PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH từ 1 điểm đến 1 mặt PHẲNG

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học ngày càng trở thành ngôn ngữ của khoa học hiện đại, được sử dụng
trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực. Là một trong
những bộ môn khoa học đứng đầu về ứng dụng đời sống. Toán học đóng vai trò
quan trọng trong sự phát triển trí tuệ của con người. Đặc biệt là bộ môn hình học
sơ cấp , nó có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy logic, tính linh hoạt, suy
luận và kỹ năng khai thác sáng tạo cho người học. Bộ môn này còn bồi dưỡng cho
học sinh, sinh viên tính linh hoạt, kiên trì, chính xác và tính độc lập.
Với các sinh viên chuyên ngành toán thì việc nghiên cứu bộ môn này là hết
sức cần thiết, là mảng kiến thức quan trọng cần có để sau này giảng dạy. Là một
sinh viên chuyên ngành toán đang trực tiếp nghiên cứu chúng tôi nhận thấy rằng:
Trong chương trình toán học , chuyên đề về khoảng cách là một chuyên đề vô cùng
quan trọng bắt buộc học sinh bậc THPT phải nắm bắt được và có kĩ năng giải một
cách thành thạo .
Trong những vấn đề về khoảng cách, khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng lại là một trở ngại không nhỏ khiến nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và
bối rối khi giải các bài tập về hình học không gian. Thực ra, đây cũng là một trong
những vấn đề khó. Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi
thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc các học sinh này phải
vượt qua.
Tuy nhiên, tài liệu đi chuyên sâu vào vấn đề này còn ít, nó chỉ nằm tản mạn
trong sách giáo khoa là chủ yếu . Để giúp cho học sinh giải thành thạo các bài toán
về hình học không gian và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng thì các em cũng đưa ra được cách giải quyết tốt


nhất. Vậy nên, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài “ Một số phương pháp tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.”
2.Mục đích nghiên cứu
Khi nghiên cứu về đề tài này,mục đích của chúng tôi là nhằm giúp học sinh,

sinh viên hệ thống lại kiến thức về hình học không gian. Đặc biệt là một số phương
pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Từ đó học sinh sẽ trau dồi
khả năng của bản thân và tạo hứng thú trong việc giải các bài tập về hình học
không gian.
3. Nội dung nghiên cứu
Nội dung chính của đề tài bao gồm:
Chương I: Cơ sở lý thuyết
Ở chương này chúng tôi sẽ trình bày một số định nghĩa định lý liên quan đến
phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Chương II: Một số phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng
Ở chương này chúng tôi sẽ trình bày một số phương pháp và một số ví dụ để
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Chương III: Một số bài tập tương tự
Ở chương này chúng tôi đưa ra một số bài tập không có lời giải để bạn đọc tự
giải.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu,mạng internet.


CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ SỞ
1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt phẳng    .Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên
mặt phẳng    .Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng
cách từ điểm O đến mặt phẳng    và được kí hiệu là d  O,     .
+, Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng    nếu d vuông
góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng đó.
1.2 Các định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định lý 1.1 Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Định lý 1.2 Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  vuông góc với nhau theo giao
tuyến  đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P  và d vuông góc với giao tuyến

 thì ta suy ra được d vuông góc với mặt phẳng  Q  .
Định lý 1.3 Định lý Thales thuận
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh
còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Với tam giác ABC nếu có đường thẳng d song song với BC và cắt AB, AC
lần lượt tại điểm D, E thì:
AD AE
AD AE
DB EC



và
và
AB AC
DB EC
AB AC

Hệ quả
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh
còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh
của tam giác đã cho.


Với tam giác ABC nếu có đường thẳng d song song với BC và cắt AB, AC
lần lượt tại điểm D, E thì:
AD AE DE



AB AC BC

Định lí Ta-Lét trong hình học không gian
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ.
Nếu d , d ' là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song    ,    ,    lần
lượt tại các điểm A, B, C và A' , B ' , C ' thì
AB
BC
CA


A ' B ' B 'C ' C ' A '


CHƯƠNG II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT
ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
2.1. Thông qua định nghĩa
Trong không gian cho mặt phẳng  P  và một điểm M không nằm trên mặt
phẳng  P  , để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  ta làm như
sau:
Bước 1: Dựng mặt phẳng  Q  đi qua M và vuông góc với mặt phẳng  P  .
Bước 2: Xác định giao tuyến d của mặt phẳng  P  và mặt phẳng  Q  .
Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H suy ra MH vuông góc với mặt phẳng

