Chủ đề 3 GIẢI CHI TIẾT GTLN GTNN của hàm số

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS

VIP

CHỦ ĐỀ 3. GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Chọn B.
Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục trên [0;2]
x 1 ∈ ( 0; 2 )
=
Ta có y′= 3 x 2 − 3= 3 ( x 2 − 1) ; y′= 0 ⇔ 
 x =−1 ∉ ( 0; 2 )
=
y y=
(1) 3
=
y (1) 3;=
y (0) 5;=
y (2) 7 . Do đó min
[0;2]

Câu 2.

Chọn C.
Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục trên [ −4; 4]
 x =−1 ∈ ( −4; 4 )
Ta có f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x − 9 ; f ′ ( x )= 0 ⇔ 
 x= 3 ∈ ( −4; 4 )
−41

40; f (3) =
8; f (4) =
15 . Do đó min f ( x) =f (−4) =
f (−4) =
−41; f (−1) =
x∈[ −4;4]

Câu 3.

Chọn B.
Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục trên [1;3]
x 4 ∉ (1;3)
=

Ta có f ′ ( x ) = 3 x − 16 x + 16 ; f ′ ( x )= 0 ⇔
4
=
x
∈ (1;3)

3
2

 4  13
 4  13
f (1) = 0; f   =
; f (3) = −6 . Do đó max=
f ( x) f=
 
x∈[1;3]

 3  27
 3  27
Câu 4.

Chọn D.
Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục trên [0;2]
Ta có f ′ ( x ) = 4 x3 − 4 x = 4 x ( x 2 − 1) .
Xét trên (0; 2) . Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ; Khi đó=
f (1) 0;=
f (0) 1;=
f (2) 9
Do đó max f=
( x) f=
(2) 9
[0;2]

Câu 5.

Chọn B.
Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục trên [ −4; +∞ )
Ta có: y = ( x 2 + 6 x)( x 2 + 6 x + 8) + 5 . Đặt =
t x 2 + 6 x . Khi đó y = t 2 + 8t + 5
Xét hàm số g ( x=
) x 2 + 6 x với x ≥ −4 . Ta có g ′( x) =2 x + 6; g ′( x) =0 ⇔ x =−3
lim g ( x) = +∞

x →+∞

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

1


Tán đổ Toán Plus

–∞

x
g′( x)

–4

+∞

–3
0

–

+
+∞

–8

g ( x)

Giải chi tiết chủ đề 3

–9
Suy ra t ∈ [ − 9; +∞)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = h(t ) = t 2 + 8t + 5

với

t ∈ [ − 9; +∞) .

Ta

h′(t ) =2t + 8 ; h′(t ) =0 ⇔ t =−4 ;

có

lim h(t ) = +∞

t →+∞

Bảng biến thiên
x
(
h x)

–∞

–9
–

+∞

–4

0

+
+∞

14

h ( x)

–11
Vậy min y = −11
[ −4;+∞ )

Câu 6.

Chọn C.
Nhận xét: Hàm số đã cho liên tục trên [0;3]
Ta=
có y′

Câu 7.

2

( x + 1)

1
. Do đó min y = y (0) = −1
−1; y (3) =
> 0 với ∀x ∈ [ 0;3] . y (0) =

x∈[ 0;3]
2

Chọn A.
Nhận xét: Hàm số đã cho liên tục trên [2;4]
Ta có y′ =−
1
Ta có=
y (2)

Câu 8.

2

−3 ∉ ( 2; 4 )
x =
9 x2 − 9
′
;
=
⇔
y
0
=

x2
x2
x 3 ∈ ( 2; 4 )
=

13
25
. Do đó min
=
y y=
(3) 6
=
; y (3) 6;=
y (4)
x∈[ 2;4]
2
4

Chọn B.
Hàm số xác định với ∀x ∈ (1; +∞ )
Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục trên (1; +∞ )
Ta có f ( x )= x +

x = 0
1
x2 − 2 x
1
; f ′( x) =
; f ′ ( x )= 0 ⇔ 
;
1−
=
2
2
x −1

( x − 1) ( x − 1)
x = 2

lim f ( x) = +∞ ; lim+ f ( x) = +∞

x →+∞

x →1

Bảng biến thiên

x
f ′( x)
f ( x)

1
−

2
0

+∞

+∞
+

+∞
3

2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Từ bảng biến thiên ta có: min f=
( x) f=
(2) 3

Câu 9.

x∈(1; +∞ )

Chọn C.
Hàm số xác định với ∀x ∈ 
Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục trên 
Ta có y′ =

8 x 2 − 12 x − 8
1
; y′ = 0 ⇔ x = 2 ; x = − . lim f ( x) = 1
2
2
2 x →±∞
( x + 1)

Bảng biến thiên

x
y′

1
2
0
9

−

−∞

+

+∞

2

−

0

+
1

y
−1

1
1

Vậy max y= 9= y (− )
2
R
Câu 10. Chọn C.

Điều kiện xác định: 5 − 4 x ≥ 0 ⇔ x ≤

5
. Suy ra hàm số xác định với ∀x ∈ [ −1;1]
4

Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;1]
Ta=
có y′

−2
< 0, ∀x ∈ [ −1;1] . Do đó max y = y (−1) = 3; min y = y (1) = 1
[ −1;1]
[ −1;1]
5 − 4x

Câu 11. Chọn A.
TXĐ: D =  . Ta có: y′ = x 2 − 4 x + 3 ; y′ = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x =
1 hoặc x = 3 .
8
8
8
Khi đó: y (1) = − ; y ( 3) = −4 ; y ( 5 ) = ⇒ giá trị lớn nhất của hàm số bằng
3
3

3
Câu 12. Chọn A.

Ta có: =
y′ 4 x3 − 4 x ; y′ =0 ⇔ 4 x3 − 4 x =0 ⇔ 4 x ( x 2 − 1) =
0⇔ x=
±1 hoặc x = 0
Khi đó: y ( 0 ) = 1 ; y (1) = 0 ; y ( 2 ) = 9 ⇒ Hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt
là 9;0
Câu 13. Chọn A.
TXĐ:=
D  \ {−2} . Ta có:
y′
=

3

( x + 2)

2

> 0; ∀x ∈ D .

1
1
1
Khi đó: y ( 0 ) =
.
⇒ Hàm số có giá trị lớn nhất bằng
− ; y ( 2) =

4
2
4
Câu 14. Chọn D .

TXĐ: D =  \ {2} . Ta=
có: y′
=
y
[3; 4] . Vậy min
[3;4]

x2 − 4 x + 3

( x − 2)

2

> 0; ∀x ∈ [3; 4] ⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn

( 4)
( 3) 6 và max
=
y y=
y=

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

[3;4]

13
.
2

3


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 15. Chọn C.
TXĐ: D = 

−1 ∉ [ 0;1] .=
y=′ 2 x + 2 ; y ' = 0 ⇔ 2 x + 2 = 0 ⇔ x =
y (0) 1;=
y (1) 4 suy ra y1. y2 = 4 .

