Một số đề thi HSG toán lớp 9

MT S THI HSG 9
1
Bi 1 (2,5 im) Gii cỏc phng trỡnh sau:
1.
2.
3.

2
3x2 + 4x + 10 = 2 14 x 7
4

4 x 2 4 x 4 16 4 x 1 x 2 y 2 2 y 3 5 y

x4 - 2y4 x2y2 4x2 -7y2 - 5 = 0;

(vi x ; y nguyờn)

Bi 2: (2.5 im)
1.

Tỡm s t nhiờn n n 18 v n 41 l hai s chớnh phng.

2.

Cn bc hai ca 64 cú th vit di dng nh sau:

64 6 4

Hi cú tn ti hay khụng cỏc s cú hai ch s cú th vit cn bc hai ca chỳng di dng nh trờn
v l mt s nguyờn? Hóy ch ra ton b cỏc s ú.
Bi 3: (3,25 im)

Cho ng trũn (O; R) v ng thng d khụng i qua O ct ng trũn (O) ti hai im A v
B. T mt im M tựy ý trờn ng thng d v ngoi ng trũn (O) v hai tip tuyn MN v MP
vi ng trũn (O), (P, N l hai tip im).
2
2
1.
Chng minh rng MN MP MA.MB
2.

Dng v trớ im M trờn ng thng d sao cho t giỏc MNOP l hỡnh vuụng.

3.

Chng minh rng tõm ca ng trũn i qua 3 im M, N, P luụn chy trờn ng thng c
nh khi M di ng trờn ng thng d.
Bi 4: (1,5 im)
Trờn mt phng ta xOy ly im P(0; 1), v ng trũn (K) cú ng kớnh OP. Trờn
trc honh ly ba im M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0). Ni PM; PN; PQ ln lt ct ng trũn (K) ti
A; B ; C. Tớnh di cỏc cnh ca tam giỏc ABC theo a; b; c.
Bi 5: (0,75 im) Cho a, b, c > 0.
19b3 - a3 19c3 - b3 19a3 - c3
+
+
3(a+b+c)
2
2
2
Chng minh rng: ab+5b cb+5c ac+5a

2

Bài 1: Chứng minh rằng:
a. Với mọi số tự nhiên n > 1 thì số A = n 6- n 4 + 2n 3 + 2n

2

không thể là số chính phơng.
b. Các số a và b đều là tổng của hai số chính phơng thì tích a.b cũng là
tổng của hai số chính phơng.
Bài 2: a. Hãy xác định giá trị x;y để có đẳng thức:
5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y 2x + 2 = 0
b.Cho hai số thực x, y thoả mãn phơng trình:
2x + 3y = 1

1


T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa tỉng S = 3x 2 + 2y 2.
Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 = x2 +6x -1
Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC nhän ( AB < AC) , kỴ ®êng ph©n gi¸c AD cđa gãc BAC
vµ ®êng trung tun AM ( D;M  BC). VÏ hai ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c
ABC vµ tam gi¸c ADM , hai ®êng trßn nµy c¾t nhau t¹i ®iĨm thø hai lµ I, ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ADM c¾t hai c¹nh AB vµ AC theo thø tù t¹i E vµ F.
Tia AD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i J.
a.
b.

Chøng minh: 3 ®iĨm I, M,J th¼ng hµng.
Gäi K lµ trung ®iĨm cđa EF, tia MK c¾t AC vµ tia BA theo thø tù t¹i P vµ
Q.
Chøng minh tam gi¸c PAQ c©n.

ĐỀ 3
2
Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình : 2 x  (6m  3) x  3m  1  0 ( x là ẩn số)
a)
Đònh m để phương trình trên có hai ngiệm phân biệt đều
âm.
b)
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên.
2
2
Đònh m để A= x1  x2 đạt giá trò nhỏ nhất.

