Bài 26 nguyên hàm đổi biến loại 1đa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (290.21 KB, 17 trang )
/>
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1
ĐÁP ÁN
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
Câu 1. Câu nào sau đây sai?
A. Nếu F ' (t ) = f (t ) thì F ' u ( x) = f u ( x) .
(
(
)
(
)
(
)
)
C. Nếu G (t ) là một nguyên hàm của hàm số g (t ) thì G (u ( x)) là một nguyên hàm của hàm số
g (u ( x)).u ' ( x) .
B. ò f (t ) dt = F (t ) + C Þò f u ( x) u ' ( x) dx = F u ( x) + C .
D. ò f (t ) dt = F (t ) + C Þò f (u) du = F (u) + C với u = u ( x) .
Hướng dẫn giải:
Nếu F ' (t ) = f (t ) Þ F (t ) =ò f (t ) dt . Đặt t = u ( x) Þ dt = u ' ( x) dx .
(
)
(
(
)
)
(
)
Suy ra F u ( x) =ò f u ( x) .u ' ( x) dx hay F ' u ( x) = f u ( x) .u ' ( x) .
Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu ò f (t ) dt = F (t ) + C thì ò f u ( x) .u ' ( x) dx = F u ( x) + C .
(
(
)
)
ù
B. Nếu F ( x) và G ( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì òé
ëF ( x) - G ( x)û dx có dạng
h ( x) = Cx + D ( C , D là các hằng số và C ¹ 0 ).
C. F ( x) = 7 + sin 2 x là một nguyên hàm của f ( x) = sin 2 x .
u' x
D. ò ( ) dx = u ( x) + C .
u ( x)
Hướng dẫn giải:
d u x)
u' x
òu (x ) dx =ò (u (x ) = ln u (x) + C
()
()
Câu 3.
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
1
.
B. F ( x) = x + 1 .
x +1
Hướng dẫn giải:
A. F ( x) =
C. F ( x) = 4 x + 1 .
2
?
x +1
D. F ( x) = 2 x + 1 .
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
1
/>
F ( x) =ò
2
dx .
x +1
x + 1 = t Û x = t 2 - 1Û dx = 2tdt
2
F ( x) =ò 2tdt =ò4dt = 4t + C = 4 x + 1 + C
t
Đặt
Câu 4.
9
Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = (2 x + 1) .
1
10
2 x + 1) + C .
(
20
1
10
C. ò f ( x) dx = (2 x + 1) + C .
10
Hướng dẫn giải:
dt
Đặt 2 x + 1 = t Û dx =
2
1
9
2 x + 1) + C .
(
10
1
9
D. ò f ( x) dx = (2 x + 1) + C .
20
A. ò f ( x) dx =
B. ò f ( x) dx =
10
2 x +1
dt t10
òf (x) dx =òt . 2 = 20 + C = ( 20 ) + C
9
Câu 5.
(
Họ nguyên hàm của f ( x) = x 2 x3 + 1
A. F ( x) =
6
1 3
x +1 + C .
18
(
là:
6
1 3
x +1 + C .
9
( )
D. F ( x) = 18 ( x + 1) + C .
)
B. F ( x) =
6
(
5
)
C. F ( x) = x3 + 1 + C .
3
)
6
Hướng dẫn giải:
Đặt x3 + 1 = t Û x 2 dx =
1
1
5
dt
.
3
òf (x) dx = 3òt dt = 18 t
Câu 6.
6
+C =
6
1 3
x +1 + C .
18
(
)
12
Tính ò(5 - 9x) dx bằng:
13
13
5 - 9 x)
5 - 9 x)
+C .
+C .
A. - (
B. (
117
117
Hướng dẫn giải:
- dt
Đặt 5 - 9 x = t Û dx =
9
13
C.
(5 - 9 x)
13
13
+C .
D.
(5 - 9 x)
9
+C .
2
13
12
ò(5 - 9 x)
5 - 9 x)
- dt t13
dx =òt .
=
+C = - (
+C
9 117
117
12
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
/>
5
Tìm nguyên hàm của hàm số y = (5 x - 1) . Hệ số của x 6 là:
Câu 7.
3125
.
5
Hướng dẫn giải:
A. 3125.
B.
C.
3125
.
30
D.
3125
.
