Bài 45 mặt cầu ngoại tiếp

/>
 

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP 
Giáo viên: Vũ Văn Ngọc, Nguyễn Tiến Đạt 
 

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện (H ) gọi là mặt cầu

S

ngoại tiếp hình đa diện (H ) và khi đó (H ) được gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó là một
đa giác nội tiếp một đường tròn.
D
Mọi tứ diện đều có mặt cầu ngoại tiếp.
O
2. Mặt cầu nội tiếp hình chóp
 Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với
với tất các mặt của hình chóp.
C
 Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp.
3. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Gọi R là bán kính của mặt cầu thì:
 Diện tích mặt cầu: S = 4p R 2 .
4
 Thể tích khối cầu: V = p R3 .
3

4. Một số phương pháp tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
SC
ABC = 90°, khi đó R =
và tâm là trung điểm SC .
Loại 1: Cạnh bên SA vuông góc đáy và 
2

A

B

S

S

I

I
A

C

A

D

B

B

C

Loại 2: Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ cần tìm được
bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là RD , khi đó ta có công thức:

SA2
.
4
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là RD , ta chú ý công thức Heron:
abc
RD =
trong đó p là nửa chu vi.
4 p ( p - a)( p - b)( p - c)
R 2 = RD2 +

Đặc biệt: Nếu DABC vuông tại A thì: R 2 =

1
AB 2 + AC 2 + AS 2 .
4

(

)

S

K
I
C

A

1

O
B

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |       


/>
 

Loại 3: Chóp có các cạnh bên bằng nhau: SA = SB = SC = SD . Khi đó bán kính
SA2
mặt cầu ngoại tiếp: R =
.
2SO
Đặc biệt:
 ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là giao hai đường chéo.
 D ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền.
 D ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm.
Loại 4: Hai mặt phẳng (SAB) và ( ABC ) vuông góc với nhau và có giao tuyến

S

A

D

O
B

C

S

AB . Khi đó ta gọi R1 , R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác
SAB và ABC .
AB 2
.
Ta có công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R 2 = R12 + R22 4

O

I

C

A
J

H
B

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có AB ^ BC , BC ^ CD, CD ^ AB và

A.

AB = a, BC = b, CD = c là:
1
a 2 + b2 + c 2 .
B.
a 2 + b2 + c2 .
2

Câu 2.

C. abc .

D.

1 2 2 2
a +b +c .
2

(

)

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = 1cm, BC = 3cm, SA = 4cm ,
SA ^ ( ABC ) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC bằng:

A. 2 5cm .
Câu 3.

A.

5cm .

C.

2cm .

D.

19
cm .
2

Cho tứ diện S . ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt đáy. Biết
AB = 3a, BC = 4a, SA = 5a . Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC có bán kính bằng:

5a 2
.
2

Câu 4.

B.

B.

5a 2
.
3

C.

5a 3
.
2

D.

5a 3
.
3

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC = a . Cạnh bên SA vuông
góc với đáy ( ABC) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC .
Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là:

A.

pa

3

3
Câu 5.

2

.

B. p a 3 2 .

C.

p a3

.

D.

p a3

.
6
2
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Gọi O là trọng tâm tứ diện đó và (S ) là mặt cầu tâm O bán kính

2

a 2
. Mặt phẳng (BCD) cắt mặt cầu (S ) theo đường tròn có bán kính bằng:
4
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |       


/>
 

A.

a 3
.

3

B.

Câu 6.
A.

a 3
.
2

C.

a 3
.
6

D.

a 3
.
4

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng:

p a3 6
2

B.

.

p a3 6
4

.

C.

p a3 6
6

.

D.

p a3 6
8

.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Gọi AH là đường cao của tứ diện và S là trung điểm đoạn thẳng
AH . Mặt cầu đi qua bốn điểm S , B, C, D có bán kính bằng:

Câu 7.

A. R = a 3 .

B. R =

a 3
.
2

C. R =

a 6
.
4

D. R =

a 6
.
3

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Một mặt cầu tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC, AD lần lượt

Câu 8.

tại các điểm B, C, D . Bán kính mặt cầu đó bằng:

A. R =

a 3
.
2

a 2
.

3

C. R = a 2 .

D. R =

a 2
.
2

B.

a 6
.
3

C.

a 6
.
2

D.

Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số

A.

a 2

.
2

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a . Cạnh bên SA = a 2 , hình
chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC . Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp khối chóp S . ABC là:

Câu 9.

A.

B. R =

7
.
12

B.

7
.
24

C.

7
.
6

a 2

.
3

a 21
. Gọi h là chiều cao của
6

R
bằng:
h
1
D. .
2

Câu 11. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
mặt phẳng ( ABC) là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC)
bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt
phẳng (SAB) . Đẳng thức nào sau đây sai?

(

)

A. R = d G, (SAB) .

B. 3 13R = 2 SH .

C.

R2

SDABC

=

4 3
.
39

D.

R
= 13 .
a

3

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |       


/>
 

Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ^ ( ABCD) . Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S . ABCD là:
A. Trung điểm cạnh SC .
C. Giao điểm của hai đường chéo AC và BD .

B. Trung điểm cạnh SD .
D. Trọng tâm tam giác SAC .

Câu 13. Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:
A.

a 21
.
6

B.

Câu 14. Cho hình chóp

a 5
.
2
S . ABCD

C.

có đáy

a 30
.
6

ABCD

D.

là tứ giác có

a 30
.
3

AB = a, BC = a 3, CD = a 2,

AD = a 2, AC = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a 3 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp là:
A. R =

3a
.
2

B. R =

a
.
2

C. R = 2 a .

D. R = a .

Câu 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy
ABCD và SA = a . Gọi E là trung điểm của CD . Tính diện tích mặt cầu đi qua bốn điểm S , A, B, E .
A. S =

p a2

3

.

