Bài 24 bảng nguyên hàm cơ bảnđa

/>
 
 

 

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 
ĐÁP ÁN 
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt 

 

Câu 1.

Hàm số f ( x) có nguyên hàm trên K nếu:

A. f ( x) xác định trên K .

B. f ( x) có giá trị lớn nhất trên K .

C. f ( x) có giá trị nhỏ nhất trên K .

D. f ( x) liên tục trên K .

Hướng dẫn giải:
Để hàm số f ( x) có nguyên hàm trên K khi và chỉ khi f ( x) liên tục trên K .
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên (a; b) và C là hằng số thì ò f ( x) dx = F ( x) + C
B. Mọi hàm số liên tục trên (a; b) đều có nguyên hàm trên (a; b) .
C. F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên (a; b)Û F / ( x) = f ( x) , "x Î (a; b) .
D.

/

(òf (x) dx) = f (x) .
Hướng dẫn giải: Sửa lại cho đúng là “Tất cả các nguyên hàm của f ( x) trên (a; b)
đều có đạo hàm bằng f ( x) ”.

Câu 3. Xét hai khẳng định sau:
(I) Mọi hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có đạo hàm trên đoạn đó.
(II) Mọi hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Trong hai khẳng định trên:
A. Chỉ có (I) đúng.
B. Chỉ có (II) đúng.
C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Vì hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0 , nhưng nếu hàm số liên tục tại x0 thì
chưa chắc đã có đạo hàm tại x0 . Chẳng hạn xét hàm số f ( x) = x tại điểm x = 0 .

Câu 4.

Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên đoạn [a; b] nếu:

A. Với mọi x Î (a; b) , ta có F / ( x) = f ( x) .
B. Với mọi x Î (a; b) , ta có f / ( x) = F ( x) .

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |       

1

/>
 
 

C. Với mọi x Î [a; b] , ta có F / ( x) = f ( x) .

( )

( )

D. Với mọi x Î (a; b) , ta có F / ( x) = f ( x) , ngoài ra F / a + = f (a) và F / b - = f (b) .
Hướng dẫn giải:
Với mọi x Î (a; b) , ta có F / ( x) = f ( x) , ngoài ra F / a + = f (a) và F / b - = f (b) .

( )

Câu 5.

( )

Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D

, câu nào là sai?
(I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu "x Î D : F ' ( x) = f ( x) .
(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D .
(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
A. Không có câu nào sai.
B. Câu (I) sai.
C. Câu (II) sai.
D. Câu (III) sai.

Câu 6.

Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng (a; b) . Giả sử G ( x) cũng
là một nguyên hàm của f ( x) trên khoảng (a; b) . Khi đó:

A. F ( x) = G ( x) trên khoảng (a; b) .
B. G ( x) = F ( x) - C trên khoảng (a; b) , với C là hằng số.
C. F ( x) = G ( x) + C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số.
D. Cả ba câu trên đều sai.
Hướng dẫn giải:
Vì hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
Câu 7. Xét hai câu sau:
(I) ò f ( x) + g ( x) dx =ò f ( x) dx +òg ( x) dx = F ( x) + G ( x) + C , trong đó F ( x) và G ( x)

(

)

tương ứng là nguyên hàm của f ( x) , g ( x) .
(II) Mỗi nguyên hàm của a. f ( x) là tích của a với một nguyên hàm của f ( x) .
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (I) đúng.

B. Chỉ có (II) đúng.

C. Cả hai câu đều đúng.

D. Cả hai câu đều sai.

Câu 8. Các khẳng định nào sau đây là sai?
A. ò f ( x) dx = F ( x) + C Þò f (t ) dt = F (t ) + C .

2

/

ù
B. é
ëò f ( x) dx û = f ( x) .
C. ò f ( x) dx = F ( x) + C Þò f (u) dx = F (u) + C .
BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |       


/>
 
 

D. òkf ( x) dx = kò f ( x) dx ( k là hằng số).
Hướng dẫn giải: Vì ò f ( x) dx = F ( x) + C Þò f (u) du = F (u) + C .
Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. F ( x) = x 2 là một nguyên hàm của f ( x) = 2 x .
B. F ( x) = x là một nguyên hàm của f ( x) = 2 x .
C. Nếu F ( x) và G ( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x) - G ( x) = C (hằng số).

ù
D. òé
ë f1 ( x) + f 2 ( x)û dx =ò f1 ( x) dx +ò f 2 ( x) dx .
Hướng dẫn giải:
/

Vì ( x) = 1¹ 2 x Þ F / ( x) ¹ f ( x) Þ F ( x) = x không phải là nguyên hàm của hàm

số f ( x) = 2 x .
Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) thì mọi nguyên hàm của f ( x) đều có dạng

F ( x) + C ( C là hằng số).
u / ( x)
B. ò
dx = log u ( x) + C .
u ( x)

C. F ( x) = 1 + tan x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 + tan 2 x .
D. F ( x) = 5 - cos x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x .
u / ( x)

Hướng dẫn giải: Vì ò

(

)

d u ( x)
dx =ò
= ln u ( x) + C .
u ( x)
u ( x)

Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

1
A. ò0dx = C ( C là hằng số).
B. ò dx = ln x + C ( C là hằng số).
x
xa +1
+ C ( C là hằng số).
D. òdx = x + C ( C là hằng số).
a +1
Hướng dẫn giải: Vì kết quả này không đúng với trường hợp a = -1 .

C. òxa dx =

Câu 12. Hàm số f ( x) =

1
có nguyên hàm trên:
cos x

3

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |       


/>
 
 

A. (0; p ) .

æ p pö

B. ç
ç- ; ÷÷ .
è 2 2ø
Hướng dẫn giải:
Ta thấy hàm số f ( x) =

é p pù
D. ê- ; ú .
ëê 2 2 ûú

C. (p ; 2p ) .

1
xác định và liên tục trên
cos x

æ p pö
çç- ; ÷÷ nên có nguyên hàm
è 2 2ø

trên khoảng này.
Câu 13. Hàm số F ( x) = 5 x 3 + 4 x 2 - 7 x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f ( x) = 15 x 2 + 8 x - 7 .
C. f ( x) =

B. f ( x) = 5 x 2 + 4 x + 7 .

5 x 2 4 x3 7 x 2
+
.

4
3
2

D. f ( x) = 5 x 2 + 4 x - 7 .

Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F ( x) ta được kết quả.
Câu 14. Nếu ò f ( x) dx =

1
+ ln x + C thì f ( x) là:
x

1
B. f ( x) = - x + + C .
x
1
x -1
C. f ( x) = - 2 + ln x + C .
D. f ( x) = 2 .
x
x
æ1
ö'
1 1 x -1
Hướng dẫn giải: Ta có f ( x) = ç
ç + ln x + C ÷÷ = - 2 + = 2 .
x x
x
èx

ø
A. f ( x) = x + ln x + C .

Câu 15. Hàm số F ( x) = 3x 4 + sin x + 3 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f ( x) = 12 x 3 + cos x + 3 x .

B. f ( x) = 12 x 3 - cos x .

C. f ( x) = 12 x 3 + cos x .

D. f ( x) = 12 x3 - cos x + 3 x .

(

Hướng dẫn giải: f ( x) = 3 x 4 + sin x + 3 ' = 12 x3 + cos x .

)

Câu 16. Nếu ò f ( x) dx = sin 2 x cos x thì f ( x) là:

1
(3cos 3x + cos x) .
2
1
C. f ( x) = (3cos 3x - cos x) .
2

1
(cos 3x + cos x) .
2

1
D. f ( x) = (cos 3 x - cos x) .
2
1
Hướng dẫn giải: Ta có ò f ( x) dx = sin 2 x cos x = (sin 3x + sin x)
2

A. f ( x) =

B. f ( x) =

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |       

4


/>
 
 

Suy ra f ( x) =

1
1
/
sin 3x + sin x) = (3cos 3 x + cos x) .
(
2
2

x3 x
Câu 17. Nếu ò f ( x) dx = + e + C thì f ( x) bằng:
3
A. f ( x) =

x4 x
+e .
3

B. f ( x) = 3 x 2 + e x .

C. f ( x) =

x4 x
+e .
12

D. f ( x) = x 2 + e x .

æ x3 x
ö/
x3 x
ç
Hướng dẫn giải: Ta có ò f ( x) dx = + e + C Þ f ( x) = ç + e + C ÷÷ = x 2 + e x .
3
è3
ø
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x +

1

là:
x

A. F ( x) =

x2
+ ln x + C .
2

B. F ( x) = 1 -

C. F ( x) =

x2
+ ln x + C .
2

D. F ( x) =

1
+C .
x2

x2
+ ln x .
2
Sở GD–ĐT Phú Yên

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 19. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =

A. ln 2 + 1 .

B. ln

3
.
2

C. ln 2 .

1
và F (2) = 1 thì F (3) bằng:
x -1
1
D. .
2

1
dx = ln x - 1 + C , vì F (2) = 1 nên C = 1 . F ( x) = ln x - 1 + 1 ,
Hướng dẫn giải: ò
x -1
thay x = 3 ta có đáp án.
Câu 20. Cho hàm số F ( x) = ax3 + bx 2 + cx + 1 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) thỏa mãn
f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 4 . Hàm số F ( x) là:

1
A. F ( x) = - x 2 - x + 1 .
2
1
C. F ( x) = - x 2 + x + 1 .

2
Hướng dẫn giải:

1 2
x - x +1 .
2
1
D. F ( x) = x 2 + x + 1 .
2
B. F ( x) =

5

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |       


/>
 
 

ìa = 0
ì f (1) = 2
ì3a + 2b + c = 2
ï
ï
ïï
ï
1
ï
2

Ta có f ( x) = F ' ( x) = 3ax + 2bx + c và í f (2) = 3 Û í12a + 4b + c = 3 Û íb = .
2
ï
ï
ï
ïî f (3) = 4 ïî27 a + 6b + c = 4 ïc = 1
îï
1
Vậy F ( x) = x 2 + x + 1 .
2
Câu 21. Cho F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = e3 x thỏa mãn F (0) = 1 . Mệnh đề nào sau

đây là đúng?
1
A. F ( x) = e3 x + 1 . B. F ( x) = e3x .
3

1
2
1
4
C. F ( x) = e3 x + . D. F ( x) = - e3 x + .
3
3
3
3
Chuyên Đại học Vinh – Lần 1
1
2
Hướng dẫn giải: F ( x) =òe3 x dx = e3 x + C ; F (0) = 1Û C =

3
3

Câu 22. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 3 + 3 x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. F ( x) =

x 4 3x 2
+
+ 2x + C .
4
2

B. F ( x) =

x4
+ 3x2 + 2 x + C .
3

x4 x2
+ + 2x + C .
D. F ( x) = 3 x 2 + 3 x + C .
4 2
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

C. F ( x) =

1
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số: y = x 2 - 3 x + là:
x
A. F ( x) = 2 x - 3 -

1
+C .
x2

B. F ( x) =

x3 3 2
+ x + ln x + C .
3 2

x3 3 2
x3 3
D. F ( x) = - x 2 + ln x + C .
- x + ln x + C .
3 2
3 2
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

C. F ( x) =

Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x + 1)( x + 2) .

x3 2 2
A. F ( x) = + x + 2 x + C .
3 3

x3 3 2
B. F ( x) = + x + 2 x + C .
3 2

C. F ( x) = 2 x + 3 + C .

D. F ( x) =

x3 2 2
- x + 2x + C .
3 3

Hướng dẫn giải: f ( x) = ( x + 1)( x + 2) = x 2 + 3 x + 2 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |       

6


/>
 
 