Câu 16. Chọn D.
TXĐ: D =  . Ta có: y′ = x 2 − 5 x + 6 ; y′ = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇔ x =
2 hoặc x = 3
Khi đó:
=
y (1)

29
17
11
⇒ x1= 2; x2= 1 ⇒ x1 + x2 =

3
; y ( 2) =
; y ( 3)
=
6
3
2

Câu 17. Chọn D.
TXĐ: D =

[ −2; 2] . Ta có:

−x

y′ =

4 − x2

; y′ =
0⇔

−x
4 − x2

=
0 ⇔x=
0

( 2) 0

( 0 ) 2; y =
Khi đó: y ( −
=
2 ) 0; y =
⇒ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ x = ±2

Câu 18. Chọn D.
TXĐ: D =  . Ta có: y = ( x − 1) + ( x + 3) = 2 x 2 + 4 x + 10 .
2

2

Ta có: y=′ 4 x + 4 ; y′ =
−1
0⇔ x=
Bảng biến thiên:
x
y′

−∞

−

−1
0

+

+∞

+∞

+∞

y
8
Từ BBT ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 8 .
Câu 19. Chọn A.
TXĐ: D
=

( 0; +∞ ) . Ta có:

Khi đó:=
y (1) 0;=
y (e)

y′ =

1 − ln x
1 − ln x
; y′ = 0 ⇔
= 0 ⇔ 1 − ln x = 0 ⇔ x = e
2
x
x2

1
⇒ Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0 .
e

Câu 20. Chọn B.
TXĐ: D =  . Ta có: y′ =
Khi đó: y ( −3) =
−

(x

x+2

2

+ 2) x2 + 2

; y′ =
0⇔ x=
−2

 x1 = 0
4 11 ( )
2 3
2
⇒
⇒ x1.x2 =
0
; y −1 =
−
; y (0) =
−
11

3
2
 x2 = −3

Câu 21. Chọn B.
TXĐ: D =  . Ta=
có: y′

y′ = 0 ⇔

x +1

+ 2x .

 1

+ 2x = 0 ⇔ x 
+ 2 = 0 ⇔ x = 0
2
x2 + 1
 x +1

x

Khi đó: y ( −1) =

4

x
2

2 + 1; y ( 0 ) = 1; y (1) =

2 +1.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 22. Chọn D.

Ta có y′ =2cos x − 4sin 2 x.cos x =2cos x(1 − 2sin 2 x) =2cos x.cos 2 x

cos x = 0
Nên y′ =
0 ⇔ 2cos x.cos 2 x =
0⇔
cos 2 x = 0
 π π 3π 
Trên (0;π ) , y′ = 0 ⇔ x ∈  ; ; 
2 4 4 

π  2 π 
 3π  2 2
=
y (0) 0;=
y (π ) 0; =

y 
;=
y   y=
 
2 3 4
 4 
3
π 
 3π  2 2
max
=
y y=
y =



[0;π ]
4
 4 
3
Câu 23. Chọn C.
TXĐ: D =  . Ta có y =
−2 2 sin 2 x + 4sin x + 2
 π
Đặt
=
t sin x , x ∈ 0;  ⇒ t ∈ [ 0;1]
 2
Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=

g (t ) =
−2 2 t 2 + 4t + 2 trên đoạn [ 0;1]

g′ ( t ) =−4 2 t + 4 =4(1 − 2 t ) ; g′ ( t ) = 0 ⇔ 4(1 − 2 t ) = 0 ⇔ t =
g (0) ==
2; g (1) 4 − 2; g (

1
)=
2 2
2

(

Do đó min y = 2; y = 2 ⇔ sinx =0,sin0 =0
 π
x∈0; 
 2

1
∈ (0;1)
2

)

Câu 24. Chọn A .
Ta=
có y 5cos x − cos 5 x nên y′ =
−5sin x + 5sin 5 x
kπ


x=

5
x
=
x
+
k
2
π

2
y′ =
0 ⇔ sin 5 x =
sin x ⇔ 
⇔
5 x = π − x + k 2π
 x= π + kπ

6 3

π π
 −π π 
Trên 
;  , y′ = 0 ⇔ x ∈ 0; − ; 
 4 4
6 6

 π

π 
 π
π 
y (0) = 4 ; y  − =
 y =
 3 2.
 y =
 3 3 ; y− =
 4
4
 6
6
Vậy min y= 4= y (0)
 π π
x∈ − ; 
 4 4

Câu 25. Chọn A.
TXĐ: D =  . Ta có y′ = cos x; y′ = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
2

+ kπ ( k ∈  )

π
π
 π π
Vì x ∈  − ;  ⇒ x =− hoặc x = .
2

2
 2 2
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

5


Tán đổ Toán Plus

 π
π 
Khi đó: y  − =
 0; y  =
 2 ⇒ giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 .
 2
2

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 26. Chọn A.
TXĐ: D = R . Ta có: y′ = −2sin 2 x ; y′ = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x =

kπ
;(k ∈ )
2

 π 
π 
Vì x ∈ [ 0; π ] ⇒ x ∈ 0; ; π  . Do đó: y ( 0 ) =
−4

−2; y   =
−4 ⇒ min y =
 2 
2

Câu 27. Chọn A.
1
π

TXĐ:
y′
+ 1 > 0; ∀x ∈ D
D  \  + kπ  . Ta có:=
=
cos 2 x
2


⇒ Hàm số đồng biến trên D ⇒ min y = 0 .
Câu 28. Chọn B.

π

2 sin  x + 
4


TXĐ: D =  . Ta
có: y
=

π
π


Vì −1 ≤ sin  x +  ≤ 1 ⇔ − 2 ≤ sin  x +  ≤ 2 ⇒ min y =
− 2; max y =
2
4
4


Câu 29. Chọn C.
TXĐ: D =  . Ta có: y =3sin x − 4sin 3 x =sin 3x ⇒ min y =
−1; max y =
1.
Câu 30. Chọn D.
TXĐ: D =  . Ta có: 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇔ 2 ≤ sin 2 x + 2 ≤ 3 ⇒ min y= 2; max y= 3 .
Câu 31. Chọn B.
TXĐ: D =  .
Ta có: y′ =
−9 cos x − 3cos 3 x =
−9 cos x − 12 cos3 x + 9 cos x =
−12 cos3 x
y′ = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π

π

+ kπ . Vì: x ∈ [ 0; π ] ⇒ x = .
2
2

π 
Do đó: y ( 0 ) =
−8; max y =
0
0; y   =
−8; y (π ) =
0 ⇒ min y =
2

Câu 32. Chọn D.
TXĐ: D =  . Ta có: y=

π

3 s inx + cos x= 2sin  x + 
6


π
π


Mà −1 ≤ sin  x +  ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2 s in  x +  ≤ 2 ⇒ min y =
−2; max y =
2
6

6


Câu 33. Chọn B.