Câu 2 : (4 điểm)
a) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh:
b) Cho a �1 ; b �1 . Chứng minh : a b  1  b a  1 �ab
Câu 3 : (4 điểm)
Giải các phương trình :
2
2
2
a) ( x  3x )  6( x  3 x)  7  0

b) 8  x  3  5  x  3  5
2
2
c) x  x  x  x  x  1

Câu 4 : (2 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì

n 2  n  1 không chia

hết cho 9.
Câu 5 : (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O)
và có trực tâm là H.
a)

Xác đònh vò trí của điểm M thuộc cung BC khơng chứa điểm A sao
cho tứ giác BHCM là một hình bình hành.
b)
Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A. Gọi N
và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng
minh ba điểm N , H , E thẳng hàng.
Câu 6 : (2 điểm)

2


Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện
tích tam giác AOB bằng 4, diện tích tam giác COD bằng 9. Tìm giá trò
nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.

ĐỀ 4
Bµi 1:
1) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n: n2 + 2006 lµ sè
chÝnh ph¬ng.
2) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

=

Bµi 2:
Cho c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n ®iỊu kiƯn sau:
+ + x2 = + + y2
Chøng minh r»ng: x = y
Bµi 3:
Gäi a lµ tham sè thùc sao cho ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai
nghiƯm ph©n biƯt lµ x1 vµ x2 .
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A =
Bµi 4:
Gäi O lµ t©m ®êng trßn tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA cđa tø gi¸c
ABCD. Qua A, B, C, D lÇn lỵt vÏ c¸c ®êng th¼ng dA, dB, dC, dD sao cho

d A  OA,

dB  OB, dC  OC, dD  OD. C¸c cỈp ®êng th¼ng dA vµ dB, dB vµ dC, dC vµ dD,
dD vµ dA t¬ng øng c¾t nhau t¹i c¸c ®iĨm K, L, M, N.
1) Chøng minh r»ng ba ®iĨm K, O, M th¼ng hµng.
2) §Ỉt OK = k, OL = l, OM = m. TÝnh ®é dµi ON theo k, l, m.

ĐỀ 5
Bµi 1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh : + = 2
Bµi 2:
Cho c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n ®iỊu kiƯn : + x2 = + y2
Chøng minh r»ng x = y.
Bµi 3:
Gäi a lµ tham sè thùc sao cho ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai
nghiƯm ph©n biƯt lµ x1 vµ x2 .

1) TÝnh theo a gi¸ trÞ biĨu thøc A =
2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A .
Bµi 4:
Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O') c¾t nhau t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt A vµ B.
Qua A vÏ c¸t tun MAN víi M thc (O) ; N thc (O') vµ M, N kh«ng trïng víi A.
TiÕp tun t¹i M cđa ®êng trßn (O) c¾t tiÕp tun t¹i N cđa ®êng trßn (O') ë I.
1) Chøng minh r»ng ®é dµi ®o¹n th¼ng MN lµ lín nhÊt khi c¸t tun
MAN song song víi ®êng th¼ng OO'.

3


2) Chứng minh rằng bốn điểm B, M, I, N nằm trên một đờng tròn.

6
Bài 1.
Rút gọn các biểu thức sau :
a)A =++ ..... ++
b) B = x3 - 3x + 2000 với x = +
Bài 2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét ba đờng thẳng có phơng trình :
(d1) : x - 5y + k = 0 ; (d2) : (2k - 3)x + k(y - 1) = 0 ; (d3) : (k + 1)x - y + 1 =
0
Tìm các giá trị của tham số k để ba đờng thẳng đó đồng quy.
Bài 3.
Giải hệ phơng trình :
Bài 4.
Cho đờng tròn (O;R) có hai đờng kính AC và BD vuông góc với nhau.
Điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC (M khác B và C) và điểm N thay đổi trên
cung nhỏ CD sao cho góc MAN = góc MAB + góc NAD. Dây AM cắt dây BC tại

E, dây AN cắt dây CD tại F.
1) Chứng minh rằng ta luôn có :
- Góc AEB = góc AEF.
- Đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định.
2) Đặt góc MAB = , tính diện tích tam giác AEF theo R và .
Bài 5. Chứng minh rằng:

+ 80

với a 3, b 3.

Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Bài 6. Tớnh B = -

7
Câu 1 (2,0 điểm )
1)Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

2)Rút gọn biểu thức sau :

( a b c) 3 a 3 b 3 c 3

A 4 10 2 5 4 10 2 5 5

Câu 2 ( 2,0 điểm )
4
3
2
1)Chứng minh rằng nếu phơng trình : x ax bx ax 1 0 có nghiệm

2
2
thì : a (b 2) 3 0

2)Tìm giá trị của m để hệ phơng trình :

mx 2 x y 1 m

2
2
x y 1

Có nghiệm duy nhất

Câu 3 ( 2,0 điểm )
1)Tìm các số nguyên dơng a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện :

4


1 1 1
1
a b c a b c và a b c

2)Trên tờ giấy kẻ vô hạn các ô vuông và đợc tô bởi các màu đỏ hoặc xanh thoả
mãn bất cứ hình chữ nhật nào kích thớc 2x3 thì có đúng hai ô màu đỏ.Hỏi
hình chữ nhật có kích thớc 2010x2011 có bao nhiêu ô màu đỏ .
Câu4 ( 3,0 điểm )
1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng
tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC.

1
1
4
2 2
2
r
a
a)
Chứng minh : R
8R 3r 3
S ABCD 2 2 2
( R r ) ; ( Kí hiệu S ABCD là diện tích tứ giác ABCD )
b)
Chứng minh :
BC
0

2) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC 108 .Chứng minh : AC là số vô tỉ.

Câu 5 ( 1,0 điểm )
2
f ( x) p
Cho f ( x) ax bx c thoả mãn với mọi x sao cho 1 x 1 và
.

Tìm số q nhỏ nhất sao cho

a b c p.q

8

Bài 1: (4,0 điểm)

1.

Rút gọn biểu thức:

2.

Giải phơng trình:
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho phơng trình

1.
2.

A

2 4 5 21 80
10 2

x 2 x 6 x 2 x 18 0

m 1 x3 3m 1 x 2 x 4m 1 0

(1)

( m là tham số).

Biến đổi phơng trình (1) về dạng phơng trình tích.
Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt,

trong đó có 2 nghiệm âm.
Bài 3: (4,0 điểm)
2

a b

ab
a
,
b
2


1.
Chứng minh rằng với hai số thực bất kì
ta luôn có:
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

2.
3.

Cho ba số thực a, b, c không âm sao cho a b c 1 .

Chứng minh: b c 16abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
6
6
Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức P sin cos có giá trị
bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó.
Bài 4: (6,0 điểm)

1.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc
với các cạnh BC, CA và AB lần lợt tại D, E và F. Đặt x DB, y DC , z AE .
a.
Tìm hệ thức giữa x, y và z .

5


b.
2.

AC  2 DB �
DC .
Chøng minh r»ng: AB �
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, BC  a . Hai ®iĨm M vµ N lÇn lỵt trªn AC vµ
AB sao cho: AM  2 MC , AN  2 NB vµ hai ®o¹n BM vµ CN vu«ng gãc víi nhau.
TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC theo a .
Bµi 5: (3,0 ®iĨm)

3.

Mét ®oµn häc sinh ®i c¾m tr¹i b»ng « t«. NÕu mçi « t« chë 22 ngêi th×
cßn thõa mét ngêi. NÕu bít ®i mét « t« th× cã thĨ ph©n phèi ®Ịu tÊt c¶ c¸c
häc sinh lªn c¸c « t« cßn l¹i. Hái cã bao nhiªu häc sinh ®i c¾m tr¹i vµ cã bao
nhiªu « t« ? BiÕt r»ng mçi « t« chØ chë kh«ng qu¸ 30 ngêi.
4.
Mét tÊm b×a h×nh ch÷ nhËt cã kÝch thíc 1�5 . H·y c¾t tÊm b×a thµnh

c¸c m¶nh ®Ĩ r¸p l¹i thµnh mét h×nh vu«ng. Gi¶i thÝch.

