Phát huy tính tích cực của học sinh thông qua hệ thống bài tập ứng dụng đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ thông

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Cô giáo ThS. Phạm
Hồng Minh, người đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tôi trong suốt thời gian
thực hiện khóa luận này, đồng thời đã bổ sung nhiều kiến thức chuyên môn
và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong hoạt động nghiên cứu khoa học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô Trường Đại học
Quảng Bình, đặc biệt là quý Thầy Cô trong khoa Khoa học tự nhiên đã
giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và tạo mọi
điều kiện để giúp tôi hoàn thành bài khóa luận này.
Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp
Đại học Sư phạm Toán Khóa 56 đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình
học tập và hoàn thành tốt khóa luận này.
Trân trọng cảm ơn!
Quảng Bình, tháng 5 năm 2018.
Tác giả

Trương Thị Hải Yến

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả nghiên cứu trong bài khóa luận
này là hoàn toàn trung thực. Đây là công trình nghiên cứu của chính tôi
thực hiện dưới sự hướng dẫn của Cô giáo ThS. Phạm Hồng Minh.
Chúng tôi chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công
trình này.
Quảng Bình, tháng 5 năm 2018.
Tác giả

Trương Thị Hải Yến

ii


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

BBT:

Bảng biến thiên

GTNN:

Giá trị nhỏ nhất

GTLN:

Giá trị lớn nhất

SGK:

Sách giáo khoa

THPT:

Trung học phổ thông

iii

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .....................................................................................................i
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................... ii
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................................. iii
MỤC LỤC........................................................................................................ iv
PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1
PHẦN NỘI DUNG............................................................................................ 3
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................... 3
1. Cơ sở lý luận ............................................................................................... 3
1.1. Phát huy tính tích cực học tập của học sinh ........................................... 3
1.2. Tư duy ..................................................................................................... 4
1.2.1. Khái niệm tư duy .................................................................................. 4
1.2.2. Đặc điểm của tư duy ............................................................................ 5
1.2.3. Các thao tác tư duy .............................................................................. 8
1.3. Tư duy sáng tạo ...................................................................................... 8
1.3.1. Định nghĩa tư duy sáng tạo .................................................................. 8
1.3.2. Cấu trúc của tư duy sáng tạo ............................................................. 10
1.3.3. Một số biện pháp phát huy tính tích cực của học sinh phổ thông .... 12
2. Cơ sở thực tiễn......................................................................................... 12
2.1. Thực trạng dạy học ứng dụng đạo hàm ở trường phổ thông hiện nay 12
2.2. Vai trò của hệ thống bài tập khi dạy học để phát huy tính tích cực ở
học sinh ....................................................................................................... 13

iv


CHƯƠNG II. PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA HỆ
THỐNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ...................................................... 15

Dạng 1. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số .................... 15
Dạng 2. Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số .................................... 18
Dạng 3. Ứng dụng đạo hàm giải phương trình ............................................ 21
Dạng 4. Ứng dụng đạo hàm giải bất phương trình. ..................................... 24
Dạng 5. Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình ....................................... 28
Dạng 6. Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất................ 32
Dạng 7. Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức ............................. 43
Dạng 8. Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế.................................. 49
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .............................................................................. 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 56

v


PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong thế kỷ của trí tuệ sáng tạo. Đất nước đang
trong thời kỳ đổi mới, đó là công nghiệp hoá, hiện đại hoá. Phát triển Giáo
dục và Đào tạo là một động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp
hoá, hiện đại hoá, là điều kiện phát huy nguồn lực con người – yếu tố cơ
bản để phát triển xã hội, tăng trưởng nền kinh tế nhanh và bền vững. Sự
nghiệp giáo dục phải góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho thế hệ trẻ
trẻ tiềm năng trí tuệ, tư duy sáng tạo, tính tích cực tự giác trong học tập,
năng lực tìm tòi chiếm lĩnh tri thức, năng lực giải quyết vấn đề thích ứng
được với thực tiễn cuộc sống. Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung
ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khoá VII) đã chỉ ra: “Giáo dục đào tạo
phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo có năng
lực giải quyết các vấn đề thường gặp qua đó góp phần tích cực thực hiện
các mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng,

dân chủ văn minh”.
Trong chương trình giải tích 12-THPT, nội dung đạo hàm và ứng
dụng giữ vai trò chủ đạo, chiếm một khối lượng kiến thức và thời gian của
chương trình môn Toán, kiến thức về đạo hàm chiếm tỷ lệ cao trong các kì
thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp. Vì vậy việc sử
dụng đạo hàm để giải toán là một nội dung rất cần thiết và hữu ích đối với
các em học sinh. Đạo hàm là nội dung cơ bản trong chương trình toán phổ
thông, là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích. Đạo hàm là công cụ
để ta nghiên cứu các tính chất của hàm số như tính đồng biến, nghịch biến,
tính lồi lõm, cực trị,…Vận dụng tính chất đạo hàm còn giúp học sinh giải
được các bài toán đại số như: giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng
thức,…Ngoài ra, đạo hàm còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác
như: bài toán tính vận tốc, gia tốc của một chuyên động vật lý, bài toán cực
trị trong kinh tế, trong chuyển động, …
1


