Bài 30 ứng dụng tích phân tính diện tích

/>
 

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
TÍNH DIỆN TÍCH 
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt 

 

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định lí
Cho hàm số y = f ( x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b] . Khi đó diện tích S của

y

hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường

y = f(x)

b

thẳng x = a, x = b là S =ò f ( x) dx .
a

O

b

a

x

2. Bài toán 1
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị
b

hàm số y = f ( x) ; trục hoành Ox ( y = 0) và hai đường thẳng x = a; x = b là S =ò f ( x) dx .
a

3. Bài toán 2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f ( x) ; y = g ( x) và hai đường

y
y = f(x)

b

đường thẳng x = a; x = b là S =ò f ( x) - g ( x) dx .
a

y = g(x)
O

a

b

x

Chú ý:
 Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:

‒ Giải phương trình f ( x) = g ( x) tìm nghiệm x1 , x2 ,..., xn Î (a; b) ( x1 < x2 < ... < xn ) .
x

x

b

1

n

‒ Tính S =òa 1 f ( x) - g ( x) dx +òx 2 f ( x) - g ( x) dx + ... +òx f ( x) - g ( x) dx
x1

= òa

b

( f (x) - g (x)) dx + ... +ò ( f (x) - g (x)) dx .
xn

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
 Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x) ,
y = g ( x) .
xn

Khi đó, ta có công thức tính như sau S =ò f ( x) - g ( x) dx .
x1

Trong đó x1 và xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình f ( x) = g ( x) .

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – BÀI TẬP |       

1


/>
 

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a; b] . Diện tích hình thang cong

giới hạn bởi đồ thị của y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
b

b

A. S =ò f ( x) dx .

B. S = -ò f ( x) dx .

a

a

b

b

C. S = -ò f 2 ( x) dx .

D. S =ò f 2 ( x) dx .

a

a

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] , trục

Câu 2.

hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
b

b

A. S =ò f ( x) dx .

B. S =ò f ( x) dx .

a

a

b

b

2

C. S =ò f ( x) dx .

D. S = pò f ( x) dx .

a

a

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f ( x) , y = g ( x) liên tục trên đoạn [a; b]

Câu 3.

, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
b

2

A. S =ò f ( x) - g ( x) dx .
a

b

B. S =òéë f ( x) - g ( x)ùû dx .
a

b

b

C. S =ò f ( x) - g ( x) dx .
a

a

Cho đồ thị hàm số y = f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:

Câu 4.

0

1

A. S =ò f ( x) dx +ò f ( x) dx .
-2

0

-2

1

C. S =ò f ( x) dx +òf ( x) dx .
0

Câu 5.

2

D. S = pò f ( x) - g ( x) dx .

0

1

B. S =ò f ( x) dx .
-2
0

1

-2

0

D. S =ò f ( x) dx -ò f ( x) dx .

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 ,
x = 3 là:

A. 18.

B. 19.

C. 20.

D. 21.

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – BÀI TẬP |       

2

/>
 

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 - 3x 2 , trục hoành và hai đường thẳng

Câu 6.

x = 1, x = 4 là:

A.

53
.
4

B.

51
.
4

C.

49
.
4

D.

25
.
2

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 4 - 3x 2 - 4 , trục hoành và hai đường thẳng

Câu 7.

x = 0, x = 3 là:

A.

142
.
5

B.

143
.
5

C.

144
.
5

D.

141
.
5

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x 2 + 4 , đường thẳng x = 3 , trục tung và trục

Câu 8.

hoành là:
A.

22
.
3

B.

32
.
3

C.

25
.
3

D.

23

.
3

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x3 - 4 x , trục hoành và hai đường thẳng x = -3,

Câu 9.

x = 4 là:

A.

202
.
3

B.

203
.
4

C.

201
.
5

D.

201

.
4

Câu 10. Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x3 + 3x 2 - 2 , trục hoành, trục tung

và đường thẳng x = 2 có dạng
A. a - b = 2 .

B. a - b = 3 .

a
a
(với là phân số tối giản). Khi đó mối liên hệ giữa a và b là:
b
b
C . a - b = -2 .
D . a - b = -3 .

Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
A. 3 + 2 ln 2 .

B. 3 - ln 2 .

C. 3 + ln 2 .

Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 -

và trục tung được tính như sau:
1
æ

1ö
1
÷
4
dx
4 - 2 dx .
S
=
A. S =òç
.
B
.
ò
ç
2 ÷
x
x ø
-1 è
-1
1

1

C. S =ò
-1

x +1
, trục hoành và đường thẳng x = 2 là:
x+2
D. 3 - 2 ln 2 .

