Thi vào phổ thông năng khiếu Toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2008
TRƯỜNG PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN CHUYÊN
NĂNG KHIẾU Thời gian làm bài: 150 phút,không kề thời gian giao đề.
Câu I 1) Cho phương trình
2
2 2 0x mx m- + - =

( )
1
.
a) Chứng minh rằng (1) không thể có 2 nghiệm đều âm.
b) Giả sử
1 2
,x x
là 2 nghiệm của pt (1). Chứng minh rằng biểu thức sau:

2 2
1 1 2 2
2 2
1 2
( 2 2)( 2 2)x x x x
A
x x
- + - +
=
+
không phụ thuộc vào giá trí của m.
2) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2

x y z
y z x
z x y
ì
ï
= +
ï
ï
ï
ï
= +
í
ï
ï
ï
= +
ï
ï
î
Câu II Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần
lượt tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt AI tại J và cắt BC nối dài tại K.
1) Chứng minh rằng các tam giác IDA đồng dạng với tam giác IJD.
2) Chứng minh rằng KI vuông góc với AD.
Câu III Cho góc xAy vuông và 2 điểm B và C lần lựot trên các tia Ax, Ay. Hình vuông MNPQ có các
đỉnh M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC và các đỉnh P, Q thuộc cạnh BC.
1) Tính cạnh hình vuông MNPQ theo cạnh BC = a và đường cao AH = h của tam giác ABC.
2) Cho B và C thay đổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB.AC =
2
k
= const. Tìm giá trị

lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ.
Câu IV Một số nguyên dương n đựoc gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phuơng các chữ số của nó.
1) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chử số.
2) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim.
Câu V Trong một giải vô địch bóng đá có 6 đội tham gia. Theo điều lệ của giải, hai đội bóng bất kỳ thi
đấu với nhau đúng một trận, đội thắng được 3 điểm, đội thua 0 điểm và đội hòa được 1 điểm. Kết
thúc giả, số điểm của mỗi đội lần lượt là
1 2 3 4 5 6
, , , , ,D D D D D D
(
1 2 3 4 5 6
D D D D D D³ ³ ³ ³ ³
)
Biết rằng đội bóng với điểm
1
D
thua đúng một trận và
1 2 3 4 5 6
D D D D D D= + = + +
. Hãy tìm
1
D
và
6
D
.
HẾT
( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )