30 bài tập cực TRỊ TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN file word có lời giải chi tiết image marked

Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Câu 111. Cho hình chóp S.ABC có SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Tính thể tích lớn nhất
Vmax của khối chóp đã cho.

a3 6
a3 6
a3 6
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
.
6
3
2
Câu 112. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có độ dài đường chéo AC ' = 18. Gọi S
là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất S max của S .
A. Vmax = a3 6.

B. Vmax =

A. Smax = 36 3. B. Smax = 18 3.
C. Smax = 18.
D. Smax = 36.
Câu 113. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4 , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD ) và SC = 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp
đã cho.
80
20
40

.
.
.
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax = 24.
3
3
3
Câu 114. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA = SB = SC = 1 . Tính
thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

A. Vmax =

1
1
2
3
.
.
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
6
12
12
12
Câu 115. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = 4 . Các cạnh bên

bằng nhau và bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax =

130
128
125
250
.
.
.
.
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
3
3
3
3
Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng 1; SO vuông
góc với mặt phẳng đáy (ABCD ) và SC = 1 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

A. Vmax =

2 3
2 3
2 3
4 3
.
.
.

B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.
9
3
27
27
Câu 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD = 4 a . Các cạnh
bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax =

4 6 3
8a 3
a .
B. Vmax =
C. Vmax = 8a 3 .
D. Vmax = 4 6 a3 .
.
3
3
Câu 118. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , AB = 2 . Cạnh bên
A. Vmax =

SA = 1 và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC ). Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã

cho.

1
1

1
.
.
C. Vmax =
D. Vmax = .
6
12
4
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC ). Biết SC = 1, tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp
1
.
B. Vmax =
3
Câu 119. Cho hình chóp S.ABC

A. Vmax =

đã cho.

2 3
3
2
3
.
.
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.

.
27
27
12
12
Câu 120. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = 1. Các cạnh
bên SA = SB = SC = 2. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A.

Vmax =

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


5
5
2
4
.
B. Vmax = .
C. Vmax = .
D. Vmax = .
8
3
3
4
Câu 121. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = y
A. Vmax =

(y > 0) và vuông góc với mặt đáy (ABCD ). Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM = x

(0 < x < a). Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S .ABCM , biết x 2 + y 2 = a 2 .
3a 3 3
a3 3
a3 3
a3 3
C. Vmax =
D. Vmax =
.
. B. Vmax =
.
.
8
8
3
24
Câu 122. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4, SC = 6 và mặt
A. Vmax =

bên (SAD ) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích
lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax =

40
.
3

C. Vmax = 80.

B. Vmax = 40.

(

Câu 123. Cho hình chóp S.ABC có SA = x 0 < x <

D. Vmax =

80
.
3

)

3 , tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 .

Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

1
1
1
1
.
.
.
B. Vmax = .
C. Vmax =
D. Vmax =
16
8
12
4

Câu 124. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các
cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
A. x = 3 2.
B. x = 6.
C. x = 2 3.
D. x = 14.
Câu 125. Trên ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm A, B, C
sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Giả sử A cố định còn B, C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa
OA = OB + OC . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối tứ diện OABC .
A.

Vmax =

a3
a3
a3
a3
.
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
.
24
32
6
8
Câu 126. Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh
BC = a, SB = b, SC = c . Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho.

A. Vmax =

abc 2
abc 2
abc 2
abc 2
C. Vmax =
D. Vmax =
.
. B. Vmax =
.
.
8
4
12
24
Câu 127. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a và
vuông góc với mặt đáy (ABCD ). Trên SB , SD lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho
A. Vmax =

SM
SN
= m > 0,
= n > 0. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.AMN biết
SB
SD
2m2 + 3n2 = 1.

a3 3

a3 6
a3
a3
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
.
.
72
24
48
6
Câu 128. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là một hình vuông. Biết
tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 32. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp
đã cho.
64 3
70 3
56 3
80 3
A. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
. B. Vmax =
.
9
9

9
9
Câu 129. Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều. Khi diện tích toàn
phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu?
A. 3 4V .
B. 3 V .
C. 3 2V .
D. 3 6V .
A. Vmax =

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


(

Câu 130. Cho hình chóp S.ABCD có SA = x 0 < x <

)

3 , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau

và bằng 1 . Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất?