6
5
F ( x) =ò(5 x - 1) dx .
dt
5
Đặt 5 x - 1 = t Û dx =
6
5 x - 1)
dt t 6
1 6
6-i
i
F ( x) =òt . =
+C = (
+ C = å C6i .(5 x) .(-1)
5 30
30
30 i = 0
1 0 6
3125
0
C6 .5 .(-1) =
Cho i = 0 Þ Hệ số của x 6 là:
.
30
6
5
Câu 8.
Một nguyên hàm của hàm số : f ( x) = x 1 + x 2 là:
A. F ( x ) =
1
3
(
1 + x2
3
)
1
3
1
D. F ( x ) =
2
B. F ( x ) =
.
2
x2
C. F ( x ) =
1 + x2 .
2
Hướng dẫn giải:
(
)
2
( ).
( 1+ x ) .
1 + x2
2
2
Đặt 1 + x 2 = t Û x 2 = t 2 - 1Û xdx = tdt
t3
1
òf (x) dx =òx 1 + x dx =òt.tdt =òt dt = 3 + C = 3
2
Câu 9.
2
(
1 + x2
3
) +C
Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x + 2 .
2
(3x + 2) 3x + 2 + C .
3
1
C. òf ( x) = (3x + 2) 3x + 2 + C .
3
A. ò f ( x) =
2
(3x + 2) 3x + 2 + C .
9
3
1
+C .
D. ò f ( x) = .
2 3x + 2
B. ò f ( x) =
Hướng dẫn giải:
Đặt
3x + 2 = t Û x =
t2 - 2
2tdt
Û dx =
3
3
F ( x) =ò 3 x + 2dx =òt.
2tdt 2 2
2t 3
2
= òt dt =
+ C = (3x + 2) 3 x + 2 + C
3
3
9
9
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
3
/>
Câu 10. Kết quả tínhò2 x 5 - 4 x 2 dx bằng:
3
8
1
C. 6
A. -
(5 - 4 x ) + C .
2
2 3
(5 - 4 x )
B.
+C .
1
6
D. -
2 3
(5 - 4 x )
1
12
+C .
2 3
(5 - 4 x )
+C .
Hướng dẫn giải:
5 - t2
t
Û 2 xdx = - dt
4
2
1
1
1
ò2 x 5 - 4 x 2 dx = - 2òt 2 dt = - 6 t 3 + C = - 6 5 - 4 x 2
Đặt
5 - 4x2 = t Û x2 =
(
Câu 11. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
3
)
+C
x
8 - x2
thoả mãn F (2) = 0 . Khi đó
phương trình F ( x) = x có nghiệm là:
B. x = 1 - 3
A. x = -1
C. x = 0
D. x = 1
Hướng dẫn giải:
8 - x 2 = t Û x 2 = 8 - t 2 Þ xdx = -tdt
x
tdt
dx = -ò = -t + C = - 8 - x 2 + C .
t
8 - x2
Đặt
ò
Vì F (2) = 0 nên C = 2 . Ta có phương trình - 8 - x 2 + 2 = x Û x = 1 - 3
Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
2
(x + 4) x +1 + C .
3
1
D. ò f ( x) dx = x + 1 +
+C .
x +1
B. ò f ( x) dx =
A. ò f ( x) dx = ( x + 4) x + 1 + C .
C. ò f ( x) dx =
x+2
.
x +1
x
+C .
2 ( x + 1) x + 1
Hướng dẫn giải:
Đặt
x + 1 = t Û x + 1 = t 2 Û dx = 2tdt
æt3 ö
t 2 +1
2
òf (x) dx =ò t .2tdt = 2ò t +1 dt = 2 çç 3 + t ÷÷ + C
è
ø
æ x +1 x +1
ö
2
)
= 2 çç (
+ x + 1 ÷÷ + C = ( x + 4) x + 1 + C
3
3
è
ø
(
)
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
4
/>
x
Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. ò f ( x) dx = -
1
3x 2 + 2 + C .
3
3x2 + 2
.
1
3x 2 + 2 + C .
6
2
3x 2 + 2 + C .
D. ò f ( x) dx =
3
B. ò f ( x) dx =
1
3x 2 + 2 + C .
3
Hướng dẫn giải:
C. ò f ( x) dx =
t2 - 2
1
Û xdx = tdt
3
3
1 1
1
1
1
òf (x) dx =òt . 3 tdt = 3òdt = 3 t + C = 3 3x 2 + 2 + C
3x 2 + 2 = t Û x 2 =
Đặt
x3
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. òf ( x) dx = -
1
4 - x2 + C .
