Ôn luyện thi vào lớp 10 môn toán

CHỦ ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa
Biểu thức A có nghĩa ⇔ A ≥ 0.
2. Các công thức biến đổi căn thức
Ta có các công thức biến đổi căn thức thường dùng sau
đây:
A khi A ≥ 0
2
• A = A =
;
−A khi A < 0
A. B với A ≥ 0, B ≥ 0;

• AB =
A A

•

với A ≥ 0, B > 0;

=
B

B

2

• A B= A B
•

A
B

=

AB
B

với B ≥ 0;

với AB ≥ 0, B ≠ 0;
2

A B khi A ≥ 0, B ≥ 0

;
• A B =  A 2 B khi A < 0, B ≥ 0

 −
2

•

C

=

C(

A  B) với A ≥ 0, A ≠ B .
2

A−B
A±B
3. Một số dạng toán thường gặp

1


Trong chủ đề rút gọn biểu thức và các bài toán liên
quan, ta thường gặp các dạng toán sau đây:

2


Dạng 1. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức
khi biết giá trị của biến.
Dạng 2. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biến khi
biết biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Dạng 3. Rút gọn biểu thức và so sánh biểu thức với một
số hoặc biểu thức cho trước.
Dạng 4. Rút gọn biểu thức và tìm điều kiện của biến
để biểu thức có giá trị nguyên.
Dạng 5. Rút gọn biểu thức và tìm giá trị lớn nhất hoặc
giá trị
nhỏ nhất của biểu thức.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
1A. Cho biểu thức:
 x−1

2−2 x  
x+2
2 
A=
+
:
−
 x− 1 x x + x x − 1   x −
x −1

 
2
−
x+
với x ≥ 0, x ≠ 1 .
a)Rút gọn A.
b)Tính giá trị của A khi:
i) x = 6 − 4 2 ;
1
9
ii) x =
+

80
− − 9


4
3


80 ;



3

iii) x = 10 + 6 3 + 10 − 6 3 ;
1
1
1
iv) x =
+
+ ... +
;
1+ 3
3+ 5
79 + 81
2
2x − 3x − 5 = x − 1;
v) x là nghiệm của phương trình
vi) x là nghiệm phương trình 2x − 6 = 3x + 1;
vii)x là giá trị làm cho biểu thức M =

l
n

.

x(1 −

x)
đạt

giá trị


c) Tìm x để:
i) A =

1

ii) A = A;

iii) A 2 + A ≤ 0.

;6

d)So sánh:
i) A với 1;
=

ii) A với biểu thức N

e)Tìm x nguyên dương để biểu thức
2

x−3

.

2 x
nhận giá trị nguyên.

A
g) Tìm x thực để A nhận giá trị
nguyên.
h) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x−
2);

i) P = A(x −
ii) Q =

với 0 ≤ x < 4;

A
−x + 3 x − 2
x

iii)R =

A

với x > 1.

i) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
ii) C =
A với x > 1.

i) B = 2 − A;
x+
7
k*) Tìm x thỏa mãn
A(

x + 1) − (2 6
− 1)

x = 2x − x − 5 + 1.
2

1B. Cho biểu thức
 2x + 1
B=

−

x
x

x x 2+− 2

1 +x
−



1 x x −


x+ x+1 1+

với x >
và x ≠ 1.
0
a)Rút gọn B.

b)Tính giá trị của biểu thức B khi:
48 ;
i) x = 7 −
ii) x =
iii)x =

11 + 6 2 11 − 6 2 ;
+
3

5 2+7 −

3

5 2−7;


x

x

iv)x =

1

+

1

+ ... +

1

;

1 7
+
97 +
4
4
+

100

2

x −x+2 =
v)x là nghiệm của
x;
phương trình:
x − 1 = 2x − 5 ;

vi)
x là
nghiệm
phương trình
vii)
x là giá trị P = x đạt
x − 4 + giá trị
làm cho biểu
6
thức nhỏ nhất.
c) Tìm x để:
i) B =
0;
d)So
sá
nh:
i) B với
−2;

ii) B
+

x−4
≤ 0.
x

3

ii) B với C
x − 3x

.
=
x

e)Tìm x để B nhận giá trị nguyên.
g) Xét dấu biểu x − 1).
thức T = B(
h) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
7


ii) D

i)

=
B

 
iii)E :

với
x− x+2

1
−
2

=

B

x
;

.
i) Tìm giá trị lớn
nhất của biểu
thức:
ii) Q = 1
i) G
−B
x.
=
−
3
−
B
;
k*) B x
Tì + (2
m 3+
x 3)
th
ỏa
mã
n

x x+1
= + 10.

