Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm toán học chủ đề hàm số cho học sinh lớp 10

Đề tài:” Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề
hàm số cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông “
Lý do chọn đề tài
Trong thực tế dạy học ngày nay, khi thiết kế các hoạt động dạy học người giáo
viên (nói chung) thường chỉ xem xét kiến thức dưới lăng kính của chương trình và
sách giáo khoa. Mục tiêu của giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ
để phục vụ cho đất nước. do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với
thực tế. Chính vì thế mà các nhà giáo dục không ngừng cải cách chỉnh sửa nội dung
giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu xã hội.
Toán học ngày càng trở thành ngôn ngữ của khoa học hiện đại, được sử dụng trên
khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực. Là một trong những bộ
môn khoa học đứng đầu về ứng dụng đời sống. Toán học đóng vai trò quan trọng
trong sự phát triển trí tuệ của con người.
Trong các môn tự nhiên thì môn toán luôn dẫn chúng ta đến sự đam mê, sáng tạo,
sự tư duy logic và luôn đi tìm những điều mới lạ. Những bài toán đơn giản và nâng
cao thì luôn giúp cho người học rèn luyện phương pháp tư duy, phương pháp suy
luận, phương pháp học tập, giúp người học rèn luyện trí thông minh sáng tạo. Câu hỏi
đặt ra là “Làm sao để giúp học sinh học tập tốt môn toán” luôn là vấn đề làm cho các
nhà giáo dục, đặc biệt là các thầy cô giáo phải lo lắng, suy nghĩ.
Trong các phần toán ở THPT thì chủ đề “Hàm số” là một trong những phần đa
dạng, phong phú nhất nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình toán học phổ thông.
Chủ đề này đối với học sinh được coi là phần khó, chưa gây được sự hứng thú trong
học tập của học sinh và là một phần rất quan trọng vì nó thường xuyên xuất hiện trong
các đề thi Tốt nghiệp và Đại học.
Nhằm rèn luyện và khắc sâu hơn cho học sinh một số kĩ năng giải toán và cũng
để trang bị kĩ hơn cho mình kỹ năng, kiến thức trước khi vào nghề nên em đã chọn đề
tài nghiên cứu: “Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề


hàm số cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông ” em hi vọng rằng với đề tài này
em có thể góp được một phần tích cực vào việc dạy học chủ đề “hàm số”

1. Mục đích nghiên cứu.
Thiết kế và sử dụng những tình huống dạy học các khái niệm thuộc chủ đề Hàm
số cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học chủ
đề này
2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng: Các hoạt động dạy học khái niệm hàm số
Phạm vi nghiên cứu: Dạy học khái niệm theo chủ đề hàm số cho học sinh lớp 10
trung học phổ thông.
3. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận, sách giáo khoa, sách bài
tập toán trung học phổ thông và phương pháp dạy học môn Toán cùng với các tài liệu
khác có liên quan đến đề tài.
- Quan sát, điều tra: Thông qua thực tế học hỏi kinh nghiệm từ các thầy cô đã và
đang dạy
4. Gỉa thuyết khoa học
Nếu thiết kế và sử dụng được các hoạt động dạy học khái niệm thuộc chủ đề
“hàm số cho học sinh thì sẽ nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề này ở trường phổ
thông.

5.Cấu trúc đề tài
Nội dung chính của đề tài này gồm:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
1.1. Đại cương về khái niệm và định nghĩa


1.2. Vị trí của khái niệm và Yêu cầu dạy học khái niệm
1.3. Những con đường tiếp cận khái niệm
1.4. Những hoạt động cũng cố khái niệm
1.5. Dạy học phân chia khái niệm và hệ thống hóa khái niệm
1.6. Các hoạt động dạy học khái niệm toán học

Chương 2: Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề hàm
số cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông .
2.1. Mục tiêu dạy học khái niệm thuộc chủ đề hàm số
2.2. Một số khái niệm cơ bản thuộc chủ đề hàm số.
2.3. Một số khó khăn khi tổ chức thiết kế các tình huống dạy học khái niệm toán
học thuộc chủ đề hàm số
2.4. Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề hàm số

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Đại cương về khái niệm và định nghĩa.
1.1.1. Khái niệm
Khái niệm là gì?
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng.


Một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện:
- Ngoại diên: lớp đối tượng xác định khái niệm (tập hợp các đối tượng).
- Nội hàm: các thuộc tính chung của lớp đối tượng (dấu hiệu đặc trưng).
Ví dụ: Khái niệm Hình bình hành.
Nội hàm: Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.
Ngoại diên: Là tập hợp tất cả các hình bình hành.
Giữa nội hàm và ngoại diên của khái niệm có mối quan hệ mang tính quy luật,
nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được
gọi là khái niệm chủng của khái niệm B, còn khái niệm B được gọi là khái niệm loại
của khái niệm A.
Ví dụ: Ngoại diên khái niệm hình bình hành lớn hơn ngoại diên khái niệm hình
chữ nhật.
Nội hàm hình chữ nhật lớn hơn nội hàm hình bình hành (thêm điều kiện có một
góc vuông).