B. S =

41p a 2
.
16

C. S =

41p a 2
.
4

D. S =

2p a 2
.
3

Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều, AB = BC = CD = a và AD = 2a . Cạnh
bên SA = 2a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD
là:
a
3a
A. R = .
B. R = a .
C. R = 2 a .

D. R =
.
2
2

Câu 17. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a 2 . Từ B và C dựng các đoạn BD, CE vuông góc
với mặt phẳng ( ABC ) ở về một phía của ( ABC ) sao cho BD = CE = a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp A.BCED là:

A. S = 2p a 2 .

B. S = p a 2 .

C. S = 3p a 2 .

D. S = 4p a 2 .

Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a , AB = BC = CD = a .
Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD .
R
Tỉ số
nhận giá trị nào sau đây?
a
A. a 2 .

B. a .

C. 1 .

D.

4

2.

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |       


/>
 

Câu 19. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a , AD = a . Cạnh bên SA vuông
góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 450 . Gọi N là trung điểm SA , h là chiều cao của khối
chóp S . ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N . ABC . Biểu thức liên hệ giữa R và
h là:

A. 4 R = 5h .

B.

5 R = 4h .

C. R =

4
5 5

h.

D. R =

5 5
h.
4

Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Đường thẳng SA = a 2 vuông
góc với đáy ( ABCD) . Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng (a ) đi qua hai điểm A và M đồng
thời song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại E , F . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm

S , A, E, M , F nhận giá trị nào sau đây?
A. a 2 .

B. a .

C.

a 2
.
2

D.

a
.
2

Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc đáy
( ABCD). Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
HBCD có giá trị nào sau đây?

A. a 2 .

B. a .

C.

a 2
.
2

D.

a
.
2

Câu 22. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA = a 6 và vuông góc với
đáy ( ABCD) . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD ta được:
2
A. a 2 .

B. 8p a 2 .

C. 2a 2 .

D. 2p a 2 .

Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác vuông tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là:
A.

2p a3
.
3

B.

11 11p a 3
.
162

C.

p a3
6

.

D.

p a3
3

.

Câu 24. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a . Diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là:
2
A. p a .
B. 2p a 2 .

C. 4p a 2 .
D. 6p a 2 .
Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 .
Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD là:
3

3

A.

4p a
.
3

B.

2p a 6
.
9

3

C.

8p a 6
.
9

5

3

D.

8p a 6
.
27

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |       


/>
 

Câu 26. Diện tích của hình cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a là:
7
7
7
7
A. p a 2 .
B.
C. p a 2 .
D.
p a2 .
p a2 .
9
12
3
36
Câu 27. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ' có AB = a , góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BC ) và ( ABC )

bằng 60° . Gọi G là trọng tâm tam giác A ' BC . Diện tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
bằng:
7
49 2
49
49
A. p a 2 .
B.
C.
D.
pa .
p a2 .
p a2 .
6
36
144
108

Câu 28. Cho lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = a 3 , góc 
ACB bằng

300 . Góc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A ' ABC bằng:

A.

3a
.
4

B.

a 21
.
4

C.

a 21
.
2

Câu 29. Thể tích của khối cầu nội tiếp khối lập phương có cạnh bằng a là:
1
2
2
A. p a 3 .
B. p a 3 .
C. p a 3 .
2
9
3

D.

a 21
.
8

D.

1 3
pa .
6

Câu 30. Một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh a thì diện tích mặt cầu đó bằng:
A. p a 2 .

B. 2p a 2 .

C. 4p a 2 .

D. 2a 2 .

Câu 31. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2 cm , 4 cm , 6 cm . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ
nhật bằng:
A. R = 2 14cm .

B. R = 14cm .

C. R = 28cm .

D. R = 14cm .

Câu 32. Một hình trụ có bán kính bằng 1, thiết diện qua trục là hình vuông. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình
trụ là:
A. 6p 3 .

B. 3p 3 .

C.

4p 2
.
3

D.

8p 2
.
3

Câu 33. Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón
bằng:
A.

4p a3 3
.
27

B.

p a3 3
2

.

C.

4p a 3

.
3

D.

p a3 3
27

.
6

Câu 34. Người ta xếp 7 quả bóng bàn có cùng đường kính vào một cái hộp hình trụ sao cho tất cả các quả bóng
bàn đều tiếp xúc với mặt đáy hình trụ, quả bóng nằm giữa tiếp xúc với 6 quả bóng xung quanh và mỗi
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |       


/>
 

quả bóng xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của hộp hình trụ. Biết diện tích đáy hình trụ là

(

3600p mm2 . Thể tích của mỗi quả bóng bàn là:
A.

256000p
mm3 .
3

( )

)

B.

32000p
mm3 .
3

( )

C.

64000p
mm3 .
3

( )

D.

128000p
mm3 .
3

( )

Câu 35. Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng
hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng 3 lần đường kính quả banh. Gọi S1 là tổng

diện tích của ba quả banh, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích

A. 1.

B. 2.

C. 3.

S1
là:
S2

D. 5.

Câu 36. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC biết rằng SA ^ ( ABC) , tam giác SBC vuông cân
tại B có diện tích bằng 2a 2 ?

A. R = a 2 .

B . R = 2a 2 .

C. R = a .

D. R = 2 a .

Câu 37. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD có SA ^ ( ABCD) trong đó ABCD là hình chữ
1
.
10
13p

C. S =
.
2

nhật với AB = 2 AD = 2a đồng thời cos
BSD =

A. S = 4p .

B. S = 6p .

D. S = 8p .

Câu 38. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC biết rằng SA ^ ( ABC) , tam giác ABC vuông tại
A và tam giác SBC đều cạnh a .

A. R =

a 2
.
2

B. R =

a 3
.
2

C. R =

a 6
.
4

D. R =

a
.
2

Câu 39. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC biết rằng SA ^ ( ABC) , tam giác ABC đều cạnh
a đồng thời (SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc 60° .

A. S =

43p
.
4

B. S =

43p
.
24

C. S =

43p
.
16

D. S =

43p
.
12

Câu 40. Tính bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác đều S . ABC có cạnh bên bằng 2a và góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng 60° .
A. R =

2a 3
.
3

B. R =

a 3
.
3

C. R =

a
.
3

D. R = a .
7

Câu 41. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác đều S . ABCD có thể tích bằng 2 3 và diện tích
xung quanh đạt giá trị nhỏ nhất.
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |       


/>
 

A. R = 2 3 .

B. R = 3 .

C. R = 2 .

D. R =

2 3
.
3

Câu 42. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC biết rằng SA = SB = SC = a 3 , tam giác ABC
vuông tại B có AC = 2a .
A. R =

3a 3
.
5

B. R = a .

C. R =

3a 2
.
4

D. R = a 2 .

Câu 43. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB
nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy đồng thời SA = a 3, SB = a .

A. R =

a 2
.
4

B. R =

a 3
.
2

C. R =

a 3
.
3

D. R = a 2 .

Câu 44. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy biết rằng thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. R =

a 21
.
7

B. R =

a 3
.
2

C. R =

3a 3
.
7

D. R =

4a 3 3
.
3

a 21
.

3

Câu 45. Chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ^ ( ABCD) , góc giữa (SBD) và ( ABCD) bằng
60° . Gọi H là hình chiếu của A trên SB . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp H . ABCD .

A. R =

a 2
.
4

B. R =

a 3
.
2

C. R =

a 3
.
3

D. R =

a 2
.
2

Câu 46. Chóp S . ABC có SA ^ ( ABC) , các tam giác ABC vuông tại B và tam giác SAC vuông cân tại A .

Mặt phẳng (P) đi qua A , vuông góc với SC và cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Xác định tỷ số thể
A. 1 .

tích của hai khối cầu ngoại tiếp tứ diện SAMN và khối chóp A.BMNC .
2
1
1
B. .
C. .
D. .
3
2
8

Câu 47. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC biết rằng SA ^ ( ABC) , tam giác ABC vuông tại

BAC = 30° , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC) bằng 60° .
B , AB = a,
A. V =

7p a 3
.
6

B. V =

4p a3 3
.
3

C. V =

13p a 3 39
.
54

D. V =

16p a3 5
.
54

8

Câu 48. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đồng thời tam
giác SAB vuông cân và tam giác SCD đều.
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |       


/>
 

A. R =

a 21
.
3

B. R =

a 21
.
6

C. R =

a 21
.
7

D. R =

a 7
.
3

Câu 49. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC biết rằng SA ^ ( ABC) , tam giác ABC vuông tại
A có AB = 3a, AC = 4a và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là 2a .

147p a 2
A. S =
.
4

155p a 2
B. S =
.
6

161p a 2
C. S =
.
5

110p a 2
D. S =
.
3

Câu 50. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC biết rằng SA = SB = SC = 2a , tam giác ABC có

AB = a, AC = 2a , trung tuyến AM =
A. R =

2a 3
.
3

B. R =

a 3
.
3

a 7
.
2
C. R =

a
.
3

D. R = a .

Câu 51. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều ABCD có độ dài các cạnh như sau: AB = CD = a,

BC = AD = b, AC = BD = c .
A. R =

ab + bc + ca
.
2

B. R =

a 2 + b2 + c 2
.
2 2

C. R =

a 2 + b2 + c2
.
2

a2 + b2 + c2
.
4

D. R =

Câu 52. Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AB = 2 R . Gọi M là một điểm di động trên

đường tròn. Kẻ MH vuông góc với AB tại H với AH = x (0 < x < 2 R) . Dựng đường thẳng vuông
góc với (P) tại M . Trên đường thẳng đó lấy điểm S sao cho MS = MH . Xác định giá trị lớn nhất
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM ?
A.

R 5
.
2

B.

R 3
.
2

D. R 2 .

C. R .

Câu 53. Chóp S . ABCD có SA vuông góc mặt phẳng đáy. Đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a và
AB = a . Góc giữa hai mặt (SBD) và ( ABCD) là 45° . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

A. R =

5a

.
4

B. R =

3a
.
2

C. R =

a
.
4

D. R =

7a
.
4

BAC = 120° ,
(SAB) , (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC cân có 
AB = AC = 2a , góc giữa (SBC ) và mặt đáy là 60° . Xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp.

Câu 54. Chóp S . ABC có hai mặt

3

A. V = 3p a 18 .

19p a 3 19
B. V =
.
6

10p a 3 20
C. V =
.
3

13p a 3 13
D. V =
.
6

9

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |       


/>
 

Câu 55. Tứ diện đều ABCD có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là
A. V =

a3 2
.
6

B. V =

a3 3
.
12

C. V =

a 6
. Xác định thể tích tứ diện.
4

a3 2
.
12

D. V =

a3 3
.
24

Câu 56. Lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông cân cạnh a , khoảng cách giữa AB và B ' C '
là 2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
A. R =

a 6
.
3

B. R =

a 6
.
2

C. R =

a 3
.
2

D. R =

a 3
.
4

   
Câu 57. Cho tứ diện ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB + MC + MD = a là một mặt cầu có
bán kính là:
A. R = a .