Bài 1) (3đ):

ĐỀ 9

Cho biể
u thứ
c A=2(92009  92008  ...  9 1)
Chứ
ng minh rằ
ng A bằ
ng tích củ
a hai sốtựnhiê
n liê
n tiế
p

Bài 2) (4đ):
a)Rú
t gọn B  4 10 2 5  4 10 2 5
b)Tìm x đểbiể
u thứ
c sau cógiátrònhỏnhấ
t, tìm giátrònhỏnhấ
t đóC  x  x  2009

Bài 3) (4đ)
a)Chứ
ng minh rằ

ng nế
u a  b c  0 thì a3  b3  c3  abc  0
b)Á
p dụng tính chấ
t trê
n đểtính giátròcủ
a biể
u thứ
c sau vớ
i
x�
yz 0
xy xz yz
1 1 1
D  2  2  2 nế
u biế
t   0
z y x
x y z

Bài 4) (3đ)
Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
E

a
b
c



�3
b c  a a  c  b a  b c

Bài 5) (3đ)
Cho tam giác đều ABC từ 1 điểm M thuộc miền trong tam giác
kẻ MH, MK, ML vuông góc với cạnh AB, BC , AC và có độ dài
lần lượt là x, y, z. Gọi H là độ dài đường cao tam giác đều
1
x2  y2  z2 � h2
3
Chứng minh rằng

Bài 6) (3đ)
Cho tam giác ABC (AB < AC) M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI  AM,
CK  AM.
Xác đònh vò trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK nhỏ
nhất.
6


ĐỀ 10
Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
Câu 2 (3 điểm): Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn phương trình:
x+y+z+4=2+4+6
Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:
Câu 4 (2 điểm): Cho
Tính giá trị của biểu thức:
A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003
Câu 5 (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có góc A = 1200, tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng

150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N.
Chứng minh:
Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABD vuông tại D, lấy C là điểm thuộc cạnh AB. Kẻ CH
vuông góc với AD (HAD). Đường phân giác của góc BAD cắt đường tròn đường kính AB
tại E, cắt CH tại F; DF cắt đường tròn trên tại K.
a) Chứng minh rằng tứ giác AFCK nội tiếp.
b) Chứng minh ba điểm K, C, E thẳng hàng.
c) Cho BC = AD, kẻ CI song song với AD (IDK). Chứng minh CI = CB và DF là
đường trung tuyến của tam giác ADC.

ĐỀ 11
Câu 1:(2 điểm)
1) Tính:
2) Tính: .
3) Cho và .
Không dùng máy tính hãy so sánh C và D .
Câu 2: (2điểm)
1) Cho đa thức  
2) Giải hệ phương trình:
Câu 3: (2điểm)

f x  1.2  2.3  3.4  ...  x.  x  1

. Tìm x để

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ

f  x   2010

 1;1 và điểm A di động A  m;0 

 d m  vuông góc với AB tại A.
d
2) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ  m  đồng qui.
1) Viết phương trình họ đường thẳng

3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ

 d m  đi qua
7


Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm
thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các
cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD.
a) Tính số đo góc NEB.
b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: (1điểm)
Cho các số a1 , a 2 , . . . ,a 2009 được xác định theo công thức sau:
với n = 1, 2, …, 2008.
Chứng minh rằng:

ĐỀ 12
Câu 1:(2 điểm)
1)
Rót gän biÓu thøc:
x
y

x
P


x  y 1 y
x  y 1 x
1 x 1 y



2)



 



 





Tìm x, y là các số chính phương để P = 2
3) Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức: Q  1.2.3  2.3.4  3.4.5  ...  2008.2009.2010
Câu 2: (2điểm)
1) Cho biểu thức:
Tìm x để

A

A=

1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
x x
x  3x  2
x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20
2

5
4050150

� x y  ab
�2
x  y 2  a2  b2
2) Cho hệ phương trình �
n
n
n
n
x


y

a

b
Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dương n ta có

3) Cho x, y, z  0 và x + y + z �3 .
x
y
z
 2
 2
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: x  1 y  1 z  1
2

Câu 3: (2điểm)
1) Chứng minh rằng số A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không thể là số chính phương
với mọi n là số nguyên dương. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A là số
chính phương.
2)
Câu 4: (3 điểm)
8


Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm
thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các
cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD.
1) Tính số đo góc NEB.

2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
3) CMR: Khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: (1điểm)
Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a 1, a2, ... , an+2 thoả mãn điều kiện
1 a1< a2 < ... < an+2 3n.
Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số ai, aj

 1 �j �i �n + 2  sao cho n < ai – aj < 2n

ĐỀ 13
Câu 1:(2 điểm)
1)
Rót gän biÓu thøc:
x
y
x
P


x  y 1 y
x  y 1 x
1 x 1 y



2)



 



 





Tìm x, y là các số chính phương để P = 2
3) Cho và .
Không dùng máy tính hãy so sánh C và D .
Câu 2: (2điểm)
1) Cho đa thức

f  x   1.2  2.3  3.4  ...  x.  x  1

. Tìm x để

f  x  8

� x y  ab
�2
x  y 2  a 2  b2
2) Cho hệ phương trình �
Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dương n ta có x  y  a  b
Câu 3: (2điểm)
n

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ

n

n

n

 1;1 và điểm A di động A  m;0 

 d m  vuông góc với AB tại A.
d
2) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ  m  đồng qui.
1) Viết phương trình họ đường thẳng

3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ  m  đi qua
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm
thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các
cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD.
1) Tính số đo góc NEB.
2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
3) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định.
9
d


Câu 5: (1điểm)
Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh. Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H) luôn có 4
đỉnh là các đỉnh của hình thang.

ĐỀ 14
Bài 1: (1.5đ)
Cho x, y, z  0 và x + y + z ≤ 3.
A

Tìm giá trị lớn nhất biểu thức
Bài 2: (1.5đ)

x
y
z
 2
 2
x 1 y 1 z 1
2

1
1

2
2
x
2

x
Giải phương trình:

Bài 3: (2.5đ)
Cho hệ phương trình ẩn x, y sau:
mx  y  2m

�
�
�x  my  m  1

a.
b.
c.
d.

a.
b.
c.
d.

Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất
Giả sử (x,y) là nghiệm duy nhất của hệ. Tìm hệ thức liờn hệ giữa x,y độc lập với m.
Tìm m  Z để x, y  Z
Chứng tỏ (x,y) luụn nằm trờn một đường thẳng cố định.((x,y) là nghiệm của hệ pt.)
Bài 4: (3.5đ)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC và BD
vuụng góc với nhau tại I và I khác O.
Chứng minh: IA.IC = IB.ID
Vẽ đường kính CE. Chứng minh ABDE là hình thang cõn, suy ra :
2
AB + CD2 = 4R2 và AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2
Từ A và B vẽ đường thẳng vuông góc đến CD lần lượt cắt BD tại F, cắt AC tại K.
Chứng minh A,B,K,F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc biệt .
Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh AB = 2OM.
Bài5: (1.0 đ)
Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2 , người ta lấy 5 điểm phân biệt . Chứng

minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt
quá 1.

ĐỀ 15
Bài 1(2điểm). Cho biểu thức
P
a)
b)



x



x  y 1 y



 

y



x  y 1 x



xy

 1 x  1 y 

Rút gọn P
Tìm x, y là các số chính phương để P = 2
10


Bi 2(2 im). Cho h phng trỡnh

x y ab
2
2
2
2
x y a b
Chng minh rng vi vi mi s nguyờn dng n ta cú x y a b
n

n

n

n

Bi 3(2 im).Trong tam giỏc ABC cú chu vi 2p = a+ b + c (a, b, c l di ba cnh).

1
1
1

1 1 1


2
a b c
Chng minh rng p a p b p c
Du bng trong bt ng thc trờn xy ra khi tam giỏc ABC cú c im gỡ?
Bi 4 (3 im). Cho ng trũn(O; r), dõy cung BC = a khụng i. A l mt im trờn cung
ln AB sao cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn. Cỏc ng cao AD, BE, CK ct nhau ti H.
1)
2)





Trong trng hp BHC BOC , tớnh AH theo a
Tỡm v trớ ca A tớch DH.DA nhn giỏ tr ln nht.
Bi 5 (1 im) Cho a giỏc u (H) cú 14 nh. Chng minh rng trong 6 nh bt kỡ ca
(H) luụn cú 4 nh l cỏc nh ca hỡnh thang.