1
đường thẳng y = -1 , đường thẳng y = 1
x2

1
.
4- y

Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

1

D. S =ò
-1

-1
dy .
4- y

x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 ,

x = 4 là:

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – BÀI TẬP |       

3


/>

 

A. 4 .

B.

14
.
5

C.

13
.
3

D.

Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

3

14
.
3

x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 ,

x = 8 là:

A.

45
.
2

B.

45
.
4

C.

45
.
7

D.

45
.
8

Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng x = p

, x=

3p
là:

2

A. 1.

B.

1
.
2

C. 2.

D.

3
.
2

Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2 x , trục hoành và hai đường thẳng

x = 0, x =
A. 1.

p
2

là:
B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2 x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 ,
x = 3 là:
6

A.

e 1
+ .
2 2

B.

e6 1
- .
2 2

C.

e6 1
+ .
3 3

D.

e6 1
- .
3 3

Câu 18. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e x + x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1
là:
1
A. S = e + .
2

B. S = e -

1
.
2

C. S = e + 1 .

D. S = e - 1 .

Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e x + 1 , trục hoành và hai đường thẳng x = ln 3 ,

x = ln 8 nhận giá trị nào sau đây:
2
3
A. S = 2 + ln .
B. S = 2 + ln .
3
2

C. S = 3 + ln

3

.
2

D. S = 2 - ln

3
.
2

Câu 20. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e là:
A.

e2 - 1
.
2

B.

e2 + 1
.
2

C.

e2 - 1
.
4

D.

e2 + 1
.
4

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – BÀI TẬP |       

4


/>
 

Câu 21. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ax3 (a > 0) , trục hoành và hai đường thẳng

x = -1, x = k (k > 0) bằng
A. k = 1 .

B. k =

17a
. Tìm k .
4

1
.
4

C. k =

1

.
2

D. k = 2 .
Kim Liên – Hà Nội – Lần 2

Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11x - 6, y = 6 x 2 , x = 0, x = 2 .
A.

4
.
3

B.

5
.
2

C.

8
.
3

D.

18
.
23

Câu 23. Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 + x - 2, y = x + 2 và hai đường thẳng

x = -2; x = 3 . Diện tích của (H ) bằng:
A.

87
.
5

B.

87
.
4

C.

87
.
3

D.

87
.
5

Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số y =

x ³ 0, y £ 1 là
A. 1.

a
. Khi đó b - a bằng:
b
B. 2.

C. 3.

Câu 25. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C ) : y =

x2
trong miền
4

D. 4.
- x2 + 4x - 4
, tiệm cận xiên của (C ) và hai đường
x -1

thẳng x = 0, x = a (a < 0) có diện tích bằng 5 . Khi đó a bằng:
A. 1 - e 5 .

B. 1 + e 5 .

C. 1 + 2e5 .

D. 1 - 2e5 .

Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y = x 2 + 3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và

trục tung bằng:
A.

8
.
3

B.

4
.
3

C. 2 .

D.

7
.
3

Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) : y = x 2 - 2 x + 2 , tiếp tuyến với nó tại điểm M (3;5) và

trục Oy là giá trị nào sau đây?
A. S = 4 .

B. S = 9 .

C. S = 12 .

D. S = 27 .

Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x , y = 4 - x và trục Ox được tính bởi công thức:

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – BÀI TẬP |       

5


/>
 
4

4

2

4

4

0

0

0

2

0

(

2

)

A. ò 2 xdx +ò(4 - x) dx . B. ò 2 xdx +ò(4 - x) dx . C. ò 2 x - 4 + x dx .

(

)

D. ò 4 - x - 2 x dx .
0

Chuyên Lam Sơn – Lần 2
Câu 29. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là:

A.

8
.
3

B.

11

.
3

C.

7
.
3

D.

10
.
3

Câu 30. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 1 + x 2 , trục hoành và đường thẳng x = 1 là:
A. S =

1
.
3

B. S =

2 2 -1
.
3

C. S =

2 2 +1
.
3

D. S = 2

(

)

2 -1 .