1.1.2. Vai trò của khái niệm
a) Khái niệm vừa là sản phẩm vừa là phương tiện của quá trình tư duy
Trong việc nhận thức thế giới, con người có thể đạt tới các mức độ nhận thức
khác nhau, từ thấp tới cao, từ đơn giản tới phức tạp.

Hai mức độ nhận thức thế giới của con người là:
- Nhận thức cảm tính (bao gồm cảm giác và tri giác), trong đó con người phản
ánh những cái bên ngoài, những cái đang trực tiếp tác động đến các giác quan con
người.
- Nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy), trong đó con người phản ánh những bản
chất bên trong, những mối quan hệ có tính quy luật.


Tư duy là mức độ nhận thức quan trọng, cơ bản nhất của con người để hiểu và
cải tạo thế giới.
Kết quả của hành động (quá trình) tư duy là đi đến những sản phẩm trí tuệ: khái
niệm, phán đoán, suy luận.
Đến lượt mình các khái niệm, các phán đoán đã được khẳng định, các hình thức
suy luận lại tạo cơ sở cho tư duy. Tư duy không thể tách rời khái niệm, phán đoán và
suy luận.
Như vậy khái niệm là một yếu tố không thể thiếu trong hoạt động tư duy của con
người.
b) Khái niệm vừa là cơ sở của khoa học toán học, vừa là động lực phát triển của
toán học.
Dù cho nguồn gốc của toán học là thực nghiệm, thì toán học chủ yếu vẫn là một
khoa học suy diễn, nghĩa là một khoa học được xây dựng từ những khái niệm cơ bản,
những tiên đề nhờ vào việc áp dụng những quy tắc và phương pháp suy luận logic.
Các khái niệm trước là cơ sở xây dựng các khái niệm sau, các khái niệm sau
được định nghĩa, minh họa, mô tả nhờ vào các khái niệm học trước, chúng tạo nên
một hệ thống trong khoa học toán học.

Mặt khác, lịch sử và khoa học luận toán học chứng tỏ rằng sự nảy sinh một khái
niệm toán học mới thường đánh dấu một giai đoạn phát 5 triển của Toán học và là nền
tảng cho bước phát triển tiếp theo, chẳng hạn như các khái niệm Số phức, Giới hạn,
Đạo hàm.
c) Hình thành các khái niệm toán học cho học sinh là một trong những nhiệm vụ
mấu chốt của dạy học toán ở trường phổ thông.
Hai mục đích chủ yếu của dạy học toán ở trường trung học phổ thông là:
- Cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những kiến thức và kỹ năng
toán học.


- Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, chủ yếu là rèn luyện
các thao tác và phẩm chất tư duy, khả năng quan sát và tưởng tượng, rèn luyện tư duy
logic và ngôn ngữ chính xác.
1.1.3. Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác
định khái niệm này với các đối tượng khác thường bằng cách vạch ra nội hàm của
khái niệm đó.
Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:
Từ mới (biểu thị khái (Những) từ chỉ miền đối
niệm mới)
tượng đã biết (loại)

Tân từ (Diễn tả khác
biệt về chủng)

Ví dụ: Hình hình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Trong định nghĩa
này, từ mới là hình bình hành, loại hay miền đối tượng là tứ giác, còn sự khác biệt về
chủng là có các cạnh đối song song.
Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng của khái

niệm. Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó. Có
nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm tức là có thể định nghĩa cùng một
khái niệm theo nhiều cách khác nhau.
Chẳng hạn hình bình hành như đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể được định
nghĩa theo một cách khác, ví dụ như: hình bình hành là tứ giác có hai đường chéo cắt
nhau tại trung điểm mỗi đường.
Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu từ chỉ miền đối tượng hay loại phải tương
ứng với một khái niệm đã biết.
1.1.4. Khái niệm không định nghĩa
Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết
Ví dụ: Để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật; để định nghĩa
hình chữ nhật ta cần phải định nghĩa hình bình hành; để định nghĩa hình bình hành ta
cần định nghĩa tứ giác… Tuy nhiên quá trình này không thể kéo dài vô hạn. Tức là
phải có khái niệm không định nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những


khái niệm nguyên thủy, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng
là những khái niệm nguyên thủy.
Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô tả giải
thích thông qua các ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này,
hiểu chúng một cách trực giác.
1.1.5. Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở phổ thông.
a) Định nghĩa khái niệm theo hình thức loại - chủng
Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loại - chủng là một hình thức định nghĩa
nêu lên khái niệm loại và đặc tính của chủng.
Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loại + Đặc tính của chủng.
Ví dụ: Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
Trong định nghĩa này: hình bình hành là khái niệm loại; hai cạnh liên tiếp bằng
nhau là đặc tính của chủng.
b) Định nghĩa bằng quy ước.

Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho đối tượng
cần định nghĩa một tên gọi hay một đối tượng nào đó đã biết.
a =1
0

Ví dụ:

a =1

a−n =

0

(đối tượng cần định nghĩa là

);

1
a n a m .n = a m + a n
;
;

m
n

a = am − an
Chú ý: Khi dạy học định nghĩa bằng quy ước, giáo viên không phải giải thích tại
sao lại quy ước như vậy mà chỉ đặt vấn đề quy ước như vậy có hợp lý hay không.

Ví dụ:

a0 = 1

là định nghĩa hợp lý vì

am
1 = m = a m−m = a 0
a

c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề.


Nội dung: Là hình thức định nghĩa gián tiếp các khái niệm cơ bản thông qua các
tiên đề.
Ví dụ: Định nghĩa hai tam giác bằng nhau.
∧

∆ABC = ∆A ' B ' C '

nếu

∧

∧

∧

∧

∧

A = A ',B = B', C = C'

AB = A ' B ', AC = A ' C ', BC = B ' C '

d) Định nghĩa bằng kiến thiết.
Nội dung: Định nghĩa bằng kiến thiết người ta không vạch rõ khái niệm loại (nó
thuộc loại nào) cũng như các thuộc tính bản chất của chủng, mà mô tả cách tạo ra đối
tượng được xem là tổng quát và đại diện cho lớp các đối tượng xác định khái niệm.
Ví dụ 1: Mô tả khái niệm điểm là một dấu chấm nhỏ trên trang giấy cho ta hình
ảnh về điểm.
Ví dụ 2: Khái niệm mặt phẳng là không có bề dày và không có giới hạn. Mặt
bàn, tờ giấy cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng.
1.1.6. Một số quy tắc định nghĩa khái niệm.
a) Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng
Định nghĩa theo quy tắc này nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa và khái
niệm được định nghĩa phải bằng nhau.
Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm quá hẹp
hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa.
Ví dụ: Số vô tỷ là số thập phân vô hạn.
Số vô tỷ là khái niệm được định nghĩa;
Số thập phân vô hạn là khái niệm định nghĩa.
Ta thấy phạm vi của khái niệm số vô tỷ nhỏ hơn khái niệm số thập phân vô hạn.
Vậy định nghĩa trên không tương xứng.
b) Quy tắc 2: Định nghĩa không được vòng quanh.


Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là phải dựa vào khái niệm đã biết, đã được
định nghĩa.
Ví dụ: Số vô tỷ là số thực không hữu tỷ

Số vô tỷ lại được định nghĩa thông qua khái niệm số thực. Ở trường phổ thông
khái niệm số thực học sau khái niệm số vô tỷ. Do đó định nghĩa đã vi phạm quy tắc 2.
c) Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu.
Định nghĩa theo quy tắc này tức là trong nội dung khái niệm định nghĩa không
chứa những thuộc tính có thể suy ra từ những thuộc tính còn lại.
Ví dụ 1: Định nghĩa Hình bình hành là tứ giác phẳng có các cặp cạnh song song
và bằng nhau vi phạm quy tắc này vì ở định nghĩa thừa một trong hai điều kiện song
song hoặc bằng nhau và thừa thuộc tính phẳng.
Ví dụ 2: Định nghĩa số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có 2 ước là 1 và
chính nó thừa điều kiện là một và chính nó nhưng vì lí do sư phạm nên người ta đưa
vào trong định nghĩa để học sinh hiểu rõ hai ước đó là hai ước cụ thể nào
d) Quy tắc 4: Định nghĩa không dùng lối phủ định nếu loài không được phân
chia thành 2 tập hợp triệt (tức là khái niệm loài không bao giờ gồm 2 khái niệm mâu
thuẫn).
Ví dụ: Hình thoi không phải hình tam giác là định nghĩa chỉ nêu lên dấu hiệu
xem xét một hình không phải là hình tam giác, chưa chỉ ra được đặc trưng của hình
thoi.
1.2. Yêu cầu dạy học khái niệm.
Việc dạy học khái niệm ở trường phổ thông phải dần làm cho học sinh đạt được
các yêu cầu sau:
- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước
có thuộc phạm vi của một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái
niệm.


- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải
toán và ứng dụng vào thực tế.
- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với

những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
Ví dụ: Khi dạy học khái niệm “vectơ pháp tuyến của đường thẳng” cần làm cho
học sinh:
Phát biểu rõ ràng, chính xác khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Nắm
vững đặc điểm đặc trưng của khái niệm: khác 0⃗ , có giá vuông góc với đường thẳng,
mỗi đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
Biết tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng và vận dụng khái niệm vào giải bài
tập.
Bên cạnh vectơ chỉ phương, đường thẳng có thêm vectơ pháp tuyến. Chúng có
giá vuông góc với nhau.
Những yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lý do sư phạm, các
yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ở mức như nhau. Chẳng hạn, khái
niệm “hướng của vectơ” không được định 10 nghĩa một cách tường minh mà chỉ diễn
tả một cách trực giác dựa vào kinh nghiệm sống của học sinh, còn đối với những khái
niệm như “Hình bình hành”, “Đạo hàm” … học sinh phải phát biểu được định nghĩa
một cách chính xác và vận dụng được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập.
1.3. Những con đường tiếp cận khái niệm.
Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn tới
một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, nhờ trực
giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng, một tình huống có thuộc về khái niệm đó hay
không.
Trong dạy học người ta phân biệt 3 con đường tiếp cận khái niệm đó là:
♦ Con đường suy diễn,


♦ Con đường quy nạp,
♦ Con đường kiến thiết.
Sau đây em sẽ đi sâu vào từng con đường nói trên.
1.3.1. Con đường suy diễn.
Có một số khái niệm được hình thành theo con đường suy diễn, đi ngay vào định

nghĩa khái niệm mới như một trường hợp riêng của một khái niệm nào đó mà học sinh
đã được học.
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn:
Bước 1: Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó
một số đặc điểm mà ta quan tâm.
Bước 2: Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định
nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một
bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
Bước 3: Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định
nghĩa.
• Ưu điểm Con đường suy diễn có ưu điểm là tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc
tập luyện cho học sinh tự học những khái niệm toán học thông qua sách và tài liệu.
• Hạn chế Con đường này hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những năng
lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa.
• Điều kiện sử dụng. Con đường này thường được sử dụng khi có thể gợi cho học sinh
quan tâm tới một khái niệm làm điểm xuất phát và một đặc điểm có thể bổ sung vào
nội hàm của khái niệm đó để định nghĩa một khái niệm khác hẹp hơn.
Ví dụ: Dạy học khái niệm Phép vị tự.
Bước 1. Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm Phép biến hình đã học.
Học sinh nhắc lại khái niệm. Giáo viên hướng học sinh đến một phép biến hình mới

uuuur
uuuur
OM = k .OM '

M
M'
“biến mỗi điểm
thành
sao cho

”
Bước 2. Giáo viên thông báo phép biến hình có đặc điểm trên gọi là phép vị tự,
đưa ra định nghĩa phép vị tự.
Bước 3. Giáo viên đưa ra một số ví dụ


Cho tam giác
vị tự biến

B, C

ABC

thành

E, F

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

AB, AC

. Tìm một phép

E, F

1.3.2. Con đường quy nạp.
Xuất phát từ một số những đối tượng riêng lẻ như vật thật, mô hình, hình vẽ, thầy
giáo dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa để tìm ra

dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể này, từ đó
đi đến một định nghĩa tường minh hay một sự hiểu biết trực giác về khái niệm đó tùy
theo yêu cầu của chương trình.
Quy tình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp:
Bước 1: Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc tác
dụng của một loạt đối tượng nào đó.
Bước 2: Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm
chung của các đối tượng đang được xem xét. Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối
tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu.
Bước 3: Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu
tên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm
• Ưu điểm Con đường quy nạp thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học
sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và đào tạo cho họ nâng cao tính độc
lập trong việc đưa ra định nghĩa.
• Hạn chế Con đường này đòi hỏi tốn nhiều thời gian nên không phải bao giờ cũng có
điều kiện thực hiện
• Điều kiện sử dụng Sử dụng con đường quy nạp trong điều kiện như sau: Chưa phát
hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn
Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần được
hình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp.
Ví dụ: Dạy học khái niệm Tam thức bậc hai

x2
f ( x ) = 3x + 2; g ( x ) = + 5 x + 3
2
2

Bước 1: Giáo viên đưa ra các biểu thức:

Bước 2. Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, nêu ra đặc điểm của mỗi biểu thức.
f ( x) , g ( x)

Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết các hệ số của biểu thức
Học sinh trả lời:
f ( x)
a = 3, b = 0, c = 2
Biểu thức
có hệ số:
1
a = , b = 5, c = 3
g ( x)
2
Biểu thức
có hệ số:
Giáo viên: Các biểu thức trên đều có chung dạng nào?
f ( x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Học sinh:
Bước 3. Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa. Các biểu thức trên
được gọi là các tam thức bậc hai. Vậy tổng quát tam thức bậc hai được định nghĩa như
thế nào?. Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa và chính xác hóa định
nghĩa.
1.3.3. Con đường kiến thiết.
Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết. Bước 1: Xây
dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành hướng vào
những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán học hay từ thực tiễn.
Bước 2: Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc
điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
Bước 3: Phát biểu định nghĩa. Con đường này mang cả yếu tố quy nạp lẫn suy
diễn. Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay

14 nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp thể hiện ở
chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng riêng lẻ đi đến đặc điểm tổng
quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa.
• Ưu điểm Thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của hoc sinh và rèn
luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình tiếp cận khái niệm.
• Hạn chế Tuy nhiên con đường này nói chung dài, tốn nhiều thời gian.
• Điều kiện sử dụng


Học sinh chưa định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm, do
đó con đường quy nạp không thích hợp
Học sinh chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích hợp với khái niệm
cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
Ví dụ: Dạy học khái niệm logarit
x
23 = ?
2x = 8
Bước 1. Giáo viên đưa ra 2 bài toán: tính
và tìm
để
Nhận xét bài toán 1 là bài toán lũy thừa với số mũ thực của một số dương, có
23 = 2.2.2 = 8

luôn tìm được

bài toán 2 là bài toán ngược của bài toán 1. Với hai số dương 2 và 8 ta
x=3

sao cho

2x = 8

khi đó 3 được gọi là logarit cơ số 2 của 8.
a
α
Bước 2. Khái quát hóa quá trình xây dựng. Cho số
dương, với mỗi số thực
aα

tùy ý, ta luôn xác định được lũy thừa
.
α
α
a = 1: a = 1 = 1
α ∈¡
với mọi
α
β
a > 1: a < a
α<β
khi và chỉ khi
α
0 < a < 1: a < a β
α >β
khi và chỉ khi
Như vậy tồn tại duy nhất một số thực
số

a

α

để

aα = b

. Số

α

được gọi là logarit cơ

b
của .
Bước 3. Phát biểu định nghĩa khái niệm logarit.

1.4. Những hoạt động củng cố khái niệm
Quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa khái
niệm đó. Một khâu rất quan trọng là củng cố khái niệm, bao gồm những hoạt động
sau đây:
1.4.1. Nhận dạng và thể hiện khái niệm.


Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thỏa mãn
định nghĩa đó hay không. Thể hiện một khái niệm là tạo ra một đối tượng thỏa mãn
định nghĩa đó.
Ví dụ: Học sinh nhận dạng khái niệm Tích vô hướng của hai vectơ. Khoanh tròn
vào đáp án đúng
uuu
r uuur uuu

r uuur
uuu
r uuur
a) AB.CD = AB . CD cos AB; CD
uuu
r uuur uuu
r uuur
b) AB.CD = AB . CD cos ( AB; CD )
uuu
r uuur uuu
r uuur
c) AB.CD = AB.CD cos ( AB; CD )
uuu
r uuur uuur uuur
uuur uuur
d ) AB.CD = AB.CD cos AB; CD

(

(

)

)

Giáo viên đưa ra ví dụ thể hiện khái niệm tích vô hướng của hai vectơ:
a
ABC
AH
Cho tam giác

đều cạnh , chiều cao
. Tính các tích vô hướng sau:
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
AB. AC ; AC.BC ; AH .BC

1.4.2. Hoạt động ngôn ngữ
Cho học sinh thực hiện hoạt động ngôn ngữ vừa có tác dụng củng cố lại khái
niệm vừa góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh:
- Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết cách thay đổi cách phát
biểu, diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau.
- Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một cách
tường minh hay ẩn tàng.
Ví dụ: Thực hiện hoạt động ngôn ngữ cho khái niệm “Cấp số cộng”
Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa cấp số cộng theo ý hiểu của
mình.
Nêu bật ý quan trọng trong định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số; số đứng sau bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng
với một số không đổi d, d gọi là công sai của cấp số cộng
1.4.3. Các hoạt động khác.


- Khái quát hóa tức là mở rộng khái niệm, chẳng hạn vận tốc tức thời của một
chuyển động tới khái niệm đạo hàm của hàm số.
- Đặc biệt hóa, ví dụ đang xét một hình bình hành đặc biệt có một góc vuông để
được hình chữ nhật.
1.5. Dạy học phân chia khái niệm và hệ thống hóa khái niệm. 1.5.1. Dạy học
phân chia khái niệm.
Khi ta định nghĩa một khái niệm, thì nội hàm và ngoại diên của nó được xác
định. Ngoại diên của khái niệm sẽ còn được sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia khái

niệm.
Một khái niệm có ngoại diên

A

được phân chia thành các khái niệm có ngoại

A1 , A2 ,..., An

diên tương ứng
có nghĩa là các điều kiện sau được thỏa mãn:
1) Ai ≠ ∅
i = 1, n
với
2) Ai ∩ A j = ∅
i≠ j
với
n
3)U i =1 A i = A

A → Ai , i = 1, n

1)

2)
-

Các quy tắc phân chia khái niệm:
Ai ∩ Aj = ∅
i≠ j

Phân chia phải không giao nhau:
với
m

¤ ∈  ¢, ¥ , ÷
n

Phản ví dụ:
 m
¤ ∈  ¢, ÷
 n
Ví dụ:
m không chia hết cho n
U in=1 A i = A
Phân chia phải thích hợp, phải triệt để:
Phản ví dụ: Số tự nhiên: Số nguyên tố
Hợp số
Ví dụ: Số tự nhiên:
- Số nguyên tố
Hợp số
{ 0;1}


