Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC VÀ ỨNG DỤNG

Giảng viên hướng dẫn:
Sinh viên:
Lớp:

Th.S Nguyễn Kế Tam
Trần Thị Mỹ Hạnh
Đại học Sư phạm Toán K56

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong bài khóa luận này là hoàn toàn
trung thực. Đây là công trình nghiên cứu của chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn
của thầy giáo ThS. Nguyễn Kế Tam.
Chúng tôi chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình
này.
Quảng Bình, tháng 5 năm 2018
Tác giả

Trần Thị Mỹ Hạnh

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian cố gắng và nỗ lực , em đã phần nào hoàn thành đề tài “ Một
số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng”. Ngoài sự có cố gắng hết
mình của bản thân, em đã nhận được rất nhiều sự khích lệ từ phía các thầy cô, nhà
trường, gia đình và bạn bè.
Với tình cảm chân thành của mình, em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu,
cán bộ, giảng viên Trường Đại học Quảng Bình, giảng viên khoa Khoa học – Tự
nhiên đã tận tình truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm cho chúng em trong
suốt quá trình học tập. Đặc biệt, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.S
Nguyễn Kế Tam, người đã tận tình giúp đỡ em về kiến thức cũng như phương pháp
trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn lo lắng, động viên và ủng hộ em trong
suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này.
Cuối cùng em xin kính chúc các thầy, cô giáo nhiều sức khỏe và thành công
trong sự nghiệp trồng người cao quý.
Em xin chân thành cảm ơn!


MỤC LỤC
PHẦN I : MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .......................................................................................... 1
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ................................................................................. 2
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU........................................................................ 2
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ................................................................................ 2
PHẦN II: NỘI DUNG................................................................................................ 3
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC .................................. 3
1.1. Định nghĩa ........................................................................................................ 3
1.2. Các tính chất của bất đẳng thức ....................................................................... 3
1.3. Một số bất đẳng thức cần nhớ .......................................................................... 5
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC .... 6

2.1. Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa ................................................................ 6
2.2. Phương pháp 2: Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức ............................... 8
2.3. Phương pháp 3: Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển. ..................................... 11
2.3.1. Bất đẳng thức Cauchy .............................................................................. 11
2.3.2. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (BĐT Bunhiacopxki) ......................... 18
2.3.3. Bất đẳng thức Chebyshev ........................................................................ 22
2.4. Phương pháp 4: Sử dụng phép biến đổi tương đương ................................... 27
2.5. Phương pháp 5: Sử dụng đạo hàm ................................................................. 30
2.6. Phương pháp 6: Sử dụng quy nạp .................................................................. 34
2.7. Phương pháp 7: Sử dụng tam thức bậc 2. ...................................................... 37
2.8. Bài tập tương tự.............................................................................................. 40


CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ........................................... 44
3.1. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình, hệ phương trình .......................... 44
3.2. Dùng bất đẳng thức đề tìm cực trị.................................................................. 47
3.4. Bài tập tương tự.............................................................................................. 49
PHẦN III. KẾT LUẬN ............................................................................................ 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 55


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

1. BĐT

:

Bất đẳng thức

2. CMR

:

Chứng minh rằng

3. ĐK

:

Điều kiện

4. ĐPCM

:

Điều phải chứng minh

5. GTLN

:

Giá trị lớn nhất

6. GTNN

:

Giá trị nhỏ nhất

7. VT

:

Vế trái

8. VP

:

Vế phải


LỜI NÓI ĐẦU
Toán học là một bộ môn khoa học cơ bản rất quan trọng trong đời sống và
được ứng dụng rộng rãi. Hoạt động giải bài tập toán học là một phương tiện có hiệu
quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức và phát
triển tư duy. Một trong những vấn đề toán học hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẻ đẹp, tính
độc đáo của phương pháp cũng như kĩ thuật giải, đó chính là bài toán về bất đẳng
thức.
Để giải được các bài toán về bất đẳng thức đòi hỏi người học toán không
những phải nắm vững những kiến thức cơ bản, mà còn biết áp dụng các phương
pháp phù hợp với đặc thù của từng bài toán cụ thể. Chính vì vậy, em đã chọn đề tài
“ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng” cho khóa luận của
mình. Với đề tài này, em mong rằng học sinh sẽ bớt lúng túng và e ngại khi gặp các
bài toán về chứng minh bất đẳng thức, cũng như ứng dụng của nó. Qua đó, các em
có thể định hướng tốt hơn về các giải, đánh giá các biểu thức, sử dụng các công
thức bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức giữa các bất đẳng thức,… để đi
đến giải quyết bài toán một cách tốt nhất. Mong rằng trong quá trình học tập, các
em học sinh thay vì ngại chạm trán với các bài bất đẳng thức thì sẽ yêu thích, hứng
thú và say mê hơn khi học và giải các bài toán về bất đẳng thức.

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Kế Tam và các thầy cô trong khoa
Khoa học – Tự nhiên đã tận tình hướng dẫn giúp em hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù đã cố gắng trong quá trình thực hiện, song không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Vậy em kính mong nhận được sự thông cảm và góp ý chân thành của các
thầy cô về nội dung cũng như hình thức trình bày để khóa luận của em được hoàn
thiện và có hiệu quả cao.


PHẦN I : MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Nói đến Toán học là nói đến một ngành khoa học cơ bản tạo nền tảng cho các
ngành khoa học khác. Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn Toán không
những giữ vai trò hết sức quan trọng nhằm trang bị cho người học một hệ thống
kiến thức căn bản, mà còn được coi như một môn thể thao của trí tuệ góp phần phát
triển năng lực toán học cùng với các thao tác tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ
của học sinh.
Bất đẳng thức là một nội dung khó trong môn Toán ở trường phổ thông, tuy
nhiên đây cũng là một lĩnh vực rất hay, đòi hỏi người học phải động não, tìm tòi,
sáng tạo. Từ một bất đẳng thức đơn giản có thể tạo ra những bài toán khó và do đó
cũng có những cách giải hay, độc đáo và đơn giản cho một bài toán phức tạp. Bất
đẳng thức xuất hiện trong nhiều bộ phận khác của toán phổ thông như trong việc
giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tìm các giá trị
lớn nhất nhỏ nhất của các biểu thức, xuất hiện trong các bài toán hình học, lượng
giác… Do đó bất đẳng thức sẽ là công cụ quan trọng và hiệu quả trong việc rèn
luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu
tượng hóa.
Là một sinh viên được đào tạo để trở thành một giáo viên giảng dạy môn
Toán, em luôn tìm tòi những cách giải hay và mới ở những bài toán khó mà học
sinh thường ngại mỗi khi làm. Vấn đề đặt ra ở đây là điều gì ở các bài toán bất
đẳng thức mà các em còn vướng mắc và làm thế nào để giúp các em có thể nắm

vững và giải thành thạo các bài toán chứng minh bất đẳng thức?
Xuất phát từ những lý do trên em quyết định chọn đề tài: “ Một số phương
pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng”

1


II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu sâu hơn vấn đề “bất đẳng thức” trong trường phổ thông. Đưa ra một
số phương pháp chứng minh BĐT và ứng dụng của BĐT trong việc giải toán. Từ
đó giúp học sinh hiểu và nắm được các phương pháp chứng minh BĐT thông
thường cũng như nâng cao. Bên cạnh đó rèn luyện cho các em kỹ năng tư duy tính
toán trong các bài toán chứng minh.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu khái quát hóa
Phương pháp nghiên cứu phân tích, tổng hợp tài liệu
Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa, sách tham khảo về bất đẳng thức
Tham khảo từ Internet: dienantoanhoc.net, toanmath.com,…
Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Trong đề tài “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng”
em đã đưa ra một số định nghĩa, tính chất,… cũng như các bài tập vận dụng cho
những phương pháp chứng minh BĐT bao gồm những chương sau:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết về bất đẳng thức: Đây là chương tóm tắt một số
kiến thức lý thuyết cơ bản mà học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình chứng
minh bất đẳng thức.
Chương 2: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp một số
phương pháp chứng minh bất đẳng thức, với mỗi phương pháp có các lý thuyết cần
nắm và các bài tập áp dụng để học sinh tự mình hình thành tư duy, cảm nhận về
phương pháp đó.

Chương 3: Ứng dụng của bất đẳng thức: Trình bày những ứng dụng phổ biến
của chứng minh bất đẳng thức.

2


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1. Định nghĩa
Định nghĩa : Cho hai số a và b là hai số thực. Khi đó: a lớn hơn b (kí hiệu
a  b ) nếu hiệu a  b là một số dương; a nhỏ hơn b (kí hiệu a  b ) nếu hiệu a  b

là một số âm. Ngược lại, nếu hiệu a  b  0 thì ta nói rằng a  b , nếu a  b  0 thì
a  b.

Vậy :
a  b  a b  0.
a  b  a  b  0.

Ngoài ra ta còn có:

a  b
a  b  a  b  a  b  0 .


a  b
a  b  a  b  a  b  0 .

Các mệnh đề “ a  b ”; “ a  b ”; a  b ”; a  b ” được gọi là bất đẳng thức và a
được gọi là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai.
Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
1.2. Các tính chất của bất đẳng thức
a) Tính chất bắc cầu
Với a, b, c  , ta có:

a  b
 a  c.

b  c
b) Tính chất đơn điệu của phép cộng
Với a, b, c  , ta có:
a b  a c b c.
3


c) Tính chất đơn điệu của phép nhân
Với a, b  , ta có:
a  b  ac  bc(c  0)
a  b  ac  bc(c  0) .

d) Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng thức mới cùng
chiều với các bất đẳng thức đã cho
Với a, b, c, d  , ta có:

a  b
acbd .

c


d

e) Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức bị trừ
Với a, b, c, d  , ta có:

a  b
ac bd .

c

d

f) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu
Với a, b  , ta có:
1 1

a b
.
1 1
ab0 
a b
a b0

g) So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương
Với a  , ta có :
Nếu a  1 thì am  an  m  n .
Nếu 0  a  1 thì am  an  m  n .
h) Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức:
Với a, b  , ta có:

Nếu a  b  0 thì an  bn .
4


Nếu a  b thì an  bn với n  2k  1(k  ) .
Chú ý: Trong các tính chất trên, dấu  ( hoặc  ) có thể thay thế bởi 
( hoặc  ).
1.3. Một số bất đẳng thức cần nhớ
a) A2  0 với A  .
b) A2 k  0 với A 

và k là số tự nhiên.

c) A  0 với A  .
d) A  B  A  B với A, B 

.

e) A  B  A  B với A, B 

.

5


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC
2.1. Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa
2.1.1. Lý thuyết
Để chứng minh một BĐT A  B nào đó là đúng, ta cần chỉ ra A  B  0 bằng

cách biến đổi biểu thức ( A  B) một cách thích hợp.
Ngược lại, khi cần chứng minh A  B  0 ta có thể đưa về BĐT A  B để
chứng minh.
Lưu ý: A2  0 với mọi A, dấu “ = ” xảy ra  A  0 .
2.1.2. Bài tập vận dụng
Bài 1: CMR: a2  b2  c2  ab  bc  ca với mọi a, b, c .
Giải:
Xét hiệu:
A  (a 2  b 2  c 2 )  (ab  bc  a )
1 2

[(a  2ab  b 2 )  (b 2  2bc  c 2 )  (c 2  2ca  a 2 )]
2
1

[(a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2 ].
2

Do:

(a  b)2  0 với a, b . Dấu “ = ” xảy ra  a  b .
(b  c)2  0 với b,c . Dấu “ = ” xảy ra  b  c .
(c  a)2  0 với c, a . Dấu “ = ” xảy ra  c  a .

Nên A  0  (a 2  b2  c 2 )  (ab  bc  ca)  0 với a, b, c .
Từ đó suy ra :

a2  b2  c2  ab  bc  ca với a, b, c.
Dấu “ = ” xảy ra  a  b  c (đpcm).
6

Bài 2: CMR: a 4  b4  ab3  a3b với mọi a, b .
Giải:
Xét hiệu:

B  a 4  b 4  ab3  a 3b  a 3 (a  b)  b3 (a  b)
 (a  b)(a 3  b3 )  (a  b) 2 (a 2  ab  b 2 )
2

b  3b 2 
 ( a  b )  a   
.
2
4




2

Do:

(a  b)2  0 với a, b . Dấu “ = ” xảy ra  a  b .
2

b  3b2

 0 với a, b . Dấu “ = ” xảy ra  a  b  0 .
a   

2
4

Nên B  0 với a, b.
Từ đó suy ra :

a 4  b4  ab3  a3b với a, b.
Dấu “ = ” xảy ra  a  b (đpcm).
Bài 3: CMR: a 2  b2  c 2  3  2(a  b  c) với a, b, c .
Giải:
Xét hiệu:

a 2  b2  c 2  3  2(a  b  c)  a 2  2a  1  b 2  2b  1  c 2  2c  1
 (a  1)2  (b  1)2  (c 1)2 .
Do: (a  1)2  0 với a, b . Dấu “ = ” xảy ra  a  1 .

(b  1)2  0 với b,c . Dấu “ = ” xảy ra  b  1.
(c  1) 2  0 với c, a . Dấu “ = ” xảy ra  c  1 .

Nên a 2  b2  c 2  3  2(a  b  c)  0 với a, b, c .
Từ đó suy ra: a 2  b2  c 2  3  2(a  b  c) với a, b ,c.
Dấu “ = ” xảy ra  a  b  c  1.
7


Bài 4: Với a  0, b  0 , CMR:

a
b


 a b.
b
a

Giải
Xét hiệu:
a
b

 a b
b
a



a a  b b  ab ( a  b )
ab



a 3  b3  ab ( a  b )
ab



( a  b )(a  ab  b)  ab ( a  b )
ab



( a  b )(a  2 ab  b)
ab



( a  b )( a  b ) 2
.
ab

( a  b )( a  b ) 2
 0 với a  0, b  0.
Vì
ab

Nên

a
b

 a  b với a  0, b  0 (đpcm).
b
a

Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy khi xét hiệu vế trái và vế phải của bất đẳng
thức thì thường xuất hiện các hằng đẳng thức. Việc phát hiện ra những hằng đẳng
thức để tách và ghép có nhiều ý nghĩa trong chứng minh bất đẳng thức. Vậy để
chứng minh A  B ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích hiệu A  B
thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.
2.2. Phương pháp 2: Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức
2.2.1. Lý thuyết.

Vận dụng hợp lí các tính chất của bất đẳng thức để suy ra các bất đẳng thức
cần chứng minh.
2.2.2. Bài tập vận dụng
8


Bài 1: Cho a  2, b  2 . CMR:
ab  a  b .

Giải:
Do a  2 và b  0 nên ta có:
ab  2b .

Do b  2 và a  0 nên ta có:
ab  2a .

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta được:
2ab  2a  2b .

Chia hai vế cho 2, ta được:
ab  a  b .

Vậy ab  a  b với a  2, b  2 (đpcm).
Bài 2: Cho a, b, c, d  0 . CMR:

1

a
b
c

d



 2.
abc bcd cd a d a b
Giải:

Do a, b, c, d  0 nên:

a
a

abc a bcd
b
b

bcd abcd
c
c

cd a abcd
d
d
.

d ab abcd
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên, ta suy ra:

a

b
c
d



 1.
abc bcd cd a d a b
9

(1)


Mặt khác, ta lại có:

a
a
c
c
.

;

abc ac cd a ac
Nên suy ra :

a
c

 1.

abc cd a
Tương tự, ta có:

b
d

 1.
bcd d ab
Từ đó suy ra:

a
b
c
d



 2.
abc bcd cd a d ab
Từ (1) và (2) suy ra: 1 

(2)

a
b
c
d




 2 (đpcm).
abc bcd cd a d a b

Bài 3: Cho 0  a, b, c  1. CMR:

2a3  2b3  2c3  3  a2b  b2c  c2a
Giải
Do 0  a, b  1 nên a3  a2  a  1; b3  b2  b  1.
Ta có:

(1  a 2 )(1  b)  0  1  a 2b  a 2  b
 1  a 2b  a 3  b 3 .
hay :

a3  b3  1  a 2b .

(1)

b3  c3  1  b2c .

(2)

a3  c3  1  c 2 a .

(3)

Tương tự, ta có:

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1); (2) và (3), ta có:

2a3  2b3  2c3  3  a2b  b2c  c2a (đpcm).
10


Bài 4: CMR: a 4  b4  c 4  abc(a  b  c) với a, b, c
Giải
Theo 2.1.2 - Bài 1 ta có:
a 4  b4  c 4

  a 2   b2    c2 
 a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 .
2

2

2

Ta lại có:
a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2

 (ab)2  (bc) 2  (ca) 2
 ab 2c  abc 2  a 2bc
 abc(a  b  c).

Từ đó ta có:
 a 4  b 4  c 4  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2
.
 2 2
2 2
2 2

a b  b c  c a  abc(a  b  c )

Theo tính chất bắc cầu, ta có:

a 4  b4  c 4  abc(a  b  c) .
Vậy a 4  b4  c 4  abc(a  b  c) với a, b, c (đpcm).
Nhận xét: Các ví dụ trên sử dụng linh hoạt các tính chất của bất đẳng thức để suy
ra bất đẳng thức cần chứng minh. Để chứng minh một bất đẳng thức không chỉ sử
dụng một tính chất mà có thể sử dụng nhiều tính chất của bất đẳng thức để biến đổi
bất đẳng thức cần chứng minh về một điều hiển nhiên đúng.
2.3. Phương pháp 3: Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển.
2.3.1. Bất đẳng thức Cauchy
2.3.1.1. Lý thuyết
Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic
Means - Geometric Means) còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy (Côsi).
Bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung
bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:
11


Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình
nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó
bằng nhau.
Cho các số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an . Khi đó, ta có các BĐT sau:
•

Với n = 2:
a1  a2
 a1a2 .
2

Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2 .
•

Với n = 3:

a1  a2  a3 3
 a1a2 a3 .
3
Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2  a3
•

Tổng quát:
n

a

i

i 1

n



n

n

a

i

() .

i 1

Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2  ...  an .
Chứng minh:
- Với n = 2, khi đó BĐT () đúng.
Thật vậy:

( a1  a2 )2
a1  a2
.
 a1a2 
2
2
( a1  a2 )2
Mà
 0 với a1 , a2  0
2
Suy ra:
a1  a2
 a1a2 .
2

Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2 .
12

- Giả sử BĐT () đúng với n  k (k  2, k  N ) , tức là:
k

a

i

i 1

k



k

k

a .
i

i 1

Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2  ...  ak .
- BĐT () đúng với n  k (k  2, k  N ) , thì nó đúng với n  2k .
Thật vậy:
2k

k

2k

i 1

i 1

i  k 1

 ai   ai   ai

 kk

k

 ai  k k
i 1

2k

a

i

i  k 1

2k

2k 2 k  ai .



i 1

Theo quy nạp thì BĐT () đúng với n  2m (m  N  ) .
- Mặt khác nếu BĐT () đúng với n  k (k  2, k  N ) thì nó cũng đúng với
n  k  1.
k 1

Thật vậy, đặt a  k 1  ai , ta có:
k

i 1

k 1

k 1

i 1

i 1

 ai  k 1  ai

 kk
 k

k 1

k 1

i 1

i 1

 ai .k 1  ai
k 1

k 1

a .
i

i 1

Từ đó suy ra:
k 1

k 1

 a  (k  1)  a .
k 1

i

i 1

i

i 1

Theo quy nạp BĐT () đúng với n  k  1.
Vậy theo nguyên lý quy nạp BĐT () đúng với mọi n  2, n  .
Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2  ...  an .
2.3.1.2. Bài tập vận dụng
13


Bài 1: Cho a, b, c  0 . CMR:

a
b
c
3


 .
bc ca ab 2
Giải:
Ta có:
a
b
c
a
b
c


3 
1
1

1
bc ca ab
bc
ca
ab
abc abc abc



bc
ca
ab
1
1 
 1
 ( a  b  c) 


.
bc ca ab

Áp dụng BĐT Cauchy:
Cho 3 số dương a  b, b  c, c  a , ta có:
a  b  b  c  c  a  3 3 (a  b)(b  c)(c  a). (1)

Cho 3 số dương

1
1
1

ta có:
;
;
ab bc ca
1
1
1
1


 33
. (2)
ab bc ca
(a  b)(b  c)(c  a)

Nhân từng vế của BĐT (1) và (2) ta có:

1
1 
 1
2(a  b  c) 


9
ab bc ca
1
1  9
 1
 ( a  b  c) 



 .
ab bc ca 2
Từ đó suy ra:

a
b
c
9


3
bc ca ab
2


a
b
c
3


 .
bc ca ab 2

Dấu “ = ” xảy ra  a  b  c .
14


3

Bài 2: Cho a, b, c  0 và a  b  c  .CMR:
4
3

a  3b  3 b  3c  3 c  3a  3
Giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương a  3b;1;1, ta có:

a  3b 

a  3b  1  1
.
3

3

b  3c 

b  3c  1  1
.
3

3

c  3a 

c  3a  1  1
.
3

3

Dấu “ = ” xảy ra  a  3b  1.
Tương tự, ta có:

Dấu “ = ” xảy ra  b  3c  1.

Dấu “ = ” xảy ra  c  3a  1 .
Cộng từng vế của BĐT trên ta được :
3

Vì a  b  c 

a  3b  3 b  3c  3 c  3a 

4(a  b  c)  6
.
3

3
(Theo giả thiết).
4

Suy ra:
3

a  3b  3 b  3c  3 c  3a  3.

a  3b  1

b  3c  1

1
Dấu “ = ” xảy ra  c  3a  1  a  b  c  (đpcm).
4

3
a  b  c 

4

15


1
Bài 3: Cho a  b  c  1. CMR: ab  bc  ca  .
3
Giải:
Ta có:
ab  bc  ca  a(b  c)  bc.

Áp dụng BĐT Cauchy cho a(b  c); bc , ta có:
bc
a (b  c)  bc  a (b  c )  

 2 

2

1 a 

 a (1  a )  

 2 
1

(1  a )(3a  1)
4
1

(3  3a )(3a  1).
12
2

Áp dụng BĐT Cauchy cho (3  3a);(3a  1) , ta có:

1
1  3  3a  1  3a 
(3  3a)(3a  1)  
.
12
12 
2

2

Suy ra:

1  3  3a  1  3a 
a(b  c)  bc  
 .

12 
2

2

Từ đó, suy ra:

1  3  3a  1  3a  1
ab  bc  ca  
  .
12 
2
 3
2

1
Vậy ab  bc  ca  .
3
b  c
1

Dấu “ = ” xảy ra  3  3a  1  3a  a  b  c  (đpcm).
3
a  b  c  1

16


Bài 4: CMR với mọi số thực không âm a, b, c ta có:
a2

b2
c2
abc



bc ac ab
2

Giải
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

a2
bc
a2 b  c

2
.
 a.
bc
4
bc 4
b2
ac
b2 a  c

2
.
 b.
ac

4
ac 4
c2
ab
c2 a  b

2
.
c.
ab
4
ab 4
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
a2
b2
c2
abc



 abc.
bc ac ab
2

Hay :
a2
b2
c2
abc
.




bc ac ab
2

Dấu “ = ” xảy ra  a  b  c (đpcm).
Bài 5: Cho a, b, c là các số dương tùy ý. CMR:

(a  b)(a  b  2c) 1
 .
(3a  3b  2c) 2
8

Giải
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
1
(2a  2b)(a  b  2c)
2
2
1  (2a  2b)  (a  b  2c) 


2 
2
1

(3a  3b  2c) 2 .
8

(a  b)(a  b  2c) 

17


Từ đó suy ra:
(a  b)(a  b  2c) 1
 .
(3a  3b  2c) 2
8

Dấu “ = ” xảy ra  a  b  2c (đpcm).
Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi điều kiện
của bài toán cho các ẩn là các số dương. Nhiều bất đẳng thức không sử dụng trực
tiếp ngay bất đẳng thức Cauchy để chứng minh mà thường phải biến đổi bài toán
đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
2.3.2. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (BĐT Bunhiacopxki)
2.3.2.1. Lý thuyết
Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki - Schwarz hay bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Bất đẳng thức Bunhiacopxki thông thường

(ac  bd )2  (a 2  b2 )(c 2  d 2 ).
Dấu “ = ” xảy ra 

a c
 .
b d

Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số
Với 2 bộ n số (a1 , a2 ,..., an ) và (b1 , b2 ,..., bn ) , ta có:

n

n

n

( aibi )  ( ai )( bi 2 ).
2

i 1

2

i 1

Dấu “ = ” xảy ra  K , ai  Kbi ; i  1...n .
Chứng minh:
n

Đặt: F ( x)   (ai X  bi ) 2 .
i 1

n

- Nếu

a

2

 0(*) hiển nhiên đúng.

2

 0 , ta có:

i

i 1
n

- Nếu

a

i

i 1

18

i 1

(*)