C. R =

B. R = 2 a .

a
.

4

D. R =

a
.
2

Câu 58. Hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có AB = AD = a, CD = 2a . Gọi t ' Dt là đường thẳng

vuông góc với ( ABCD) tại D . Trên đường thẳng đó lấy M sao cho MD = 2a . Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện MBCD .
A. S = 8p a 2 .

B. S = 4p a 2 .

C. S = 6p a 2 .

D. S = 12p a 2 .

Câu 59. Cho mặt cầu (S ) tâm O bán kính R . Gọi V là thể tích khối chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu đã

cho. Giá trị lớn nhất của V là?
A. V =

64 R 3
.
81

C. ĐÁP ÁN

1 2
B A

B. V =

3
A

4
A

5
C

16 R3
.
81

6
D

7
C

C. V =

8
D

9

B

128R 3
.
81

D. V =

R3
.
81

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C D A A C B C C D A C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C B A B D C B B D B B D A B A A B C D A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
B C D D D A C B C A B A A B C B C A A
10

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |       


/>
 

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – ĐÁP ÁN 
Giáo viên: Vũ Văn Ngọc, Nguyễn Tiến Đạt 
 

 

Câu 1.

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có AB ^ BC , BC ^ CD, CD ^ AB và

AB = a, BC = b, CD = c là:
A.

a 2 + b2 + c 2 .

B.

1
a 2 + b2 + c2 .
2

C. abc .

D.

Hướng dẫn giải:
CD ^ BC üï
ý Þ CD ^ ( ABC )
CD ^ AB ïþ
AB ^ BC Þ DABC vuông tại B
Gọi M là trung điểm của AC Þ M là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC
Gọi N là trung điểm của CD
Þ MN  CD üï
ý Þ MN ^ ( ABC ) Þ NA = NB = NC = ND

CD ^ ( ABC )ïþ
Vậy N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD .
1
1
1
1 2 2 2
Þ R = ND = AD =
CD 2 + AC 2 =
CD 2 + AB 2 + BC 2 =
a +b +c
2
2
2
2

(

Câu 2.

1 2 2 2
a +b +c .
2

(

)

D

N

C

M

A

B

)

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = 1cm, BC = 3cm, SA = 4cm ,
SA ^ ( ABC ) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC bằng:

A. 2 5cm .

B.

5cm .

Hướng dẫn giải:
Gọi N là trung điểm của SC
Þ N là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
1
1
Þ R = SC =
AB 2 + BC 2 + SA2 = 2 5 (cm)
2
2

C.

2cm .

D.

19
cm .
2

S

N

A

M

C

B

Câu 3.

Cho tứ diện S . ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt đáy. Biết
AB = 3a, BC = 4a, SA = 5a . Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC có bán kính bằng:

1

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       

/>
 

5a 2
5a 2
5a 3
.
.
.
B.
C.
2
3
2
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của AC Þ M là tâm đường tròn ngoại tiếp
DABC .
Gọi N là trung điểm của SC .
Þ MN  SA üï
ý Þ MN ^ ( ABC ) Þ NA = NB = NC = NS
SA ^ ( ABC )ïþ
Vậy N là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S . ABC

A.

Þ R = ND =

Câu 4.

D.

5a 3
.
3

S

N

A

1
1
1
5a 2
CD =
DA2 + AC 2 =
DA2 + AB 2 + BC 2 =
2
2
2
2

(

C

M

)

B

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC = a . Cạnh bên SA vuông
góc với đáy ( ABC) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC .
Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là:

A.

p a3 2
3

.

B. p a 3 2 .

C.

p a3
6

D.

.

p a3
2

.

Hướng dẫn giải:

ABC = 900 và 
AKC = 900 (1)
Theo giả thiết, ta có 
ìï AH ^ SB
Do í
ïî BC ^ AH

(BC ^ (SAB))

S

Þ AH ^ HC. (2)

K

Từ (1) và (2) , suy ra ba điểm B, H , K cùng nhìn xuống AC
dưới một góc 900 nên hình chóp A.HKCB nội tiếp mặt cầu tâm

AC AB 2 a 2
I là trung điểm AC , bán kính R =
=
=
.
2
2
2

4
Vậy thể tích khối cầu V = p R 3 =
3

Câu 5.

2p a 3
(đvtt).
3

H
A

C

I

B

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Gọi O là trọng tâm tứ diện đó và (S ) là mặt cầu tâm O bán kính

a 2
. Mặt phẳng (BCD) cắt mặt cầu (S ) theo đường tròn có bán kính bằng:
4
A.

a 3
.
3

B.
Hướng dẫn giải:

a 3
.
2

C.

a 3
.
6

D.

a 3
.
4

2

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>
 

AN AO
=
AG AB

AB 2
a 6
Þ AO =
=
2
2
4
2 AB - BG

A

DABG ( g .g ) Þ

DAON

A

N
D

B

a 6
a 3
d O ;(BCD) = OG = AG - AO =
Þ r = R 2 - d 2O ;(BCD) =
(
(
)
)

12
6

O

G

M
B

Câu 6.
A.

pa

3

2

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng:
6

.

B.

p a3 6
4

.

C.

Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của CD , N là trung điểm của
AB .
Gọi O là giao điểm của trung trực của AB và AG
Þ OA = OB
DBCD đều
Þ G là tâm đường tròn ngoại tiếp DBCD

p a3 6
6

D.

.

p a3 6
8

.