−2sin x cos x + 2sin x =
−2sin x ( cos x − 1)
TXĐ: D =  . Ta có: y′ =
=
s inx 0=
 x kπ
y′ = 0 ⇔ −2sin x ( cos x − 1) = 0 ⇔ 
⇔
(k ∈ Z )
=
cos x 1=
 x k 2π
Vì x ∈ [ 0; π ] ⇒ x =
0 hoặc x = π .

 y = −2
⇒ y1. y2 =
−4 .
Khi đó: y ( 0 ) =
−2; y (π ) =
2 ⇒ 1
 y2 = 2
6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦

Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 34. Chọn A.
TXĐ: D =  . Ta có: y′ =
−2sin 2 x + 2 cos x =
−2 cos x ( 2sin x − 1)


 x=

cos x = 0

y′ = 0 ⇔ −2 cos x ( 2sin x − 1) = 0 ⇔
⇔ x=

s inx = 1


2
=
x

 π 
π

x=

y 2  =1

  
 π
2
Vì x ∈ 0;  ⇒ 
⇒
 2  x = π
yπ  = 3

  6  2
6

π
2

+ kπ

π

+ k 2π
6
5π
+ k 2π
6

3

 y1 =
⇒

2 .
 y2 = 1

Câu 35. Chọn C.
TXĐ: D =  . Ta có: y′ =
−2sin 2 x − 4 cos x =
−4 cos x ( s inx + 1)

π

x=
+ kπ

cos x = 0
2
y′ =
0⇔
⇒
π
s inx = −1  x =
− + k 2π

2
π
 π
π 
Vì x ∈ 0;  ⇒ x = . Khi đó y ( 0 ) = 5; y   = −1 .
2
 2
2

Câu 36. Chọn C.
1
1
sin 2 x − cos 2 x
− cos 2 x
 kπ 
′
TXĐ: D =  \   . Ta có: y =
− 2 =
=
2
2
2
cos x sin x sin x.cos x sin 2 x.cos 2 x
 2 
y′ = 0 ⇔

− cos 2 x
π kπ
π
π π 
. Vì x ∈  ;  ⇒ x = .
= 0 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = +
2
2
sin x.cos x
4 2
4
6 3

1
1
π 
π 
π 
Khi đó: y   =
3+
; y  =
2; y   =
3+
3 4
3
6
3

Câu 37. Chọn C.
TXĐ: D = 
− sin x ( sin x + 1) + cos 2 x =
−2sin 2 x − sin x + 1
Ta có: y′ =
sin x = −1
π
π
5π
0⇔
y′ =
⇔x=
− + k 2π hoặc x=
+ k 2π hoặc =
x

+ k 2π
1
sin x =
2
6
6
2


π
5π
Vì x ∈ [ 0; π ] ⇒ x = hoặc x =
6
6
 π  3 3  5π
Khi đó: y ( 0 ) =
1; y   =
; y
4
6
 6

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

3 3

; y (π ) =
−
−1
=

4


7


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 38. Chọn D.
TXĐ: D = R
Ta có: y′ = 3cos x sin 2 x − 3sin x cos 2 x = 3sin x cos x ( s inx − cos x )

π

y′ =
0 ⇔ 3sin x cos x ( sin x − cos x ) =
0 ⇔ sin 2 x.sin  x −  =
0
4

 y ( 0) = 1

2
 π 
 y  4  = 2
⇒
yπ  =1
  2 


 y (π ) = −1

x = 0

kπ

x = π
sin 2 x = 0
=
x

2
4
⇔ 
⇔
⇒ 
sin  x − π  =
0
π
 x= π + kπ
x =
 
4

4
2

 x = π
⇒ y1 =1; y2 =−1 ⇒ y1 − y2 =2

Câu 39. Chọn D.

Hàm số =
y e x ( x 2 − x − 1) liên tục trên đoạn [ 0; 2]
Ta có =
y′

( e ) '( x
x

2

− x − 1) + e x ( x 2 − x − 1)
=' e x ( x 2 − x − 1) + e x .(2 x −=
1) e x ( x 2 + x − 2)

x 1 ∈ ( 0; 2 )
=
Cho y′ = 0 ⇔ e x ( x 2 + x − 2) = 0 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ 
 x =−2 ∉ ( 0; 2 )
Ta có, f (1) =
−e; f (0) =
−1; f (2) =
e 2 . Vậy: min y = y (1) = −e
x∈[ 0;2]

Câu 40. Chọn B.
Hàm số
=
y e x ( x 2 − 3) liên tục trên đoạn [ −2; 2]

Ta có y=′

( e )′ ( x
x

2

− 3) + e x ( x 2 − 3)=′ e x ( x 2 − 3) + e x .2=
x e x ( x 2 + 2 x − 3)

 x= 1 ∈ ( −2; 2 )
Cho y′ =0 ⇔ e x ( x 2 + 2 x − 3) =0 ⇔ x 2 + 2 x − 3 =0 ⇔ 
 x =−3 ∉ ( −2; 2 )
Ta có, f (1) =
−2e; f (−2) =
e −2 ; f (2) =
e 2 . Vậy, min y = y (1) = −2e
x∈[ −2;2]

Câu 41. Chọn A.
Hàm số y =
e x + 4e − x + 3 x liên tục trên đoạn [1; 2]
Ta có: y′ =
e x − 4e − x + 3 , y′ = 0 ⇔ e x − 4e − x + 3 = 0 ⇔ e x −

4
+3= 0
ex

⇔ e 2 x + 3e x − 4 = 0 ⇔ e x =1 ⇔ x = 0 ∉ [1; 2]

4
4
4
Ta có, y (1) = e + + 3; y (2) = e 2 + 2 + 6 . Vậy: max y = y (2) = e 2 + 2 + 6
x∈[1;2]
e
e
e
Câu 42. Chọn D.

Hàm số f ( x) = x.e −2 x liên tục trên đoạn [0;1]
′( x) e −2 x (1 − 2 x) ; f ′( x) = 0 ⇔ x =
Ta có: f=

8

1
∈ (0;1)
2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

1
1 1
1 1

. Vậy max=
f ( x) f=
f (0) 0=
; f  =
; f (1)
=


2
x∈[ 0;1]
 2  2e
e
 2  2e

Câu 43. Chọn A.
Hàm số f ( x) =x 2 − ln(1 − 2 x) liên tục trên đoạn [ −2;0]
Ta có f ′( x) =+
2x

2
−2(2 x + 1)( x − 1)
=
1− 2x
1− 2x

Suy ra trên khoảng ( −2;0 ) : f ′( x) =
0⇔ x=
−

1

2

 1 1
Có f (0) = 0; f (−2) = 4 − ln 5; f  −  = − ln 2
 2 4
1
1
M = max f ( x) = f (−2) = 4 − ln 5; m = min f ( x) = f (− ) = − ln 2
x∈[ −2;0]
x∈[ −2;0]
2
4

Vậy: M + m =

17
− ln10
4

Câu 44. Chọn B.