3) Phân chia phải liên tục: phân chia phải theo từng cấp, từ cấp cao hơn đến cấp thấp hơn
gần nhất (chuyển sang chủng thấp hơn và gần nhất).
Phản ví dụ: Số thực
- Số vô tỷ
- Số hửu tỷ nguyên
- Số hữu tỷ không nguyên
Ví dụ: Số thực

- Số vô tỷ
- Sô hữu tỷ: - Số hữu tỷ nguyên
- Số hữu tỷ không nguyên
4) Phân chia phải có cơ sở: khi phân chia khái niệm chỉ được căn cứ vào một
thuộc tính bản chất nào đó để làm cơ sở.
Phản ví dụ: Hình bình hành
- Hình bình hành thường
- Hình chữ nhật
- Hình thoi
Ví dụ:hình bình hành
- Hình bình hành, không hình thoi
- Hình thoi
1.5.2. Hệ thống hóa khái niệm.
Hệ thống hóa, chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã
học, nhận biết mối quan hệ giữa các khái niệm khác nhau trong một hệ thống khái
niệm, đặc biệt chú ý quan hệ chủng – loại giữa hai khái niệm.
Ví dụ: Hệ thống hóa khái niệm Hình lăng trụ
Hình lăng trụ: + Lăng trụ xiên
+ Lăng trụ đứng
1.6. Các hoạt động dạy học khái niệm toán học.
Việc dạy học các khái niệm toán học sẽ được trình bày theo các bước sau:
Bước 1. Dẫn vào khái niệm.
Bước 2. Hình thành khái niệm.
Bước 3. Củng cố khái niệm.


CHƯƠNG 2. THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC
KHÁI NIỆM TOÁN HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ
CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
1.1.

Mục tiêu dạy học Hàm số
a) Về kiến thức
- Chính xác hóa khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số mà học sinh đã học.
- Nắm vững khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng (nửa
khoảng hoặc đoạn); khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ và sự thể hiện của các tính chất
ấy qua đồ thị.
- Hiểu hai phương pháp chứng minh tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên
một khoảng (nửa khoảng hoặc đoạn): phương pháp dùng định nghĩa và phương pháp
lập tỉ số biến thiên.
- Hiểu được sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai và cách vẽ của
các đồ thị này.
b) Về kỹ năng
- Biết tìm tập xác định của các hàm số
. - Biết chứng minh tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số đơn giản trên
một khoảng (đoạn, hoặc nửa khoảng) cho trước bằng định nghĩa hoặc cách xét tỉ số
biến thiên.
- Biết xét tính chẵn, lẻ của các hàm số đơn giản.
- Thành thạo việc xác định chiều biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của hàm số bậc

nhất

y = ax + b

y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

hàm bậc hai
c) Về thái độ
- Tự giác, tích cực chủ động trong học tập.
- Rèn luyện tính tỉ mỉ, chính xác.

- Thấy được ý nghĩa của hàm số và đồ thị trong đời sống thực tế.


2.2. Một số khái niệm cơ bản thuộc chủ đề Hàm số.
- Khái niệm hàm số, tập xác định.
- Khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
- Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ.
2.3. Một số khó khăn khi tổ chức thiết kế các tình huống dạy học khái niệm
toán học thuộc chủ đề Hàm số cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông.
Việc dạy học các khái niệm thuộc chủ đề Hàm số để học sinh có thể hiểu và vận
dụng tốt vào hoạt động giải toán là một trong những vấn đề cần đặt ra khi dạy học chủ
đề này ở Phổ thông.
Tuy nhiên là một sinh viên năm 3, khi dạy học các khái niệm thuộc chủ đề này
em thấy còn gặp nhiều khó khăn đối với cả người dạy và người học, cụ thể như sau:
a) Đối với học sinh
- Học sinh chưa phát biểu rõ ràng, chính xác các khái niệm thuộc hai chủ đề này.
- Học sinh còn thụ động, học thuộc lòng, ghi nhớ máy móc mà không nắm được
bản chất của khái niệm.
Chẳng hạn, khái niệm hàm số 23 học sinh dễ hiểu nhầm quy tắc tương ứng đó
bắt buộc phải là một thuật giải dẫn đến thu hẹp khái niệm hàm số. Trong khi đó có 4
cách cho một hàm số. Khi học khái niệm phương trình, học sinh hiểu không đầy đủ về
tập xác định của phương trình do đó dẫn đến bỏ sót, tìm sai tập xác định.
- Khả năng vận dụng khái niệm vào giải toán còn hạn chế.
Chẳng hạn: vận dụng khái niệm hàm số đồng biến vào xét tính đồng biến của
một hàm số cụ thế học sinh còn lúng túng.
Nguyên nhân:
- Học sinh còn nhiều em chưa chịu khó học bài, khó khăn trong việc tiếp thu
kiến thức mới.
- Đa phần các em chỉ chú ý học định lý, công thức giải toán mà coi nhẹ việc nắm
vững khái niệm, định nghĩa.

