Một số phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ MINH CHÚC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ MINH CHÚC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, thầy đã
tận tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc cho tôi, giúp đỡ tôi hoàn thành
luận văn này.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đại
học, các thầy cô giáo khoa toán, cũng như các thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc
sĩ K19 đợt 2 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã
luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá
trình học tập và hoàn thiện luận văn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Minh Chúc


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn
Văn Hùng, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ Một số
phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân
thường” được hoàn thành bởi sự nhận thức của bản thân tác giả.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Minh Chúc

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài ..............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..................................................................1
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................2
6. Dự kiến đóng góp ............................................................................................2
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...............................................3
1.1. Sai số ................................................................................................................3
1.1.1. Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số ................................................3
1.1.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc .......................................................................4
1.1.3. Sai số tính toán .............................................................................................4
1.1.4. Bài toán ngược của sai số .............................................................................5
1.2. Số gần đúng .....................................................................................................6
1.3. Sai phân và tính chất ......................................................................................6
1.3.1. Các khái niệm cơ bản...................................................................................6
1.3.2. Tính chất của sai phân .................................................................................8
1.4. Một vài khái niệm về phương trình vi phân ..................................................9
1.4.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một ...................................................9
1.4.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n ..................................................... 10
1.5. Khai triển Taylor .......................................................................................... 11
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN
ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ......................................... 15
2.1. Phương pháp đa bước................................................................................... 15
2.2. Phương pháp đa bước giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi
phân thường ......................................................................................................... 28
2.3. Phương pháp RUNGE - KUTTA ................................................................. 40
2.4. Phương pháp RUNGE - KUTTA và phương pháp đa bước giải phương

trình và hệ phương trình bậc cao ........................................................................ 46


CHƯƠNG 3: GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHẦN MỀM MAPLE .......................................... 54
3.1. Phương pháp đa bước................................................................................... 54
3.2. Phương pháp RUNGE - KUTTA ................................................................. 56
3.3. Phương pháp RUNGE - KUTTA giải hệ phương trình .............................. 58
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 60
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................... 61


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong thực tiễn, phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong
nhiều lĩnh vực như kĩ thuật, vật lý, kinh tế… Có nhiều phương pháp giải
phương trình vi phân thường trong đó việc tìm nghiệm đúng phương trình vi
phân là rất khó khăn. Người ta chỉ tìm nghiệm đúng được một vài phương
trình vi phân đặc biệt còn đa số là tìm nghiệm xấp xỉ. Cụ thể đối với một số
bài toán, ngoài việc cho ở dạng phương trình vi phân nó còn kèm theo một số
điều kiện gọi là điều kiện ban đầu, các bài toán như vậy gọi là bài toán giá trị
ban đầu của phương trình vi phân, cùng với sự định hướng và tận tình chỉ bảo
của thầy giáo – TS. Nguyễn Văn Hùng tôi đã chọn đề tài:
“ Một số phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi
phân thường”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu của phương
trình vi phân thường.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu của
phương trình vi phân thường.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp giải bài toán giá trị ban
đầu của phương trình vi phân thường.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về phương pháp đa bước, phương
pháp Runge - Kutta giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân


2

thường. Nghiên cứu phương pháp đa bước và phương pháp Runge - Kutta giải
hệ phương trình và phương trình vi phân bậc cao.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của giải tích và giải tích số.
6. Dự kiến đóng góp
Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt về đề tài
giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường.


3

CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Sai số
1.1.1. Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số
Xét một số thập phân dạng tổng quát :



a    p .10 p  ...   i .10i  ...   p s .10 p s



(1.1)

Trong đó  j  , j ,  p  0, 0   j  9
Nếu p  s  0 thì a là số nguyên.
Nếu p  s   k (k  0) thì a có phần lẻ gồm k chữ số.
Nếu s   thì a là số thập phân vô hạn.
Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a để được một số a
gọn hơn và gần đúng với số a.
Quy tắc làm tròn: Xét a ở dạng (1.1) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i , phần bỏ



đi là  thì: a    p .10 p  ...   i 1.10i 1  ...   i .10i



1 i


;
0



.10 khi  i  2l , l  
i


2
Trong đó:  i  
 ;   1 .10i khi   2l  1, l  
i
 i 1
2

Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là  a , như vậy a  a   a , rõ ràng
1
 a  .10i .
2

Vì a*  a  a*  a  a  a  a   a , do đó khi làm tròn thì sai số tuyệt đối
tăng thêm  a .