3
2
6
3
B. x =
C. x =
D. x =

.
.
.
.
3
2
2
2
Câu 131. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 3 .
A. x =

Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (ABC ) , tính cos a khi thể tích khối chóp S.ABC
nhỏ nhất.
1
2
2
3
.
B. cos a =
C. cos a =
D. cos a = .
.
.
3
3
3
2
Câu 132. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến
· = SCB

· = 90 0. Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp
mặt phẳng (SBC ) bằng a 2, SAB

A. cos a =

S.ABC có thể tích nhỏ nhất.

a 10
C. AB = 2a.
D. AB = 3a 5.
. B. AB = a 3.
2
Câu 133. Cho tam giác OAB đều cạnh a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt
phẳng (OAB ) lấy điểm M sao cho OM = x . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A. AB =

A trên MB và OB . Gọi N là giao điểm của EF và d . Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có
giá trị nhỏ nhất.
a 2
a 6
a 3
C. x =
D. x =
.
.
.
12
2
2
Câu 134. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , AC = 2 . Trên đường thẳng qua A vuông góc

với mặt phẳng (ABC ) lấy các điểm M , N khác phía so với mặt phẳng (ABC ) sao cho
A. x = a 2.

B. x =

AM .AN = 1 . Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện MNBC .

1
1
1
2
.
.
B. Vmin = .
C. Vmin =
D. Vmin = .
3
6
3
12
C
,
SA
=
AB
= 2. Cạnh
Câu 135. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC ). Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc
A. Vmin =

của A lên SB và SC . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.AHK .

2
2
3
3
.
.
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
6
3
6
3
Câu 136. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B ¢C ¢D ¢ có AB = x , AD = 3, góc giữa đường thẳng
A. Vmax =

A¢C và mặt phẳng (ABB ¢A ¢) bằng 300. Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn
nhất.

3 6
3 3
3 15
3 5
B. x =
C. x =
D. x =

.
.
.
.
5
5
2
2
Câu 137. Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo
bằng 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho.
A. x =

A. Vmax = 16 2. B. Vmax = 12.
C. Vmax = 8 2.
D. Vmax = 6 6.
Câu 138*. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c . Dựng một hình lập phương có
cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương
luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi S là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập
phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất S max của S .

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


32
16
48
1
.
.
.

.
B. S max =
C. S max =
D. S max =
10
5
5
5
Câu 139*. Cho hình chóp S.ABC có SA = 1, SB = 2, SC = 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC . Mặt phẳng (a ) đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại

A. S max =

1
1
1
+
+
.
2
2
SM
SN
SP 2
18
3
2
.
A. Tmin = .
B. Tmin = .

C. Tmin =
D. Tmin = 6.
7
7
7
Câu 140*. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V . Gọi M là
trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB; mặt phẳng (a )
M , N , P . Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức T =

di động qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K , Q .
Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S .MNKQ .
A. Vmax =

V
.
2

B. Vmax =

V
.
3

C. Vmax =

3V
.
4

D. Vmax =

2V
.
3

Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Câu 111. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC ) ¾ ¾
® AH ^ (SBC ).
Ta có
AH £ AS .
·
Dấu '' = '' xảy ra khi AS ^ (SBC ) .

A

1
· £ 1 SB.SC .
SB.SC .sin BSC
2
2
S
Dấu '' = '' xảy ra khi SB ^ SC .
ö
1
1æ
1
1
Khi đó V = SD SBC .AH £ çç SB ×SC ÷
÷

÷AS = 6 SA.SB.SC .
ø
3
3 çè2
Dấu '' = '' xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau.
·

SD SBC =

B
H
C

3

1
a 6
SA.SB.SC =
. Chọn D.
6
6
Câu 112. Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Khi đó Stp = 2 (ab + bc + ca).
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là Vmax =

Theo giả thiết ta có a2 + b 2 + c 2 = AC '2 = 18.
Từ bất đẳng thức a 2 + b 2 + c 2 ³ ab + bc + ca , suy ra Stp = 2 (ab + bc + ca)£ 2.18 = 36.
Dấu '' = '' xảy ra Û a = b = c =

6. Chọn D.

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 113. Đặt cạnh BC = x > 0.
Tam giác vuông ABC , có AC 2 = 16 + x 2 .

S

Tam giác vuông SAC , có SA = SC 2 - AC 2 =
Diện tích hình chữ nhật S ABCD = AB.BC = 4 x.

20 - x 2 .
6

1
4
= S ABCD .SA = x 20 - x 2 .
3
3

Thể tích khối chóp VS . ABCD

A

Áp dụng BĐT Côsi, ta có
2

x . 20 - x £

Suy ra VS . ABCD £

x2 +

(

20 - x 2

4

B

2

)

2

x
= 10 .

C

D

4
40
.10 =
.
3

3

20 - x 2 Û x = 10 . Vậy Vmax =

Dấu " = " xảy ra Û x =

40
. Chọn A.
3

4
x 20 - x 2 trên 0;2 5 .
3
Câu 114. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC . Vì S.ABC là hình chóp đều
Þ SO ^ (ABC ) .

(

Cách 2. Xét hàm số f (x ) =

)

x2 3
.
4
x 3
2
x 3
Gọi M là trung điểm BC Þ AM =
Þ OA = AM =

.
2
3
3
Đặt AB = x > 0. Diện tích tam giác đều SD ABC =

Tam giác vuông SOA, có SO =

SA 2 - OA 2 =

1-

x2
.
3

S

A

1
1 x 2 3 3- x 2
1 2
SD ABC .SO = .
.
=
.x 3 - x 2
3
3 4
12

3
1 2
.x 3 - x 2 trên 0; 3 , ta được max f (x ) = f
Xét hàm f (x ) =
(0; 3 )
12

C
O

Khi đó VS . ABC =

(

)

M

B
1
2 = . Chọn A.
6

( )

3

æx 2 + x 2 + 6 - 2 x 2 ÷
ö
çç

÷
= 2.
÷
ç
÷
3
ø
2
2 è
Câu 115. Gọi O = AC Ç BD. Vì SA = SB = SC = SD suy ra hình chiếu của S trên mặt đáy
trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Þ SO ^ (ABCD).

Cách 2. Ta có x 2 3 - x 2 =

1

x 2 .x 2 .(6 - 2 x 2 ) £

1

Đặt AB = x > 0.
Tam giác vuông ABC , có

S

AC = AB 2 + BC 2 =
Tam giác vuông SOA, có
SO =

2

2

SA - AO =

x 2 + 16.

AC 2
SA =
4
2

6
128 - x 2
.
2

1
1
128 - x 2
Khi đó VS . ABCD = S ABCD .SO = .4 x .
3
3
2
1
1
128
= . 2 x 128 - x 2 £ .(x 2 + 128 - x 2 ) =
.
3

3
3

(

)

x

B
O
C

Dấu '' = '' xảy ra x = 128 - x 2 Û x = 8. Suy ra VS . ABCD £

A
4

D
128
. Chọn B.
3

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 116. Đặt OA = OC = x .
Tam giác vuông AOD, có

S

AD 2 - OA2 = 1- x 2 .

OD =

Suy ra BD = 2 1 - x 2 .

1

Diện tích hình thoi S ABCD = OA.BD = 2 x 1 - x 2 .
Tam giác vuông SOC , có

SC 2 - OC 2 = 1- x 2 .
1
Thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SO
3
=

A

B

SO =

x

O
C

1

D

1
2
.2 x 1 - x 2 . 1 - x 2 = x (1 - x 2 ).
3
3

æ1 ö
2
÷=
.
Xét hàm f (x ) = x (1 - x 2 ) trên (0;1) , ta được max f (x ) = f çç ÷
çè 3 ÷
÷
(0;1)
ø 3 3

4 3
. Chọn D.
27
Cách 2. Áp dụng BDT Côsi, ta có
Suy ra Vmax =

2 x (1- x 2 )
3

=

2 2 x 2 (1- x 2 )(1- x 2 )
3

2
£
3

3

æ2 x 2 + 1 - x 2 + 1 - x 2 ö
4 3
÷
çç
÷
=
.
÷
çè
÷
3
27
ø

Câu 117. Do SA = SB = SC = SD = a 6 nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
(ABCD ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Gọi

H = AC Ç BD , suy ra SH ^ (ABCD) .
Đặt AB = x > 0. Ta có
2

S
2

AC = AD + AB =
Tam giác vuông SHA, có
SH =

Khi đó VS . ABCD

2

2

x + 16a .