3
(
2 2
x +8
3
1
D. ò f ( x) dx = - x 2 + 8
3
)
4 - t (-tdt )
=ò(t
òf (x) dx =ò( )
2
t
(
(
)
4 - x2 + C .
(
)
4 - x2 + C .
4 - x 2 = t Û x 2 = 4 - t 2 Û xdx = -tdt
Đặt
=
.
B. ò f ( x) dx = -
1 2
x + 8 4 - x2 + C .
3
Hướng dẫn giải:
C. ò f ( x) dx =
4 - x2
4 - x2
3
2
)
- 4 dt =
t3
- 4t + C
3
3
) - 4 4 - x + C = - 1 (x + 8)
2
2
3
4 - x2 + C
Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 3 x + 1 là:
A. ò f ( x) dx = (3 x + 1) 3 3 x + 1 + C .
1
(3x + 1) 3 3x + 1 + C .
4
Hướng dẫn giải:
C. ò f ( x) dx =
Đặt
3
3x + 1 = t Û x =
B. ò f ( x) dx =
13
3x + 1 + C .
3
D. ò f ( x) dx = 3 3 x + 1 + C .
t3 -1
Û dx = t 2 dt
3
5
t4
1
2
3
3
f
x
dx
=
3
x
+
1
dx
=
t
.
t
dt
=
t
dt
=
+ C = (3 x + 1) 3 3 x + 1 + C
ò () ò
ò
ò
4
4
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
/>
Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x - 2 .
3
(x - 2) 3 x - 2 + C .
4
2
C. ò f ( x) dx = ( x - 2) x - 2 .
3
Hướng dẫn giải:
A. ò f ( x) dx =
Đặt
3
ò
B. ò f ( x) dx = D. ò f ( x) dx =
3
(x - 2) 3 x - 2 + C .
4
2
1
x
2
( ) 3 +C .
3
x - 2 = t Û x = t 3 + 2 Û dx = 3t 2 dt
3
x - 2dx = ( x - 2) 3 x - 2 + C
4
3
1
.
x +1
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
( )
C. òf ( x) dx = ln (1 + x ) + C .
(
A. òf ( x) dx = 2 x - 2 ln 1 + x + C .
)
B. òf ( x) dx = 2 x + 2 ln 1 + x + C .
(
)
D. òf ( x) dx = 2 + 2 ln 1 + x + C .
Hướng dẫn giải:
2
Đặt 1 + x = t Û x = (t - 1) Û dx = 2 (t - 1) dt
1
æ 1ö
2 t - 1 dt
dx =ò ( ) = 2òçç1 - ÷÷ dt = 2 t - ln t + C1
t
x
è tø
(
x + 1 - ln 1 + x + C1 = 2 x - 2 ln 1 + x + C
ò1 +
=2
(
)
Câu 18. Nguyên hàm F (x) của f ( x) =
A. 2 2 x - 1 .
(
)
)
2
với F (1) = 3 là:
2x -1
B. 2 2 x - 1 + 2 .
C. 2 2 x - 1 + 1 .
D. 2 2 x - 1 - 1 .
Hướng dẫn giải:
2
F ( x) =ò
dx .
2x -1
Đặt
2x - 1 = t Û x =
t 2 +1
Û dx = tdt
2
2
F ( x) =ò tdt =ò2dt = 2t + C = 2 2 x - 1 + C ; F (1) = 3 Û C = 1
t
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số I =ò
A.
2 x - 1 - 2 ln
(
)
2x - 1 + 4 + C .
6
dx
là:
2x -1 + 4
B.
2 x - 1 - ln
(
)
2x -1 + 4 + C .
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
/>
C.
2 x - 1 - 4 ln
(
)
2x - 1 + 4 + C .
D. 2 2 x - 1 - ln
(
)
2x -1 + 4 + C .
Hướng dẫn giải:
Đặt
2x -1 + 4 = t Û 2x - 1 = t - 4 Û x =
t 2 - 8t + 17
Û dx = (t - 4) dt
2
æ 4ö
1
F ( x) =ò (t - 4) dt =òçç1 - ÷÷ dt = t - 4 ln t + C = 2 x - 1 - 4 ln
t
è tø
Câu 20. Giả sử một nguyên hàm của hàm số
f ( x) =
x2
1- x
3
(
)
2x - 4 + 4 + C
1
+
(
x 1+ x
B
. Hãy tính A + B ?