4

1.1.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
Xét số a ở dạng (1.1) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó chữ số
có nghĩa là mọi chữ số 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai số khác 0 hoặc nó
là chữ số 0 ở hàng được giữ lại.



Xét số a ở dạng (1.1) a    p .10 p  ...   i .10i  ...   p s .10 p s



Chữ số  j ở dạng (1.1) là của số a là số chắc nếu: a  .10 j ,  là tham số
cho trước.
Tham số  sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm
tròn vẫn là chắc, rõ ràng ai là chữ số chắc thì ai 1 cũng là chữ số chắc.
1.1.3. Sai số tính toán
Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức y  f  x1, x2 ,..., xn 





x*  x1* , x2* ,..., xn* ,

Gọi

y *  f ( x* )

là

giá

trị

đúng

còn

x   x1, x2 ,..., xn  ; y  f ( x) là giá trị gần đúng của y* , xi  xi*  xi . Giả sử
y  f  x1, x2 ,..., xn 

là

hàm

khả



vi



liên

tục

n

y  y  y*  f  x1, x2 ,..., xn   f x*1, x*2 ,..., x*n   f 'xi xi  xi*
i 1

Với f 'xi là đạo hàm tính tại điểm trung gian.
Vì f khả vi liên tục, xi khá bé nên:
n

y   f 'xi  x1, x2 ,..., xn  xi

(1.2)

i 1

Vậy  y 

y n 

ln f .xi
y i 1 xi

a. Sai số của phép toán cộng trừ

(1.3)

thì


5

n

Nếu y   xi thì

y x' i

n

 1 , vì vậy ta có y   xi

i 1

i 1

n

Chú ý rằng: Nếu tổng đại số y   xi bé về giá trị tuyệt đối thì
i 1

y
lớn,
y

phép tính sẽ kém chính xác.
b. Sai số của phép toán nhân, chia
n

 xi
Giả sử y 

i 1
n

. Áp dụng (1.2) và (1.3) ta có:  y   x1   x2  ...   xq

 x p i
i 1

và y  y  y .
c. Sai số của phép tính luỹ thừa
Xét y  x (  , x  0) , khi đó  y  y  x
Như vậy,
Nếu   1 thì độ chính xác tăng lên.

Nếu   1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác là không đổi.
1
Nếu   , k  * (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.
k

d. Sai số của phép tính lôgarit
Xét y  ln x , ta có y   x .
1.1.4. Bài toán ngược của sai số
Giả sử đại lượng y được tính theo công thức y  f  x1, x2 ,..., xn  .
Yêu cầu đặt ra là cần tính xi như thế nào để y   , với  là cho trước.
n

Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có: y  
i 1

f
xi  
xi


6

Bất đẳng thức trên sẽ thoả mãn nếu xi 


n f 'xi

Kết luận: Nếu các biến xi có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy
xi 


n f 'xi

, khi đó y   .

1.2. Số gần đúng
Ta nói rằng a là một số gần đúng của a* nếu như a không sai khác a* nhiều,
hiệu số a  a*  a là sai số thực sự của a, nếu a  0 thì a là giá trị gần
đúng thiếu, còn nếu a  0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a* . Vì rằng a*
nói chung không biết nên cũng không biết  , tuy nhiên có thể thấy tồn tại
a  0 thoả mãn điều kiện a*  a  a .