AC 2
=
4

8a 2 - x 2
.
2
1
1
= S ABCD .SH = AB.AD.SH
3
3

SA 2 -

D

A
H

C

B

1
8a 2 - x 2
a
a
8a 3
.x .4 a.
=
2 x 8a 2 - x 2 £ (x 2 + 8a 2 - x 2 ) =
. Chọn A.
3
2
3
3
3
Câu 118. Đặt AC = x > 0.
S
Suy ra CB = AB 2 - CA2 = 4 - x 2 .
=

(

)

1
x 4- x2
AC .CB =
.
2
2
1
1
x 4- x2
Khi đó VS . ABC = SD ABC .SA =
3
6
1 æx 2 + 4 - x 2 ö
1
÷
÷
£ ççç
= . Chọn A.
÷
÷
6è
2
ø 3
Diện tích tam giác SD ABC =

(

)

B

A
C

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 119. Giả sử CA = CB = x > 0.
2

2

S
2

SC - AC = 1- x .
1
1
Diện tích tam giác SD ABC = CA.CB = x 2 .
2
2
1
1 2
Khi đó VS . ABC = SD ABC .SA = x 1 - x 2 .
3
6
Suy ra SA =

Xét hàm f (x ) =

B
x

x

C
æ 2÷
ö
3
trên (0;1) , ta được max f (x ) = f ççç ÷
. Chọn D.
=
÷
÷
(0;1)
çè 3 ø 27

1 2
x 1- x 2
6

Cách 2. Ta có x 2 1 - x 2 =

1

A

1

2

3

æx 2 + x 2 + 2 - 2 x 2 ÷
ö
2 3
çç
÷
=
.
÷
ç
÷
3
9
ø
2 è

1

x 2 .x 2 .(2 - 2 x 2 ) £

® I là tâm đường tròn ngoại
Câu 120. Gọi I là trung điểm của BC . Suy ra IA = IB = IC ¾ ¾
tiếp tam giác ABC . Theo giả thiết, ta có SA = SB = SC suy ra I là hình chiếu của S trên
mặt phẳng (ABC ) ¾ ¾
® SI ^ (ABC ).
Đặt AC = x > 0. Suy ra BC =
Tam giác vuông SBI , có SI =

Diện tích tam giác vuông SD ABC
Khi đó VS . ABC =

=

AB 2 + AC 2 =

S

2

15 - x
.
2
1
x
= AB.AC = .
2
2
SB 2 - BI 2 =

1
1 x 15 - x 2
SD ABC .SI = . .
3
3 2
2

C

B
I

1
1 x 2 + 15 - x 2 5
x 15 - x 2 £
.
= . Chọn A.
12
12
2
8

(

)

Câu 121. Từ x 2 + y 2 = a 2 Þ y = a 2 - x 2 .
æBC + AM ÷
ö
Diện tích mặt đáy S ABCM = çç
.AB =
÷
÷
çè
ø
2
Thể tích khối chóp VS . ABCM =

=

x 2 + 1.

A
S

æa + x ö
÷
çç
÷
÷a.
èç 2 ø

1
S ABCM .SA
3

ö 2
1æ
a+ x ÷
a
.çç
.a÷
a - x 2 = (a + x ) a 2 - x 2 .
÷
ç
ø
3è 2
6

x

y
A

a
a

M
D

B

C

æa ö 3 3a 2
=
Xét hàm f (x ) = (a + x ) a 2 - x 2 trên (0;a ) , ta được max f (x ) = f çç ÷
.
÷
çè2 ÷
(0;a )
ø
4

a3 3
. Chọn B.
8
Câu 122. Gọi H là trung điểm của AD Þ SH ^ AD.
Suy ra Vmax =

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


M (SAD) ^ (ABCD)ị SH ^ (ABCD).