1+ x
8
B. - .
C. 2 .
D. -2 .
3
Hướng dẫn giải:
æ
ö
ç x2
÷
1
1
x2
÷
+
dx
=
dx +ò
òf (x) dx =òçç
ò
2
3
3
1- x
ç 1- x
x 1 + x ÷÷
x 1+ x
è
ø
2
)
có dạng
A 1 - x3 +
A.
8
.
3
(
Tính I1 =ò
x2
1 - x3
(
)
2
)
dx
dx
2
Đặt 1 - x3 = t Û x3 = 1 - t 2 Û 3 x 2 dx = -2tdt Û x 2 dx = - tdt
3
1æ 2 ö
2
2
2
I1 =ò . çç- tdt ÷÷ = - òdt = - t + C1 = 1 - x3 + C1
t è 3 ø
3
3
3
Tính I 2 =ò
1
(
x 1+ x
2
)
dx
Đặt 1 + x = t Û x = t - 1Û
dx
dx
= dt Û
= 2dt
x
2 x
1
2
2
I 2 =ò 2 2dt = - + C2 = + C2
t
t
1+ x
2
2
2
Þòf ( x) dx = - 1 - x3 + C Þ A = - , B = -2
3
3
1+ x
7
Câu 21. Tính òe
6 x -5
dx bằng:
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
/>
A. e6 x +5 - C .
B. e6 x -5 + C .
C.
1 6 x -5
e
+C .
6
D . 6e 6 x - 5 + C .
e2 x
.
2
D. e 4 x .
Hướng dẫn giải:
Đặt 6 x - 5 = t Û dx =
òe
6 x -5
dx =òet .
dt
6
dt 1 t
1
= e + C = e6 x -5 + C
6 6
6
Câu 22. Một nguyên hàm của hàm số òe 2 x dx là:
2
A. e 2 x .
B. e x .
C.
Hướng dẫn giải:
Đặt 2 x = t Û dx =
òe2 x dx =òet .
Câu 23.
dt
2
dt et
e2 x
= +C =
+C
2 2
2
2
F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = xe x . Hàm số nào sau đây không phải là
F ( x) ?
2
1 x2
1 2
1 2
1
e + 2 . B. F ( x) = e x + 5 . C. F ( x) = - e x + C . D. F ( x) = - 2 - e x .
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Đặt x 2 = t Þ 2 xdx = dt .
1
1
1
1 2
I = òet dt = òd et = et + C = e x + C
2
2
2
2
(
A . F ( x) =
(
)
)
()
Câu 24. Nguyên hàm của f ( x) = cos (5 x - 2) là:
1
sin (5 x - 2) + C .
5
1
C. - sin (5 x - 2) + C .
5
Hướng dẫn giải:
F ( x) =òcos (5 x - 2) dx .
A.
B. 5sin (5 x - 2) + C .
D. -5sin (5 x - 2) + C .
8
dt
Đặt 5 x - 2 = t Û dx =
5
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
/>
F ( x) =òcos t.
dt 1
1
= sin t + C = sin (5 x - 2) + C
5 5
5
æ
pö
Câu 25. Tính òcos çç5 x + ÷÷dx bằng:
4ø
è
æ
pö
A. -5sin çç5 x + ÷÷ + C .
4ø
è
1 æ
pö
C. sin çç5 x + ÷÷ + C .
5 è
4ø
1 æ
pö
B. - sin çç5 x + ÷÷ + C .
5 è
4ø
æ
pö
D. sin çç5 x + ÷÷ + C .
4ø
è
Hướng dẫn giải:
Đặt 5 x +
p
4
æ
= t Û dx =
dt
5
pö
dt
òcos ççè5 x + 4 ÷÷ø dx =òcos (t) 5
1
1 æ
pö
= sin t + C = sin çç5 x + ÷÷ + C
5
5 è
4ø
1
Câu 26. Tính ò
dx bằng:
