Dề thi học sinh giỏi tỉnh HD

Sở GD&ĐT HảI DƯƠNG
***@*****
Đề thi học sinh giỏi K12 năm học 2004-2005
Thời gian 180 phút

Câu I (1,5 điểm )
Giải phơng trình : ln(x
2
+ 6x +10) + x
3
+ 3x
2
+ 4x +12 =0.
Câu II (3,5điểm )
Cho hàm số f(x) = -x
3
+ (4m- 1) x
2
+ 3mx + 1 4m .
1/Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
2/ Tìm giá trị m để
4
1
)(

xf
với mọi
1

x
.Vói giá trị m vừa tìm đợc,

gọi M
1
,M
2
,M
3
là các điểm nằm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lợt là :
x
1
= sin
18

, x
2
= sin
18
5

, x
3
= sin
18
13

.
Qua M
1
,M
2
,M

3
kẻ các tiếp tuyến cắt đồ thị hàm số tại các điểm A, B, C
( A , B, C khác M
1
, M
2
, M
3
) .Chứng minh rằng A , B ,C thẳng hàng.
Câu III (3điểm)
Cho hình chóp S.ABC ,các cạnh bên SA,SB,SC đôi một vuông góc với
nhau đồng thời tạo với đáy ABC các góc lần lợt

,,
.Gọi H là trực tâm tam
giác ABC ,các đòng thẳng AH,BH,CH cắt các cạnh đáy BC, CA, AB thứ tự tại D
, E ,F.
1/ Chứng minh các cạnh của tam giác DEF tỉ lệ với cos

2
,cos

2
,cos

2
2/Gọi M là điểm bất kỳ trên một cạnh của tam giác ABC . Chứng minh
rằng tổng các khoảng cách từ các đỉnh A , B ,C đến đờng thẳng SM không vựot
quá
)(2

2
22
SCSBSA
++
Câu IV (1điểm)
Cho a, b, c là ba số dong và a
3
+ b
3
+ c
3
= 3
Chứng minh bất đẳng thức :
cba
b
c
a
b
c
a
++++
Câu V (1điểm)
f(x) là đa thức bậc n có n nghiệm thực (n
)2

. Chứng minh rằng với mọi
số thực a, đa thức f(x) + af

(x) cũng có n nghiệm thực.
******************************************