π
cos x
, f ′( x) = 0 ⇔ x =
2
2
sin x

•

f ′( x) = −

•

π 
π 
f  =
=1, f  
3
2


 π 5π  
 x∈ 3 ; 6 




2
 5π 
, f
=
max f ( x) 2,=
min f ( x) 1.
 2 . Vậy=
 π 5π 
 π 5π 
3  6 
 3; 6 
 3; 6 









Câu 45. Chọn A.
•

3x
x
f ′( x) =2 cos x + 2 cos 2 x =4 cos .cos
2
2

•

x

cos
=0
x = π


 3π  
2
0⇔
f ′( x) =

⇔
x ∈ 0;  
π

x = 
 2 
cos 3 x = 0
3


2

•

π  3 3
 3π
f (0) = 0, f   =
, f (π ) = 0, f 
2
3
 2

Vậy max f ( x) =
 3π 
0; 2 




 = −2



3 3
, min f ( x) = −2.
2 0; 3π 


2 

Câu 46. Chọn D.
• y′ =

sin x
, y′ = 0 ⇔ x = π
cos 2 x


 π 3π  
 x ∈ 2 , 2 




• Bảng biến thiên:

x
y′

π
2

+

y
−∞

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

3π
2

π
0
−1

−
−∞

9


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

• Vậy max y = −1 và min y không tồn tại.
 π 3π 
 ; 
2 2 

 π 3π 
 ; 
2 2 

Câu 47. Chọn B.
• y′ =

π
− cos x
; y′ = 0 ⇔ x = ( x ∈ ( 0; π ) )
2
sin x
2

• Bảng biến thiên:
x

π

0

y′

−

π

2
0

+

+∞

y

+∞
1

•

Vậy min y = 1 và max y không tồn tại.
( 0;π )

( 0;π )

Câu 48. Chọn C.
TXĐ: D =
y′ =

[ −1;1] . Nhận xét: Hàm số

1 − 2x2
1 − x2

f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;1]

; với −1 < x < 1 . y′ = 0 ⇔ 1 − 2 x 2 = 0 ⇔ x = ±

2

2

− 2
1  2 1
y (±1) =
0; y 
− ; y
=
=
2  2  2
 2 
 2 1
− 2
1
max y =y 
=;m=
min y =y 
=
− ⇒ M +m=
0
Do đó M =


[ −1;1]
[ −1;1]
2
 2  2
 2 
Câu 49. Chọn B.
TXĐ: D =  . Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục trên 

Ta có y′ =

x −1
x2 − 2x + 5

Bảng biến thiên
x
y′

; y′ = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ; lim y = +∞ , lim y = +∞

−∞

x →+∞

−

1
0

+

+∞

x →−∞

+∞

+∞

y
5
Do đó min
(1) 5
=
y y=


Câu 50. Chọn A.
TXĐ D =  . Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục trên 
Ta có y′ = 1 +

x ≤ 0
1
; y′ =0 ⇔ 2 x 2 + 1 =−2 x ⇔  2
⇔ x =−
2
2
2
2x +1
2 x + 1 =4 x

2x

lim y = +∞ , lim y = +∞

x →+∞

x →−∞

Bảng biến thiên
10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

x

−

−∞

y′

−

1
2
0

+∞
+

+∞

+∞
1
2

y

Vậy min y =
x∈R

Giải chi tiết chủ đề 3

1
1
khi x = −
2
2

Câu 51. Chọn D.
Điều kiện −4 ≤ x ≤ 4 . Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ −4; 4]
t2 − 8
x + 4 + 4 − x ⇒ t 2 = x + 4 + 4 − x + 2 ( x + 4)(4 − x) ⇒ ( x + 4)(4 − x) =
2

Đặt t =

 t2 − 8 
2
y =t − 4 
 + 5 =−2t + t + 21 =f ( t )
 2 

Ta có

Tìm điều kiện của t: Xét hàm số g ( x) =
=
g ′( x)

x + 4 + 4 − x với x ∈ [ − 4; 4]

1
1
; g ′( x) = 0 ⇔ x = 0 ; g (=
−
−4) 2 2; g=
(0) 4; g=
(4) 2 2
2 x+4 2 4− x

⇒ min g ( x) = 2 2 ; max g ( x) = 4 ⇒ t ∈ [2 2; 4]
x∈[ − 4;4]

x∈[ − 4;4]

f ′(t ) =−4t + 1 < 0 ∀t ∈ [2 2; 4] ⇒ f ( t ) là hàm nghịch biến trên [2 2; 4]

Max y= f (2 2)= 5 + 2 2
[ −4;4]

Câu 52. Chọn C.
TXĐ: D =  . Đặt
=
t sin x, − 1 ≤ t ≤ 1 . Khi đó y = f (t ) = 2t 2 + 2t − 1
Ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (t ) trên đoạn [ −1;1] . Đó cũng là giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên  .
1
3
1
Ta có: f ′ ( t=
) 4t + 2 ; f ′ ( t ) =0 ⇔ t =− ∈ ( −1;1) ; f (−1) =−1; f  −  =− ; f (1) =3
2
2
 2
max f=
(t ) f=
(1) 3 . Do đó max y = 3

t∈[ −1;1]

x∈

Câu 53. Chọn D.
TXĐ: D =  . Biến đổi y = 2sin 4 x − sin 2 x + 4 . Đặt t = sin 2 x , 0 ≤ t ≤ 1
Xét hàm số f (t ) = 2t 4 − t 2 + 4 liên tục trên đoạn [0;1]. f ′(t ) = 8t 3 − 2t = 2t (4t 2 − 1)
Trên khoảng (0;1) phương trình f '(t ) = 0 ⇔ t =

1
2

 1  31
Ta =
có: f (0) 4;=
f 
=

; f (1) 5
2 8

Vậy min f (t ) =
t∈[ 0;1]

1
31
31
1
π kπ
tại t = ⇒ min y =
khi sin 2 x = ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = +
2
8
8
2
4 2
R

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

11


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 54. Chọn C.

Do sin 2 x =

1 − cos 2 x
nên ta có
2

1
 1 − cos 2 x 
4
(1 − cos 2 x )4 + cos 4 2 x
S=
y=
2
 + cos 2 x =
2
8


4

Đặt t = cos 2 x , −1 ≤ t ≤ 1
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số S = g (t ) =

1
(1 − t ) 4 + t 4 ,
8

với −1 ≤ t ≤ 1
1
1

3
Ta có g ′(t ) =
− (1 − t )3 + 4t 3 ; g ′ ( t ) = 0 ⇔ (1 − t ) = 8t 3 ⇔ 1 − t = 2t ⇔ t =
2
3

 1
) 1; g ( −1=
) 3; g  1 =
g (1=

 3  27
1
1 82
; M max
=
=
=
S 3 nên M + m =3 +
27
27 27

Vậy
m min
S
=
=
Câu 55. Chọn A.