b) Đối với giáo viên
Kiến thức chưa sâu, chỉ dừng lại ở một cách truyền đạt kiến thức khi hướng dẫn
học sinh học chủ đề này.
Nguyên nhân:
- Chủ quan khi tiến hành dạy học chủ đề.
- Kiến thức chuyên môn chưa đủ sâu, rộng đôi khi còn hiểu sai kiến thức.
- Nghiệp vụ còn hạn chế, chưa có kinh nghiệm.
c) Một số biện pháp khắc phục


- Mỗi sinh viên, giáo viên cần nghiên cứu, đào sâu, mở rộng kiến thức của bài
dạy, tuân thủ các bước dạy học khái niệm toán học.
- Dự kiến những khó khăn học sinh có thể gặp phải khi dạy học các khái niệm
này.
- Thiết kế, lựa chọn cách thức dạy học phù hợp với từng khái niệm, đối tượng
học sinh.
- Tìm hiểu, liên hệ các vấn đề trong thực tiễn có liên quan đến các khái niệm dạy
học.
2.4. Thiết kế các tình huống dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề Hàm
số cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông.
2.4.1. Khái niệm hàm số, tập xác định.
1) Tình huống dạy học 1
Hoạt động 1: Dẫn vào khái niệm.
Giáo viên: Nhắc lại khái niệm hàm số học sinh đã học ở lớp 9.
“Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của
x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của
x, và x được gọi là biến số”
Giáo viên yêu cầu học sinh kể tên các hàm số đã học và lấy ví dụ. Học sinh suy

y=

nghĩ, trả lời:

a
x

,

y = ax + b, y = a, y = ax2

y = 3x + 2, y = x2 + 1, y =

5
x

Ví dụ:
Hoạt động 2: Hình thành khái niệm. Theo định nghĩa trên, khái niệm hàm số dựa
vào đại lượng biến thiên. Ở lớp 10, chúng ta định nghĩa khái niệm hàm số chính xác
và đầy đủ hơn – định nghĩa hàm số dựa vào tập hợp.
Định nghĩa
D⊂¡
Cho một tập hợp khác rỗng


f

Hàm số

xác định trên

D

với một và chỉ một số, ký hiệu là

là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số
f ( x)

; số

f ( x)

x

thuộc

D

f

đó gọi là giá trị của hàm số

tại

x
Tập

D

gọi là tập xác định (hay miền xác định),

x

gọi là biến số hay đối số của

f

hàm số
f

Để chỉ rõ ký hiệu biến số, hàm
f :D→¡

còn được viết là

y = f ( x)

hay đầy đủ hơn là:

x a y = f ( x)
Hoạt động 3: Củng cố khái niệm.
1) Giáo viên nhấn mạnh định nghĩa:
+ Ta đưa vào khái niệm tập xác định của hàm số.
y = f ( x)
f ( x)
x
Tập xác định của hàm số
là những giá trị: { thuộc ℝ:
xác định}
+ Coi hàm số là một “quy tắc”, thỏa mãn điều kiện: mỗi giá trị của x thuộc tập
y∈¡

xác định đều tương ứng tồn tại
và phần tử tương ứng này là duy nhất.
2) Giáo viên: yêu cầu học sinh lấy ví dụ về hàm số trong thực tiễn? Học sinh:
danh sách lớp gồm 40 học sinh, gán cho tên mỗi học sinh một số thứ tự từ 1 đến 40,
không có học sinh nào có số thứ tự trùng nhau.
3) Giáo viên hướng dẫn học sinh làm ví dụ sau:
Ví dụ: Trích bảng thông báo lãi suất tiết kiệm của ngân hàng Agribank đầu năm
2016.
Loại kỳ hạn
(tháng)
1
2
3

VND ( %/năm) Lĩnh
lãi cuối kỳ, Áp dụng từ
01- 01 – 2016
4,10
4,40
4,50


6
9
12

5,40
5,50
6,10

Bảng trên cho ta quy tắc tìm số phần trăm lãi suất
f

tháng. Ký hiệu quy tắc ấy là

, ta có hàm số

s = f ( k)

s

tùy theo loại kỳ hạn

k

xác định trên tập

T = { 1; 2; 3; 6; 9; 12}

Giáo viên yêu cầu học sinh nêu tập xác định, tập giá trị của hàm số trên?
T = { 1; 2; 3; 6; 9; 12}
Học sinh: Tập xác định
,
S = { 4,10; 4, 40; 4,50; 5, 40; 5,50; 6,10}
Tập giá trị
s = f ( k)
k =1
Giáo viên: Phân tích bảng trên cho ta hàm số
với
ứng với phần

s
k =2
trăm lãi suất là 4,10; với
ứng với phần trăm lãi suất s là 4,40.
Ta thấy có sự tương ứng 1 – 1 với mỗi số k thuộc tập xác định T có duy nhất một
giá trị s thuộc tập giá trị S, với s, k đều là các số thực.