Thực tế dạy học toán ở trường phổ thông cho thấy còn nhiều học sinh
gặp khó khăn khi sử dụng kiến thức đạo hàm để giải bài tập, một trong
những nguyên nhân chính là do các em không hiểu sâu sắc khái niệm, chưa
chủ động, tích cực trong học tập… Học sinh thường có thói quen vận dụng
thuật toán để giải một cách máy móc mà không hiểu đúng bản chất của toán
học.
Với những lí do trên tôi quyết định lựa chọn đề tài làm khoá luận của
mình là “Phát huy tính tích cực của học sinh thông qua hệ thống bài
tập ứng dụng đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng đạo hàm và biện pháp phát huy
tính tích cực cho học sinh phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về tư duy, tư duy sáng tao, tính tích cực trong
học tập.
- Nghiên cứu thực trạng dạy học ứng dụng đạo hàm ở trường phổ
thông.
- Đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học
sinh.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu ứng dụng đạo hàm trong chương trình toán phổ thông.
5. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh trung học phổ thông
6. Vấn đề nghiên cứu
Làm thế nào để phát huy tối đa tính tích cực của học sinh thông qua
bài tập ứng dụng đạo hàm trong chương trình toán THPT.
7. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng hợp kiến thức từ các nguồn khác nhau.
8. Cấu trúc khoá luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận này gồm
hai nội dung cơ bản:
Chương I. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II. Một số bài tập ứng dụng đạo hàm trong toán phổ thông.
2


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1. Cơ sở lý luận
1.1. Phát huy tính tích cực học tập của học sinh
Phát huy tính tích cực của học sinh trong hoạt động học tập của học
sinh là yêu cầu tất yếu và cấp bách của giáo dục. Luật giáo dục năm 2005

chương II mục 2 điều 25 có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của học sinh, phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự
học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động vào tình cảm đem lại niềm vui hứng thú cho học
sinh”.
Theo từ điển Tiếng Việt “Tích cực là: có ý nghĩa, có tác dụng khẳng
định, tác dụng thúc đẩy sự phát triển; tỏ ra chủ động, có những hoạt động
nhằm tạo ra sự biến đổi theo hướng phát triển; hăng hái, tỏ ra nhiệt tình với
nhiệm vụ, với công việc”. Có thể hiểu rằng: tích cực là một hiện tượng sư
phạm, biểu hiện sự cố gắng cao về nhiều mặt trong hoạt động học tập. Nói
đến tính tích cực học tập thực chất là nói đến tính tích cực nhận thức.
Theo I.F.Kharlamop: “Tính tích cực nhận thức là trạng thái hoạt động
của học sinh, đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực
trong quá trình nắm vững kiến thức” [9].
Theo Giáo sư Trần Bá Hoành: “Tính tích cực học tập thực chất là tính
tích cực nhận thức. Biểu hiện của nó là cố gắng cao trong học tập, khát
khao hiểu biết, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình chiếm lĩnh tri
thức”[2].
Tính tích cực trong nhận thức được biểu hiện: Học sinh có nhu cầu
tiếp thu kiến thức,kĩ năng, vận dụng kĩ năng để giao tiếp, gây hứng thú học
tập từ đây các em sẽ tự giác học tập, chủ động huy động vốn kinh nghiệm
đã tích luỹ để làm chủ tri thức. Có ba cấp độ biểu hiện tính tích cực học tập,
đó là: Bắt chước-Tìm tòi-Sáng tạo. Phát huy tính tích cực học tập của học
sinh đạt hiệu quả cao nhất khi tiến đến tư duy sáng tạo.
3


1.2. Tư duy
1.2.1. Khái niệm tư duy

Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ
của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết
cái chưa biết ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác, phải vạch ra những
bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức được
gọi là tư duy.
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất,
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng
trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đại
cương – Nguyễn Quang Uẩn) [6]. Theo từ điển triết học: “Tư duy là sản
phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá
trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán
đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội
của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện
những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không
thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu
cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong
mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và kết quả của tư duy được ghi nhận trong
ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá,
phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách
giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm. Kết quả cuối
cùng của tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”[8].
Tóm lại
- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản
ánh tích cực thế giới khách quan.
- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể
hiện qua ngôn ngữ.