æ
pö
cos 2 çç x + ÷÷
è 4ø
æ pö
æ pö
æ pö
1
A. - tan çç x + ÷÷ + C . B. tan çç x + ÷÷ + C . C. tan çç x + ÷÷ + C .
4
è 4ø
è 4ø
è 4ø
Hướng dẫn giải:
Đặt x +
æ pö
D. 4 tan çç x + ÷÷ + C .
è 4ø
p
= t Û dx = dt
4
æ pö
1
1
ò 2 æ p ö dx =òcos2 t dt = tan t + C = tan ççè x + 4 ÷÷ø + C
()
cos çç x + ÷÷
4
è
ø
1
Câu 27. Tính ò
dx bằng:
(cos x + sin x) 2
æ pö
æ pö
æ pö
æ pö
1
1
1
A. cot çç x + ÷÷ + C . B. - cot çç x + ÷÷ + C . C. - cot çç x + ÷÷ + C . D. - cot çç x + ÷÷ + C .
2
2
4
è 4ø
è 4ø
è 4ø
è 4ø
Hướng dẫn giải:
1
1
1
I =ò
dx = ò
dx
2
pö
(cos x + sin x)
2
2æ
sin çç x + ÷÷
è 4ø
Đặt x +
p
4
= t Û dx = dt
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
9
/>
I=
æ pö
1
1
1
1
dt = - cot t + C = - cot çç x + ÷÷ + C
ò
2
2 sin (t )
2
2
è 4ø
Câu 28. Tính ò
A. tan x + C .
1
dx bằng:
x cos 2 x
B. 2 tan x + C .
C.
1
tan x + C .
2
D. tan 2 x + C .
Hướng dẫn giải:
dx
Đặt x = t Û
= 2dt
x
1
1
ò x cos2 x dx =òcos2 t .2dt = 2 tan t + C = 2 tan x + C
Câu 29. Hàm số f ( x) = x x + 1 có một nguyên hàm là F ( x) . Nếu F (0) = 2 thì F (3) bằng:
A.
146
.
15
116
.
15
Hướng dẫn giải:
B.
C.
886
.
105
x + 1 = t Û x = t 2 - 1Û dx = 2tdt
2
2
2
òx x + 1dx =ò 2t 4 - 2t 2 dt = 5 t 5 - 3 t 3 + C = 5
34
146
F (0) = 2 Þ C =
Þ F (3) =
15
15
D.
105
.
886
Đặt
(
)
(
5
2
) 3(
x +1 -
3
)
x +1 + C
Câu 30. Biết hàm số F ( x) = (mx + n) 2 x - 1 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. -2 .
Khi đó tích của m và n là:
2
B. - .
9
Hướng dẫn giải:
2
C. - .
3
1- x
.
2x -1
D. 0 .
t 2 +1
2x - 1 = t Û x =
Û dx = tdt
2
t 2 +1
13
1- x
2 .tdt = 1 1 - t 2 .tdt = 1 æçt - t ö÷ + C = æç- 1 x + 2 ö÷ 2 x - 1 + C
dx
=
ò 2x -1 ò t
ò
ç
÷
2
2 çè 3 ÷ø
3ø
è 3
1
2
2
Þ m = - ; n = Þ m.n = 3
3
9
Đặt
(
)
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
10
/>
Câu 31. Biết òf (u) du = F (u) + C . Khẳng định nào sau đây là đúng?
1
F (2 x - 3) + C .
2
D. òf (2 x - 3) dx = 2 F (2 x - 3) + C .
A. òf (2 x - 3) dx = F (2 x - 3) + C .
B. ò f (2 x - 3) dx =
C. òf (2 x - 3) dx = 2 F ( x) - 3 + C .
Hướng dẫn giải:
du
2
du 1
1
òf (2 x - 3) dx =òf (u) 2 = 2 F (u) + C = 2 F (2 x - 3) + C
Đặt 2 x - 3 = u Û dx =
Câu 32. Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D (t ) đô la mỗi năm, với
D ' (t ) = 90 (t + 6) t 2 + 12t trong đó t là số lượng thời gian (tính theo năm) kể từ công
ty bắt đầu vay nợ. Đến năm thứ tư công ty đã phải chịu 1 626 000 đô la tiền nợ nần. Tìm
hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này ? (024)
A. f (t ) = 30
C. f (t ) = 30
(t
(t
2
2
3
)
+ 12t )
+ 12t
3
(
(t
+C .
B. f (t ) = 30 3 t 2 + 12t
+ 1595280 .
D. f (t ) = 30 3
2
)
+ 12t )
3
2
+ 1610640 .
+ 1610640 .