3x
−
4

III. BÀI TẬP VỀ
NHÀ
t
x
2
 h
ứ
x
c
2.
x +
C +
2
=
Cho
biểu
8



−

 x 4 x
+
+
x

+ x
 
và 4
x

>x ≠
−2
9.
0
,
x


x
x

≠
4
a)Rút gọn C.
b)Tính giá trị của C
khi:
i) x
=
6
−
2
8
;

9

ii) x =

11+3 8 11-3 8 ;
+
3
3
iii) x = 14 2 + 20 − 14 2 −
20 − 1;
1

iv)x =
1

1

+ ... +

+
1 9
+

;

77 + 81

5
5
+

v)x là nghiệm
của phương
trình:

2

x −x =x−
1;
x − 3 = 3;

vi) x là nghiệm
của phương
trình
vii) x là giá trị M =
làm cho biểu −x +
3
thức trị lớn
nhất.

x đạt
+ giá
5

c) Tìm x để:
2

i) C
≤
0;

ii) C = −C;

d)So sánh C
x x > 9.
với biểu thức kh
D=
i
e) Tìm x để biểu
2C
thức E =
x


nhận
giá trị
nguy
ên.

v
ới
0
<

g) Tìm
giá trị
nhỏ
nhất
của:

h) T

ì
m

i) Biể
u
thứ
c C
với
x>
9;
ii)
Bi

x<
9,
x≠
4.
x

g
i
á
t
r
ị

C

l
ớ

n
n
h
ấ
t
c
ủ
a
b
i
ể
u
t
h
ứ
c

x−1+C
C

.
i*) Tìm x thỏa x − 3C x − 1 + 2.
mãn (2 2 + C) = 3x − 2


PHẦN B. CÁC ĐỀ TỰ LUYỆN
ĐỀ SỐ
1
Bài I. Cho biểu
thức

với x ≥ 0, x ≠
9.

A=

2 x
x+
3

1)Tính giá trị của B tại x
=

+

x + 1 3 − 11 x
x−3
+
,B=
9−
x

x−
3

2

−

2−1

2

x+1

.

2+1

2)Rút gọn A.
3)Tìm số nguyên x để P = A.B là số nguyên.
Bài II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ
phương trình: Một đội công nhân theo kế hoạch phải
trồng 75 hécta rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi
tuần trồng vượt mức 5 hécta so với kế hoạch nên đã
trồng được 80 hécta và hoàn thành sớm hơn 1 tuần.
Hỏi theo kế hoạch mỗi tuần đội công nhân đó trồng
bao nhiêu hécta rừng?
 8
1
+
=5

x − 3 2 y − 3
Bài III. 1) Giải hệ phương trình: 4
.
 + 1 =3
 x−3
2 y −
2)Cho phương trình:
3

2

x − 2(m + 1)x + 2m +
1 = 0.
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi
m. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ
thuộc m.


b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai
cạnh góc
vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng

5.
57


Bài IV. Cho điểm C nằm trên nửa đường tròn
(O; R),

đường kính
A BĐ
B Cư
s ( ờ
a Cn
o ≠ g
c Bt
h ). h
ẳ
o

n
c
g
u
n
g
A
C
lớ
n
h
ơ
n
c
u
n
g
vuông
góc
với
đường
kính
AB tại
O cắt
dây
AC tại
D.


1)Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp.