A

A

N
D

B

SG ^ (BCD) , O Î SG Þ OB = OC = OD

O

G

M
B

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp
1
AB
AN
AB 2
a 6
2
Þ R = OA =
=
=
=
2
2

AG
4
cos BAG
2 AB - BG
AB

3
4
pa 6
Þ V = p R3 =
3
8

Câu 7.

M

G

C

M

G

C

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Gọi AH là đường cao của tứ diện và S là trung điểm đoạn thẳng
AH . Mặt cầu đi qua bốn điểm S , B, C, D có bán kính bằng:

A. R = a 3 .

B. R =

a 3
.

2

C. R =

a 6
.
4

Hướng dẫn giải:
H là trọng tâm tam giác BCD . Gọi I là giao điểm của AH
và trung trực của SB .
Vậy I là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm S , B, C , D .

D. R =

a 6
.
3

A

A

S

S
N

3

D

B
H

M
C

H
M

B
I

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>
 

DSBH

DSIN ( g.g ) Þ

SB SH
=
SI SN

ö2 æ1
ö 2 ö÷

1 æçæ 2
SM
+
AH
ç
÷
ç
÷÷ ÷
ç
÷ ç
ø è2
ø ø a 6
SB.SN 2 çèè 3
Þ R = SI =
=
=
1
SH
4
AH
2
Câu 8.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Một mặt cầu tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC, AD lần lượt
tại các điểm B, C, D . Bán kính mặt cầu đó bằng:

a 3
a 2
B. R =
C. R = a 2 .

.
.
2
3
Hướng dẫn giải:
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC . Qua B , kẻ đường thẳng vuông
góc với AB , cắt AH tại O .
Þ OA ^ (BCD) Þ OB = OC = OD

A. R =

D. R =

a 2
.
2

A

A

Þ DAOB = DAOC = DAOD (c.c.c)

Þ
ABO = 
ACO = 
ADO = 90°Þ AB ^ BO, AC ^ CO, AD ^ DO

B

D

H

Vậy O là tâm mặt cầu tiếp xúc với AB, AC, AD tại B, C, D .

M

DABO vuông tại B , đường cao BH

C

1
1
1
a 2
Þ
=
+
Þ R = BO =
2
2
2
BH
AB BO
2

Câu 9.

A.

a 2
.
2

H

B

O

O

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a . Cạnh bên SA = a 2 , hình
chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC . Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp khối chóp S . ABC là:

B.

a 6
.
3

C.

a 6
.
2

D.

a 2
.
3

Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm AC , suy ra SM ^ ( ABC) Þ SM ^ AC.

S

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên DSAC cân tại S .
Ta có AC = AB 2 + BC 2 = a 2 , suy ra tam giác SAC đều.
Gọi G là trọng tâm DSAC , suy ra GS = GA = GC (1)

G

Tam giác ABC vuông tại B , có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

A

C

M

4

Lại có SM ^ ( ABC) nên SM là trục của tam giác ABC .
Mà G thuộc SM nên suy ra GA = GB = GC (2) .

B

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>
 

Từ (1) và (2) , suy ra GS = GA = GB = GC hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp
khối chóp S . ABC .
Bán kính mặt cầu R = GS =

2
a 6
.
SM =
3
3

Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số

A.

7
.
12

B.

7
.
24

C.

7
.
6

a 21
. Gọi h là chiều cao
6

R
bằng:
h
1
D. .
2

Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm DABC , suy ra SO ^ ( ABC) và AO =

a 3
.
3

S

a
Trong SOA , ta có h = SO = SA2 - AO 2 = .
2
Trong mặt phẳng SOA , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I
Þ I Î d Þ IS = IA, I Î SO Þ IA = IB = IC

M
I

A

Do đó IA = IB = IC = IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC .
Gọi M là trung điểm SA , ta có DSMI DSOA nên

O
B

R 7
SM .SA SA2 7 a
=
=
. Vậy = .
h 6
SO
2 SO 12

R = SI =

C

Câu 11. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
mặt phẳng ( ABC) là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC)
bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt
phẳng (SAB) . Đẳng thức nào sau đây sai?

(

)

A. R = d G, (SAB) .

B. 3 13R = 2SH .

C.

R2
SDABC

=

4 3
.
39

D.

R
= 13 .
a

Hướng dẫn giải:

5

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>
 

Ta có 600 = SA, ( ABC ) = (SA, HA) = 
SAH .

(

)

Tam giác ABC đều cạnh a nên AH =

S

a 3
.
2

3a
.
2
Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu

SAH =
Trong tam giác vuông SHA , ta có SH = AH .tan

(

B

C

H

)

R = d G, (SAB) .

E
M

1
2
Ta có d G, (SAB) = d C , (SAB) = d H , (SAB)
3
3
Gọi M , E lần lượt là trung điểm AB và MB .

(

G

K

)

(

)

(

)

A

ìCM ^ AB
ì HE ^ AB
ï
ï
Suy ra í
a 3 và í
1
a 3.
ïCM =
ï HE = CM =
ïî
ïî
2
2
4
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra HK ^ SE . (1)
ìï HE ^ AB

Ta có í
Þ AB ^ (SHE ) Þ AB ^ HK . (2)
ïî AB ^ SH

(

)

Từ (1) và (2) , suy ra HK ^ (SAB) nên d H , (SAB) = HK .
Trong tam giác vuông SHE , ta có HK =
Vậy R =

SH .HE
2

SH + HE

2

=

3a
.
2 13

2
a
.
HK =
3

13

Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ^ ( ABCD) . Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S . ABCD là:
A. Trung điểm cạnh SC .
C. Giao điểm của hai đường chéo AC và BD .