Khi đó a được gọi là sai số tuyệt đối của a.

a 


được gọi là sai số tương đối của a.
a

Rõ ràng a,  a càng nhỏ càng tốt.
1.3. Sai phân và tính chất
1.3.1. Các khái niệm cơ bản
Xét dãy số  xn  ; dạng khai triển của nó là:  x0 , x1,..., xn ,... .
Ví dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu là  có dạng n  0,1,2,..., n,... ,
Dãy số nguyên dương   có dạng n  0,1,2,..., n,... ,
1 
1   1
Dãy số điều hoà    1, ,..., ,... .
n 

n  2

Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên n. Kí hiệu x  n   xn .


7

Định nghĩa 1. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x  n   xn với

n  :

n  0, 1, 2,...,  n,...

(hoặc

n  

hoặc

n  ) là hiệu:

xn  xn1  xn

Ví dụ, hàm xn cho dưới dạng bảng:
N

0

1

2

3

4

xn

1

3

4

7

6

có sai phân hữu hạn cấp 1 là
x0  x1  x0  3  1  2, x1  x2  x1  4  3  1
x2  x3  x2  7  4  3, x3  x4  x3  6  7  1

Từ nay về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỉ sai phân, ta gọi tắt sai phân
hữu hạn là sai phân.
Định nghĩa 2. Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân cấp
một của xn , và nói chung sai phân cấp k của hàm xn là sai phân của sai phân
cấp k  1 của hàm số đó.
Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm xn là
 2 xn    xn   xn1  xn  xn2  xn1   xn1  xn   xn2  2 xn1  xn

Sai phân cấp 3 của hàm xn là





3 xn    2 xn   2 xn1   2 xn  xn3  2 xn2  xn1   xn 2  2 xn1  xn 
 xn3  3xn 2  3 xn1  xn

Nói chung, sai phân cấp k của hàm xn là
k



 xn   

k 1



xn  

k 1

xn1  

k 1

k

i 0

trong đó Cki 

i

xn    1 Cki xn k i

k!
.
i !( k  i )!

Ví dụ, xét hàm xn trong định nghĩa (1.4) ta có

(1.4)


8

 2 x0  x2  2 x1  x0  4  2.3  1  1
 2 x1  x3  2 x2  x1  7  2.4  3  2
 2 x2  x4  2 x3  x2  6  2.7  4  4
3 x0  x3  3 x2  3x1  x0  7  3.4  3.3  1  3
3 x1  x4  3x3  3x2  x1  6  3.7  3.4  3  6
 4 x0  x4  4 x3  6 x2  4 x1  x0  6  4.7  6.4  4.3  1  9

Từ công thức (1.4), suy ra một số tính chất của sai phân sau đây.
1.3.2. Tính chất của sai phân
Tính chất 1: Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số.
Chứng minh: Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức (1.4).

n

i

Thật vậy, với k  1 ta có  k xn    1 Cki xn k i
i 0

Ta chứng minh (1.4) đúng với k  1 , tức là:
k

k

i

i

 k 1xn   k xn1   k xn    1 Cki xn1k i   1 Cki xnk i
i 0

i 0

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số i  i ' 1, sau đó thay i ' bằng i, ta được
k

  1

i

Cki xnk i

k 1

  1

i 0

i '1

Cki '1xn k 1i '

i 0

k 1

i

   1 Cki 1xn k 1i
i 0

Bởi vậy:
k

k 1

i

i

 k 1xn    1 Cki xn k 1i    1 Cki 1xn k 1i
i 0

k

i 0

   1

i

Cki xn k 1i

k 1

i 0
k

i

 xn k 1    1 Cki 1xn k 1i   1
i 0

i





   1 Cki  Cki 1 xnk 1i  xnk 1   1
i 0

k 1

xn

k 1

xn


9

k

i

   1 Cki 1xnk 1i  xnk 1   1
i 0
k 1

k 1

xn

i

   1 Cki 1xnk 1i
i 0

Theo quy luật quy nạp, công thức (1.4) đúng với mọi n nguyên dương.
Tính chất 2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Chứng minh. Ta phải chứng minh

 k  axn  byn   a k xn  b k yn , k  1,2,....