S

Gi s AD = x > 0 .
Suy ra HC =

HD 2 + CD 2 =

Tam giỏc vuụng SHC , cú SH =
Khi ú VS . ABCD =

x2
+ 16.
4
SC 2 - HC 2 =

20 -

x2
.
4

A

1

1
S ABCD .SH = AB.AD.SH
3
3

C

D

1
x2
1
1
80
.4.x 20 =
2 x 80 - x 2 Ê (x 2 + 80 - x 2 ) =
. Chn D.
3
4
3
3
3
Cõu 123. Ta cú tam giỏc ABC v SBC l nhng tam giỏc u cnh bng 1 .
Gi N l trung im BC . Trong tam giỏc SAN , k SH ^ AN .

(

=

B

H

)

(1)

Ta cú


SN l ng cao ca tam giỏc u SBC ắ ắ
đ SN =



ỡùù BC ^ AN
ắắ
đ BC ^ (SAN ) ắ ắ
đ BC ^ SH .
ớ
ùùợ BC ^ SN

3
.
2

(2)

T (1) v (2) , suy ra SH ^ (ABC ).
Din tớch tam giỏc u ABC l SD ABC =

Khi ú VS . ABC =

S

3
.
4

1
SD ABC .SH
3

x
C

A

1
1 3 3 1
SD ABC .SN = .
.
= .
3
3 4 2
8
Du '' = '' xy ra ô H N . Chn B.
Ê

Cõu 124. Hỡnh v.
Cỏch lm tng t nh bi trờn.

Tam giỏc BCD u cnh bng 2 3 đ BN = 3.
VABCD ln nht H N . Khi ú ANB vuụng.
Trong tam giỏc vuụng cõn ANB , cú

AB = BN 2 = 3. 2.

H

N

B
A
x
C

B

Chn A.

H

N

D
Cõu 125. T gi thit ta cú a = b + c .
2

Do OA, OB, OC vuụng gúc tng ụi nờn VOABC =
Du '' = '' xy ra b = c =

1
1
1 ổb + c ử
a3
ữ
abc = a.(bc ) Ê a.ỗỗ
=
.
ữ
ữ
6
6
6 ỗố 2 ứ
24

a
. Chn C.
2

ỡù x 2 + y 2 = a 2
ùù
Cõu 126. t AB = x, AC = y, AS = z. Ta cú ùớ x 2 + z 2 = b 2 .
ùù
ùù y 2 + z 2 = c 2
ợ

S
c

z

b
y

A

C

Dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht
x

a

B


Khi ú V =

(2 xy )(2 yz )(2 zx )
xyz
ắắ
đV2 =
6
288

(x 2 + y 2 )(y 2 + z 2 )(z 2 + x 2 )

a2b 2 c 2
abc 2
ắắ

đV Ê
.
288
288
24
đ a = b = c . Chn D.
Du '' = '' xy ra khi x = y = z ắ ắ
Ê

=

Cõu 127. Th tớch khi chúp S.ABD l VS . ABD =
Ta cú

a3
.
6

S

VS . AMN
SM SN
=
.
= mn
VS . ABD
SB SD

ắắ
đ VS . AMN = mnV

. S . ABD =
2.m. 3.n

Mt khỏc mn =

6

mna 3
.
6
Ê

M

N

B
A

2m 2 + 3n 2
2 6

=

1
2 6

.

C

D

ỡù 2m = 3n
a3 6
1
1
Du '' = '' xy ra ùớ
Suy ra VS . AMN Ê
. Chn B.
ị
m
=
;
n
=
.
ùù 2m 2 + 3n 2 = 1
72
2
6
ợ
Cõu 128. t a l di cnh ca hỡnh vuụng ỏy, b l chiu cao ca khi hp vi a, b > 0.
ử
1 ổ16
Theo gi thit ta cú 2a 2 + 4ab = 32 2a (a + 2b ) = 32 a (a + 2b ) = 16 b = ỗỗ - aữ
ữ
ữ.
ỗ
ứ

2ố a
đ
Do b > 0 ắ ắ

16
- a > 0 đ a < 4.
a

ử
1 ổ16
1
Khi ú th tớch ca khi hp V = a 2 . ỗỗ - aữ
= - a 3 + 8a .
ữ
ữ
ứ
2 ỗố a
2
Xột hm f (a ) = -

ổ 4 ử 64 3
1 3
a + 8a trờn (0;4) , ta c max f (a ) = f ỗỗ ữ
ữ=
.
ỗố 3 ữ
ữ
(0;4)
2
9