4

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối
tượng đuợc phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động
của con người nhằm phản ánh đối tượng.
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều góc độ khác nhau
từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con
người.
1.2.2. Đặc điểm của tư duy
Với tư cách là một mức độ của hoạt động nhận thức, tư duy có những
đặc điểm sau:
+ Tính “có vấn đề” của tư duy
Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, tình huống có vấn đề.
Muốn giải quyết vấn đề đó con người phải tìm cách thức giải quyết mới.
Tức là con người phải tư duy.
Ví dụ: Để giải một bài toán trước hết học sinh phải nhận thức được
yêu cầu, nhiệm vụ của bài toán, sau đó nhớ lại các quy tắc, công thức, định
lý có liên quan đến mối quan hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm, phải chứng
minh để giải được bài toán. Khi đó tư duy xuất hiện.
Không phải bất cứ hoàn cảnh nào tư duy cũng xuất hiện. Vấn đề chỉ
trở nên "tình huống có vấn đề" khi chủ thể nhận thức được tình huống có
vấn đề, nhận thức được mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề, chủ thể phải có
nhu cầu giải quyết và phải có những tri thức liên quan đến vấn đề. Chỉ trên
cơ sở đó tư duy mới xuất hiện
+ Tính gián tiếp của tư duy
Tư duy con người không nhận thức thế giới một cách trực tiếp mà có
khả năng nhận thức nó một cách gián tiếp. Tính gián tiếp của tư duy được
thể hiện trước hết ở việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy. Nhờ có
ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc, khái niệm,
công thức, quy luật, …) và kinh nghiệm của bản thân vào quá trình tư duy
(phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát, …) để nhận thức được cái bên

trong, bản chất của sự vật hiện tượng.
5


Ví dụ: Để giải một bài toán thì trước hết học sinh phải biết được yêu
cầu, nhiệm vụ của bài toán, nhớ lại các công thức, định lí…có liên quan để
giải bài toán. Ta thấy rõ rằng trong quá trình giải bài toán đó con người đã
dùng ngôn ngữ mà thể hiện là các quy tắc, định lí, … ngoài ra còn có cả
kinh nghiệm của bản thân chủ thể thông qua nhiều lần giải toán trước đó.
+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy.
Khác với nhận thức cảm tính, tư duy không phản ánh sự vật, hiện
tượng một cách cụ thể và riêng lẻ. Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự
vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại
những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật hiện tượng, trên cơ sở đó
mà khái quát những sự vật hiện tượng riêng lẻ, nhưng có những thuộc tính
chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù. Nói cách khác tư duy
mang tính trừu tượng và khái quát.
Trừu tượng là dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính,
những mối liên hệ, quan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại những
yếu tố cần thiết.
Khái quát là dùng tri óc để hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành
một nhóm, một loại, một phạm trù theo những thuộc tính, liên hệ, quan hệ
chung.
Trừu tượng và khái quát có mối liên hệ mật thiết với nhau ở mức độ
cao. Không có trừu tượng thì không thể tiến hành khái quát, nhưng trừu
tượng mà không khái quát thì hạn chế quá trình nhận thức.
Ví dụ: Khi tính diện tích hình chữ nhật ta có công thức: S = (a x b).
Công thức này được áp dụng cho nhiều trường hợp tương tự với nhiều con
số khác nhau.
+ Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

Tư duy mang tính có vấn đề, tính gián tiếp, tính trừu tượng và khái
quát là do nó gắn chặt với ngôn ngữ. Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ
mật thiết với nhau. Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy của con
người không thể diễn ra được, đồng thời các sản phẩm của tư duy (khái
niệm, phán đoán, …) cũng không được chủ thể và người khác tiếp nhận.
Chẳng hạn, nếu không có ngôn ngữ thì những công thức toán học sẽ không
có và không thể hiện được những hiểu biết về tự nhiên.
6


Ví dụ: Khi tiến hành lập trình PASCAL, người ta dùng ngôn ngữ để
ghi lại để có một chương trình lập trình hoàn chỉnh. Nếu không có ngôn
ngữ để ghi lại thì cả chủ thể lẫn người học đều không thể tiếp nhận được
trọn vẹn tri thức.
Ngôn ngữ cố định lại kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết
quả tư duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả tư duy cho người khác và
cho bản thân chủ thể tư duy. Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ
chỉ là những chuỗi âm thanh vô nghĩa. Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là
tư duy mà chỉ là phương tiện của tư duy.Ngôn ngữ của chúng ta ngày nay là
kết quả của quá trình phát triển tư duy lâu dài trong lịch sử phát triển của
nhân loại, do đó ngôn ngữ luôn thể hiện kết quả tư duy của con người.
Ví dụ: Công thức tính diện tích hình vuông 𝑆 = 𝑎. 𝑎 là kết quả của quá
trình con người tìm hiểu tính toán. Nếu không có tư duy thì rõ ràng công
thức này vô nghĩa.
+Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
Nhận thức cảm tính bao gồm cảm giác và tri giác, trong đó:
Cảm giác là một quá trình tâm lí phản ánh từng thuộc tính riêng lẻ
của sự vật hiện tượng đang trực tiếp tác động vào giác quan của ta.
Tri giác là quá trình tâm lí phản ánh một cách trọn vẹn các thuộc tính
bề ngoài của sự vật, hiện tượng khi chúng đang trực tiếp tác động vào giác