Thật vậy, theo (1.4) ta có:
k

k

i

  axn  byn     1 Cki  axnk i  byn k i 
i 0
k

k

i

i

   1 Cki axn k i    1 Cki byn k i
i 0
k

i

i 0
k

i

 a   1 Cki xn k i  b  1 Cki yn k i
i 0
k

i 0

 a xn  b k yn

1.4. Một vài khái niệm về phương trình vi phân
1.4.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng

y'  a  x  y  b  x 

(1.5)

Nếu b  x  là hàm hằng bằng 0 thì (1.5) gọi là phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần
nhất.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất có dạng


10

y'  a  x  y  0

(1.6)

là phương trình phân ly biến số được và có nghiệm tổng quát là
y  Ce 

 a x dx

(1.7)

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất ta
dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng. Thay C bởi hằng số C ( x) để
y  C  x  e

 a x dx

(1.8)

Là nghiệm của (1.5). Khi đó
y  C '  x  e

 a x dx

 a  x  C  x  e

 a x dx

Thay vào phương trình đã cho được C '  x   b  x  e 

,

a x dx

, tích phân hai vế,

cuối cùng nhận được nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không
thuần nhất (1.5) là:
a x dx
 a x dx
y    b  x  e 
dx  C  e 



(1.9)

1.4.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng
n
n 1
n 2
y    a1  x  y    a2  x  y    ...  an  x  y  b  x 

(1.10)

Nếu b  x  là hàm hằng bằng 0 thì (1.10) gọi là phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không
thuần nhất. Phương trình thuần nhất có vế trái trùng với vế trái của phương
trình không thuần nhất (1.10) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với
phương trình không thuần nhất (1.10).


11

1.5. Khai triển Taylor

Giả thiết hàm số y  f  x  có tất cả các đạo hàm đến cấp n  1 (kể cả đạo
hàm cấp n  1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x  a . Xác định một đa
thức y  Pn  x  bậc n mà giá trị của nó tại x  a bằng giá trị f ( a) và giá trị
của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng
của hàm số f  x  tại điểm đó. Nghĩa là:
Pn  a   f  a  ; P 'n  a   f '  a  ; P ( n )  a   f ( n )  a 

(1.11)

Ta sẽ xác định đa thức đó dưới dạng một đa thức theo lũy thừa của  x  a  với
các hệ số cần xác định:
Pn ( x )  C0  C1 ( x  a)  C2 ( x  a) 2  Cn ( x  a) n

(1.12)

Các hệ số C0 , C1,..., Cn được xác định sao cho điều kiện (1.11) được thỏa mãn
Trước hết ta tìm các đạo hàm của Pn ( x) .
 P 'n ( x )  C1  2C2 ( x  a)  3C3 ( x  a)2  ...  nCn ( x  a) n1
 ''
 P n ( x)  2C2  3.2.C3 ( x  a)  ...  n  n  1 Cn ( x  a) n2

...
 n
 P n ( x)  n  n  1 ...2.1.Cn

Thay x  a vào biểu thức (1.12) và (1.13) ta có
 Pn  a   C0
 '
 Pn  a   C1
 ''

 Pn  a   2.1.C2
...

 P  n   a   n.(n  1)...2.1.C
n
 n

So sánh với điều kiện (1.11) ta có

(1.13)


12


C0  f (a)
 f ( a )  C0

 '
C1  f ' (a )
f
(
a
)

C


1


1
 ''
 C2  f '' ( a)
 f ( a)  2.1.C2
2!
...


...
n


 f  a   n. n  1 ...2.1.C

n

Cn  1 f  n   a 
n!


(1.14)

Thay các giá trị của C0 , C1,..., Cn vào công thức (1.12) ta có đa thức cần tìm:
Pn ( x )  f ( a) 

n
f ' (a)
f '' ( a)
f   (a )
( x  a) 

( x  a) 2  ... 
( x  a)n
1!
2!
n!

Kí hiệu Rn ( x)  f ( x)  Pn ( x) . Hay
n
f ' (a)
f '' (a)
f   (a)
2
f ( x)  f (a ) 
( x  a) 
( x  a)  ... 
( x  a)n
1!
2!
n!
 Rn ( x)

(1.15)

Rn  x  gọi là số hạng dư, ta xác định x để số hạng dư khá bé.