2)Ch AD.AC = AO.AB.
ứng
min
h
3)Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt
đường thẳng đi qua D và song song
với AB tại điểm E. Tứ giác OEDA là
hình gì?
4)Gọi H là hình
chiếu của C
trên

AB. Hãy tìm vị trí
điểm C để

HD ⊥ AC.
Bài V. Cho x, y là các số thực
dương thỏa mãn nhỏ nhất

2

2

x + y = 1. Tìm
giá trị

của biểu thức:
P=x+
1
+y+

1
.
x
y
Đ
Ề
S
Ố
2
2 x −9
Bài I. Cho biểu thức Q =
x−5
với x ≥ 0, x ≠ 4,
x ≠ 9.
1)Rút gọn Q.

x+3

2 x+1
−
−
2) Tìm x để Q < 1.

x + 6x
−
2

3
−
x

3)Tìm x
nguyê
n để
Q
nhận
giá trị
nguyê
n.
Bài II. Giải
bài toán
sau bằng
cách lập
phương
trình hoặc
hệ phương
trình:
Một
canô
đi xuôi
dòng
từ A
đến B
cách
nhau
40 km
sau đó
đi
n
g

ư
ợ
c
d
ò
n
g

từ
B
về


A. Cho biết thời
gian đi xuôi dòng
ít hơn
thời gian đi ngược dòng là 20 phút, vận
tốc dòng nước là 3 km/giờ và vận tốc
riêng của canô không đổi. Tính vận tốc
riêng của canô.
58


PHẦN D. GỢI Y - ĐÁP ÁN
CHỦ ĐỀ 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1A. a) Rút gọn A
=
b) i) Tìm được

x−1
x+1
x =2
−

với x ≥ 0, x ≠ 1.
2 (TM x ≥ 0, x ≠ 1).

1−2 2
Thay vào A tính
A
.
=
7
được
1
ii)Ta có x =
2+ 5 −2
5 = 1 (KTM x ≥ 0, x ≠ 1).
−
4

(

)

Từ đó không tìm được giá trị của A.
3)
= 2. A = 3 − 2 2.
iii) Ta có x = (1 3) + (1

−
Tính được
+
iv) Thực hiện trục các căn thức ở mẫu ta được:
x=

−1 + 3
2

Từ đó rút gọn
được
v) Sử dụng công
thức

+

− 3+ 5

+ ... +

− 79 +

81
2
2
x = 4 (TMĐK x ≠ 1), tính
được
 B ≥
0
A =B⇔

2A =
B

A=

1
3

.

ta có:

 x − 1
≥0
17


PT ⇔ 
.
2
2
2x
−
3x
−
5
=
(x
− 1)


Giải PT sau ta
được
Với x = 3, tính
được
vi)

x = −2 (KTM) hoặc x = 3 (TM).
A = 2 − 3.

Cách 1. Xét hai trường hợp:

- Với x ≥ 3 , ta có: 2x − 6 = 3x + 1 ⇔ x = −7 (KTM).

18


- Với x < 3 , ta có −(2x − 6) = 3x + 1 ⇔ x = 1 (KTM x ≥ 0; x
≠ 1) ).
3x + 1 ≥
0
Cách 2. Ta có PT ⇔ 
. Từ đó tìm được x = 1.
2x
−
6
=
±(3x
+

1)

Với x = 1 (KTM x ≥ 0, x ≠ 1), từ đó không tìm được A.
2

1 1
M = −
1 + ≤
x−
vii)
Biến

.
đổi được:
2
4 4


1
1
1
1
A=− .
Từ đó M max = ⇔ x = . Với x = tính
3
4
4
4 được
1
c) i) A = ⇒ x − 1 1
= .
Từ

6
x+1 6
(TMĐK x ≥ 0, x ≠ 1).
x = 49
Giải PT trên tìm
25
được
ii) Ta
có:

A = A ⇔ A ≥ 0 hay x − 1
x + 1 ≥ 0.

Giải BPT trên thu được x ≥ 1.
Kết hợp ĐK x ≥ 0, x ≠ 1, ta được kết quả x > 1.
2
A + A = x( x − 1)
.
iii)
Biến
đổi được
( x+
2
1)
2

Để A + A ≤ 0 ⇔ x ≤ 1. Kết hợp ĐK ta được 0 ≤ x < 1 .
A − 1 = − 2 < 0 với
x ≥ 0, x ≠ 1.
d) i) Xét

mọi
x+1
hiệu


Kết
luận
ii) Xét
hiệu
Kết
luận

A < 1.
A−N =

e) Biến đổi = 2 +
2

Để
(

2

A

4

> 0 với
mọi

x ≥ 0, x ≠ 1.

x + 1)

2
x(

A > N.

A

x+
3

.

x−1

∈  , thì x − 1) ∈Ư(4). Từ đó tìm được x ∈ { 0; 4; 9;
25} .


g) Cách 1. Tìm được −1 ≤ A < 1.
Mà A nguyên nên A ∈ {−1; 0} . Từ đó tìm
được
Kết hợp điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1 thu được
x = 0.

x = 0; x = 1.
x−1

=n
C
á với n là số
c
h nguyên.
2 x+1
.
Đ
ặ
t
≥ 0. Giải
T BPT được
x
a
−1 ≤ n < 1.
bi
ế
n =
đ
ổi n
+
1
−
+
Mà n
nguyên
nên n
∈ {−1; 0} .
Từ đó tìm
được x = 0.

h) i
)

ọn


với 1
x + vớ x ≥ 0, x ≠ 1 .
x> .
2 i 1
1
9
2
a a v x 2t
–1 ≥− =− ⇔x= .
Biến
x
Á
−
h
+ b ớ
.
(TMĐK)
3
x
đổi
P=
p

(

i
Vậy
− u
b
P
≥ a, a 1

d b = , −
2

2
min
4
4
ụ >
4
b
4
n 0)
1

g
=
với 0 ≤ x < 4.

B
Đ
ii) Rút gọn Q
T
=

1
đ Rmin = 2
ư 2+3 ⇔x
( x + 1)(2 −
x)
ợ =3+2
2
 (a ≥ 0;
c 2.
b
≥
0).
Dấu
“=”
≤b  xảy ra khi a = b với
Áp ab
a
+
dụn
R
g
≥


2
 2 
2
thu
Từ đó
x + 1)

+
a = x + 1;
được ( (2 − x ) ≤ suy
9
3
b=2−
.
.
x
4
V
ậ
4
ra Q ≥ .
y
9
2≤ Bmax
4
1
i) i
3
Vậy Qmin = (TMĐK 0 ≤ x < 4).
) x.
V
⇔x=
B +ậ
9
i 1y
4
ế

x−1
x− 2
n
iii) Biến
1+
đổi R =
đ
+3
ổ
P=x−3


= 3 ⇔ x = 0.


ii) Biến đổi C
=

với x > 1.
1
16 +
x − 11
x−1+
10
⇔
.
Vì ≥ 8
x=
nên Vậy C 25.
1

C≤
=
x−
1+
16
18

x−1

max

18
k*) (ĐK x ≥ 5 ) Biến
đổi ĐK đã cho về
dạng:
2
( 62 x − 5 − 1) = 0.
x)
−+
(
Từ đó (TM x ≥ 5).
ta tìm
được
x=6
1B.
Tương tự
1A.
x với x > 0, x ≠
a) Rút
gọn + 1.

B= 2
x − 3x
b)i)
Tì

m

được


x=
2−

3 tính được
B=3+
, 3.

nB =
h2

2
2 và 0.
−
c) i) Giải PT tìm được x
3
= 1 (KTMĐK) và x = 4
vii)
(TMĐK).
Tì
x −2

m
ii) Biến
≤ 0. Tìm
đổi
được x ≤ 2.
đ
BPT
x
ư
trở
ợ
thành
c
Kết hợp điều kiện thu
được 0 < x ≤ 2 , x ≠ 1.
P

2−
đ
3.
−9 + 4
ii) Rú B =
ư
t 6
ợ
gọ .
3
c
n B = −3 +
vi) A =

x = 2 2.
6,
Áp B
tín
d⇔
h B
ụA=
đư
n ±B.
ợc
g
m
=
i
iii) R
n
c
út
gọ −
ô
=
n x9
n
= 2,
g
2
tín
h +
k
t

đư
h
h
ợc
i
ứ
x
5
c
iv) R
út
=
Tì
Từ
gọ
m
đó
n x3
4
đư
tính
=3
,
ợc đượ
,
t
x= c
tín .
í
3

các
2;
h
n
x = giá h
đư
trị
4
ợc
(T tươnđ
v) Giải
x
MĐ g ư
K). ứng ợ
PT
=
của c
tìm
2,
B
được
tí