Câu 31. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 3 + 2 x và y = 3x 2 được tính theo công

thức:
2

(

1

A. S =ò x3 - 3 x 2 + 2 x dx .
0

2

)

(

0

1

C. S =ò - x3 + 3x 2 - 2 x dx .
0

(

2

(

)

(

)

B. S =ò x3 - 3x 2 + 2 x dx -ò x3 - 3 x 2 + 2 x dx .

(

)

1

2

D. S =ò x3 - 3x 2 + 2 x dx +ò x3 - 3 x 2 + 2 x dx .

)

0

)

1

Câu 32. Kết quả của việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) : y = x 4 - 2 x 2 + 1 và trục Ox gần nhất

với giá trị nào sau đây?
A. S =

1
.
2

B. S = 1 .

C. S =

3
.
2

D. S = 2 .

Câu 33. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x 2 - 4 và y = x - 4 .
A. S =

43
.
6

B. S =

161
.
6

C. S =

1
.
6

D. S =

5
.
6

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – BÀI TẬP |       

6


/>
 

Chuyên Chu Văn An – Lần 2
Câu 34. Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 3 , y = 2 x - x 2 , một học sinh tính

theo các bước sau:
éx = 0
ê
Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm: x = 2 x - x Û êx = 1 .
ê
êëx = -2
3

1

(

2

Bước 2: S =ò x3 - 2 x - x 2 dx .
-2

1

(

)

Bước 1: S = ò x3 + x 2 - 2 x dx =
-2

)

9
(dvdt) .
4

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bước 3.
B. Đúng.
C. Bước 2.

D. Bước 1.
Chuyên Trần Phú – Lần 2

Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3 , y = 4 x là:
A. 8.

B. 9.

C. 12.

D. 13.

Câu 36. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = 2 - x 2 và đường thẳng y = - x là:
A.

7
.
2

B.

9
.
4

C. 3 .

D.

9
.
2

Câu 37. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2 x3 - 3x 2 + 1 và y = x3 - 4 x 2 + 2 x + 1 là:
A.

37
.
13

B.

37
.
12

D. 4 .

C. 3 .

Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2 - 2 y + x = 0, x + y = 0 là:
A.

9
.
4

B.

9
.
2

C.

7
.
2

D.

11
.
2

Câu 39. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình x - y 2 = 0 và x + 2 y 2 - 12 = 0

bằng:
A. S = 15 .

B. S = 25 .

C. S = 30 .

D. S = 32 .

Câu 40. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 + 2 và y = 3 x là:
A. S = 2 .

B. S = 3 .

C. S =

1
.
2

D. S =

1
.
6

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – BÀI TẬP |       

7


/>

 

Câu 41. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 - x và đồ thị hàm số y = x - x 2 .
A. S =

37
.
12

B. S =

9
.
4

C. S =

81
.
12

D. S = 13 .
Đề minh họa 2017 – Lần 1

Câu 42. Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 - 1 , y = x + 5 . Diện tích của (H ) bằng:
A.

71
.
3

B.

73
.
3

C.

70
.
3

D.

74
.
3

Câu 43. Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3 . Diện tích của (H )

bằng:
A.

108
.
5

B.

109
.
5

C.

109
.
6

Câu 44. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y =
A.

1
.
12

B.

1
.
13

C.

D.

119
.
6

x và y =

1
.
14

D.

3

x là:

1
.
15

Câu 45. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và x - 2 y = 0 bằng với diện tích hình nào sau

đây:
A. Diện tích hình vuông có cạnh bằng 2.
B. Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt 5 và 3.
C. Diện tích hình tròn có bán kính bằng 3.
D. Diện tích toàn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng

24 3
.
3

(

)

Câu 46. Gọi (H ) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 1 + e x x, y = (1 + e) x . Diện tích của

(H ) bằng:
A.

e -1
.
2

B.

e-2
.
2

C.

e+2
.
2

Câu 47. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 , y =
A. S = 234 .

B. S = 27 ln 3 .

C. S =

26
.
3

D.

e +1
.
2

27
x2
,y=
.
27
x
26
.
3
Sở GD–ĐT Hải Dương

D. S = 27 ln 3 -

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – BÀI TẬP |       

8


/>

 

Câu 48. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x 2 ; y =
A. 27 ln 2 .

B. 27 ln 3 .

C. 28ln 3 .

1 2
27
x ;y=
bằng:
27
x
D. 29 ln 3 .

Câu 49. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y = 8 x, y = x và

a
. Khi đó a + b bằng:
b
B. 66.
C. 67.

đồ thị hàm số y = x3 là
A. 65.

D. 68.

10
a
ïì- x, neu x £ 1
và y = x - x 2 là . Khi
Câu 50. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = í
3
b
ïî x - 2, neu x>1
đó a + 2b bằng:
A. 15.
B. 16.
C. 17.
D. 18.
C. ĐÁP ÁN
1 2
A B

3
C

4
D

5
C

6
B

7

C

8
D

9
D

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B D C D B A A B B B D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
D B C A A A B B D B B B C A A D B B D D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A B C A D B B B C C

9

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – BÀI TẬP |