quan của ta.
Tư duy phải dựa vào nhận thức cảm tính, dựa trên những tài liệu cảm
tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trực quan sinh động. Tư duy thường bắt
đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình
huống có vấn đề. Nhận thức cảm tính là một khâu của mối liên hệ trực tiếp
giữa tư duy với hiện thực, là cơ sở của những khái quát kinh nghiệm dưới
dạng những khái niệm, quy luật, …là chất liệu của những khái quát hiện
thực theo một nhóm, một lớp, một phạm trù mang tính quy luật.
Ngược lại, tư duy và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi
phối khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính: làm cho khả năng cảm
giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con người
7


mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa. Chính vì lẽ đó, Ph.Angghen đã viết:
“nhập vào với mắt của chúng ta chẳng những có các cảm giác khác mà còn
có cả hoạt động tư duy của ta nữa”.
1.2.3. Các thao tác tư duy
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác
trí tuệ. Các thao tác cơ bản:
+ Phân tích - tổng hợp.
+ So sánh - tương tự.
+ Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá.
1.3.Tư duy sáng tạo
1.3.1. Định nghĩa tư duy sáng tạo
Trong tâm lý học định nghĩa: “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài
vi giới hạn của hiện thực,của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có,giúp quá
trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt và hiệu quả”. Một số
tác giả cho rằng: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý
tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thể

hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới,tìm ra hướng đi mới,tạo ra kết quả mới.
Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc
hoặc duy nhất ”.
Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng
tạo. Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là
những điều kiện cần thiết cho tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về
nhữngmặt khác nhau của của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể
hiện rõnét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi
mới, tạora kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái
cũ” [3].
Theo Vũ Dũng: “Tư duy sángtạo là một kiểu tư duy, đặc trưng bởi sự
sản sinh ra sản phẩm mới và xác lậpcác thành phần mới của hoạt động nhận
thức nhằm tạo ra nó. Các thành phần mới này có lên quan đến miền động
cơ, mục đích, đánh giá, các ý tưởng củachủ thể sáng tạo. Tư duy sáng tạo
được phân biệt với áp dụng các tri thức và kỹ năng sẵn có” [1].
8


Theo Tôn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc
lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý
tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi
mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp
lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất”. Và theo tác giả “Tư duy sáng
tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính
độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm tìm
giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của
mỗi cá nhân tạo ra nó” [4].
G.Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn
đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó
tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận

dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn
màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Lúc những
cố gắng của người giải vạch ra được những phương thức giải áp dụng cho
những bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách
gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng
tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả” [7].
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hoá sự sáng tạo với người học
Toán: “Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ,
nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới
mà họ chưa từng biết. Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang
yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh đề nào đó chi
phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật
toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước. Nhà
trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo
theo nội dung vừa trình bày” [5].
Như vậy có thể có nhiều cách định nghĩa khác nhau về về tư duy sáng
tạo, nhưng đều có một điểm chung cốt lõi đó là: Tư duy sáng tạo là một
dạng tư duy của cá nhân, nó phân biệt và khác với tư duy tái tạo về bản
chất, tư duy sáng tạo là sự mới mẻ của tư duy (đồng thời đây cũng là điểm
phân biệt giữa tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo). Sự khác biệt giữa tư duy
sáng tạo với tư duy tái tạo là sự sản sinh ra cái mới.
9


1.3.2. Cấu trúc của tư duy sáng tạo
Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học, giáo dục chỉ ra rằng có 5
thành thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo đó là: Tính mềm dẻo,
tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.
- Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự
của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan

niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy
mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ,
nhận ra bản chất của sự vật và nhiều phán đoán. Tính mềm dẻo của tư duy
còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động
trí tuệ của con người.
Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:
+ Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ
khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu
tượng hoá, khái quát hoá và các phương pháp suy luận như: quy nạp, suy
diễn tương tự. Dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác. Điều
chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại....
+ Suy nghĩ không dập khuôn, không máy móc áp dụng những kinh
nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã có
những yếu tố thay đổi. Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng của những kinh
nghiệm, những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước.
+ Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng
mới của đối tượng quen biết tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và
tình huống khác nhau.
- Tính nhuần nhuyễn: được đặc trưng bởi khả năng sáng tạo ra một ý
tưởng nhất định. Số ý tưởng càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất
hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy
sinh chất lượng.
Tính nhuần nhuyễn có các đặc trưng sau:
+ Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một
10


vấn đề cần được giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng
tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó có thể tìm được

phương án tối ưu.
+ Khả năng xem xét đối tượng trên nhiều khía cạnh khác nhau, có cái
nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật hiện tượng chứ không phải
cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
-Tính độc đáo: Là khả năng tìm kiếm và giải quyết bằng phương thức
lạ hoặc duy nhất. Người ta có thể phát hiện tính độc đáo trong tư duy sáng
tạo của học sinh thông qua lời giải của các em khi thực hiện bài tập.
Các đặc trưng của tính độc đáo:
+ Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.
+ Khả năng tìm ra những mối quan hệ bên trong những sự kiện bên
ngoài tưởng như không có mối liên hệ với nhau.
+ Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp
khác.
- Tính hoàn thiện:Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và
hàng động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
- Tính nhạy cảm vấn đề: là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn
đề, sự mâu thuẫn, sai lầm…từ đó đề xuất hướng giải quyết tạo ra cái
mới.
Ngoài ra, tư duy sáng tạo còn có những yếu tố quan trọng khác như:
Tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại.Các yếu tố cơ
bản trên có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng
chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo)
tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống
khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án
khác nhau mà có thể tìm được nhiều phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo).
Các yếu tố cơ bản này lại có mối quan hệ khăng khít với các yếu tố khác
như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề,...