Hướng dẫn giải:
f (t ) =ò90 (t + 6) t 2 + 12tdt
Đặt
t 2 + 12t = u Û t 2 + 12t = u 2 Û (t + 6) dt = udu
f (t ) =ò90u.udu = 90òu 2 du = 30u 3 + C = 30
(t
2
+ 12t
3
)
+C
Vì đến năm thứ tư công ty đã chịu 1610640 tiền nợ nần nên số tiền mà công ty vay năm
đầu sẽ được tính
1610640 - 30
(4
2
3
)
+ 12.4
= 1595280
Vậy công thức tính tiền nợ nần sẽ như sau: f (t ) = 30
Câu 33. Nguyên hàm của hàm số f ( x) =
B.
x
(
2
+ 12t
3
)
+ 1595280
e x - e- x
là:
e- x + e x
1
+C .
e - e- x
Hướng dẫn giải:
A. ln e x + e - x + C .
(t
C. ln e x - e - x + C .
D.
1
+C .
e + e- x
x
)
Đặt e - x + e x = t Û e x - e - x dx = dt
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
11
/>
e x - e- x
dt
f
x
dx
=
ò ( ) òe- x + e x dx =ò t = ln t + C = ln e- x + e x + C
e2 x
.
ex +1
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
(
)
B. F ( x) = e 2 x - e x + C .
A. F ( x) = ln e x + 1 + C .
(
(
)
C. F ( x) = e x + ln e x + 1 + C .
)
D. F ( x) = e x - ln e x + 1 + C .
Hướng dẫn giải:
e2 x
F ( x) =ò x dx
e +1
x
Đặt e + 1 = t Û e x = t - 1Û e x dx = dt
æ 1ö
t -1
F ( x) =ò
dt =òçç1 - ÷÷ dt = t - ln t + C = e x - ln e x + 1 + C
t
è tø
(
Câu 35. Tính ò
e2 x
3
dx bằng:
(e +1)
x
æ x
1 ö÷
1
e
+
+
A. 2 ç
ç
÷ +C .
ex +1 ø
è
C.
1
ex +1 +
æ x
1 ö÷
1
e
+
B. 2 ç
ç
÷ +C .
ex +1 ø
è
+C .
Đặt
ò
+C .
3
(e +1)
x
(t - 1).2tdt = 2òæçç1 - 1 ö÷÷ dt = 2 æççt + 1 ö÷÷ + C = 2 æç
2
e2 x
dx =ò
t
3
(
)
1
2e + 1 - ln 3 +
3 (
A. ln 3 + 2e x + 1 + C .
C.
ex +1
e x + 1 = t Û e x = t 2 - 1Û e x dx = 2tdt
è
Câu 36. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
x
1
ex +1 -
D.
e +1
Hướng dẫn giải:
x
)
)
2e + 1 + C .
x
2
t ø
tø
è
ex
3 + 2e x + 1
1 ö÷
x
e
1
+
+
ç
÷ +C
x
1
e
+
è
ø
.
(
)
B.
2e x + 1 - 3ln 3 + 2e x + 1 + C .
D.
2e + 1 +
x
1
3 + 2e x + 1
12
+C .
Hướng dẫn giải:
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
/>
Đặt 3 + 2e x + 1 = t Û 2e x + 1 = t - 3 Û e x =
t 2 - 6t + 8
Û e x dx = (t - 3) dt
2
æ 3ö
t -3
dt =òçç1 - ÷÷ dt = t - 3ln t + C = 2e x + 1 - 3ln 3 + 2e x + 1 + C
t
è tø
(
òf (x) dx =ò
Câu 37.
F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y =
ln 2 x
ln 2 x
+ C . B. F ( x ) =
+2.
2
2
Hướng dẫn giải:
dx
= dt
Đặt ln x = t Þ
x
A . F ( x) =
F ( x) =òtdt =
)
ln x
ln x
dx bằng:
. Nếu F e2 = 4 thì ò
x
x
C . F ( x) =
( )
ln 2 x
-2.
2
ln 2 x
+ x +C .
2
D . F ( x) =
( )
ln 2 e 2
ln 2 x
t2
+C =
+ C; F e2 = 4 Û
+ C = 4ÛC = 2
2
2
2
( )
æ1 ö
1
và F (e) = 3 . Tính F çç ÷÷ .
x ln x
èe ø
æ1 ö
æ1 ö
C. F çç ÷÷ = ln 3 .
D. F çç ÷÷ = 1 - ln 3 .
èe ø
èe ø
Câu 38. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
æ1 ö 1
æ1 ö
A. F çç ÷÷ = .
B. F çç ÷÷ = 3 .
èe ø 3
èe ø
Hướng dẫn giải:
1
1
F ( x) =ò
dx =ò
d (ln x) = ln ln x + C
x ln x
ln x
.
æ1 ö
F (e) = 3 Û C = 3 Û F ( x) = ln ln x + 3 Û F çç ÷÷ = 3
èe ø
Câu 39. Biết hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
điểm
A.
3 + 2014 .
ln x
x ln 2 x + 3
có đồ thị đi qua
(e; 2016) . Khi đó hàm số F (1) là:
B.
3 + 2016 .
C. 2 3 + 2014 .
D. 2 3 + 2016 .
Hướng dẫn giải:
ln x
F ( x) =ò
dx
x ln 2 x + 3
Đặt
ln 2 x + 3 = t Û ln 2 x = t 2 - 3 Û
ln x
= tdt
x
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
13
/>
tdt
F ( x) =ò =òdt = t + C = ln 2 x + 3 + C
t
F (e) = 2016 Þ C = 2014 Þ F ( x) = ln 2 x + 3 + 2014 Þ F (1) = 3 + 2014
Câu 40. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ln 2 x + 1.
ln x
1
thoả mãn F (1) = .
x
3
Giá trị của F 2 (e) là:
A.
1
.
9
1
.
3
Hướng dẫn giải:
C.
B.
Đặt
ln 2 x + 1 = t Û ln 2 x = t 2 - 1Û
ln 2 x + 1.
D.
8
.
3
ln x
dx = tdt
x
3
ln x
t
dx =òt 2 dt = + C =
x
3
1
8
F (1) = Û C = 0 Þ F 2 (e) =
3
9
ò
8
.
9
(
3
3
) +C
ln 2 x + 1
A. F ( x) = ln x + 1 + C .
1
.
x ln x + x
B. F ( x) = ln x + 1 + C .
C. F ( x) = ln ln x - 1 + C .
D. F ( x) = ln ln x + 1 + C .
Câu 41. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
Hướng dẫn giải:
1
1
òx ln x + x dx =òx ln x + 1 dx
)
(
dx
= dt
x
1
1
òx ln x + x dx =òt dt = ln t + C = ln ln x +1 + C
Đặt ln x + 1 = t Û
3sin x - 2 cos x
dx .
Câu 42. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f ( x) =ò
3cos x + 2sin x
A. ò f ( x)dx = - ln 3cos x + 2sin x + C .
B. ò f ( x)dx = - ln -3cos x + 2sin x + C .
C. ò f ( x)dx = ln 3sin x - 2 cos x + C .
D. ò f ( x)dx = ln 3cos x + 2sin x + C .
Hướng dẫn giải:
Đặt 3cos x + 2sin x = t Û (3sin x - 2 cos x) dx = - dt
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
14
/>
- dt
òf (x) dx =ò t
= - ln t + C = - ln 3cos x + 2sin x + C
Câu 43. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =
A. ln cos 2 x .
B.
ln 2 + sin 2 x
3
.
sin 2 x
thỏa mãn F (0) = 0 là:
sin 2 x + 3
C. ln 1 + sin 2 x .
D. ln 1 +
sin 2 x
.
3
Hướng dẫn giải:
Đặt sin 2 x + 3 = t Û 2sin x cos xdx = dt Û sin 2 xdx = dt
dt
òf (x) dx =ò t = ln t + C = ln sin 2 x + 3 + C; F (0) = 0 Þ C = - ln 3
sin 3 x
Câu 44. Tính nguyên hàm sau: I =ò 4 dx .
cos x
1
1
1
1
+C .
+
+C .
A. I =
B. I =
3
3
3cos x cos x
3cos x cos x
1
1
1
1
+C .
+C .