2
2 3
+ + 2 là hàm số nào?
5 - 2x x x
3
3
A. F ( x) = ln 5 - 2 x + 2 ln x - + C .
B. F ( x) = - ln 5 - 2 x + 2 ln x + + C .
x
x
3

3
C. F ( x) = - ln 5 - 2 x - 2 ln x + + C .
D. F ( x) = - ln 5 - 2 x + 2 ln x - + C .
x
x
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 25. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

Câu 26. Hàm số f ( x) = x3 - x 2 + 3 +

1
có nguyên hàm là:
x

x3
+ 3x + ln x + C .
3
1
C. F ( x) = 3 x 2 - 2 x - 2 + C .
x
A. F ( x) = x 4 -

B. F ( x) =

x 4 x3
- + 3x + ln x + C .
4 3

D. F ( x) = x 4 - x 3 + 3 x + ln x + C .

æ
1ö
x 4 x3
- + 3 x + ln x + C .
Hướng dẫn giải: F ( x) =òçç x3 - x 2 + 3 + ÷÷ dx =
xø
4 3
è
1
1
+ 2 - 1 có một nguyên hàm là:
x x
1
1
1
x- -x.
A. f ( x) = x3 - 2 x + .
B. f ( x) = x 3 x
2
x
1
1
C. f ( x) = x3 - x - - x .
D. f ( x) = x3 - 2 x - - x .
x
x
æ
ö
1
1

1
Hướng dẫn giải: Ta có òF ( x) dx =òçç3 x 2 + 2 - 1÷÷ dx = x3 - 2 x - 2 - x + C .
x
x x
è
ø

Câu 27. Hàm số F ( x) = 3 x 2 -

2

Câu 28. Biết hàm số f ( x) = (6 x + 1) có một nguyên hàm là F ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d thoả mãn
điều kiện F (-1) = 20 . Tính tổng a + b + c + d .

A. 36.

B. 44.
Hướng dẫn giải:
2

ò(6 x + 1)

(

C. 46.

D. 54.

dx =ò 36 x 2 + 12 x + 1 dx = 12 x 3 + 6 x 2 + x + C nên a = 12; b = 6; c = 1 .

)

Thay F (-1) = 20 Þ d = 27 Þ a + b + c + d = 46 .
Câu 29. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ' ( x) =

1
và f (0) = 1 . Tính f (5) .
1- x
BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |       

7


/>



A. f (5) = 2 ln 2 .

B. f (5) = ln 4 + 1 .

C. f (5) = -2 ln 2 + 1 . D. f (5) = -2 ln 2 .
Chuyờn Chu Vn An Ln 2

1
1
Hng dn gii: f ( x) =ũ
dx = -ũ
dx = - ln x - 1 + C .
1- x

x -1
f (0) = 1 ị C = 1 ị f (5) = - ln 4 + 1 = -2 ln 2 + 1 .
Cõu 30. Gi s F ( x) l nguyờn hm ca hm s f ( x) = 4 x - 1 . th ca hm s F ( x) v
f ( x) ct nhau ti mt im trờn trc tung. Ta cỏc im chung ca hai th hm

s trờn l:
ổ5 ử
B. ỗ
ỗ ;9 ữữ .
ố2 ứ

A. (0; -1) .

ổ5 ử
ổ5 ử
C. (0; -1) v ỗ
ỗ ;9 ữữ . D. ỗỗ ;8 ữữ .
ố2 ứ
ố2 ứ

Hng dn gii: Ta cú F ( x) =ũ(4 x - 1) dx = 2 x 2 - x + C .

Gi s M (0; m) ẻ Oy l giao im ca th hai hm s F ( x) v f ( x) .
ỡù4.0 - 1 = m
ỡùm = -1
Ta cú h phng trỡnh sau ớ 2
ớ
ị F ( x) = 2 x 2 - x - 1 .
ùợ2.0 - 0 + C = m
ùợC = -1

Honh giao im ca th hai hm s F ( x) v f ( x) l nghim ca phng trỡnh:

ộx = 0 ị y = -1
ờ
2 x - x - 1 = 4 x - 1 x (2 x - 5) = 0 ờ 5
ờx = ị y = 9
ở 2
ổ5 ử
Vy ta cỏc im cn tỡm l (0; -1) v ỗỗ ;9 ữữ .
ố2 ứ
2

Cõu 31. Tỡm nguyờn hm ca hm s f ( x) = e x - e - x .
A. ũ f ( x) dx = e x + e - x + C .