Nhận xét: Ta quy về hết sin 2 x

Đặt t = sin 2 x (0 ≤ t ≤ 1) . Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số y = f (t ) = t10 + (1 − t )10 với t ∈ [0;1]
f ′(t ) = 10t 9 − 10(1 − t )9 ; f ′(t ) =0 ⇔ t 9 =(1 − t )9 ⇔ t =

1
2

1
1
=
f (0) 1;=
f 
=
; f (1) 1 .
 2  512
Vậy m= min y =

1
1
; M max
=
=
y 1 nên M .m =
512
512

Câu 56. Chọn D.
TXĐ: D =

y′

[ −1; +∞ ) . Ta có:=

Bảng biến thiên:
x
y′

−1

1
> 0, ∀x ∈ ( −1; +∞ )
2 x +1

+

+∞
+∞

y
0

Từ BBT ta thấy: Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại x = −1

12

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 57. Chọn B.
TXĐ: D =  . Ta có: y′ =
x

2x −1
2 x2 − x + 1

; y′ = 0 ⇔

−

=0 ⇔ x =

2 x2 − x + 1

1
2
0

−∞

y′

2x −1

1
2

+∞

+

+∞

+∞

y

3
2

Từ BBT ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng

3
và hàm số không có giá trị lớn nhất.
2

Câu 58. Chọn C.
TXĐ: D =
y′ = 0 ⇔

1
1
−
2 1+ x 2 1− x

có: y′
[ −1;1] . Ta=

1

1
−
= 0 ⇔ 1− x = 1+ x ⇔ x = 0
2 1+ x 2 1− x

Khi đó: y (=
−1)

2; y=
( 0 ) 2; y=
(1)

2

⇒ Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 , giá trị nhỏ nhất bằng
Câu 59. Chọn B.

=
TXĐ: D

có: y′
[ 2; +∞ ) . Ta =

1
1
− =
2 x +1 2 x − 2

2

x − 2 − x +1
< 0; ∀x ∈ [ 2; +∞ )
2 x − 2 x +1

BBT:
x
y′

2

−

+∞

3
y
0
Từ BBT ta thấy hàm số đã cho có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Câu 60. Chọn C.
TXĐ: D =  \ {1; 2} .
Ta có: y′ =−

1

( x − 1)

2

−

1

( x − 2)

2

< 0; ∀x ∈ D

BBT:
x
y′
y

3

−
3
2

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

4

5
6

13


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Từ BBT ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là

=
y1

3
5
5
⇒ y1. y2 = .
=
; y2
2
6
4

Câu 61. Chọn C.
TXĐ: D=  \ {−2; −1;0}
Ta có:

1
1
1
−
−
< 0; ∀x ∈ D
2
2

x ( x + 1) ( x + 2 )2

y′ =−

BBT:
x
y′
y

−5

-3

−
47
−
60

−11
6

Từ BBT ta thấy, hàm số có giá trị lớn nhất bằng −

47
.
60

Câu 62. Chọn B.
1
2 x −1 −1

TXĐ: D= [1; +∞ ) . Ta có: y′ =
1−
=
2 x −1
2 x −1
y′ = 0 ⇔

2 x −1 −1
5
= 0 ⇔ 2 x −1 = 1 ⇔ x =
4
2 x −1

BBT:
x

1

y′

−

5
4
0

+∞
+
0

1

y

3
4

Từ BBT ta thấy: Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng

3
và giá trị lớn nhất bằng 1
4

Câu 63. Chọn B .
TXĐ: D =

[ −1;1] .

Ta có: y′ =

x
1 + x2

−

 1
1
= x
−
2

1 − x2
1 − x2
 1+ x
x


1 − x2 − 1 + x2
=
x

1 + x2 . 1 − x2


x = 0
y′ = 0 ⇔ 
⇔ x =0
2
2
 1 − x = 1 + x

Khi đó: y (=
−1)

14

2; y=
( 0 ) 2; y=
(1)

2.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 64. Chọn C.
TXĐ: D =  .
1
Ta có: y =
sin 4 x + cos 4 x =
1 − 2sin 2 x cos 2 x =
1 − sin 2 2 x .
2

Mà 0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 ⇔

1
1
1
, max y = 1 .
≤ 1 − sin 2 2 x ≤ 1 ⇒ min y =
2
2
2

Câu 65. Chọn B.
TXĐ: D = 

Ta có: y =−
sin 4 x cos 4 x =
− cos 2 x
( sin 2 x − cos2 x )( sin 2 x + cos2 x ) =

Mà −1 ≤ cos 2 x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ − cos 2 x ≤ 1 ⇒ max y =
1.
Câu 66. Chọn C.
TXĐ: D =  .
Ta có: y =
1 + 2sin x.cos x =
1 + sin 2 x ; y ' =
y′ = 0 ⇔

cos 2 x
1 + sin 2 x

cos 2 x
π kπ
π
 π
, vì x ∈ 0;  ⇒ x =
= 0 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = +
4 2
4
1 + sin 2 x
 2

π 

Khi đó:
y ( 0 ) 1;=
y 
=
4

π 
2;=
y   1.
2

Câu 67. Chọn D.
TXĐ: D = 
Ta có: y = sin 6 x + cos 6 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3sin 2 x cos 2 x ( sin 2 x + cos 2 x )
3

3
=
1 − 3sin 2 x cos 2 x =
1 − sin 2 2 x
4

Mà:

0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 ⇔

1
1
3
y

; max =
y 1.
≤ 1 − sin 2 2 x ≤ 1 ⇒ min =
4
4
4

Câu 68. Chọn D.
TXĐ: D = 
Đặt t = x 2 + 2 x + 3 ( t ≥ 2 ) , Khi đó hàm số trở thành: y = t ( t − 5 ) = t 2 − 5t
Ta có: y=′ 2t − 5 ; y′ = 0 ⇔ t =

5
2

Bảng biến thiên:
x
y′

5
2
0

2
−6

y

−

+∞
+
+∞

−

25
4

Từ BBT, ta thấy hàm số không có giá trị lớn nhất.

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

15


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 69. Chọn D.
TXĐ: D = 

x 2 + 1 ( t ≥ 1) ⇒ x 2 =t 2 − 1 . Khi đó hàm số trở thành: y = t −

Đặt: t =

3
3
⇒ y′ =1 + 2 > 0 ⇒

t
t

y (1) =
−2 .
Hàm số luôn đồng biến với mọi t ≥ 1 ⇒ min y =
Câu 70. Chọn D.
TXĐ: D =  . Ta có: y = ( x − 1)( x − 2 )( x − 3)( x − 4 ) = ( x 2 − 5 x + 4 )( x 2 − 5 x + 6 )
 9

Đặt: t = x 2 − 5 x + 4  − ≤ t ≤ 10 
 4


Khi đó hàm số trở thành: y = f (t ) = t ( t + 2 ) = t 2 + 2t ⇒ f '(t ) =2t + 2 =0 ⇔ t =−1
BBT:
t

−

9
4

−1

−

f '(t )
f (t )

10

+

0

120

9
16
−1

Từ BBT ta thấy: Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 120 và giá trị nhỏ nhất bằng −1
Câu 71. Chọn B.
TXĐ:

D=

t2 − 4
1− x + x + 3 2 ≤ t ≤ 2 2 ⇒ 1− x 3 + x =
2

(

[ −3;1] . Đặt: t =

Khi đó phương trình trở thành: y =

)

t2
+ t − 2 ⇒ y′ = t + 1 > 0; ∀t ∈  2; 2 2 
2

⇒ Hàm số đồng biến với mọi t ∈  2; 2 2 

(

)

⇒ min y =
y ( 2) =
2; max y =
y 2 2 =
2+2 2 .
Câu 72. Chọn A.
TXĐ: D =

[ −2; 2] .

