Mũ - lôgarit - lũy thừa

ON TAP HK I-MU, LOGARIT,LUY THUA
1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ
α
Cơ số a
Lũy thừa
α
a
*
Nn
∈=
α
Ra
∈
naaaaa
n
(.......
==
α
thừa số )
0
=
α
0
≠
a
1
0
==
aa
α

)(
*
Nnn
∈−=
α
0
≠
a
n
n
a
aa
1
==
−
α
),(
*
NnZm
n
m
∈∈=
α
0
>
a
)( abbaaaa
n
n
n

m
n
m
=⇔===
α
),(lim
*
NnQrr
nn
∈∈=
α
0
>
a
n
r
aa lim
=
α
2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có
α
α
α
αααβαβαβα
β
α
βαβα
b
a

b
a
baabaaa
a
a
aaa
=






====
−+
;.)(;)(;;.
.
a > 1 :
βα
βα
>⇔>
aa
0 < a < 1 :
βα
βα
<⇔>
aa
3. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.
* Với số
0,10

>≠<
ba
.

bab
a
=⇔=
α
α
log

beb
bb
=⇔=
=⇔=
α
α
α
α
ln
10log
4. TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT.
*
baa
b
aa
a
===
log
;1log;01log

*
cbcb
aaa
loglog).(log
+=


cb
c
b
aaa
logloglog
−=







bb
aa
log.log
α
α
=
Đặc biệt:
b
n
bb

b
a
n
aaa
log
1
log;log
1
log
=−=
*
ccb
b
c
c
aba
a
a
b
loglog.log
log
log
log
=⇒=
Đặc biệt :
bb
a
b
a
a

b
a
log
1
log;
log
1
log
α
α
==

cbcba
cbcba
aa
aa
<<⇔><<
>>⇔>>
0loglog:10
0loglog:1
5. GIỚI HẠN.
1

1
)1ln(
lim;1
1
lim
00
=

+
=
−
→→
x
x
x
e
x
x
x
6. BẢNG ĐẠO HÀM.
xx
ee
=
)'(
aaa
xx
ln.)'(
=
x
x
1
)'(ln
=
aa
x
x
a
ln

1
)'(log
=
)0,0(.)'(
1
>≠=
−
xxx
αα
αα
n n
n
xn
x
1
1
)'(
−
=
uu
eue '.)'(
=
aaua
uu
ln.'.)'(
=
u
u
u
'

)'(ln
=
au
u
u
a
ln.
'
)'(log
=
'.)'(
1
uuu
−
=
αα
α
n n
n
un
u
u
1
.
'
)'(
−
=
7 .CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LÔGARIT.

a)
)()(10
)()(
xgxfaaa
xgxf
=⇔=≠<




=
>>
⇔=
)()(
)0)((0)(
)(log)(log
xgxf
xghayxf
xgxf
aa
b)
)()(1
)()(
xgxfaaa
xgxf
>⇔>>

0)()()(log)(log
>>⇔>
xgxfxgxf

aa
c)
)()(10
)()(
xgxfaaa
xgxf
<⇔><<

)()(0)(log)(log xgxfxgxf
aa
<<⇔>
I. LŨY THỪA
* Đơn giản biểu thức.
1)
( )
5
5
2
3
126
.. yxyx
−
2)
33
3
4
3
4
ba
abba

+
+
3)
1.
1
.
1
4
1
4
2
1
3
4
+
+
+
+
−
a
a
aa
aa
a
4)







+−








+
+
−
+
m
m
m
m
m
1
2
1
2
.
22
4
2
1
3
2

* Tính giá trị của biểu thức.
1)
5
3
3
1
75,0
32
1
125
1
81
−−
−






−






+
2)
20

3
1
1
3
2
2
3
1
)9(864.)2(001,0
+−−−
−
−
−
2
3)
5,0
75,0
3
2
25
16
1
27
−







+
−
4)
3
2
1
1
25,04
)3(19
4
1
2625)5,0(
−
−
−
−+






−−−
* Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
1)
7
35
.2
8
1

ax
2)
3
4
5
. aa
3)
4
8 3
. bb
4)
4
3
.27
3
1
a
* Tính .
1)
( )
3
3
3






2)

31321
16.4
+−
3)
23
2
3
27
4)
( )
5
5
4
8
2
* Đơn giản các biểu thức.
1)
1
)(
232
3222
+
−
−
ba
ba
2)
334
3333232
))(1(

aa
aaaa
−
++−
3)
π
π
ππ








−+
abba .4)(
1
2
II. LÔGARIT.
* Biết log
5
2 = a và log
5
3 = b . Tính các lôgarit sau theo a và b.
1) log
5
27 2) log
5

15 3) log
5
12 4) log
5
30
* Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các lôgarit.
1)
( )
3
2
5
3
ba
2)
2,0
6 5
10
−








b
a
3)
5

4
9 ba
4)
7
2
27a
b

* Tính giá trị các biểu thức.
1) log
9
15 + log
9
18 – log
9
10 2)
3
3
1
3
1
3
1
45log3400log
2
1
6log2
+−
3)
3log

2
1
2log
6
136
−
4)
)3log.4(loglog
23
4
1
* Tính giá trị các biểu thức.
1)
2log8log
4log
2
1
4
1
7125
9
49.2581









+
−
2)
5log33log
2
1
5log1
52
4
4216
+
+
+
3)








+
−
−
4log
6log9log
2
1
5

77
54972
* Tìm x biết.
1) log
6
x = 3log
6
2 + 0,5 log
6
25 – 2 log
6
3. 2) log
4
x =
3log410log2216log
3
1
444
+−

* Tính.
1)
2020
)32log()32log(
−++
2)
)725log()12log(3
−++
3)
e

e
1
lnln
+
4)
).ln(4ln
21
eee
+
−
* Tìm x biết
1) log
x18
= 4 2)
5
3
2log
5
−=
x
3)
6)2.2(log
3
−=
x
* Biết log
12
6 = a , log
12
7 = b. Tính log

2
7 theo a và b.
3
* Biết log
2
14 = a. Tính log
49
32 theo a
III. HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA.
* Tìm tập xác định của các hàm số sau.
1) y =
1
−
x
x
e
e
2) y =
1
12
−
−
x
e
3) y = ln







−
−
x
x
1
12
4) y = log(-x
2
– 2x ) 5) y = ln(x
2
-5x + 6) 6) y =








−
+−
x
xx
31
132
log
2
2
* Tìm các giới hạn.

1)
x
e
x
x
1
lim
3
0
−
→
2)
x
ee
xx
x
5
lim
32
0
−
→
3)
)32(lim
5
xx
x
−
→
4)









−
∞→
xex
x
x
1
.lim
5)
x
x
3
9
loglim
→
6)
x
x
x
)14ln(
lim
0
+

→
7)
x
xx
x
)12ln()13ln(
lim
0
+−+
→

8)
x
x
x
2sin
)31ln(
lim
0
+
→
9)
11
1
lim
0
−+
−
→
x

e
x
x
10)
x
x
x
tan
)21ln(
lim
0
+
→
* Tính đạo hàm của các hàm số sau.
1) y = (x
2
-2x + 2).e
x
2) y = (sinx – cosx).e
2x
3) y =
xx
xx
ee
ee
−
−
+
−
4) y = 2

x
-
x
e
5) y = ln(x
2
+ 1) 6) y =
x
xln
7) y = (1 + lnx)lnx 8) y =
1ln.
22
+
xx
9) y = 3
x
.log
3
x
10) y = (2x + 3)
e
11) y =
x
x
π
π
.
12) y =
3
x

13) y =
3 2
2ln x
14) y =
3
2cos x
15) y = 5
cosx + sinx
* Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
1) y = e
sinx
; y’cosx – ysinx – y’’ = 0
2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0
3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan
2
x
= 0
4) y = e
x
.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0
5) y = ln
2
x ; x
2
.y’’ + x. y’ = 2
IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
* Giải các phương trình:
1). (0,2)
x-1
= 1 2).

3
3
1
13
=






−
x
3).
164
23
2
=
+−
xx
4).
x
x
34
2
2
2
1
2
−

−
=






5).
( ) ( )
223223
2
+=−
x
6).
( ) ( )
1
1
1
2525
+
−
−
−=+
x
x
x
7).
1
5

93
2
+
−
=
x
x
8).
255
4
2
=
+−
xx
9) 3
x
.2
x+1
= 72 9)
2
2
1
.
2
1
217
=













−+
xx
10)
27
6020
5.3.4
131
=
+−+
xxx
11) 5
x+1
+ 6. 5
x
– 3. 5
x-1
= 52
4
12) 2. 3
x+1
– 6. 3

x-1
– 3
x
= 9 13) 4
x
+ 4
x-2
– 4
x+1
= 3
x
– 3
x-2
– 3
x+1
* Giải các phương trình.
1) 4
x
+ 2
x+1
– 8 = 0 2) 4
x+1
– 6. 2
x+1
+ 8 = 0
3) 3
4x+8
– 4. 3
2x+5
+ 27 4) 3

1+x
+ 3
1-x
= 10
5) 5
x-1
+ 5
3 – x
= 26 6) 9
x
+ 6
x
= 2. 4
x

7) 4
x
– 2. 5
2x
= 10
x
8) 27
x
+ 12
x
= 2. 8
x
9)
( ) ( )
23232

=−++
xx
10)
14487487
=






++






−
xx

11)
12356356
=







−+






+
xx
12)
( ) ( )
x
xx
2.14537537
=−++
13) 3
2x+4
+ 45. 6
x
– 9. 2
2x+2
= 014) 8
x+1
+ 8.(0,5)
3x
+ 3. 2
x+3
= 125 – 24.(0,5)
x
* Giải các phương trình.

1)
44
23
2
−−
=
xxx
2)
451
2
32
+−−
=
xxx
3)
x
x
x
−
+
=
2
2
3.368
4)
5008.5
1
=
−
x

x
x
5)
x
x
255
5
log3
=
−
6)
5
3log
6
33.
−
−
−
=
x
x
7)
2
log
9
.9 xx
x
=
8)
5log

34
55.
x
x
=
* Giải các phương trình.
1) 2
x
+ 3
x
= 5
x
2) 3
x
+ 4
x
= 5
x
3) 3
x
= 5 – 2x 4) 2
x
= 3 – x
5) log
2
x = 3 – x 6) 2
x
= 2 – log
2
x 7) 9

x
+ 2(x – 2)3
x
+ 2x – 5 = 0
V. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT.
* Giải các phương trình.
1) log
2
x(x + 1) = 1 2) log
2
x + log
2
(x + 1) = 1 3) log(x
2
– 6x + 7) = log(x – 3)
4) log
2
(3 – x) + log
2
(1 – x) = 35) log
4
(x + 3) – log
2
(2x – 7) + 2 = 0
6)
x
x
xx
2log
log

log.log
125
5
25
5
=
7) 7
logx
+ x
log7
= 98 8) log
2
(2
x+1
– 5) = x
* Giải các phương trình.
1) log
2
2
(x - 1)
2
+ log
2
(x – 1)
3
= 7 2) log
4x
8 – log
2x
2

+ log
9
243 = 0
3)
33loglog3
33
=−
xx
4) 4log
9
x + log
x
3 = 3
5) log
x
2 – log
4
x +
0
6
7
=
6)
x
x
x
x
81
27

9
3
log1
log1
log1
log1
+
+
=
+
+
7) log
9
(log
3
x) + log
3
(log
9
x) = 3 + log
3
4 8) log
2
x.log
4
x.log
8
x.log
16
x =

3
2
9) log
5
x
4
– log
2
x
3
– 2 = -6log
2
x.log
5
x 10)
3log)52(log
2
52
2
2
=+−
xx
x
x
VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
* Giải các hệ phương trình sau.
1)




+=+
=+
15log1loglog
11
222
yx
yx
2)



=−−+
+=+
3log)log()log(
8log1)log(
22
yxyx
yx
3)





=−
=
2)(log
9722.3
3
yx

yx
4)



=−
=+
2loglog
25
22
yx
yx
5