11

1.3.3. Một số biện pháp phát huy tính tích cực của học sinh phổ thông
Để phát huy tính tích cực của học sinh phổ thông giáo viên cần tìm
biện pháp để phát huy tư duy sáng tạo, tính chủ động học tập của học sinh
tức là phải làm cho học sinh phát sinh nhu cầu muốn học, muốn tiếp thu.
Từ đó tôi đề xuất một số biện pháp sau:
- Trong dạy học để phát huy tính tích cực, hứng thú học tập của học
sinh giáo viên phải biết cách đưa học sinh vào những tình huống có vấn đề
và tổ chức cho học sinh độc lập, sáng tạo giải quyết vấn đề.
- Luôn đưa ra các câu hỏi dẫn dắt để học sinh tự khám phá tránh, tăng
cường trao đổi về hai phía giáo viên-học sinh. Tránh đi vào lối mòn theo
kiểu truyền thống giáo viên dạy, học trò tiếp thu mà không có sự tương tác
lẫn nhau.
- Việc phát triển tư duy phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri
giác, năng lực quan sát và trí nhớ. Bỡi lẽ, thiếu những tài liệu cảm tính thì
tư duy không thể diễn ra được.
- Để phát triển tư duy không còn con đường nào khác là thường xuyên
tham gia vào các hoạt động nhận thức và thực tiễn.
2. Cơ sở thực tiễn
2.1. Thực trạng dạy học ứng dụng đạo hàm ở trường phổ thông hiện
nay
- Trong chương trình toán phổ thông phần đạo hàm nằm ở chương
cuối của sách đại số và giải tích lớp 11 còn ứng dụng đạo hàm được học ở
chương đầu sách giải tích 12.
Kiến thức đạo hàm trong chương trình phổ thông vẫn còn khá nặng về
lý thuyết,kiến thức khá dàn trải, các bài tập vận dụng còn ít và thường thiên
về các bài tập đã có thuật toán sẵn. Các dạng bài tập của phần này khá
nhiều do đó giáo viên cần khá nhiều công sức để chọn lọc, khái quát hoá để
phù hợp với trình độ của từng nhóm đối tượng học sinh. Phân phối chương
trình trong sách giáo khoa phổ thông các kiến thức về đạo hàm đựợc dạy ở

chương V, Đại số và giải tích lớp 11, trong khi đó ứng dụng đạo hàm được
học ở chương I, Giải tích lớp 12 tức là khi vào làm bài tập ứng dụng đạo
hàm học sinh cần thêm thời gian để ôn lại kiến thức vì bị ngắt quãng. Hơn
12


nữa có thể thấy trong sách giáo khoa phổ thông chỉ chủ yếu ứng dụng đạo
hàm để xét đơn điệu, tìm cực trị, khảo sát hàm số,…mà rất ít có ứng dụng
để giải bất phương trình, phương trình,…mà những phần này cũng rất hay
và có ý nghĩa trong phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Với thời lượng hạn chế của mỗi tiết học giáo viên thường chỉ có thể
dạy cho học sinh cách tính đạo hàm, tìm cực trị,…mà không thể hướng dẫn
học sinh ứng dụng chúng vào các dạng bài tập khác nhau. Mà một điểm yếu
nhiều học sinh mắc phải đó là đi tìm con đường giải bài tập từ lí thuyết đến
vận dụng do đó chất lượng học tập phần này còn hạn chế.
- Khi dạy học đạo hàm, chúng ta có thể nhận thấy học sinh vẫn nặng
về thuật toán mà chưa có sự linh hoạt trong khi giải bài tập. Chẳng hạn,
nhiều em sẽ nắm rất vững cách xét sự đơn điệu của một hàm số bất kì nào
đó nhưng khi giáo viên đưa ra các bài tập suy biến như có chứa tham số học
sinh thường tỏ ra lúng túng.
- Học sinh thường chỉ chăm chăm vào việc tìm cách giải một bài toán
mà không hiểu đựơc bản chất toán học do đó nhiều khi giáo viên chỉ cần có
một thay đổi nhỏ trong cách ra đề đều có thể gây khó khăn cho học sinh.
- Một thực tế khác là phương pháp kiểm tra, đánh giá trong nhiều năm
trở lại đây thường xuyên thay đổi từ hình thức thi tự luận sang thi trắc
nghiệm. Với thay đổi này nhiều học sinh vốn đã quen với cách học theo
dạng, theo chủ đề đã được cho trước nay gặp nhiều khó khăn vì hình thức
thi mới buộc các em phải hiểu kiến thức một cách tổng quát hơn. Tuy
nhiên, vì kiến thức bao quát hơn cho nên học sinh lại không hiểu sâu sắc
kiến thức toán học, còn giáo viên lại khá lúng túng,khó khăn trong quá trình