 P  suy ra d  M ,  P    MH
Bài 1: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác
vuông cân tại A . SA  a 2, AB  a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (

SBC )

Giải
Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A đến BC , H là chân đường vuông
góc hạ từ A xuống SD .Ta có:
SA   ABC  � BC  SA

Lại có BC  AD � BC   SAD  � AH  BC
Ta lại có AH  SD � AH   SBC  � d  A,  SBC    AH
Xét tam giác ABC có:
1
1
1
1
1 1
2


�
 2 2  2
2
2
2
2
AD
AB
AC
AD
a a
a

Xét tam giác SAD có :
1
1
1
1
1
2
2


�


�
AH

a
AH 2 SA2 AD 2
AH 2 2a 2 a 2
5

Vậy d  A,  SBC   

2
a
5

2.2 Thông qua đường thẳng song song với mặt phẳng

Cho mặt phẳng  P  và đường thẳng d song song với mặt phẳng  P  . A, B, C
là các điểm bất kì nằm trên d .Khi đó d  A,  P    d  B,  P    d  C ,  P  
Bài 2: Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh
bằng a , SA  a gọi K là trung điểm của BC .Tính khoảng cách từ điểm K đến
mặt phẳng  SAB 
Giải :
OK P AB

�
�� OK P SAB 
AB � SAB  �

Nên d  O,  SAB    d  K ,  SAB  
S . ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  . Qua O kẻ OI vuông góc với
AB suy ra  SOI    SAB  .

Kẻ OH  SI � OH   SAB  � d  O,  SAB    OH
Ta có: AC  BD  a 2, OI 

a
2
2

�a 2 � a 2
Xét tam giác SAO ta có: SO 2  SA2  AO 2 � SO 2  a 2  � �
�2 � 2


1
1

1
1
1
1

 2 �
 2 2
2
2
2
a
a
Xét tam giác SOI ta có : OH
SO OI
OH
2
4
� OH  a 6

Vậy d  K ,  SAB    a 6
2.3 Thông qua định lý Thales
Cho mặt phẳng  P  và đường thẳng d giao với mặt phẳng  P  tại I . A, B là
các điểm nằm trên d ( A, B khác I và B là điểm ở giữa A và I ).Gọi K là hình
chiếu của A lên  P  và H là hình chiếu của B lên  P  ( BH song song với AK

).Khi đó ta có

d  B,  P   IB
BH IB



hay ta nói
d  A,  P   IA
AK IA

Bài 3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA vuông góc
với ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là 600 , G là trọng tâm của
tam giác SAD .
a, Tính thể tích khối chóp S . ABCD
b, Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng SBC theo a
Giải
ABCD �SBC  BC
SB  BC �
��  ABCD, SBC   SBA
AB  BC �
SA vuông góc với đáy nên SA là chiều cao của khối chóp.
S ABCD  a.a  a 2
1
1
VS . ABCD  S ABCD SA  a 2 SA
3
3


0
Xét tam giác vuông SAB ta có: tan 60 

SA
SB

SA
� SA  a 3
a
1 2
a3 3
� VS . ABCD  a a 3 
3
3
� 3

Gọi M là trung điểm của AB suy ra G �SM
MA P BC

�
�� MA P SBC 
BC � SBC  �
� d  M ,  SBC    d  A,  SBC  
CB   SAB  �
�
��  SBC    SAB 
 SBC  �CB �

Theo giao tuyến SB
Trong  SAB  kẻ AI  SB  I �SB 
� AI  d  A,  SBC  
1
1
1
1




2
2
2
Xét tam giác vuông SAB có AI
SA AB
a 3





2



1
4
 2
2
a
3a

3a 2
3
� AI 
� AI  a
4
2

2

d  G ,  SBC  

d  M ,  SBC  



� d  G ,  SBC  

d  G,  SBC   2
SG
�

SM
3
a 3
2
a 3

3

Bài 4 Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang. Góc ABC bằng góc
BAD bằng 900 , BA  CB  a, AD  2a. Cạnh SA vuông góc với đáy , SA  a 2 .


Gọi H là hình chiếu của A lên SB .Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng

 SCD 

theo a .
Giải :

Gọi I là trung điểm của AD ta có CI 

1
AD suy ra tam giác ACD vuông tại
2

C hay AC  CD �  SAC    SCD  .

Kẻ AI vuông góc với SC tại I .suy ra
AI   SCD  � d  A,  SCD    AI

Ta có AC 2  AB 2  BC 2  2a 2
1
1
1
1
1
1

 2 2 2  2
2
2
AI
AC
SA
2 a 2a
a

� AI  a � d  A,  SCD    a

Nối AB cắt CD tại K suy ra B là trung điểm của AK
�

d  B,  SCD  
d  A,  SCD  

d  H ,  SCD  
d  B,  SCD  





BK 1
a
 � d  B,  SCD   
CK 2
2

SH SA2
2a 2
2
2
a
 2 2
 � d  H ,  SCD     B,  SCD   
2
SB SA

2a  a
3
3
3

2.4 Thông qua thể tích tứ diện
Cho tứ diện S . ABC . Khi đó VS . ABC  VA.SBC  VB.SAC  VC .SAB . Mà
1
VS . ABC  d  S ,  ABC   S ABC ,
3
1
VA. SBC  d  A,  SBC   S SBC ,
3
1
VB . SAC  d  B,  SAC   S SAC ,
3


1
VC .SAB  d  C ,  SAB   S SAB
3

Bước 1: Tính thể tích tứ diện
Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thông qua thể tích
Bài 5: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác cân tại A mặt bên SBC
vuông góc với đáy , tam giác SBC vuông tại S , SA  SB  AB  a, SC  a 2
a, Tính VS . ABC
b, Tính d  B,  SAC   theo a .
Giải
Gọi H , I lần lượt là trung điểm của BC và SC

ABC cân tại A nên AH là đường cao của tam giác

Theo giả thiết ( SBC )  ( ABC ) theo giao tuyến BC
�AH  BC
�
�AH �( ABC ) � AH   SBC 
�ABC  SBC

 

�

Vậy AH là đường cao của khối chóp A.SBC
1
VS . ABC  VA.SBC  S SBC AH
3
1
1
2
Mà S SBC  SB.SC  a.a 2  a 2
2
2
2
2

�a 3 � a
AH  AC  HC  a  � � 
�2 � 2
2

2

2

1
2 a a3 2
Vậy VS . ABC  a 2

3
2 2
12
1
b, Ta có VB. SAC  S SAC d  B,  SAC  
3


a3 2 1 1
�

SC. AI .d  B,  SAC  
12
32
a3 2
�
2  a 2. SA2  SI 2 .d  B,  SAC  
2
2

�a 3 �
a2

�
 a 2  � �.d  B,  SAC  
2
�2 �
� d  B,  SAC  

a2
a
 2 
a
2
2


CHƯƠNG III MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B .
AB  3a, BC  4a. Mặt phẳng  SBC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Biết
SB  2a 3, SBC  300 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAC  theo a

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD. A' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ nhật
AB  a, AD  a 3 .Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ABCD trùng với
' '
giao điểm của AC và BD . Góc giữa mặt phẳng  ADD A  và ( ABCD ) bằng 600 .
'
Tính khoảng cách từ điểm B ' đến mặt phẳng  A BD  .

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A . Cạnh AB có độ dài bằng a và nằm trong
mặt phẳng    .Biết rằng cạnh AC có độ dài bằng a 2 và tạo với mặt phằng   
một góc 600 .Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng    .
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

'
' '
 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC
B . AB  a, AA'  2a, AC
. I là
'
giao điểm của AM và AC
.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  IBC  theo a .

Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh bằng 3a , cạnh bên bằng 2a .
Gọi G là tâm của đáy M là trung điểm của SC
a, Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  ABC 


b, Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  SAG 
Bài 6: Cho ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  a .Trên đường vuông góc với
mặt phẳng ( ABC ) tại A lấy điểm S sao cho SA  a . M , I theo thứ tự là trung
điểm của SC , AB . Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( ABC ) .
KẾT LUẬN
Đề tài này giải quyết vấn đề đặt ra là: “Một số phương pháp tính khoảng cách
từ một điểm đến mặt phẳng”
Ở chương 1, chúng tôi đã trình bày được một số định nghĩa định lý về cách
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Chương 2, chúng tôi cũng đã trình bày được một số phương pháp quen thuộc,
một số ví dụ khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Chương 3,
chúng tôi đã đưa ra được một số bài tập tương tự để bạn đọc tự tìm hiểu.
Trên đây là một số phương pháp mà chúng tôi tìm hiểu được. Chúng tôi sẽ
tiếp tục nghiên cứu về vấn đề này và các dạng khác trong thời gian tới. Rất mong
bạn đọc tiếp tục góp ý kiến để chúng tôi có thể chỉnh sửa và hoàn thiện hơn nữa.
Và chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giảng viên –……đã hướng

dẫn và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình thực hiện đề tài này.