B. Trung điểm cạnh SD .
D. Trọng tâm tam giác SAC .

Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD , I là trung điểm
của SC .

S
S

Þ OI  SA Þ OI ^ ( ABCD) Þ IA = IB = IC = ID
DSAC vuông tại A , I là trung điểm của SC
Þ IA = IC = IS
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD
.

I
A
D
A

O
B

O

C

6

C

Câu 13. Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:
MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>
 

a 21
a 5
B.
.
.
6
2
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của AB Þ SM ^ ( ABCD)

A.

C.

a 30
.
6

S

G

A

I

D

M

N

O

B

Þ OI / / SM Þ OI ^ ( ABCD)

a 30
.
3

S

Gọi O là giao điểm của AC và BD , N là trung điểm
của CD , G là trọng tâm tam giác SAB , I là giao điểm
của đường thẳng qua O vuông góc với MN và đường
thẳng qua G vuông góc với SM (trong mặt phẳng

(SMN ) )

D.

M

O

N

C

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD

R = SI = SG 2 + GI 2 =

a 21
6

Câu 14. Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

ABCD

là tứ giác có

AB = a, BC = a 3, CD = a 2,

AD = a 2, AC = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a 3 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp là:
a
3a
A. R =
.
B. R = .
C. R = 2 a .
D. R = a .
2
2
Hướng dẫn giải:
S
ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AC .
Gọi M là trung điểm của AC , O là trung điểm của SC

Þ MO ^ ( ABCD)
O chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chóp S . ABCD
1
1
Þ R = SO = SC =
SA2 + AC 2 = 2a
2

2

O
D

A
M
B

C

Câu 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy
ABCD và SA = a . Gọi E là trung điểm của CD . Tính diện tích mặt cầu đi qua bốn điểm S , A, B, E

.
A. S =

p a2
3

.

B. S =

Hướng dẫn giải:

41p a 2
.
16

C. S =

41p a 2
.
4

D. S =

2p a 2
.
3
7

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>
 
S
S

N

E

I

P
G

A
D

M
E

G
B

A

G

A

B

M

C

Gọi G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABE . Qua G kẻ đường thẳng vuông góc với AG , cắt trung trực của
SA tại I . Vậy I là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm S , A, B, E .

DEPG

1
EM 2 + AM 2
EP EG
EP.EA 2

5a
3a
DEMA ( g.g ) Þ
=
Þ EG =
=
=
Þ MG =
EM EA
EM
EM
8
8

(

)

æ SA ö 2 a 41
5a
41p a 2
2
2
2
2
ç
÷
Þ AG = AM + MG =
Þ R = AI = AG + IG = AG + ç ÷ =
Þ S = 4p R =

8
8
16
è2 ø
2

2

Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều, AB = BC = CD = a và AD = 2 a . Cạnh

bên SA = 2a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD
là:
a
3a
A. R = .
B. R = a .
C. R = 2 a .
D. R =
.
2
2
Hướng dẫn giải:
S
ABCD là hình thang cân nội tiếp đường tròn đường kính AD .
Gọi O là trung điểm của AD , I là trung điểm của SD

Þ OI ^ ( ABCD)
I chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chóp S . ABCD
1
1

R = SI = SD =
SA2 + AD 2 = 2a
2
2

I

D

A

O

B

C

Câu 17. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a 2 . Từ B và C dựng các đoạn BD, CE vuông góc

với mặt phẳng ( ABC) ở về một phía của ( ABC) sao cho BD = CE = a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp A.BCED là:
A. S = 2p a2 .
B. S = p a 2 .
Hướng dẫn giải:

C. S = 3p a2 .

D. S = 4p a2 .

8

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>
 

Gọi O là giao điểm của BE và CD .
Tứ giác BCED là hình chữ nhật Þ OB = OC = OD = OE
Gọi M là trung điểm của BC . DABC vuông cân tại A nên M là tâm
đường tròn ngoại tiếp DABC
Þ AM ^ (BCED) Þ AM ^ MO üï
ý Þ MO ^ ( ABC ) Þ OA = OB = OC
MO ^ BC
þï
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCED
Þ R = OB =

A

B
D

M
O

C

E

1
1
a 3
Þ S = 4p R 2 = 3p a 2
BE =
BC 2 + CE 2 =
2
2
2

Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a , AB = BC = CD = a .
Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD .
R
Tỉ số
nhận giá trị nào sau đây?
a
A. a 2 .

B. a .
Hướng dẫn giải:

C. 1 .

D.

SAD = 900.
Ta có SA ^ AD hay 
Gọi E là trung điểm AD .
Ta có EA = AB = BC nên ABCE là hình thoi.
1

Suy ra CE = EA = AD .
2
Do đó tam giác ACD vuông tại C . Ta có:
ìï DC ^ AC
SCD = 900.
Þ DC ^ (SAC ) Þ DC ^ SC hay 
í
ïî DC ^ SA

2.

S

I

E

D

A

SBD = 900.
Tương tự, ta cũng có SB ^ BD hay 

B

C

SAD = 
SBD = 

SCD = 900 nên khối chóp S . ABCD nhận trung điểm I của
Ta có 
SD
=
SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính R =
2
R
Vậy = 2.
a

SA2 + AD 2
=a 2.
2

Câu 19. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2 a , AD = a . Cạnh bên SA vuông

góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 450 . Gọi N là trung điểm SA , h là chiều cao của khối
chóp S . ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N . ABC . Biểu thức liên hệ giữa R và
h là:
A. 4 R = 5h .

B.

5 R = 4h .

C. R =

4
5 5

h.