dạy học.
2.2. Vai trò của hệ thống bài tập khi dạy học để phát huy tính tích cực
ở học sinh
Giải bài tập là hình thức chủ yếu trong hoạt động toán học, giúp học
sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng
dụng toán học vào thực tiễn. Chức năng của bài tập toán học là: Dạy học,
giáo dục, phát triển và kiểm tra.

13


Thông qua hệ thống bài tập học sinh vận dụng lí thuyết đã học, chọn
lọc, xâu chuỗi các kiến thức có liên quan đến bài toán để giải từ đó tính tích
cực của học sinh được phát huy. Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba
bình diện: Mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình dạy học. Cụ
thể:
- Về mặt mục đích dạy học: Bài tập toán thể hiện các chức năng khác
nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như:
+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng
toán ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn luyện các thao tác tư duy, hình
thành các phẩm chất trí tuệ.
+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán học là một phương tiện để cài
đặt nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho
tri thức đã học ở phần lý thuyết.
- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giúp mang những hoạt
động để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục đích dạy học khác, khai thác tốt bài toán như vậy sẽ góp phần

tổ chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng
ý khác nhau. Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi
động cơ làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra....Đặc biệt về
mặt kiểm tra, bài tập toán là phương tiện không thể thay thế để đánh giá
mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển
tư duy của học sinh, cũng như hiệu quả làm việc của giáo viên. Một bài tập
cụ thể có thể nhằm vào những dụng ý trên nhưng cũng có thể bao hàm
những ý đồ nhiều mặt.

14


CHƯƠNG II.
PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA HỆ
THỐNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Dạng 1. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp chung
Bước 1.Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm của hàm số đã cho.
Bước 3. Tìm các giá trị mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
định.
Bước 4. Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận tính
đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số𝑦 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 3𝑥 − 1 (1)
TXD: 𝐷 = ℝ
𝑦 ′ = −3𝑥 2 + 6𝑥 − 3 ⟹ 𝑦 ′ = 0 ⟺ 𝑥 = 1
Lập bảng biến thiên

x



y,

+∞

1
+

0

-

-2
y

  -∞

Vậy hàm số đồng biến trên (-∞, 1), nghịch biến trên (1, +∞)
*Nhận xét: Trong bài tập này học sinh hoàn toàn có thể tự giải được
một cách dễ dàng theo phương pháp giải đã nêu.
Muốn tư duy của học sinh được cải thiện, giáo viên có thể thay đổi
một số chi tiết từ bài toán đã biết, dẫn dắt đưa học sinh đi đến cách giải.
15


Thông qua các bài toán có chứa tham số, học sinh sẽ khắc sâu kiến thức

hơn và chủ động trong quá trình giải bài tập. Chúng ta xét tiếp ví dụ sau.
Ví dụ 2. Cho hàm số 𝑦 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑚𝑥 − 1 (2), với m là tham
số thực. Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên (0, +∞). (Đề thi tuyển sinh
đại học khối A năm 2013)
Phân tích: Với bài tập này giáo viên đưa ra các câu hỏi gợi mở hoặc
dẫn dắt để học sinh chủ động tiếp cận kiến thức, phát huy tính tích cực của
người học.
- Rõ ràng hàm số (2) đã xuất hiện tham số m vậy nếu áp dụng phương
pháp chung để giải thì có được không?
Như một thói quen tự nhiên nhiều học sinh sẽ đạo hàm và tìm nghiệm
của nó.
Ta có: 𝑦 ′ = −3𝑥 2 + 6𝑥 + 3𝑚 .
∆= 36 + 36𝑚. Tuy nhiên ∆ có chứa tham số𝑚 cho nên việc tính ra
nghiệm để lập BBT sẽ khá khó khăn. Hơn nữa bài tập này không yêu cầu
xét tính đơn điệu mà yêu cầu tìm 𝑚 để hàm (2) nghịch biến trên khoảng đã
cho.
- Vậy hàm số đơn điệu trên khoảng đã cho khi nào?
Trên cơ sở dẫn dắt, gợi mở của giáo viên học sinh huy động các kiến
thức đã biết để đi đến câu trả lời:
“Hàm số 𝑓(𝑥, 𝑚) đồng biến (nghịch biến) trên D
⟺ 𝑓 ′ (𝑥, 𝑚) ≥ 0 (𝑓 ′ (𝑥, 𝑚) ≤ 0), ∀𝑥 ∈ 𝐷 và 𝑓 ′ (𝑥) = 0 có hữu hạn
điểm thuộc D”
Áp dụng cho bài tập này ta có:
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0,+∞) khi và chỉ khi 𝑦 ′ ≤ 0 ∀𝑥 ∈
(0, +∞) (*)
- Cuối cùng bài toán quy về xét dấu của 𝑦′. Bài toán có thể giải bằng
những hướng nào?
Hướng dẫn giải
+Hướng 1: Cô lập m, dùng phương pháp hàm số.
𝑦 ′ = −3𝑥 2 + 6𝑥 + 3𝑚 ≤ 0 ∀𝑥 ∈ (0, +∞) ⟹ 𝑚 ≤ 𝑥 2 − 2𝑥