Đặt: t =

x + 2 + 2 − x 2 ≤ t ≤ 2 2 ⇒ 2 4 − x2 = 2 2 − x 2 + x = t 2 − 4

)

(

Khi đó hàm số trở thành: y = f (t ) = t 2 + t − 4 ⇒ f '(t ) = 2t + 1 > 0; ∀t ∈  2; 2 2 
⇒ Hàm số đồng biến với mọi t ∈  2; 2 2 

(

)

⇒ min y =
f ( 2) =
2; max y =
f 2 2 =
4+2 2 .
Câu 73. Chọn A.
TXĐ: D =

[ −1; +∞ ) . Đặt=t

6

x + 1 (1 ≤ t ≤ 2 )

Khi đó hàm số trở thành: y= t 3 + t 2 ⇒ y=′ 3t 2 + 2t > 0; ∀t ∈ [1; 2]

⇒ min y =y (1) =2; max y =y ( 2 ) =12 .
16

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 74. Chọn C.
TXĐ: D = 
=
t sin x; ( −1 ≤ t ≤ 1) . Khi đó hàm số trở thành:
Đặt

t = 1
t +1
−t 2 − 2t + 3
(1) 1
. Do đó y (=
y=2
0
⇒ y′ =
=
⇔
−1) 0; y=

2
t +3
2
t = −3 ( l )
( t 2 + 3)
−π
⇒ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t =−1 ⇔ x = , hàm số đạt giá trị lớn nhất tại
2
1
π
⇔x=

2
6
Câu 75. Chọn D.
t=

TXĐ: D =  \ {0}
Đặt t= x +

1
x

1
10 

2
2
 2 ≤ t ≤  ⇒ x + 2 =t − 2
x
3


 10 
Khi đó hàm số trở thành: y = t 2 + t − 2 ⇒ y′ = 2t + 1 > 0; ∀t ∈  2; 
 3
 10 
⇒ Hàm số đồng biến ∀t ∈  2;  . (chỗ này còn thiếu)
 3

Câu 76. Chọn B.
TXĐ: D =  . Đặt =

t x 4 − 1 ( 0 ≤ t ≤ 15 ) .

( t + 1)

Khi đó hàm số trở thành: y =

2

+ t 2 = 2t 2 + 2t + 1 ⇒ y′ = 4t + 2 > 0; ∀t ∈ [ 0;15]

⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn [ 0;15] .
⇒ Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t = 15 ⇔ x = 2 , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
t = 0 ⇔ x =1

Câu 77. Chọn A.
TXĐ: D =

( −∞; −2] ∪ [ −1; +∞ ) . Đặt t =

x 2 + 3x + 2 ( t ≥ 0 ) .

Khi đó hàm số trở thành: y = t 2 + t − 2 ⇒ y′ = 2t + 1 > 0; ∀t ≥ 0
⇒ Hàm số đồng biến với mọi t ≥ 0 ⇒ min y ==
y ( 0 ) −2 .

Câu 78. Chọn A.
TXĐ: D
=

[0; +∞ ) . Đặt=t

x ; ( x ∈ [ 0; 4] ⇒ 0 ≤ t ≤ 2 ) .

Khi đó hàm số trở thành: y =t +

t
1
⇒ y′ =1 +
>0
2
t +1
( t + 1)

⇒ hàm số đồng biến

8
∀t ∈ [ 0; 2] ⇒ min y =y ( 0 ) =0; max y =y ( 2 ) = .
3
Câu 79. Chọn C.
Cách 1: Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 < a, b < 8.

Ta có: 2(a + b) = 16 ⇔ a + b = 8 ⇔ b = 8 − a
Diện tích: S (a ) =
a (8 − a ) =
−a 2 + 8a ; S ′(a ) =
−2a + 8 ; S ′(a ) = 0 ⇔ a = 4
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

17

Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Bảng biến thiên:

a
S′(a)

0

4
0
16

+

S (a)

8
−

0

0

Cách 2
 a+b
Áp dụng Côsi: a + b ≥ 2 ab ⇔ ab ≤ 

 ⇔ ab ≤ 16
 2 
2

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = 4
Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng 16 khi cạnh bằng 4
Câu 80. Chọn A.
Cách 1
Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 < a, b ≤ 48
Ta có: ab = 48 ⇔ b =

48
48 

. Chu vi: P=
(a) 2  a + 
a
a 


 48 
P′(=
a ) 2 1 − 2  ; P′(a ) = 0 ⇔ a = 4 3
 a 
Bảng biến thiên:

a
P′ ( a )

0

−

P (a)

4 3
0

48
+

16 3

Cách 2
• Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a + b ≥ 2 ab ⇔ a + b ≥ 2 48 =
8 3
⇔ chu vi nhỏ nhất: 2(a + b) =
16 3

• Hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng 16 3 khi cạnh bằng 4 3 .
Câu 81. Chọn C.
Gọi một trong hai số phải tìm là x, số còn lại: x + 13.
Tích hai số P ( x) =x( x + 13) =x 2 + 13 x . P′( x) = 2 x + 13, P′( x) = 0 ⇔ x =

−13
.
2

Bảng biến thiên

x

−∞

−

P '( x)

−13
2
0

+∞
+

+∞
P( x)

Tích của chúng bé nhất bằng
18

+∞
−169
4

−169
13
−13
khi hai số là
và

.
2
4
2
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 82. Chọn A.
Vận tốc của chuyển động là v = s′ tức là v(t ) =
12t − 3t 2 , t > 0
v′(t ) = 12 − 6t , v′(t ) = 0 ⇔ t = 2

Bảng biến thiên:
t
v′ ( t )

0

2
0
12

+

v (t )

+∞

−

Hàm số v(t) đồng biến trên khoảng (0;2) và nghịch biến trên khoảng (2; +∞)
⇔ Max v(t ) = 12 khi t = 2 . Vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 12 khi t = 2 .
Câu 83. Chọn A.
Cạnh góc vuông x, 0 < x <
Cạnh góc vuông còn lại là:
Diện tích tam giác=
S ( x)

a
; cạnh huyền: a − x
2
(a − x) 2 − x 2

a(a − 3x)
a
1
; S ′( x) = 0 ⇔ x =
x a 2 − 2ax . S ′( x) =
3
2
2 a 2 − 2ax

Bảng biến thiên:

x

0

S′( x)

+

a
3
0

a
2

−

2

a
6 3

S ( x)

Tam giác có diện tích lớn nhất bằng

a2
a
2a
khi cạnh góc vuông , cạnh huyền
.
3

3
6 3

Câu 84. Chọn A.
Sau một vụ, trung bình số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ cân nặng:
f=
(n) nP=
(n) 480n − 20n 2 (gam). f ′(n) = 480 − 40n = 0 ⇔ n = 12
Bảng biến thiên:
n
f ′(n)
f (n)

0

+

12
0
f (12 )

+∞

−

Trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ, cần thả 12 con cá thì sau một vụ thu hoạch được nhiều
gam cá nhất.
Câu 85. Chọn B.
Ta có: G ( x ) =
0.75 x 2 − 0.025 x3 , x > 0 ; G′=

( x) 1.5 x − 0.075 x 2 ; G′( x) = 0 ⇔ x = 0, x = 20
Bảng biến thiên:
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

19


Tán đổ Toán Plus

x
G′ ( x )

0

20
0
100

+

G ( x)

Giải chi tiết chủ đề 3

+∞
−

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20 mg, độ giảm là
100.
Câu 86. Chọn D.

Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là: v − 6 (km/h)
Thời gian để cá vượt khoảng cách 300 km
là t
=

300
(v > 6)
v−6

v3
3 300
Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách 300km là:
=
E (v) cv
=
300c
v−6
v−6
E ′(v) = 600cv 2

v −9
; E ′(v) = 0 ⇔ v = 9 do (v > 6)
(v − 6) 2

Bảng biến thiên:

v
E′ ( v )

6

+∞

9
0

−

E (v)

+

E (9)

Cá phải bơi với vận tốc 9 (km/h) thì ít tiêu hao năng lượng nhất.
Câu 87. Chọn D.
f ′(=
t ) 90t − 3t 2 ; f ′′(t ) = 90 − 6t , f ′′(t ) = 0 ⇔ t = 15
Bảng biến thiên
t
f ′′ ( t )

0

15
0
675

+

f ′ (t )

25

−

A
Tốc độ truyền bệnh lớn nhất là vào ngày thứ 15.
Câu 88. Chọn D.
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ BH = CH =

a
.
2

Q

P

a

Đặt BM = x  0 < x < 
2


Ta có: MN ==
2 MH a − 2 x, QM =
BM tan 600 =
x 3
B

M

H

N

C

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
S ( x) =
(a − 2 x) x 3 =
a 3x − 2 3x 2

S ′( x) = 3(a − 4 x), S ′( x) = 0 ⇔ x =

20

a
4
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Bảng biến thiên:

x

0

S′( x)

+

Câu 89.

a
2

−

3 2
a
8

S ( x)
Vị trí điểm M: BM =

a
4
0

a
4

h

h

Chọn C.
500
, x > 0.
x2

2
Thể tích của hộp là:=
đó h
V x=
h 500(cm3 ). Do=

Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là:

x

x

h

h

2000
S ( x) =x + 4hx =x +
,x>0
x
2

2

2000 2( x3 − 1000)
, S ′( x) = 0 ⇔ x = 10
=
x2
x2
Bảng biến thiên
S ′( x) = 2 x −

x
S′( x)

0

−

10
0

+∞
+

S ( x)
300

Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhất, ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp là x = 10 (cm).
Câu 90. Chọn B.
Gọi chiều cao, bán kính đáy và thể tích của hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là h, r và V.
2
Khi đó, V = π r 2 h. Vì r=

R2 −



h2 
h3 
h2
nên V = π  R 2 −  h = π  R 2 h −  .
4 
4
4





3h 2 
2R
h3 
.
V (h) = π  R 2 h −  , h ∈ ( 0; 2 R ) ; V ′(h) = π  R 2 −
 ; V ′(h) = 0 ⇔ h =
4 
4
3


Bảng biến thiên:
h

0

V ′(h)

+

2R
3
0

2R

−

4π R
3 3

3

V (h)
0

0

Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng

4π R 3
2R
. Khi đó, thể tích hình trụ là
.

3 3
3
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

21


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 91. Chọn B.

a

Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt  0 < x <  .
2

a

Thể tích của khối hộp là: V (=
x) x(a − 2 x) 2  0 < x <  .
2


V ′( x) = (a − 2 x) 2 + x.2(a − 2 x).(−2) = (a − 2 x)(a − 6 x) ; V ′( x) = 0 ⇔ x =

a 
a
 0 < x < .

6 
2

Bảng biến thiên
x

a
6
0

0

V ′( x)

+

a
2

−
3

V ( x)
0

2a
27

0

a
2a 3
 a
Vậy trong khoảng  0;  có 1 điểm cực đại duy nhất là x = tại đó V ( x) =
.
27
6
 2
Câu 92. Chọn C.
Tập xác định: D =  . Đặt=
t sin x, − 1 ≤ t ≤ 1 . Khi đó y = f (t ) = 2t 2 + 2t − 1
f ′(t ) = 4t + 2; f ′(t ) = 0 ⇔ t =

Vậy
min y
=
R

−1
 −1  −3
∈ [ −1;1] ⇒ f   = ; f (−1) =
−1; f (1) =
3
2
 2  2

−3
, max y 3.
=
R

2

Câu 93. Chọn A.
Tập xác định: D = 
−4sin 2 x + 2sin x + 2
y=
2(1 − 2sin 2 x) + 2sin x =
Đặt=
f (t ) =
−4t 2 + 2t + 2
t sin x, − 1 ≤ t ≤ 1 , khi đó y =
1
1 9
f ′(t ) =−8t + 2, f ′(t ) =0 ⇔ t = ∈ [ −1;1] ⇒ f   = ; f (−1) =
−4; f (1) =
0
4
4 4
9
Vậy min y =
−4, max y =
R
R
4

22

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦

Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 94. Chọn B.

Đặt
t sin 2 x, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ y = f (t ) = t 2 − 4t + 5 . f ′(t ) = 2t − 4; f ′(t ) = 0 ⇔ t = 2 ∉ [ 0;1]
=
min y 2,=
max y 5
=
f (0) 5;=
f (1) 2 . Vậy=




Câu 95. Chọn C.
=
y = sin 4 x − sin 2 x + 3 . Đặt
t sin 2 x, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ y = f (t ) = t 2 − t + 3
f ′(t ) = 2t − 1; f ′(t ) = 0 ⇔ t =

Vậy
=
min y
R

1

 1  11
∈ [ 0;1] ⇒ f   = ; f (0) = 3; f (1) = 3
2
2 4

11
=
, max y 3
4 R

Câu 96. Chọn D.
Đặt t cos x , 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ =
Tập xác định: D =  . =
)
y f (t=

f ′(t ) =

2t 2 + t + 1
, 0 ≤ t ≤1
t +1

t = 0
2t 2 + 4t
; f ′(t )= 0 ⇔ 
⇒ f (0) = 1, f (1) = 2
2
(t + 1)
t =−2 ∉ [ 0;1]

Vậy=
min y 1,=
max y 2




Câu 97. Chọn B.
−t 2 − 2t
t +1
′
Đặt=
, f (t ) =
) 2
t sin x, − 1 ≤ t ≤ 1 ⇒ y= f (t =
t + t +1
t2 + t +1

(

)

2

t = 0 ∈ [ −1;1]
2
. Vậy =
f ′(t )= 0 ⇔ 
⇒ f (0)= 1, f (−1)= 0, f (1)=
M 1,=

m 0
3
t =−2 ∉ [ −1;1]
Câu 98. Chọn D.
 y′ = 0
23
21
Ta có y′ = x 2 − x − 6 ⇒ 
3, y ( 4 ) =
− , y ( 3) =
−
⇔ x = 3 ⇒ y ( 0) =
3
2
 x ∈ ( 0; 4 )