C. I =
D. I = 3
cos x 3cos x
cos x 3cos3 x
Hướng dẫn giải:
sin 3 x
1 - cos 2 x
I =ò 4 dx =ò
.sin xdx
cos x
cos 4 x
Đặt cos x = t Û sin xdx = - dt
æ1 1 ö
1- t2
1 1
1
1
I = -ò 4 .dt =òçç 2 - 4 ÷÷ dt = - + 3 + C = +
+C
t
t 3t
cos x 3cos3 x
èt t ø
Câu 45. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
1
.
sin x.cos x
1
1
1
A. ò f ( x)dx = - ln sin x - ln 1 - sin 2 x + C . B. ò f ( x)dx = ln sin x - ln 1 - sin 2 x + C .
2
2
2
1
1
C. ò f ( x)dx = ln sin x + ln 1 - sin 2 x + C .
D. ò f ( x)dx = ln sin x - ln 1 - sin 2 x + C .
2
2
Hướng dẫn giải:
dx
cos xdx
cos xdx
òsin x.cos x =òsin x.cos2 x =òsin x 1 - sin 2 x
(
)
Đặt sin x = t Û cos xdx = dt
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
15
/>
òf (x) dx =òt
1 æ 1 2 1 ö
1
dt
÷÷ dt = 2 ln t - ln t - 1 - ln t + 1 + C
= òçç+ 2
2 è t -1 t 1+ t ø
2
1- t
(
(
)
)
1
= ln sin x - ln 1 - sin 2 x + C
2
Câu 46.
F ( x) là nguyên hàm của hàm số y = sin 4 x cos x . F ( x) là hàm số nào sau đây?
cos5 x
cos 4 x
sin 4 x
sin 5 x
+ C . B. F ( x) =
+ C . C. F ( x) =
+ C . D. F ( x) =
+C .
5
4
4
5
Hướng dẫn giải:
Đặt sin x = t Û cos xdx = dt
A. F ( x) =
t5
sin 5 x
+C =
+C
5
5
I =òt 4 dt =
Câu 47. Kết quả của òsin 3 xdx bằng:
A.
co s3 x
- cos x + C .
3
B. -
co s3 x
- cos x + C .
3
co s3 x
D.
- cos x + C .
6
2
C. 3sin x.cos x + C .
Hướng dẫn giải:
(
I =òsin 3 xdx =ò 1 - cos 2 x sin xdx
)
Đặt cos x = t Û sin xdx = - dt
(
I =ò 1 - t 2
1
)(-dt) =ò(t - 1) dt = 3 t
2
3
1
- t + C = cos 2 x - cos x + C
3
Câu 48. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số:
(I) òtan x dx = - ln (cos x) + C .
1
(II) òe3cos x sin x dx = - e3cos x + C .
3
cos x + sin x
(III)ò
dx = 2 sin x - cos x + C .
sin x - cos x
Số mệnh đề đúng là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn giải:
sin x
dx . Đặt cos x = t Þ - sin xdx = dt .
Xét (I): Ta có òtan x dx =ò
cos x
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
16
/>
sin x
dt
dx = -ò = - ln t + C = - ln cos x + C . Do đó (I) đúng.
Khi đó ò
cos x
t
1
Xét (II): Đặt 3cos x = t Þ -3sin xdx = dt Þ sin xdx = - dt .
3
1
1
1
Khi đó òe3cos x sin x dx = - òet dt = - et + C = - e3cos x + C . Do đó (II) đúng.
3
3
3
Xét (III): Đặt
sin x - cos x = t Þ sin x - cos x = t 2 Þ (cos x + sin x) dx = 2tdt .
2tdt
= 2òdt = 2t + C = 2 sin x - cos x + C . Do đó (III) đúng.
Khi đó ò
t
Câu 49.
F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = esin x cos x . Nếu F (p ) = 5 thì òesin x cos xdx
bằng:
A. F ( x) = esin x + 4 .
B. F ( x) = esin x + C .
C. F ( x) = ecos x + 4 .
D. F ( x) = e cosx + C .
Hướng dẫn giải:
Đặt sin x = t Û cos xdx = dt
I =òet dt = et + C = esin x + C ; F (p ) = 5 Û esin p + C = 5 Û1 + C = 5 Û C = 4
e tan x
Câu 50. Tính ò 2 dx bằng:
cos x
tan x
A. e + C .
B. tan x.e tan x + C .
Hướng dẫn giải:
dx
= dt
Đặt tan x = t Û
cos 2 x
C. e - tan x + C .
D. -e tan x + C .
e tan x
òcos2 x dx =òet dt = et + C = etan x + C
17
NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN LOẠI 1 – ĐÁP ÁN |