5 5
D. R =
h.
4

9

Hướng dẫn giải:
MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>
 

Ta có 45° = SC , ( ABCD) = (SC , AC ) = 
SCA .

(

)

S

Trong DSAC , ta có h = SA = a 5.
ìï BC ^ AB
Ta có í
Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ BN .
ïî BC ^ SA

Lại có NA ^ AC . Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn NC dưới

N

một góc vuông nên hình chóp N . ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là
trung điểm NC , bán kính R = JN =

æ SA ö 2 5a
NC 1
= . AC 2 + çç ÷÷ = .
2
2
4
è 2 ø

J

A

D
O

B

C

Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Đường thẳng SA = a 2 vuông

góc với đáy ( ABCD) . Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng (a ) đi qua hai điểm A và M đồng thời
song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại E, F . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S , A, E, M , F

nhận giá trị nào sau đây?
A. a 2 .

B. a .

C.

a 2
.
2

D.

Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (a )  BD cắt SB , SD lần lượt tại E, F nên EF  BD .

a
.
2
S

DSAC cân tại A , trung tuyến AM nên AM ^ SC . (1)

ìï BD ^ AC
Ta có í
Þ BD ^ (SAC ) Þ BD ^ SC .
ïî BD ^ SA

I
F

M
E

Do đó EF ^ SC . (2)
Từ (1) và (2) , suy ra SC ^ (a ) Þ SC ^ AE . (*)

A

D
O

B

ìï BC ^ AB
Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ AE . (**)
Lại có í
ïî BC ^ SA

C

Từ (*) và (**) , suy ra AE ^ (SBC ) Þ AE ^ SB .
Tương tự ta cũng có AF ^ SD.

SEA = 
SMA = 
SFA = 900 nên năm điểm S , A, E, M , F cùng
Do đó 
thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA , bán kính R =

SA a 2
=
.
2
2

Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc đáy

( ABCD). Gọi

H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 10
HBCD có giá trị nào sau đây?

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>
 

A. a 2 .

B. a .

C.

a 2
.
2

D.

Hướng dẫn giải:
Gọi O = AC Ç BD .

a
.
2
S

Vì ABCD là hình vuông nên OB = OD = OC . (1)
ìïCB ^ AB
Þ CB ^ (SAB) Þ CB ^ AH .
Ta có í
ïîCB ^ SA
Lại có AH ^ SB .

H

A

Suy ra AH ^ (SBC) Þ AH ^ HC nên tam giác AHC vuông tại H
và có O là trung điểm cạnh huyền AC nên suy ra OH = OC (2) .
Từ (1) và (2) , suy ra R = OH = OB = OD = OC =

D
O

B

C

a 2
.
2

Câu 22. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA = a 6 và vuông góc

với đáy ( ABCD) . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD ta được:
A. a 2 2 .

B. 8p a 2 .
C. 2a 2 .
Hướng dẫn giải:
Gọi O = AC Ç BD Þ O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD .

D. 2p a 2 .
S

Gọi I là trung điểm SC , suy ra IO  SA Þ IO ^ ( ABCD).
Do đó IO là trục của hình vuông ABCD , suy ra IA = IB = IC = ID. (1)
Tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên

I

IS = IC = IA . (2)

A

SC
=a 2

Từ (1) và (2) , ta có: R = IA = IB = IC = ID = IS =
2
Vậy diện tích mặt cầu S = 4p R 2 = 8p a 2 (đvdt).

D
O

B

C

Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác vuông tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là:
A.

2p a 3
11 11p a 3
.
B.
.
3
162
Hướng dẫn giải:

C.

p a3
6

.

D.

p a3
3

.

11

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>
 

Gọi O = AC Ç BD . Suy ra OA = OB = OC = OD. (1)

S

Gọi M là trung điểm AB , do tam giác SAB vuông tại S nên
MS = MA = MB .
Gọi H là hình chiếu của S trên AB .
Từ giả thiết suy ra SH ^ ( ABCD).

A

ìïOM ^ AB
Þ OM ^ (SAB) nên OM là trục của tam giác SAB ,
Ta có í

ïîOM ^ SH

D

M
H

O

B

suy ra OA = OB = OS . (2)

C

Từ (1) và (2) , ta có OS = OA = OB = OC = OD.
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD , bán kính
R = OA =

a 2
.
2

4
Suy ra V = p R 3 =
3

2p a 3
(đvtt).
3

Câu 24. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a . Diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là:
2
A. p a .
B. 2p a 2 .
C. 4p a 2 .
D. 6p a 2 .
Hướng dẫn giải:
S
Gọi O là giao điểm của AC và BD .

Þ SO ^ ( ABCD) , OA = OB = OC = OD
DSAC có: SA = SC = a, AC = a 2 Þ DSAC vuông cân tại S
1
AC
2
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD

A

Þ OA = OC = OS =

Þ R = OA =

D
O
B

AC a 2

=
Þ S = 4p R 2 = 2p a 2
2
2

C

Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 .
Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD là:
A.

4p a 3
.
3

B.

2p a 3 6
.
9

C.

8p a 3 6
.
9

D.

8p a 3 6

.
27

Hướng dẫn giải:
12

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>


Gi O = AC ầ BD , suy ra SO ^ ( ABCD) .

S


Ta cú 600 =SB
, ( ABCD) =
SB, OB =
SBO .

a 6
.
2
Ta cú SO l trc ca hỡnh vuụng ABCD .
Trong mt phng SOB , k ng trung trc d ca on SB .
ùỡ I ẻ SO ùỡ IA = IB = IC = ID
Gi I = SO ầ d ị ớ
ịớ

ợù I ẻ d
ợù IS = IB

Trong DSOB , ta cú SO = OB.tan
SBO =

I
A

B
O

D

C

ị IA = IB = IC = ID = IS = R .
ỡù SB = SD
ị DSBD u.
Xột DSBD cú ớ
ùợ
SBD =
SBO = 60o

Do ú d cng l ng trung tuyn ca DSBD . ị I l trng tõm DSBD .
Bỏn kớnh mt cu R = SI =

2
a 6
4

8p a 3 6
. Suy ra V = p R 3 =
SO =
.
3
3
3
27

Cõu 26. Din tớch ca hỡnh cu ngoi tip hỡnh lng tr tam giỏc u cú cnh ỏy v cnh bờn cựng bng a l:
7
7
7
7
A. p a 2 .
B.
C. p a 2 .
D.
p a2 .
p a2 .
9
12
3
36
Hng dn gii:
A'
C'
Gi O l trng tõm DABC , O ' l trng tõm DA ' B ' C ' ị OO ' ^ ( ABC)
O'

Gi I l trung im ca OO ' ị I l tõm mt cu ngoi tip lng tr.
2

B'

2

ổ AB 3 ử ổ AA ' ử
a 21
7
ữ + ỗỗ
ữữ =
R = IA = OA2 + OI 2 = ỗỗ
ị S = 4p R 2 = p a 2
ữ
6
3
ố 3 ứ ố 2 ứ

I

C

A
O
B

Cõu 27. Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC . A ' B ' C ' cú AB = a , gúc gia hai mt phng ( A ' BC ) v ( ABC)

bng 60 . Gi G l trng tõm tam giỏc A ' BC . Din tớch khi cu ngoi tip t din GABC theo a

bng:
7
49 2
49
49
A. p a 2 .
B.
C.
D.
pa .
p a2 .
p a2 .
6
36
144
108
Hng dn gii:
13

MTCUKHICUPN|


/>
 

Gọi M là trung điểm của BC .

Þ

A'

C'

AMA ' = 60°
( A ' BC) , ( ABC) = ( A ' M , AM ) =

(

)

3a
Þ AA ' = AM .tan 60° =
2
Gọi O là trọng tâm DABC Þ OG  AA ' Þ OG ^ ( ABC)

A'

B'

G

G
N
C

A

Gọi I là giao điểm của OG và trung trực của AG Þ I là tâm
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC .

O

O
M

A

M

I

B

AA ' a
a 21
OG =
= Þ AG = OG 2 + OA2 =
3
2
6
AG
49
NG
AG 2 7 a
= 2 =
=
Þ S = 4p R 2 = p a 2
R = GI =
36
cos

AGO OG 2OG 12
AG

Câu 28. Cho lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = a 3 , góc 
ACB bằng

300 . Góc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng ( ABC) bằng 600 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A ' ABC bằng:

A.

3a
.
4

B.

a 21
.
4

C.

a 21
.
2

D.

a 21

.
8

Hướng dẫn giải:

Ta có 600 =
AB ', ( ABC ) =
AB ', AB = 
B ' AB .

A'

a 3
.
2
3a
B ' AB = .
Trong DB ' BA , ta có BB ' = AB.tan
2
Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC .

C'

ACB =
Trong DABC , ta có AB = AC.sin 

B'

I

Gọi I là trung điểm A ' C , suy ra IN  AA ' Þ IN ^ ( ABC) .

A

C

N

Do đó IN là trục của DABC , suy ra IA = IB = IC . (1)
B

Tam giác A ' AC vuông tại A có I là trung điểm A ' C nên IA ' = IC = IA . (2)
Từ (1) và (2) , ta có IA ' = IA = IB = IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp A '. ABC với bán kính R = IA ' =

A'C
=
2

AA '2 + AC 2 a 21
=
.
2
4

Câu 29. Thể tích của khối cầu nội tiếp khối lập phương có cạnh bằng a là:
1
2
2
A. p a 3 .

B. p a 3 .
C. p a 3 .
2
9
3
Hướng dẫn giải:

14

D.

1 3
pa .
6

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |       


/>
 

Gọi O là giao điểm của BD ' và B ' D .
Þ O là tâm mặt cầu nội tiếp khối lập phương

(

)

R = d O, ( ABCD)

A'

D'
C'

B'

4
p a3
a
= Þ V = p R3 =
2
3
6

O
D

A
B
C

Câu 30. Một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh a thì diện tích mặt cầu đó bằng:
A. p a 2 .

B. 2p a 2 .
C. 4p a2 .
Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của BD ' và B ' D , M là trung
điểm của CD .

B'
OC = OD Þ OM ^ CD Þ O là tâm mặt cầu tiếp xúc
với tất cả các cạnh của hình lập phương.
R = OM =

D. 2a 2 .
A'

D'
C'

O

B 'C a 2
=
Þ S = 4p R 2 = 2p a 2
2
2

D

A
B

M
C

Câu 31. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2cm, 4cm, 6cm . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ

nhật bằng:

A. R = 2 14cm .
B. R = 14cm .
C. R = 28cm .
Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của BD ' và B ' D .
Þ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

D. R = 14cm .
A'

D'
C'

B'

R = OB =

BD '
=
2

(BC

2

+ CD
2

2

2

) + BB '

= 14 (cm)
O

6

D

A
2

B
4

C

Câu 32. Một hình trụ có bán kính bằng 1, thiết diện qua trục là hình vuông. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình
trụ là:
A. 6p 3 .

B. 3p 3 .

C.

4p 2
.
3

D.

8p 2
.
3

15

Hướng dẫn giải:
MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |