . Biết
rằng . Khi đó
O
a aa===2 523 2
.
2

Nên

S( I ) =

Câu 3:

tạo
trục .

M
a
K

H
4

x

A.

B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.
Ta có . Khi đó
Ta có
M a; a
OMH
Ox
Khi quay tam giác quanh trục

4

x =0⇔ x=0
V = π ∫ xdx = 8π

(

0

)

tạo thành hai hình nón có chung đáy:
O1 )== aa
N
( OK
Rh1==MK
h2R == HK
( NH2=)=4 −aa
MK

1

1
4
V1 = π R 2 h 1 + π R 2 h 2 = π a
3
3
3
Theo đề bài .
Câu 4:

• Hình nón có đỉnh là , chiều cao ,
bán kính đáy ;
• Hình nón thứ 2 có đỉnh là ,
chiều cao , bán kính đáy
Khi đó
4
V = 2V1 ⇔ 8π = 2. π a ⇒ a = 3
3

(CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu , có (( S12 )) cùng bán kính thỏa mãn tính chất: tâm của thuộc

VR

và ngược lại. Tính thể tích phần chung
của hai khối cầu tạo bởi và .
A. .
B. . C. . D. .
V =52ππRR33
VV ==
12
52

Hướng dẫn giải

y

(C ) : x 2 + y 2 = R 2

Chọn C
Oxy

Gắn hệ trục như hình vẽ

Khối cầu chứa một đường tròn lớn là S ( O, R )

( C) : x

2

2

+y =R

2

O

R
2

R

x


Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là

Câu 5: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có
bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt
xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu
( đơn vị lít) là bao nhiêu ?
A. lit.

B. lit.C. lit.

D. lit.

425162
212581
425, 6
212,
2

V =2
Hướng dẫn giải

=(0;0,
Ox
ax
P±0,5
( P ) : AySx(=(0,5;0,3
)2 4+) bx

) +c

 Gọi là parabol đi qua điểm và có đỉnh (hình vẽ). Khi đó, thể tích thùng rượu bằng thể tích khối
tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục.
 Dễ dàng tìm được
2
( P ) : y = − x 2 + 0, 4
 Thể tích thùng rượu là:
5
0,5

2

 2

V = π ∫  − x 2 + 0, 4 ÷ dx = 2π
5

−0,5 

2

203π
 2 2

∫0  − 5 x + 0, 4 ÷ dx = 1500 ≈ 425,5 (l)

0,5

Chọn A.

3
Câu 6: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được m đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m, có bán kính
đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng
với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn
vị )
3
33
A. 11,781 ﾧ B.
14,923
8,307
m .m
m ..
12,637 ﾧ C. 1 D. ﾧ
Hướng dẫn giải

V = π r 2 h = π.1 2.5 = 5π (m3 )
 Thể tích của bồn
(hình trụ) đựng


dầu là:
 Thể tích phần đã rút dầu ra
(phần trên mặt (ABCD))
là:
 Vậy thể tích cần tìm
là:

π
3

V1 =  −
.5 ≈ 3, 070 (m3 )
÷
÷
3 4 
V2 = V − V1 = 5π − 3, 07 ≈ 12, 637 (m 3 ).
Chọn B.

Câu 7: Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều
rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm
phải trả là:
A. 33750000 đồng.
B. 12750000 đồng.
C. 6750000 đồng.
D.3750000 đồng.
Hướng dẫn giải
 Gắn parabol và O(0;0)
( P)
hệ trục tọa độ
sao cho đi qua
 Gọi ( P ) : y = ax 2 + bx + c

B (1,5;
O(3;0)
A((0;0)
P2,
) 25)
3

S = ∫ − x 2 + 3 x dx =

0

9
2

Năm phải trả là: (đồng)
Chọn C

phương
trình
của parbol là
(P):
Theo đề ra, đi qua ba điểm ,,.
Từ đó, suy ra
( P ) : y = − x 2 + 3x
 Diện tích phần Bác
Năm xây dựng:
 Vậy số tiền bác 9
.1500000 = 6750000
2

y = Oxx + 1
Câu 8: Một Bác thợ gốm làm một cái lọ
có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục quay
quanh trục biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm, khi đó thể tích của lọ là:
2
A. B.
C. D.
15
14

815
ππ dm
.
dm
dm232. .
Hướng
dẫn giải
232




r1 = y1 = 1 ⇒ x1 = 0

x

15
V = π ∫ y 2 dx = π ∫ ( x + 1) dx = π  + x ÷ 30 = π
2
 2

0
0
3

3

2

Suy

ra:
Chọn B

r2 = y2 = 2 ⇒ x2 = 3


Câu 9: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ.
Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).
0,5m

2m

5m

0,5m

19m

A. .

B.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Chọn hệ trục như hình vẽ.

0,5m
. 18
40m
19m

21m
m333. C.

Oxy
y

O

Ta có

Nên ta có hệ phương trình sau:

D. .

x

Gọi là Parabol đi qua hai điểm
( P19
) : y = ax 2 + c
A  1 ;0 ÷, B ( 0; 2 )
2

8

 19 
 2 
8 2
0 = a.  ÷ + 2
a = −
⇔

x +2
361 ⇒ ( P1 ) : y = −

 2
361
2 = b
b = 2

Gọi là Parabol đi qua hai điểm
( P2 ) : y) =, Dax 20;+5c
C ( 10;0

÷
1

 2  0 = a. ( 10 ) 2 + 5
a=−


1
5
40
2⇔
⇒ ( P2 ) : y = − x 2 +


40
2
5 = b
b = 5

 2

2

Nên ta có hệ phương trình sau:
19
 10  1
5
 8 2
 
V = 5.2  ∫  − x 2 + ÷dx − ∫ 2  −
x + 2 ÷dx  = 40m3
0
0
2
 361
 
  40

Ta có thể tích
của bê tông là:
100.000
10m
16m
8m2
1m
Câu 10:Ông An có

một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng ﾧ và độ dài trục bé bằng ﾧ. Ông muốn trồng hoa
trên một dải đất rộng ﾧ và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để

trồng hoa là ﾧ đồng/ ﾧ. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được
làm tròn đến hàng nghìn.)
8m
7.653.000
A. ﾧ đồng.
B. ﾧ đồng. 7.862.000


C. ﾧ đồng.

D. ﾧ đồng.

7.826.000
7.128.000
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Giả sử elip có phương trình ﾧ.

x2 y 2
+
=1
a 2 b2
2ba = 10
16 ⇒ ba = 58

Từ giả thiết ta có ﾧ và ﾧ
Vậy phương trình của
elip là ﾧ

5

y=−
64 − y 2 ( E1 )

x
y
8
+
=1⇒ 
64 25
 y = 5 64 − y 2 ( E )
1

8
2

2

( E ); ( E );5 x4 = −4; x = 4
5
64 − 1x 2 dx =2 ∫ 64 − x 2 dx
8
20
−4
4

S = 2∫

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường ﾧ và diện tích của dải vườn là ﾧ

x =8sin
Tính tích phân này bằng phép đổi
π t 3
S
=
80
 +
÷
biến ﾧ, ta được ﾧ
6 4 

Khi đó số tiền là
ﾧ.

π
3
T = 80  +
÷.100000 = 7652891,82 ; 7.653.000
6 4 
=
y = f ( x ) = ax3 + bxy2 =+y( C
cx
f ′)4(+xd) , ( a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0 )

Câu 11:(SỞ GD
HÀ NỘI) Cho
hàm số có
đồ thị . Biết
rằng đồ thị
tiếp xúc với

đường thẳng
tại điểm có
hoành độ âm
và đồ thị
hàm số cho
bởi hình vẽ
dưới đây:
Tính diện
tích của
hình
phẳng
giới hạn
bởi đồ thị
và trục
hoành.

( CS)

A..
B..
S =27
21
59
S=
C.. D..
44
Hướng
dẫn
giải
Chọn B.

f ′ ( x ) = 3x 2 − 3

Từ đồ thị suy ra .

f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3x 2 − 3) dx = x 3 − 3x + C

.

x=0−)43 = 0 ⇔ x0 = −1
f ′ ( x0 ) = 0 ⇔ 3xy( 02C

Do tiếp xúc với đường
thẳng tại điểm có

hoành độ âm nên .
3
⇒f ( (C−)1:) y= =4 x⇔
−C3=
x +2 2

Suy ra
Xét phương trình .

 x = −2
x − 3x + 2 = 0 ⇔ 
x =1
3

Diện
tích

hình phẳng cần tìm là: .
y = x 4( O
C
−mmx3)x 2 + m

∫ (x
1

−2

3

− 3 x + 2 ) dx =

Câu 12: `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm
số có đồ thị với là tham số thực. Giả

sử cắt trục tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :
y

( Cm )
S3
O

S1

S1 + SSm2132 = S3

A. .

.

B.
Hướng dẫn giải

x

S2

Gọi , và là diện tích các miền gạch
chéo được cho trên hình vẽ. Tìm để .

55 C. .
mm==−
4242

D. .

Chọn D
x 4 − 3xx 2=+bm = 0

Giả sử là nghiệm dương lớn nhất
của phương trình . Khi đó ta có

b 4 − 3b2 + m = 0

(1)

S1 + S2 = S3
b

∫(
0

)

x 4 − 3 x 2 + m dx = 0 ⇒

Nếu xảy ra thì

b5
b4
− b3 + mb = 0 ⇒ − b 2 + m = 0 (2) ( do b > 0 )
5
5

4 4
5
b − 2b2 = 0 ⇒ b2 = (do b > 0)
5
2
Thay trở ngược vào (1) ta được .

m=

5
4

Từ (1) và (2), trừ vế theo
vế ta được .

27
4


13m
=
m6
.m
c1 , cSO
2 , c3 , c4 , c5 , c6

Câu 13:
Câu 13:

Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong
đều” như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều
cạnh Chiều cao (SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh
bên của (H) là các sợi dây nằm trên các đường parabol có trục
đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H)
với mặt phẳng (P) vuông góc với SO là một lục giác đều và khi
(P) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh bằng Tính
thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều (H) đó.
A.
B.
135
96 33

S

c6
c1

((m
m33))

C.

5
135 3
(m 3 )
84

D.

1m
c2

c3

c5
c4

O
3m

Hướng dẫn giải

Chọn D
Đặt hệ tọa độ như hình vẽ, ta có parabol A(0;6),1 B(1;3),
7 C (3;0)
y = x2 − x + 6
cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là
2
2
nên có phương trình là
Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện là
Nếu ta đặt thì
Khi đó diện tích của thiết diện lục giác:

BM
t=
7 OM
1
BM = − 2t +
2
4

2
BM 2 3t ∈ [30;63]  7
1
S (t ) = 6.
=
,
 − 2t + ÷
2  2 2
4÷
Vậy thể tích của túp lều theo

6
6 4

3 37
1
135 3
V = ∫ S (t )dt = ∫
dt
=
.
 − 2t + ÷
đề bài là:
÷
2
2
4
8
0
0



với

Câu 14: Một vật có x 2 + y 2 = 16
kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn, cắt vật
bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:

A.
C.

B.
D.

256
32 33
256
32
VVVV
==== .. . .
33


Hướng dẫn giải
Giải phương trình

x 2 + y 2 = 16 ⇔ y 2 = 16 − x 2 ⇔ y = ± 16 − x 2
2
1
π
S ( x) = 2 16 − x 2 .sin = ( 16 − x 2 ) 3
2
3
Diện tích thiết diện là
4
4
Thể tích cần tìm là .
256 3
V = ∫ S ( x )dx = 3 ∫ ( 16 − x 2 ) dx =
Chọn đáp án B.

3
−4
−4


Câu 15: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol. Người ta dự

131
128
28
26
((m
33
định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm
cửa cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ)

A.

B.

C.

D.

Chọn hệ trục như hình vẽ.
Ta có

Hướng dẫn giải
Oxy
2

: y )=, Bax( 0;8
+ c)
( AP1( )4;0

Gọi là Parabol đi qua hai điểm
Nên ta có hệ phương trình sau:

1

0 = a.16 + c
1 2
a = −
⇔
2 ⇒ ( P1 ) : y = − x + 8

2
4 
c = 8
128 2
c1 = 28
S = ∫ − x +8 =
m
2
3
−4

( )


CD

MN
BC
MNEIF
MNEF
ABCD
EIF
==12
=264 m
m
m

A. 20.400.000 đồng.
C. 20.800.000 đồng.

12 m
I

A

B
E

F

6m

Câu 16:
Một công ty quảng cáo X muốn
làm một bức tranh trang trí hình
ở chính giữa của một bức tường

hình chữ nhật có chiều cao ,
chiều dài (hình vẽ bên). Cho
biết là hình chữ nhật có; cung
có hình dạng là một phần của
cung parabol có đỉnh I là trung
điểm của cạnh AB và đi qua hai
điểm C, D. Kinh phí làm bức
tranh là 900.000 đồng/. Hỏi
công ty X cần bao nhiêu tiền để
làm bức tranh đó ?

D

M

N

4m

C

B. 20.600.000 đồng.
D. 21.200.000 đồng.

Hướng dẫn giải
- Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm
1 2
y
=
−

x +6
O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng
6
MN thì parabol có phương trình là .
2
- Khi đó diện tích của khung tranh là
208 2
 1 2

S
=
m
- Suy ra số tiền là: đồng
208∫  − x + 6 ÷dx =
6
9
×

900.000
=

20.800.000
−2
9
Câu 17: Một khối cầu có bán kính là ,
53 ( dm )
người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng
hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường
kính và cách tâm một khoảng để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc
lu chứa được.

33
100
43
132
41ππππ( (dm
dm
dm
dm33))))
(
(
3

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.
Ox
0,
H
C2x) +=y22 = 25
(C ) : (xx=−(Oxy
5)

Cách 1: Trên hệ trục tọa độ , xét
đường tròn . Ta thấy nếu cho
nửa trên trục của quay quanh trục ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng giới
hạn bởi nửa trên trục của , trục , hai đường thẳng quay xung quanh trục ta sẽ được khối tròn
xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.
Ta có
( x − 5) 2 + y 2 = 25 ⇔ y = ± 25 − ( x − 5) 2
Nửa trên trục của có phương trình
⇒
Thể tích vật thể tròn xoay khi cho quay ( Ox
H ) quanh là:

⇒2)
C
y = 25 − ( x − 5) 2 = 10 x −( Ox
x

2


x3 
52π
V1 = π ∫ ( 10 x − x ) dx = π  5 x 2 − ÷ =
3 0
3

0
2

2

khối cầu là:

Thể tích

4
500π
V2 = π .53 =
3
3


V = V2 − 2V1 =

Thể tích cần tìm:
500π
52π
− 2.
= 132π ( dm3 ) R
5
3
3
52π
2
2
V1 = π ∫ ( R − x ) dx = π ∫ ( 25 − x 2 ) dx =
3
d
3

Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích
Vậy thể tích của chiếc lu
4
52
V = Vc − 2V1 = π .53 − 2 π = 132π
là
3
3
2
600.000
60m
100
2m
m
Câu 18:
Một sân chơi cho trẻ em
hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là người ta làm một con đường nằm trong sân (Như hình
vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài
có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là .
Kinh phí cho mỗi làm đường đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến
hàng nghìn).
A. B.
C. D.

293904000.
283904000.
283604000.
293804000.

Hướng
dẫn giải
Chọn A.
Xét hệ trục tọa
độ đặt gốc tọa
độ vào tâm của

Oxy
O

hình Elip.
x(2E1x)2 y 2
E
:
(
)
y = 30
1 −2 + 2 =2 f=1 (1x )
1

Phương trình Elip của đường
viền ngoài của con đường là .

50 50 30
Phần đồ thị của nằm phía trên trục hoành có phương trình .
x( 2Ex2 2) y 2
( E28
y=
(1x )
2 ) : 1 − 2 +2 =2 f=

48 48 28 2

Phương trình Elip của đường
viền trong của con đường là .

Phần đồ thị của nằm phía trên trục hoành có phương trình .
Sf12 )( x )
y =( E
Gọi là diện tích của và bằng hai lần
diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số . Gọi là diện tích của và bằng
hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số .
S
Gọi là diện tích con đường. Khi đó
50

S = S1 − S 2 = 2 ∫ 30 1 −
−50

48

x2
x2
d
x
−
2
28
1
−
dx

∫−48
502
482

.
a

I = 2 ∫ b 1−
−a

x2
dx , ( a , b ∈ ¡
a2

+

)

Tính tích phân .

π
 π
x = a sin t ,  − ≤ t ≤ ÷⇒ dx = a cos tdt
2
 2

Đặt .
x = −a ⇒ t = −

π

π
;x = a⇒ t =
2
2

Đổi cận .
π
2

π
2

π
2

I = 2 ∫ b 1 − sin 2 t .a cos t dt = 2ab ∫ cos 2 t dt = ab ∫ ( 1 + cos 2t ) dt
−

π
2

−

π
2

−

π
2

Khi đó


π

 sin 2t  2
= ab  t +
÷ = abπ
2  −π

2

600000.S = 600000.156π ≈ 294053000

.
S = S1 − S2 = 50.30π − 48.28π = 156π
Do đó .
Vậy tổng số tiền làm

con đường đó là (đồng).
6cm
4cm3
Câu 19: Có một vật thể là hình tròn xoay V ( cm ) có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới
đây. Người ta đo được đường kính của
miệng ly là và chiều cao là . Biết rằng thiết diện
của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích của vật thể đã cho.
A. .
B. .
VV ==12

12π
C. .D. .
72
72
VV== π
Hướng dẫn giải
55
Chọn A.
Chọn gốc tọa độ trùng với đỉnh
A ( −2;6
0;0
( PO
)PI3,) B.x)2( .2;6 )
yI =
của parabol Vì parabol đi qua các
2
điểm và nên parabol có phương trình
6
Ta có . Khi đó thể tích của
 32 2 x 2 = 2 y 3
V = πy∫= xy ÷⇔
dy = 12π ( cm ) .
23 
3
0
4 cm
A
B
O

6 cm

I

vật thể đã cho là

70000
6m
O2
Câu 20: Một mảnh vườn hình tròn tâm / m bán kính .
Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng nhận làm tâm đối
xứng, biết kinh phí trồng cây là đồng. Hỏi cần bao nhiêu tiền
trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn
A.
8142232
8412322
đồng.
B. đồng.
C.
4821322
4821232
đồng.
D. đồng.
Hướng dẫn giải

để
vị)


Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn , khi đó phương trình đường tròn tâm O là

2
. Khi đó phần nửa cung tròn phía
+ −y 2x=2 =
36f (x)
y = x 36
trên trục Ox có phương trình
x=3
Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 x =y −=3;f (x)
lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục
hoành, đồ thị và hai đường thẳng
3

2
S = t2⇒
36=−6πxπ
dxtdt
x⇒
= 6sin
dx
cos
Đặt . Đổi cận : ;
∫
x x= =−3−3⇒ t = −
π
π
π
66
6
6
6 70000.S ≈ 4821322

Do đó số tiền cần
⇒ S = 2 ∫ 36cos 2tdt = 36 ∫ (c os2t+1) dt = 18(sin 2 t + 2 t) = 18 3 + 12π
dùng là đồng
−

π
6

−

π
6

−

π
6