Viết số hạng dư dưới dạng

n1
x  a


Rn ( x ) 
Q( x)
 n  1!

(1.16)

Trong đó Q  x  là hàm số cần xác định. Với x và a cố định, hàm số Q(x) có
giá trị xác định, kí hiệu giá trị đó bằng Q. Ta xét hàm số phụ theo biến t (t là
giá trị nằm giữa a và x)
2

xt '
 x  t  f '' (t)  ...
F (t )  f ( x)  f (t ) 
f (t) 
1!
2!
n
x  t



n!

Tìm đạo hàm

n 1
x  t

n

f (t) 
Q
 n  1!

(1.17)


13

2

2  x  t  ''
x  t ''
 x  t  f ''' (t)  ...
F (t )   f (t )  f (t ) 
f (t) 
f (t) 
1
2!
2!
'

'

n 1
x  t



( n  1)!

'

f

 n

n x  t
(t) 
n!

Rút gọn ta được:

n1

f

 n

n
x  t

F (t )  
'

n!

n
x  t


(t) 

n!

n

f

 n1

(n  1)  x  t 
(t ) 
Q
( n  1)!
n

 n  1 x  t  Q
n1
f   t  

(1.18)

 n  1!

Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a
Ngoài ra từ công thức (1.17) ta có F  x   0 và F  a   0 . Vì vậy áp dụng
công thức Rolle cho hàm F(t), tồn tại một giá trị t   nằm giữa a và x sao
cho F '    0 .
Thế vào (1.18) ta có:

n
x  

F ( )  
'

n!

n

 n  1 x    Q
n1
f     
 n  1!

n 1
Suy ra Q  f    

Thay vào (1.16) ta được

n1
x  a

Rn ( x ) 
 n  1!

f

n 1

  -

số hạng dư Larange

Vì  nằm giữa a và x nên có thể viết dưới dạng   a   ( x  a),    0;1
Nghĩa là:

n1
x  a

Rn ( x ) 
 n  1!

f

n 1

 a    x  a  

Công thức:
n
f ' (a )
f '' ( a)
f   (a)
2
f ( x)  f  a  
 x  a 
 x  a   ... 
 x  a n
1!

2!
n!
n 1
x  a


 n  1!

f

n 1

 a    x  a  

Là công thức khai triển Taylor của hàm f(x). Nếu trong công thức Taylor, đặt
a  0 thì nó viết dưới dạng


14

x '
x 2 ''
xn n
x n1  n1
f ( x)  f (0)  f (0) 
f (0)  ... 
f (0) 
f
( x )
1!

2!
n!
(n  1)!

   0;1
là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x  0 , với số dư Rn  x  ,
được gọi là công thức khai triển Maclaurin.
Tóm lại ta có định lý sau:
Nếu hàm số y  f ( x) có các đạo hàm f ' ( x ), f '' ( x)..., f  n   x  liên tục tại điểm
x0 và có đạo hàm f 

n1

 x

trong lân cận của x0 thì tại lân cận đó ta có công

thức khai triển
n
f ' ( x0 )
f '' ( x0 )
f   ( x0 )
2
f ( x)  f ( x0 ) 
 x  x0  
 x  x0   ... 
 x  x0 n
1!
2!
n!



f

n 1

n!

c

 x  x0 n1

c ở giữa x0 và x ( c  x0  a  x  x0  , 0  a  1 )
Công thức này gọi là công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng cuối cùng gọi
là số hạng dư của nó. Đặc biệt x  0 thì công thức Taylor trở thành công thức
Maclaurin (công thức khai triển tại lân cận x0  0 ).
n
n 1
f ' (0)
f '' (0) 2
f   (0) n f   ( x) n1
f  x   f  0 
x
x  ... 
x 
x ,
1!
2!
n!

n!
0    1.


15

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ
BAN ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
Nhiều bài toán vật lý khi giải thường dẫn chúng ta đến một phương
trình vi phân có dạng: y '  f ( x, y ) (2.1). Ở đây f là hàm có hai biến và y là
hàm của biến x. Nghiệm tổng quát của (2.1) phụ thuộc hằng số tùy ý. Để xác
định nghiệm duy nhất của (2.1) ta cần đặt thêm điều kiện cho y. Điều kiện này
thường có dạng: y ( xo )  yo (2.2) . Với các số xo , yo cho trước gọi là điều kiện
ban đầu. Bài toán cho bởi (2.1) và (2.2) được gọi là bài toán giá trị ban đầu.
Mặc dù phương pháp giải tích có thể được sử dụng để giải các phương trình
vi phân, nhưng áp dụng của chúng là hạn chế với những dạng đặc biệt. Mục
đích của chương này là trình bày cách giải của phương trình (2.1) với điều
kiện ban đầu (2.2) bởi một dãy điểm: xi  xo  ih . Chúng ta đặt yi là giá trị
xấp xỉ của nghiệm chính xác y  xi  (minh họa trong hình 2.1). Khoảng h
được gọi là độ dài bước và xi là các điểm lưới.
2.1. Phương pháp đa bước
Bây giờ ta tìm y1, y2 ,... theo phương pháp đa bước
Hình 2.1

y

y2
y1
y3

y x
yo

xo

h

x1

h

x2

h

x3 …

x


16

Tại x  xn hàm ẩn y thỏa mãn y '  xn   f  xn , y  xn  
Ta xấp xỉ phương trình này bằng cách thay thế y '  xn  bởi
này cho ta

yn1  yn
. Điều
h

yn1  yn
 f ( xn , yn )
h

Suy ra yn1  yn  h. f  xn , yn  (2.3)
Phương trình (2.3) được gọi là công thức Euler, cho ta một cách tính yn1 từ
một giá trị đã biết yn .
 y2
VÍ DỤ 2.1: Xét bài toán sau: y 
; y (0)  1 . Sử dụng công thức Euler,
1 x
'

với độ dài bước h  0,05 để tính y (0,2) .
Cách tính ở trên được minh họa theo sơ đồ sau:
y0  1

y1  ?

y2  ?

y3  ?

y4  ?

x0  0

x1  0,05

x2  0,1

x3  0,15

x4  0,2

x

Trong ví dụ này, phương trình 2.3 trở thành: yn1  yn 

0,05. yn2
1  xn

Vì thế: y1  yo 

0,05. yo2
0,05.12
 1
 0,95
1  xo
1 0

0,05. y12
0,05.0,952
y2  y1 
 0,95 
 0,90702
1  x1
1  0,05
y3  y2 

0,05. y22
0,05.0,907022
 0,90702 
 0,86963
1  x2
1  0,1

0,05. y32
0,05.0,869632
y4  y3 
 0,86963 
 0,83675
1  x3
1  0,15

y


17

Phương trình này có nghiệm giải tích là:

1
1  ln(1  x)

Vì vậy sai số của y  0, 2  là: 0,84579 - 0,83675 = 0,00904
Ví dụ khác về công thức đa bước là sử dụng quy tắc lấy tích phân. Tích
xn 1

phân hai vế của (2.1) ta được: y  xn1   y  xn  

 f  x, y  x  dx (2.4) , bởi
xn

xn 1

x
'
 y  x  dx   y  x  x

n 1

vì

. Tích phân ở vế phải của phương trình (2.4) khi

n

xn

b

xấp xỉ bởi công thức hình thang



f  x  dx  hf o 

a

h2 '
f  xo   h  thì ta thu
2

được công thức Euler. Một kĩ thuật tích phân chính xác hơn là công thức hình
b

thang


a

h
h3 ''
f  x  dx   f o  f1   f  xo   h  , điều này kéo theo:
2
12

yn1  yn 

h
 f  xn , yn   f  xn1, yn1  
2

(2.5)

Phương trình (2.5) được gọi là công thức hình thang và nó cho phép ta tính
yn1 từ yn . Trong phương trình (2.5) ẩn yn1 là một hệ số của hàm f và vì

vậy (2.5) là một phương trình đại số phi tuyến. Để giải phương trình này ta sử

dụng công thức:

h
m 1
m
yn 1   yn   f  xn , yn   f xn1, yn 1  (2.6)

2 





0
Giá trị ban đầu yn 1 phải được cho trước và được tính từ công thức Euler sau:

yn 1  yn  h. f ( xn , yn ) (2.7) . Để tính yn1 từ một giá trị đã biết yn , đầu tiên
0

0
1
chúng ta sử dụng (2.7) để tính yn 1 rồi thay vào (2.6). Sử dụng yn 1 có được


18

như giá trị ban đầu. Quá trình lặp có thể dừng sau một số lần lặp hoặc khi
m1
m
yn 1   yn 1 nhỏ hơn số cho trước nào đó.

Giải bài toán theo cách này, công thức Euler được gọi là công thức dự
đoán, và công thức hình thang là công thức điều chỉnh. Mặc dù phương pháp
Euler ít chính xác hơn phương pháp hình thang, nhưng nó cung cấp một xấp
xỉ hợp lí để sử dụng cho các phương pháp khác.
VÍ DỤ 2.2: Xét bài toán cho ở ví dụ 2.1. Sử dụng phương pháp hình thang
với độ dài bước h  0,05 . Các công thức hình thang – Euler được cho bởi
yn 1  yn 
0

0,05. yn2
1  xn


 m 2 
2
y
n 1 
 y
m 1
Và yn 1   yn  0,025  n 

1  xn 1  xn1 



 

2

2

0,05. yo
0,05.1
0
Giá trị dự đoán của y1 là: y1   y0 
1
 0,95
1  xo

1 0

Nếu mỗi bước ta thực hiện hai lần điều chỉnh:
2

 y  0  
2
2
2
1
 y
1
   1  0,025  1  0,95   0,95351
y1   y0  0,025  o  



1  0 1  0,05 
1  xo 1  x1 




Và
2

 y1  
2
1
 12
 yo

0,953512 
 2


y1  y0  0,025 


  0,95335
  1  0,025 
1

x
1

x
1

0
1


0,05
o
1







Tức là: y1  0,95335


19

0
1
2
Tương tự: y2   0,91007; y2   0,91289; y2   0,91277

Tức : y2  0,91277
0
1
2
y3   0,87490; y3   0,87719; y3   0,87711

Tức: y3  0,87711
y4   0,84366; y4   0,84556; y4   0,84549
0

1

2

Tức: y4  0,84549
Sai số của y4 so với y  x4  là 0,0003.
Một kĩ thuật tính toán với cùng bậc hội tụ như quy tắc hình thang là
b

quy tắc điểm giữa



f  x  dx  2hf o 

a

h3 ''
f  xo   h  . Để áp dụng quy tắc
3

điểm giữa cho phương trình 2.1, ta tích phân hai vế của (2.1) trong khoảng

 xn1, xn1  với độ dài bước 2h thu được:
xn 1

y  xn1   y  xn1  



f ( x, y ( x ))dx

(2.8)

xn 1

Xấp xỉ tích phân này bởi quy tắc điểm giữa thu được hệ thức truy hồi:
yn1  yn1  2h. f ( xn , yn )

Đây được gọi là quy tắc điểm giữa và nó cho chúng ta cách tính yn1 từ hai
giá trị yn và yn1 . Giải bài toán theo cách này có một khó khăn là tìm giá trị
ban đầu. Giá trị nhỏ nhất của n phải được quy định để tránh âm chỉ số dưới.
Và bước đầu tiên sẽ là: y2  yo  2h. f ( x1, y1 ) . Mặc dù yo đã biết nhưng y1
không cố định. Do đó cần một kĩ thuật khác như phương pháp hình thang, để
ước lượng y ( x1 ) . Khi y ( x1 ) được tìm ra, phương pháp điểm giữa có thể áp
dụng để tính y2 , y3...