Đề thi học sinh gỏi tỉnh hải dương

sở giáo dục và đào tạo
Hải Dơng
---------------
kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
lớp 12 thpt - năm học 2008-2009
đề chính thức
môn thi : toán
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm có 1 trang)
Câu 1 : (2 điểm)
a)Tìm điều kiện của tham số
m
để đồ thị hàm số
3
1
2
3
y x m x

= + +
ữ

cắt trục
hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn
2
.

b) Cho hàm số
2
2 cos 2sin cosy x x x mx= + +
.

Tìm điều kiện của tham số
m
để hàm số có cực trị.
Câu 2 : (2,5 điểm)
a) Cho đa thức
1 2 3 2 2009 2008
2009 2009 2009 2009
( ) 2 (2 ) 3 (2 ) ... 2009 (2 )P x C C x C x C x= + + + +
.
Tính tổng các hệ số bậc lẻ của đa thức đã cho.
b) Giải hệ phơng trình

5
5
5
5 2 1 2 log (4 1)
5 2 1 2log (4 1)
5 2 1 2 log (4 1)
x
y
z
y y
z z
x x

= + + +

= + + +

= + + +


Câu 3 : (2 điểm)
a) Cho tứ diện
ABCD
có
, ;AB a CD b= =
góc
( , )AB CD

=
, khoảng cách giữa

AB
và
CD
bằng
d
. Tính thể tích của khối tứ diện
ABCD
theo
, ,a b d
và

b) Trong các tứ diện
OABC
có
, ,OA OB OC
đôi một vuông góc và thể tích bằng

36
,
hãy xác định tứ diện sao cho diện tích tam giác
ABC
nhỏ nhất.
Câu 4 : (2,5 điểm)
a) Chứng minh
x Ă
thì
2 3
1
2! 3!
x
x x
e x + + +
b) Tìm
0a >
sao cho
2 3
1
2! 3!
x
x x
a x + + +
với mọi giá trị của
x
.
c) Cho
, ,x y z
là các số dơng và thoả mãn

9
5; 8
x y z
x x y
+ + =


+

Chứng minh rằng
15xyz
.
Câu 5 : (1 điểm)
Cho hình lập phơng
1 1 1 1
.ABCD A B C D
cạnh bằng 1. Lấy các điểm
, , , , ,M N P Q R S
lần lợt thuộc các cạnh
1 1 1 1 1 1
, , , , ,AD AB BB B C C D DD
. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài
đờng gấp khúc khép kín
MNPQRSM
.........................................Hết.....................................
Họ và tên.................................... ....................Số báo danh............................................................
Chữ kí của giám thị 1.......................................Chữ kí của giám thị 2..............................................