16


Khi đó 𝑚 ≤ min 𝑓(𝑥) với 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥
Dễ dàng tìm được 𝑚𝑖𝑛𝑓(𝑥) = −1 nên 𝑚 ≤ −1
+Hướng 2: Dùng định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Xét TH1 : 𝑁ế𝑢 ∆′ = 9 + 9𝑚 ≤ 0 𝑠𝑢𝑦 𝑟𝑎 𝑚 ≤ −1.
Khi đó 𝑦 ′ ≤ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑅 nên 𝑦 ′ ≤ 0 ∀𝑥 ∈ (0, +∞)
Xét TH2: Nếu ∆′ > 0 𝑠𝑢𝑦 𝑟𝑎 𝑚 > −1 thì (1) đúng khi và chỉ khi
𝑦 ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 𝑥1 < 𝑥2 ≤ 0 (3)
𝑚 > −1
𝑚 > −1
∆> 0
(3) ⟺ {
⟺ { 𝑥1 𝑥2 > 0 ⟺ {−𝑚 > 0
𝑥1 < 𝑥2 < 0
𝑥1 + 𝑥2 < 0
2<0

(vô nghiệm )

Vậy hàm số nghịch biến trên (0, +∞) khi 𝑚 ≤ −1
Nhận xét:
Như vậy thông thường có hai hướng để giải bài toán tìm điều kiện
tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng đã cho. Tuy nhiên không phải bài
toán nào cũng giải được bằng hai cách trên.
a. Trong trường hợp 𝑦′ chỉ chứa tham số m bậc nhất, ta cô lập được m
nên có thể chọn hướng 1 để giải bài toán.
𝑦 ≥ 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⟺ 𝑚 ≤ 𝑚𝑖𝑛𝑦, ∀𝑥 ∈ 𝐷, 𝑛ế𝑢 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 min 𝑦
𝑦 ≤ 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⟺ 𝑚 ≥ 𝑚𝑎𝑥𝑦, ∀𝑥 ∈ 𝐷, 𝑛ế𝑢 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 max 𝑦

b. Nếu không cô lập được m thì vận dụng các định lý về dấu để giải
quyết bài toán.
c. Có nhiều bài tập mặc dù hàm ban đầu có chứa tham số nhưng khi
đạo hàm rồi tính ∆′ thì m bị triệt tiêu, những bài toán này ta thực hiện lập
BBT như bình thường rồi dựa vào BBT để tìm điều kiện của 𝑚.
Bài tập tương tự
Bài 1. Cho hàm số 𝑦 = 2𝑥 3 − 3(2𝑚 + 1)𝑥 2 + 6𝑚(𝑚 + 1)𝑥 + 1 với
𝑚 là tham số thực.Tìm 𝑚 để hàm số đồng biến trên (0,+∞).
Bài 2. Cho hàm số 𝑦 = 2𝑥 3 − 3(2𝑚 + 1)𝑥 + 1 với 𝑚 là tham số
thực.Tìm 𝑚 để hàm số đồng biến trên (0,+∞).

17


Bài 3. Cho 𝑦 = 𝑥 3 − (𝑚 + 1)𝑥 2 − (2𝑚2 − 3𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚(2𝑚 − 1),
với 𝑚 là tham số thực. Tìm 𝑚 để hàm số đồng biến trên khoảng (2,+∞) .
Bài 4. Cho hàm số 𝑦 =

𝑚−1 3
𝑥
3

+ (𝑚 + 2)𝑥 2 + 3𝑚𝑥 + 5, với 𝑚 là

tham số thực. Tìm 𝑚 để hàm số đồng biến trên (-∞, 2).
1
3

Bài 5. Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 3 + (𝑚 + 1)𝑥 2 + 𝑚(𝑚 − 3)𝑥 − , với 𝑚 là
tham số thực. Tìm 𝑚 để hàm số nghịch biến trên (1,+∞).

Dạng 2. Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số
Phương pháp chung
Cách 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Bước 2. Tìm 𝑦′, giải phương trình 𝑦′ = 0.
Bước 3. Lập bảng biến thiên và kết luận:
+ Nếu 𝑦′ đổi dấu từ – sang + khi qua điểm 𝑥0 (từ trái sang phải) thì
hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥0 .
+ Nếu 𝑦′ đổi dấu từ + sang – khi qua điểm 𝑥0 (từ trái sang phải) thì
hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥0 .
Cách 2:
Bước 1. Tìm tập xác định
Bước 2. Tính 𝑦′. Giải phương trình 𝑦 ′ = 0 và kí hiệu 𝑥𝑖 (i=1,2,…) là
các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính 𝑓′′(𝑥) và 𝑓′′(𝑥𝑖 ) rồi kết luận:
Nếu 𝑓′′(𝑥𝑖 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại 𝑥𝑖
Nếu 𝑓′′(𝑥𝑖 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥𝑖
1
3

1
2

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 2𝑥 + 2
Đây là bài toán đơn thuần áp dụng thuật toán, học sinh hoàn toàn có
thể tự mình giải được bài tập này theo phương pháp đã nêu.
Cách 1
Tập xác định: D = R
Ta có: 𝑦 ′ = 𝑥 2 + 𝑥 − 2
18

𝑥=1
𝑦′ = 0 ⟹ [
𝑥 = −2
BBT


x

1

-2

y,

+

0

−0

+∞
+

16

+∞

3

y
5

-∞
Vậy 𝑦𝐶Đ (−2) =

16
3

6

; 𝑦𝐶𝑇 (1) =

5
6

Cách 2:
𝑦 ′′ = 2𝑥 + 1
𝑦 ′′ (−2) = −3 < 0 ⟹ Hàm số đạt cực đại tại 𝑥 = −2 khi đó giá trị
cực đại của hàm số là

16
3

.

𝑦 ′′ (1) = 3 > 0 ⟹ hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 1 khi đó giá trị cực
5

tiểu của hàm số là .
6

Trên đây là một ví dụ hoàn toàn sử dụng thuật toán để giải. Để tính
tích cực của học sinh được phát huy giáo viên phải đưa các giả thiết khác
vào bài toán chẳng hạn như đưa vào tham số rồi yêu cầu tìm điều kiện để
hàm đạt cực trị hay thêm yêu cầu về vị trí của các cực trị so với các trục toạ
độ hoặc một đường thẳng nào đó…khi đó học sinh buộc phải chủ động
tổng hợp kiến thức, đi tìm kiếm cách giải.
Ví dụ 2. Cho hàm số 𝑦 = −𝑥 3 + (2𝑚 + 1)𝑥 2 − (𝑚2 − 3𝑚 + 2)𝑥 − 4.
Tìm 𝑚 để hàm số đạt cực đại, cực tiểu sao cho hai cực trị đó trái dấu.
Phân tích: Rõ ràng bài toán này yêu cầu tìm 𝑚 thoả mãn 2 điều kiện:
- Hàm số đạt cực đại, cực tiểu.
- Hai cực trị trái dấu.
?1. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi nào?

19


Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi𝑦 ′ = 0 có hai nghiệm phân
biệt.
Ta có
𝑦 ′ = −3𝑥 2 + 2(2𝑚 + 1)𝑥 − (𝑚2 − 3𝑚 + 2)
𝑦 ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⟺ ∆′ > 0 ⟺ 𝑚2 + 13𝑚 − 5 > 0
−13+√189

𝑚>
2
[
(I)

−13−√189
𝑚<
2

? 2. Hai cực trị trái dấukhi nào?
𝑥𝐶Đ , 𝑥𝐶𝑇 trái dấu khi và chỉ khi 𝑥𝐶Đ . 𝑥𝐶𝑇 < 0
Với 𝑥𝐶Đ , 𝑥𝐶𝑇 là hai nghiệm của 𝑦 ′ = 0 nên học sinh có thể liên hệ với
hệ thức viet để tính 𝑥𝐶Đ . 𝑥𝐶𝑇
𝑥𝐶Đ . 𝑥𝐶𝑇 = 𝑚2 − 3𝑚 + 2 < 0. Đến đây học sinh xét dấu của phương
trình bậc hai với ẩn 𝑚 rồi đối chiếu với (I) để tìm điều kiện của 𝑚.
? 3. Có nhận xét gì về vị trí của hai cực trị khi 𝑥𝐶Đ . 𝑥𝐶𝑇 < 0?
𝑥𝐶Đ , 𝑥𝐶𝑇 trái dấu nghĩa là chúng nằm về hai phía so với trục tung.
Giáo viên có thể yêu cầu học sinh nhận xét thêm về các vị trí khác của
hai cực trị
+Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có hai cực trị nằm về hai phía với trục hoành khi
𝑦𝐶Đ . 𝑦𝐶𝑇 < 0
+ Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành khi
{

𝑦𝐶Đ + 𝑦𝐶𝑇 > 0
𝑦𝐶Đ . 𝑦𝐶𝑇 > 0

+ Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có hai cực trị nằm phía duới trục hoành khi
{

𝑦𝐶Đ + 𝑦𝐶𝑇 < 0
𝑦𝐶Đ . 𝑦𝐶𝑇 < 0

Bài tập tương tự
Bài 1. Cho hàm số 𝑦 = (𝑚 + 2)𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑚𝑥 − 5, m là tham số.

Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cho
có hoành độ là các số dương.

20