4) Trong các quy tắc sau, quy tắc nào là hàm số?
a) Cho hàm số
f :¡ → ¡

x a y = f ( x ) = 2x − 5
b)
X
Y
y= x

c)

0
1

3
-3

4
-5

2

8


f :¡ → ¡
n a öôù
ccuû
an
d)
- Học sinh thảo thuận theo nhóm trong 3 phút.
- Giáo viên gọi bất kỳ học sinh trong nhóm báo cáo.
- Giáo viên nhận xét, chỉnh sửa (nếu cần)
Cần ở học sinh câu trả lời:
Quy tắc a) với mỗi

x∈¡

có duy nhất một giá trị tương ứng

y∈¡

Quy tắc b) quan sát bảng đã cho ta thấy mỗi giá trị X tương ứng với một giá trị Y
duy nhất.
Quy tắc c) với mỗi giá trị của x ta cũng có giá trị tương ứng y là duy nhất. Ví dụ
x = − 1 ⇒ y = 1; x = 1 ⇒ y = 1

Do đó 3 quy tắc trên là các hàm số.
Quy tắc d) giả sử với

n = 3∈ ¡

ta có các ước của n là

{ ± 1;

± 3}

do đó không

thỏa mãn điều kiện xác định duy nhất.
Do đó quy tắc này không là hàm số.
5) Giáo viên nhận xét qua các ví dụ trên ta thấy hàm số có thể được cho bằng
nhiều cách như bằng bảng, biểu đồ, đồ thị, biểu thức.
6) Giáo viên giới thiệu trong chương trình toán phổ thông, hàm số chủ yếu được
cho bằng biểu thức.
Nếu

f ( x)

x
là một biểu thức của biến x thì với mỗi giá trị của , ta tính được một

giá trị tương ứng duy nhất của
y = f ( x)

f ( x)

(nếu nó xác định). Do đó ta có hàm số

gọi là hàm số cho bằng biểu thức.

Học sinh lấy ví dụ hàm số cho bằng biểu thức.


Quy ước: Đối với hàm số cho bằng biểu thức nếu không giải thích gì thêm thì tập
xác định của hàm số
f ( x)

thức

y = f ( x)

là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị của biểu

xác định.

7) Giáo viên chú ý tập xác định của hàm số phải viết dưới dạng tập hợp
Ví dụ: Khoanh tròn vào đáp án đúng.
Hàm số

y = x−2

có tập xác định là:
B. [ 2; + ∞ )

A. x ≥ 2

Đáp án đúng là B.
8) Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y =

x−2
2x + 5

c) y = 1 − 3 x

b) y = 3 2 x + 1
d)y = 7 − x +

1
x −1

Học sinh làm bài tập
Đáp số:

 5
a ) D = ¡ \ − 
 2
1

c) D =  −∞; 
3


b) D = ¡
d ) ( −∞;7 ] \ { 1}

9) Giáo viên tổng kết phương pháp tìm tập xác định.
Cho
-

p ( x)

y = p( x)

là một đa thức nào đó.
tập xác định: D = ℝ. Hàm số xác định với mọi giá trị của

x


y=
y=

-

1
p ( x)

tập xác định:

p( x)

y=

-

tập xác định

p ( x) ≠ 0
p ( x) ≥ 0

1
p ( x)

tập xác định

p( x) > 0

10) Giáo viên đưa ra chú ý: Trong ký hiệu hàm số

y = f ( x)

f; y

số độc lập của hàm số

ta còn gọi x là biến

f

là biến số phụ thuộc của hàm số

Biến số độc lập và biến số phụ thuộc của một hàm số có thể được ký hiệu bởi hai
chữ cái tùy ý khác nhau. Chẳng hạn:

y = x + 2; u = v + 2

đều là cách biểu thị của

cùng một hàm số.

Hàm số

y = a, a = const

gọi là hàm số hằng

11) Giáo viên cho học sinh phát biểu lại định nghĩa hàm số bằng lời của mình.
Học sinh: Phát biểu.
2) Tình huống dạy học 2
Hoạt động 1: Dẫn vào khái niệm.

y=

1
x −1
2

Giáo viên đưa ra bài toán: cho biểu thức:
1
y= 2
x −1
a) Tìm điều kiện để biểu thức
có nghĩa
b) Viết điều kiện xác định của biểu thức dưới dạng tập hợp
x = 1, x = 3, x = ±2
c) Tìm giá trị của biểu thức tại
Học sinh suy nghĩ, trả lời.