16
Bài 1 (3.0đ) Biến đổi đơn giản các biẻu thức.
a. A =
b. B =
Bài 2: (4.0đ) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
a.

C=
Với a =

b=

b. Tìm các căp số (x,y) nguyên dơng thỏa mãn
x 2 - y2 = 2003
Cõu 3 : ( 5im ) gii phng trỡnh
a) = 3 + 2
( x 1 )4
1
( x 2 3 )4
3x2 2 x 5
2
2
2
(
x

3
)
(
x

1
)
b)

Bi 4: (3.0 im)
Cho na ng trũn (O, R) ng kớnh AB. EF l dõy cung di ng trờn na
ng trũn sao cho E thuc cung AF v EF = R. AF ct BE ti H. AE ct BF ti C.
CH ct AB ti I

a. Tớnh gúc CIF.
11


b. Chng minh AE.AC + BF. BC khụng i khi EF di ng trờn na ng
trũn.
c. Tỡm v trớ ca EF t giỏc ABFE cú din tớch ln nht. Tớnh din tớch ú.
Bi 5 ( 3 im)
Cho tam giỏc ABC nhn v O l mt im nm trong tam giỏc. Cỏc tia AO, BO, CO
ln lt ct BC, AC, AB ti M, N, P. Chng minh :
AM BN CP
+
+
OM ON OP 9

17
Câu 1: (1,5điểm)
a) Cho các số thực dơng x, y thoả mãn: x100 + y100 = x101 + y101 = x102 + y102
Hãy tìm giá trị của biểu thức: A = x2008 + y2008.
b) Giải hệ phơng trình:
Cõu 2: (2im)
a) Chng minh rng s A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khụng th l s chớnh phng
vi mi n l s nguyờn dng. Tỡm tt c cỏc s nguyờn n sao cho A l s
chớnh phng.
b) Cho s t nhiờn n > 1 v n + 2 s nguyờn dng a 1, a2, ... , an+2 tho món iu kin
1 a1< a2 < ... < an+2 3n.
Chng minh rng luụn tn ti hai s ai, aj (1j i n + 2) sao cho n < ai aj < 2n
Cõu 3: (1im)
Cho cỏc s u1, u2, , u2009 c xỏc nh theo cụng thc sau:
vi n = 1, 2, , 2007.

Chng minh rng u1+ u2+ + u2007
Cõu 4: (1,5im)
Trong mt phng ta cho im B c nh cú ta (1; 1). A di ng A(m; 0)
a) Vit phng trỡnh h ng thng (dm) vuụng gúc vi AB ti A.
b) Chng minh rng khụng cú 3 ng thng no ca h (dm) ng qui.
c) Tỡm cỏc im trờn mt phng ta sao cho ch cú 1 ng thng ca h (dm) i qua.
Cõu 5: (4im)
Cho tam giỏc vuụng cõn ABC (vuụng A), AD l trung tuyn thuc cnh huyn, M l im
thay i trờn on AD. Gi N v P theo th t l hỡnh chiu vuụng gúc ca M xung cỏc
cnh AB, AC; H l hỡnh chiu ca N xung ng thng PD.
a) Xỏc nh v trớ ca M tam giỏc AHB cú din tớch ln nht.
b) Chng minh rng khi M thay i, ng thng HN luụn i qua mt im c nh.

18
Bi 1 (4im)
12


Cho a+b+c0;a3+b3+c3=3abc.Chứng minh rằng a=b=c
Bài 2 (4 điểm)
Tìm x;y;z thoả mãn phương trình

x  y  z  2009  2 x  19  4 y  7  6 z  1997
Bài 3(4 điểm)
Tính giá trị biểu thức:

P

1 2x
1 2x


1  1  2x 1  1  2x

Với

x

3
4

Bài 4(5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A.Phân giác AD (DBC)

2
1
1


AD AB AC

a-Chứng minh rằng:
b-Nếu AD là phân giác góc ngoài thì kết quả trên thay đổi như thế nào?
Bài 5 (3 điểm)
Cho a,b dương sao cho a+b1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q  ab