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y =

1 3 1 2
x − x − 6 x + 3 trên đoạn [ 0; 4] là 3 .
3
2

Câu 99. Chọn C.
Hàm số y = ( x + 3) − x 2 − 2 x + 3 có tập xác định D =
=
y′

[ −3;1]

 y′ = 0
3) 0, y=
0) 3 3
⇒
=
⇔ x 0 ⇒ y ( −=
(1) 0, y (=
− x2 − 2x + 3
 x ∈ ( −3;1)
−2 x 2 − 6 x

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( x + 3) − x 2 − 2 x + 3 là 0
Câu 100. Chọn B.
Hàm số y =
y′
=

x − 2 + 4 − x có tập xác định D = [ 2; 4]

 y′ = 0
1
1
−
⇒
=
⇔ x 3 ⇒ y ( 2 )=
2 x−2 2 4− x
 x ∈ ( 2; 4 )

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y =

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

2, y ( 3)= 2, y ( 4 )=

2

x − 2 + 4 − x là 2

23


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

Câu 101. Chọn C.
3cos 2 x + 5
⇒1≤ y ≤ 4
2

=
y 2sin 2 x + 5cos 2 =
x −1

Vậy hàm số y = 2sin 2 x + 5cos 2 x − 1 có giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Câu 102. Chọn C.
Hàm số y =+
x 18 − x 2 có tập xác định D =  −3 2;3 2 
18 − x 2 − x

=
y′

18 − x 2

(

)

′
 y = 0
⇒
=
⇔x 3
 x ∈ −3 2;3 2

(

(

)

)

⇒ y −3 2 =
−3 2, y 3 2 =
3 2, y ( 3) =
6
Vậy hàm số y =+

x
18 − x 2 có giá trị lớn nhất bằng 6.
Câu 103. Chọn B.
7
=
t cos x ( −1 ≤ t ≤ 1) . Xét hàm y = 2t 3 − t 2 − 3t + 5 trên đoạn [ −1;1]
Đặt
2

 y′ = 0
1
5
1
1
299
.
⇔ t =− ; y ( −1=
y′ =6t 2 − 7t − 3 ⇒ 
) , y (1=) , y  − =
2
2  3  54
3
t ∈ ( −1;1)

1
7
Vậy hàm số y = 2 cos3 x − cos 2 x − 3cos x + 5 có giá trị nhỏ nhất bằng .
2
2
Câu 104. Chọn D.

y=
−2sin 3 x + 3cos 2 x − 6sin x + 4 =
−2sin 3 x − 6sin 2 x − 6sin x + 7
t sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) . Xét hàm y =
Đặt=
−2t 3 − 6t 2 − 6t + 7 trên đoạn [ −1;1]

9, y (1) =
−7
y′ =−6t 2 − 12t − 6 ⇒ y′ =0 vô nghiệm. Ta có: y ( −1) =
Vậy hàm số y =
−2sin 3 x + 3cos 2 x − 6sin x + 4 có giá trị lớn nhất bằng 9.
Câu 105. Chọn B.
Ta có y = 3 − x ≥ 1 ⇒ x ≤ 2 ⇒ x ∈ [ 0;2]
Khi đó P = x 3 + 2 ( 3 − x ) + 3 x 2 + 4 x ( 3 − x ) − 5 x = x 3 + x 2 − 5 x + 18
2

Xét hàm số f ( x ) = x 3 + x 2 − 5 x + 18 trên đoạn [ 0;2] ta có:

 f '( x ) =
0
⇔ x= 1
f ' ( x )= 3 x 2 + 2 x − 5 ⇒ 
x
∈
0;2
(
)


=
f ( 0 ) 18,
=
f (1) 15,
=
f ( 2 ) 20
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x 3 + 2 y 2 + 3 x 2 + 4 xy − 5 x lần
lượt bằng 20 và 15.
Câu 106. Chọn C.
=
Ta có: y

24

x + 1 + 9 x2
=
8x2 + 1

1
9x2 + 1 − x

. Hàm số y đạt giá trị lớn nhất trên khoảng ( 0; +∞ )

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 3

9 x 2 + 1 − x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng ( 0; +∞ )

khi hàm số f (=
x)

 f ′ ( x ) = 0
1
−1 ⇒ 
=
⇔x
6 2
9x2 + 1
 x ∈ ( 0; +∞ )
9x

Ta có: =
f ′( x)

3 2
 1  2 2
min f ( x ) =f 
=
⇒ max y =

( 0;+∞ )
( 0;+∞ )
3
4
6 2

Câu 107. Chọn C.
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:

(

)

(

)(

)

45 + 20 x 2 = 5 9 + 4 x 2 = 22 + 11 32 + (2 x) 2 ≥ 2.3 + 1.2 x =6 + 2 x
Suy ra y ≥ 6 + 2 x + 2 x − 3 . Áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b ta được:

6 + 2 x + 2 x − 3 =6 + 2 x + 3 − 2 x ≥ 6 + 2 x + 3 − 2 x =9 ⇒ y ≥ 9
Vậy hàm số y =

45 + 20 x 2 + 2 x − 3 có giá trị nhỏ nhất bằng 9 .

Câu 108. Chọn B.
TXĐ: D =

[ −2; 2] . Hàm số y =f ( x) =x + 4 − x 2 liên tục trên đoạn [ −2; 2] .

y′ = 1 −

x

; y′= 0 ⇔

4 − x2

x ≥ 0
4 − x2 =
x ⇔
⇔x= 2
2
x2
4 − x =

y ( −2 ) =
−2 ; y ( 2 ) =2 ; y ( 2) =
2 2 . Vậy min y =
 y ( −2 ) =
−2
[ −2;2]

Câu 109. Chọn C.

x +1

TXĐ: D =  . Hàm số
=
y f=
( x)
Ta có: y′ =

−x +1

(x

(1)
=
max
y y=
[ −1;2]

2

)

+1

3

x2 + 1

liên tục trên đoạn [ −1; 2] .

(1)
; y′ = 0 ⇔ x = 1 . Do y ( −=
1) 0, y=

2, y (=
2)

3
nên

5

2 , min y = y ( −1) = 0
[ −1;2]

Câu 110. Chọn C.
Hàm số xác định với ∀x ∈ 1; e3 
Hàm số y =

ln 2 x
ln x(2 − ln x)
liên tục trên đoạn 1;e3  . Ta có y′ =
x
x2

(

)

 x = 1 ∉ 1; e3
ln x = 0
4
9
. Khi đó
y′ =
0⇔
⇔
; y (e 3 )
=
y (1) 0;=

y (e 2 )
=
2
2
3
 x= e ∈ 1; e
e
e3
ln x = 2


(

)

So sánh các giá trị trên, ta có max
=
y y=
(e 2 )
3
1;e 



4
e2

Câu 111. Chọn A.
Hàm số xác định, liên tục trên đoạn [ 0; 2]

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

25