B. ũ f ( x) dx = - e x + e- x + C .

C. ũ f ( x) dx = e x - e - x + C .

D. ũ f ( x) dx = - e x - e - x + C .

(

)

Hng dn gii: ũ e x - e - x dx = e x + e- x + C .
Cõu 32. Tỡm nguyờn hm ca hm s f ( x) = 2 x.3-2 x .

ổ9 ửx
1

A. ũ f ( x) dx = ỗ
+C .
ỗ ữữ .
ố 2 ứ ln 2 - ln 9
x

ổ2 ử
1
C. ũ f ( x) dx = ỗ
+C .
ỗ ữữ .
ố 3 ứ ln 2 - ln 9

ổ2 ửx
1
B. ũ f ( x) dx = ỗ
+C .
ỗ ữữ .
ố 9 ứ ln 2 - ln 9
x

ổ2 ử
1
D. ũ f ( x) dx = ỗ
+C .
ỗ ữữ .
ố 9 ứ ln 2 + ln 9

BNGNGUYấNHMCBNPN|

8


/>
 
 
-2 x

Hướng dẫn giải: ò2 .3
x

æ2 öx
æ2 öx
1
+C .
dx =òçç ÷÷ dx = çç ÷÷ .
è9 ø
è 9 ø ln 2 - ln 9

(

)

Câu 33. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x 3 + e - x là:
A. F ( x) = 3e x + x + C .
C. F ( x) = 3e x -

B. F ( x) = 3e x + e x ln e x + C .

1

+C .
ex

D. F ( x) = 3e x - x + C .

(

(

)

)

Hướng dẫn giải: F ( x) =òe x 3 + e - x dx =ò 3e x + 1 dx = 3e x + x + C .
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 4 x - 2 .
A. ò f ( x) dx =

1 4 x-2
e
+C .
2

C. ò f ( x) dx = e 2 x -1 + C .
Hướng dẫn giải: ò

1 2 x -1
e
+C .
2
1

D. ò f ( x) dx = e 2 x -1 + C .
2
1
e 4 x - 2 dx =òe 2 x -1dx = e 2 x -1 + C .
2
B. ò f ( x) dx =

Câu 35. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x .
A. òsin 2 xdx = cos 2 x + C .

B. òsin 2 xdx = - cos 2 x + C .

1
C. òsin 2 xdx = - cos 2 x + C .
2

D. òsin 2 xdx =

Hướng dẫn giải: òsin 2 xdx =

1
cos 2 x + C .
2

1
1
sin 2 xd (2 x) = - cos 2 x + C .
ò
2
2

æ
e- x ö
Câu 36. Hàm số f ( x) = e x ççln 2 + 2 ÷÷ có họ nguyên hàm là:
sin x ø
è
1
1
A. F ( x) = e x ln 2 +
+C .
B. F ( x) = e x ln 2 +C .
2
cos x
cos 2 x
C. F ( x) = e x ln 2 - cot x + C .
D. F ( x) = e x ln 2 + cot x + C .
æ
1 ö
Hướng dẫn giải: ò f ( x)dx =òççe x ln 2 + 2 ÷÷ dx = e x ln 2 - cot x + C .
sin x ø
è
9

Câu 37. Hàm số f ( x) = 3x - 2 x.3x có nguyên hàm bằng:

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |       


/>
 

 

3x
6x
A.
+C .
ln 3 ln 6
C.

(

)

B. 3x ln 3 1 + 2 x ln 2 + C .

3x 3x.2 x
+
+C .
ln 3 ln 6

D.