1 1


a b
ĐỀ 19

Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
n 4  6n3  11n 2  30n  24 chia hết cho 24.
4
3
2
Bài 2: (3đ) Xác định các hệ số a và b để đa thức A = x  2 x  3x  ax  b là bình phương

của một đa thức.
Bài 3 (3đ)
a)

 ab  cd 
Chứng minh rằng: Với mọi số thực a, b, c, d ta có:

b)

Với a �c; b �c; c > 0. Chứng minh rằng:

2

� a 2  c 2   b 2  d 2 

c  a  c   c  b  c  � ab

Bài 4) (4đ):
a)

Ru�
t go�
n B  4  10  2 5  4  10  2 5

b)

Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó C  x  x  2009
Bài 5) (3đ)
Cho tam giác ABC (AB < AC), M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI  AM, CK  AM.
Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK lớn nhất.
13


Bài 6: (4đ)Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Đường thẳng qua đỉnh C cắt các cạnh AB
và AD kéo dài tại F và E.
a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi.
DE AE 2

2
b/ Chứng minh rằng: BF AF

ĐỀ 20
Câu1 (2 điểm)
Tìm số tự nhiên sao cho tổng số đó với các chữ số của nó bằng 2018
Câu 2(3 điểm) Tìm x,y,z trong các trường hợp sau
a/

x=2y=3z và x2+y2+z2=441

b/

x2+y2+z2+4032948 4(14x+5y+1004z)

Câu 3(2 điểm) Cho a,b,c thoả mãn a3+b3+c3=3abc và a+b+c=6024.
Tính giá trị của biểu thức P=(a-2007)28+(b-2008)10+(c-2009)2008
Câu 4(3 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S không đổi .Điểm M;N;P thuộc AB,BC,CA
sao cho
(k>0)
a-Chứng minh
a-

chứng minh rằng
b-Tìm k để SMNP nhỏ nhất

ĐỀ 21
Câu 1 : (2 điểm ) a) Tính A =
b) So sánh : và
Câu 2 : (2 điểm ) a) Giải phương trình : x2 + x + 12= 36
b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y=
Câu 3 : (2 điểm )
a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh phương trình :
x2 + ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm
b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên .
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x,y,z,t biết rằng:
Câu 4 : (3 điểm)

14


Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý . Vẽ đường tròn tâm I đường

kính AC và vẽ đường tròn tâm K đường kính BC . MN là tiếp chung ngoài của hai đường
tròn (M) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn .
a) Chứng minh các đường thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D .
b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất .
Câu 5 : (1 điểm)
Chứng minh rằng nếu > 2 thì phương trình sau có nghiệm
2ax2 + bx +1 - a = 0

ĐỀ 22 Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức A  x  2 x  1  x  2 x  1
Bài 2 (3đ) Cho biểu thức
�2a  a  1 2a a  a  a �a  a
B  1 �

.
�
� 1 a
�
1

a
a
�
�2 a  1

a/ Rút gọn B.
2
B�
3.
b/ Chứng minh rằng

Bài 3: (3đ). Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a.b = c.d =1.
Chứng minh bất đẳng thức: 
Bài 4 (3đ). Chứng minh rằng:

a  b   c  d   4 �2  a  b  c  d 

C

.

1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
 2  2  2  2  2  ...  2 

 2

2
2
2
2
1 2 3
1 3 4
1 2006 2007
1 2007 20082

là số hữu tỷ.

Bài 5 (3đ). Cho ba số x, y, z thỏa mãn

�x 2  y 2  z 2  1
�
�3
3
3
�x  y  z  1

Hãy tính tổng x  y  z .
Bài 6 (3đ). Cho

ABC  AB�
AC 

. Gọi I là tâm đường trịn nội tiếp ABC . Đường thẳng AI

cắt đường trịn ngoại tiếp ABC tại D.
a/ Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp BIC .
b/ Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường trịn nội tiếp ABC với các cạnh AB, BC. K là
hình chiếu vuơng góc của C xuống đường thẳng AI. Chứng minh M, N, K thẳng hàng.
Bài 7 (3đ). Cho ABC . Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại
E. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luơn cĩ diện tích PDE khơnh lớn
1
hơn 4 diện tích ABC .

15

Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích PDE đạt giá trị lớn nhất.

16