ứ

Chn D.
Cõu 129. Gi h > 0 l chiu cao lng tr; a > 0 l di cnh ỏy.
Theo gi thit ta cú V = Sday .h =

a2 3
4V
.h ắ ắ
đ h= 2
.
4
a 3

Din tớch ton phn ca lng tr: S tp = S2 day + S xung quanh =
p dng BT Cụsi, ta cú Stoan phan =

=

a2 3
4V
+ 3a. 2
.
2
a 3

a 2 3 4 3V
+
2
a

a 2 3 2 3V 2 3V
a 2 2 2 3V 2 3V
+
+
33
.
.
= 3 3 6 2V 2
2
a
a
2
a
a

a 2 3 2 3V 2 3V
=
=
a = 3 4V . Chn A.
2
a
a
Cõu 130. Gi O l tõm ca hỡnh thoi ABCD ị OA = OC .
Du '' = '' xy ra khi

Theo bi ra, ta cú D SBD = D CBD ị OS = OC .
T (1) v (2) , ta cú OS = OA = OC =
Suy ra OA =

x2 + 1
v OB =
2

(1)
(2)

1
AC ị D SAC vuụng ti S ị AC =
2

AB 2 - OA 2 =

x2 + 1 .

3- x 2
.
2

Dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


S

A

B
H

O

D

C

(x 2 + 1)(3 -

Din tớch hỡnh thoi S ABCD = 2.OA.OB =

x2)

.
2
Ta cú SB = SC = SD = 1 , suy ra hỡnh chiu vuụng gúc H ca nh S trờn mt ỏy l tõm
ng trũn ngoi tip tam giỏc BCD ắ ắ
đ H ẻ AC.
SA.SC
x
=
.
Trong tam giỏc vuụng SAC , ta cú SH =
2
2
2
SA + SC
x +1

Khi ú VS . ABCD =

1
3

(x 2 + 1)(3 -

x2 )

2

.

x
x2 + 1

=

ử 1
1
1 ổx 2 + 3 - x 2 ữ
ữ
x 3 - x 2 Ê .ỗỗỗ
= .
ữ
ữ
6
6 ố
2
ứ 4

1
6
. Du '' = '' xy ra x = 3 - x 2 x =

. Chn C.
4
2
Cõu 131. Gi M l trung im ca BC , k AH ^ SM (H ẻ SM ).
(1)
Suy ra VS . ABCD Ê

Tam giỏc ABC cõn suy ra BC ^ AM . M SA ^ (ABC ) ị SA ^ BC .
Suy ra BC ^ (SAM ) ị AH ^ BC.

(2)

T (1) v (2) , suy ra AH ^ (SBC ) nờn d ộởA, (SBC )ự
ỷ= AH = 3.
S
3
.
Tam giỏc vuụng AMH , cú AM =
sin a
3
.
Tam giỏc vuụng SAM , cú SA = AM .tan a =
cos a
Tam giỏc vuụng cõn ABC , BC = 2 AM .
A
1
9
9
2
=

.
Din tớch tam giỏc SD ABC = BC .AM = AM =
2
sin 2 a 1 - cos 2 a
1
9
.
Khi ú V = SD ABC .SA =
2
3
1
cos
a ).cos a
(

H

Xột hm f (x ) = (1 - cos 2 x ).cos x , ta c f (x )Ê
Du " = " xy ra khi v ch khi cos a =

đ VSABC =
Suy ra x 2 y 81 3 ắ ắ

3 3

. Suy ra V

M
B

27 3
.
2

3
. Chn B.
3

Cỏch 2. t AB = AC = x; SA = y . Khi ú VS . ABC =
Vỡ AB, AC , AS ụi mt vuụng gúc nờn

2

C

1 2
x y.
6

1
1
1
1
1
1
=
= 2 + 2 + 2 33 4 2 .
9 d 2 ộởA,(SBC )ự
x
x

y
x
y
ỷ

1 2
27 3
x y
.
6
2

Dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


3
.
3

Du " = " xy ra khi v ch khi x = y = 3 3 ắ ắ
đ cos a =

Cõu 132. Gi D l im sao cho ABCD l hỡnh vuụng.
ỡù AB ^ AD
Ta cú ùớ
ắắ
đ AB ^ (SAD ) ắ ắ
đ AB ^ SD .
ã = 900 đ AB ^ SA
ùù SAB

ợ
Tng t, ta cng cú BC ^ SD . T ú suy ra SD ^ (ABDC ) .
K DH ^ SC (H ẻ SC ) ắ ắ
đ DH ^ (SBC ).

S

ộ
ự
Khi ú d ộởA, (SBC )ự
ỷ= d ởD, (SBC )ỷ= DH .
t AB = x > 0.
Trong tam giỏc vuụng SDC , cú
1
1
1
1
1
1
=
+

=
+ 2.
2
2
2
2
2
DH

SD
DC
SD
x
a 2

(

Suy ra SD =

ax 2
x 2 - 2a 2

Xột hm f (x ) =

)

.

Th tớch khi chúp VS . ABC =

x3
x 2 - 2a 2

H

C

D
A

B

1
1 ax 3 2
a 2
x3
VS . ABCD = .
=
.
.
2
6 x 2 - 2a 2
6
x 2 - 2a 2

(

trờn a 2; + Ơ

) , ta c ( min ) f (x )= f (a 3) = 3
a 2 ;+ Ơ

3a 2 .

Chn B.
Cõu 133. Do tam giỏc OAB u cnh a ị F l trung im OB ị OF =
ỡù AF ^ OB
ị AF ^ (MOB ) ị AF ^ MB.
Ta cú ùớ

ùùợ AF ^ MO
Mt khỏc, MB ^ AE .
Suy ra MB ^ (AEF ) ị MB ^ EF .

Suy ra D OBM D ONF nờn
OB
ON
OB.OF
a2
.
=
ị ON =
=
OM OF
OM
2x
Ta cú VABMN = VABOM + VABON

=

2 ử
1
a2 3 ổ
a3 6
ỗỗx + a ữ
ữ
.
SD OAB (OM + ON ) =

ữ

3
12 ỗố
2x ữ
12
ứ

a
.
2

M

O

A

E
F
B

N

a2
a 2
. Chn B.
x=
2x
2
Cõu 134. t AM = x, AN = y suy ra AM .AN = x. y = 1.
ng thc xy ra khi x =

Dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


Tam giỏc vuụng ABC , cú AB = BC =

AC
2

=

M

2.

2

AB
= 1.
2

Din tớch tam giỏc vuụng SD ABC =

1
SD ABC .(AM + AN )
3
1
1
2
= (x + y ) ắ Cosi

ắắ
đ .2 xy = .
3
3
3
Du " = " xy ra khi v ch khi x = y = 1 . Chn D.

Ta cú VMNBC = VM . ABC + VN . ABC =

A

B
N

Cõu 135. t AC = x (0 < x < 2).

S
2

2

2

Tam giỏc vuụng ABC , cú BC = AB - AC = 4 - x .
Tam giỏc SAB cõn ti A , cú ng cao AH suy ra H l
SH
1
= .
trung im ca SB nờn
SB

2
Tam giỏc vuụng SAC , cú

K
H

C

A

SK SA2
4
SA2 = SK .SC ị
=
=
.
2
SC SC
4 + x2
V
SH SK 1
4
2
.
= . 2
= 2
Ta cú S . AHK =
VS . ABC
SB SC
2 x +4 x +4

ắắ
đ VS . AHK =

C

B

ử 2 x 4- x2
2
2 ổ
1
ữ
ỗ
.
V
=
.
S
.
SA
= .
.
ữ
ỗ D ABC
S . ABC
ữ
ứ 3 x2 + 4
x2 + 4
x 2 + 4 ỗố3

Xột hm f (x ) =

ổ2 ử
2 x 4- x2
2
. 2
trờn (0;2), ta c max f (x ) = f ỗỗ ữ
ữ=
. Chn A.
ỗố 3 ữ
ữ
(0;2)
3 x +4
ứ 6

Cõu 136. Vỡ ABCD.AÂB ÂC ÂD Â l hỡnh hp ch nht suy ra BC ^ (ABB ÂA Â).
Khi ú A ÂB l hỡnh chiu ca AÂC trờn mt phng (ABB ÂA Â).