(

3x
6x
+
+C .
ln 3 ln 3.ln 2

)

Hướng dẫn giải: ò f ( x) dx =ò 3x + 6 x dx =

3x
6x
+
+C .
ln 3 ln 6

Câu 38. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 4 x.22 x +3 .
A. F ( x) =

24 x +1
.
ln 2

B. F ( x) = 24 x +3.ln 2 .

C. F ( x) =

2 4 x +3
.
ln 2

D. F ( x) = 24 x +1.ln 2 .
Chuyên Thái Bình – Lần 3

Hướng dẫn giải: F ( x) =ò4 x.22 x +3 dx =ò24 x +3 dx =ò24 x +1 d (4 x + 1) =

(

Câu 39. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e - x + e x

2

)

24 x +1
ln 2

thỏa mãn điều kiện F (0) = 1

là:

1
1
A. F ( x) = - e -2 x + e 2 x + 2 x - 1 .
2
2
1
1
C. F ( x) = - e -2 x + e 2 x + 2 x + 1 .
2
2

B. F ( x) = -2e -2 x + 2e 2 x + 2 x + 1 .

1
1

D. F ( x) = - e-2 x + e 2 x + 2 x .
2
2
1
1
Hướng dẫn giải: Ta có: F ( x) = - e -2 x + e 2 x + 2 x + C , F (0) = 1Û C = 1 .
2
2

Câu 40. Hàm số F ( x) = 7e x - tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f ( x) = 7e x +

1
.
cos 2 x

æ
e - x ö÷
C. f ( x) = e x çç7 2
÷.
è cos x ø

B. f ( x) = 7e x + tan 2 x - 1 .

æ x
1 ö
÷÷ .
D. f ( x) = 7 ç
çe cos 2 x ø
è

Hướng dẫn giải: Ta có F ' ( x) = 7e x -

æ
1
e- x ö÷
x
ç
=
e
7
ç cos 2 x ÷ = f ( x) .
cos 2 x
è
ø

Câu 41. Tính òsin x (2 + cos x) dx bằng:

1
A. -2 cos x - cos 2 x + C .
4

1
B. 2 cos x - cos 2 x + C .
4

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |       

10

/>
 
 

1
C. 2 cos x + cos 2 x + C .
4
Hướng dẫn giải:

1
D. 2 cos x + cos 2 x + C .
2
æ

1

1

ö

òsin x (2 + cos x) dx =òççè2sin x + 2 sin 2 x ÷÷ø dx = - 2 cos x - 4 cos 2 x + C .
æ
1 ö
çsin x +
Câu 42. Tính òç
÷÷ dx bằng:
cos 2 x ø
è
A. - cos x + tan x + C . B. cos x + tan x + C .

C. cos x - tan x + C .

D. - cos x -

1
+C .
cos x

æ
1 ö
÷÷ dx = - cos x + tan x + C .
Hướng dẫn giải: òç
çsin x +
cos 2 x ø
è
Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 3x là hàm số nào?

1
A. òcos 3xdx = sin 3 x + C .
3

B. òcos 3 xdx = sin 3x + C .

1
D. òcos 3xdx = - sin 3x + C .
3
Chuyên Chu Văn An – Lần 2
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

C. òcos 3xdx = 3sin 3 x + C .

Câu 44. Cho hàm số f ( x) = 3x + sin x + 2 cos x . Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa

mãn F (0) = 1 .
A. x 2 + cos x + 2sin x - 2 .

B. x 2 + cos x + 2sin x .

C. x 2 - cos x + 2sin x .
Hướng dẫn giải:

D. x 2 - cos x + 2sin x + 2 .

F ( x) =ò(2 x + sin x + 2 cos x) dx = x 2 - cos x + 2sin x + C
F (0) = 1 Þ C = 2 Þ F ( x) = x 2 - cos x + 2sin x + 2

1
. Nếu F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) và đồ thị
sin 2 x
æp ö
y = F ( x) đi qua điểm M çç ;0 ÷÷ thì F ( x) là:
è6 ø

Câu 45. Cho hàm số y = f ( x) =

A. F ( x) =

3
- cot x .

3

B. F ( x) = -

3
+ cot x. .
3

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |       

11


/>
 
 

C. F ( x) = - 3 + cot x. .

D. F ( x) = 3 - cot x. .

1
Hướng dẫn giải: Ta có F ( x) =ò 2 dx = - cot x + C .
sin x
æp ö
p
Theo bài ra ta có F çç ÷÷ = 0 Û - cot + C = 0 Û C = 3 .
6
è6 ø
Vậy F ( x) = - cot x + 3 .

3
thỏa mãn đồ thị của hai
5
hàm số F ( x) và f ( x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là:

Câu 46. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2sin 5 x + x +

3
+ x +1 .
2 x 5
2
2
3
2
2
3
C. F ( x) = - cos 5 x + x x + x + 1 .
D. F ( x) = - cos 5 x + x x + x .
5
3
5
5
3
5
2
2
3
Hướng dẫn giải: Ta có F ( x) = - cos 5 x + x x + x + C và F (0) = f (0) Û C = 1 .
5
3

5
2
2
3
Vậy F ( x) = - cos 5 x + x x + x + 1 .
5
3
5
A. F ( x) =

2
2
3
cos 5 x + x x + x + 1 .
5
3
5

B. F ( x) = 10 cos 5 x +

1

x2
+ C1 ,òg ( x) dx = x 2 + C2 ( C1 , C2 là hằng số). Tìm họ nguyên hàm
2
của hàm số h ( x) = f ( x) + g ( x) .

Câu 47. Biết ò f ( x) dx =

A.

3x 2
.
2

B. 3x + C .

C.

x3
+C .
2

D.

3x 2
+C .
2
Sở GD–ĐT Phú Yên

Hướng dẫn giải:

x2
3x 2
2
é
ù
h
x
dx

=
f
x
+
g
x
dx
=
f
x
dx
+
g
x
dx
=
+
C
+
x
+
C
=
+C
ò ( ) òë ( ) ( )û ò ( ) ò ( )
1
2
2
2
Câu 48. Giá trị m để hàm số F ( x) = mx3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3 là một nguyên hàm của hàm số

f ( x) = 3 x 2 + 10 x - 4 là:

A. m = 0 .

B. m = 1 .

(

C. m = 2 .

D. m = 3 .

Hướng dẫn giải: ò 3x 2 + 10 x - 4 dx = x3 + 5 x 2 - 4 x + C , nên m = 1 .

)

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |       

12


/>
 
 

Câu 49. Tìm số thực m để hàm số F ( x) = mx 3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3 là một nguyên hàm của

hàm số f ( x) = 3x 2 + 10 x - 4 .
A. m = -1 .

B. m = 0 .

C. m = 1 .

(

D. m = 2 .

Hướng dẫn giải: Ta có ò f ( x) dx =ò 3x 2 + 10 x - 4 dx = x3 + 5 x 2 - 4 x + C .

)

ìm = 1
ìïm = 1
ïï
.
Yêu cầu bài toán Û í3m + 2 = 5 Û í
ï
ïîC = 3
ïî3 = C

Câu 50. Cho f ( x) =

3
A. - .
4

4m

p

+ sin 2 x . Tìm m để nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn

æp ö p
ç ÷÷ = .
F (0) = 1 và F ç
è4ø 8
3
4
4
B. .
C. - .
D. .
4
3
3
æ 4m
ö
æ 4m
ö
4m
x sin 2 x
+ sin 2 x ÷÷ dx =òçç
+ 1 - cos 2 x ÷÷ dx =
+C .
x+ Hướng dẫn giải: òçç
2
4
p
èp

ø
èp
ø
Vì F (0) = 1 nên C = 1
æp ö p
3
F çç ÷÷ = nên tính được m = - .
4
è4ø 8

13

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – ĐÁP ÁN |