ã
ã ÂB.
ÂC ,(ABB ÂAÂ) = (ã
Suy ra 300 = A
AÂC , AÂB) = CA
t BB Â= h (h > 0).
D'

C'
B'

A'

h
C

D
3
A

x

B

AÂB Â2 + BB Â2 = x 2 + h 2 .
3
ã ÂB = BC tan 30 0 =
x 2 + h 2 = 27.
Tam giỏc vuụng A ÂBC , cú tan CA
2
2
A ÂB
x +h
Â
Â
Â
Â
Â
Th tớch khi hp ch nht ABCD.A B C D l V = BB .S ABCD = 3 xh.
Tam giỏc vuụng A ÂB ÂB, cú AÂB =

Dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht

ổx 2 + h 2 ử
27 81
81
ữ
ữ
p dng BT Cụsi, ta cú 3xh Ê 3ỗỗỗ
ữ= 3. 2 = 2 ị Vmax = 2 .
ố 2 ữ
ứ

ỡù x = h > 0
27
3 6
Du " = " xy ra ùớ 2
ị x2 =
ị x=
. Chn B.
ùùợ x + h 2 = 27
2
2
Cõu 137. Gi s a, b, c l cỏc kớch thc ca hỡnh hp ch nht.

a2 + b2 + c 2

di ng chộo ca hỡnh ch nht l
Tng din tớch cỏc mt l 2 (ab + bc + ca ).

ỡù 2 (ab + bc + ca ) = 36

ù

Theo gi thit ta cú ớ
ùù a 2 + b 2 + c 2 = 6
ùợ
Ta cn tỡm giỏ tr ln nht ca V = abc .

ỡù ab + bc + ca = 18
ùớ
.
2
2
2
ợùù a + b + c = 36

2

Ta cú (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 (ab + bc + ca ) = 72 ị a + b + c = 6 2.
2

4 ộờ18 - a 6 2 - a ự
0 Ê a Ê 4 2.
ỳ
ở
ỷ
ộ
ự= a 3 - 6 2a 2 + 18a
Khi ú V = abc = a ộở18 - a (b + c )ự
ỷ= a ờở18 - a 6 2 - a ỳ
ỷ

3
2
ự
f
a
=
a
6
2
a
+
18
a
Xột hm s ( )
vi a ẻ 0;4 2 ỳ, ta c
ỷ
2

(

Ta cú (b + c ) 4bc 6 2 - a

)

(

(

)

)

(

max f (x ) = f
ự

(0;4

2ỳ
ỷ

( 2 ) = f (4 2 ) = 8

2.

Chn C.
3

ổa + b + c ử
ữ
= 16 2 thỡ sai vỡ du '' = '' khụng xy ra.
Nhn xột. Nu s dng V = abc Ê ỗỗ
ữ
ữ
ỗố
ứ
3
Cõu hi tng t. Cho hỡnh hp ch nht cú tng di tt c ỏc cnh bng 32 v di

ng chộo bng 2 6. Tớnh th tớch ln nht Vmax ca khi hp ch nht ó cho. S:

Vmax = 16.
Cõu 138*. Theo gi thit ta cú cnh ca hỡnh lp phng bng a + b + c .
Hỡnh hp ch nht cú: V = abc v Stp = 2 (ab + ac + bc ).
3

2

Hỡnh lp phng cú: V ' = (a + b + c ) v S ' tp = 6 (a + b + c ) .
2

Suy ra S =

(a + b + c )
S1
= 3.
.
S2
ab + bc + ca
3

3

Ta cú (a + b + c ) = 32abc

(a + b + c )
a3

3

= 32

ổb c
ử
ổb c ử
bc
ữ
ỗ
ỗỗ + + 1ữ
ữ
ữ
ữ = 32 ốỗỗa . a ứ
ữ.
ỗốa a
ứ
a2

ỡù b
ùù = x
3
(x + y + 1)
ùa
3
ắắ
đ (x + y + 1) = 32 xy xy =
.
t ùớ
ùù c
32

=
y
ùù
ùợ a
2

Khi ú S = 3.

(x + y + 1)

x + y + xy
3

2

= 3.

(x + y + 1)
t2
t = x + y + 1> 1
ắ
ắ
ắ
ắắ
đ
S
=
96.
.
3

t 3 + 32t - 32
(x + y + 1)

x+ y+

32

2

Ta cú (x + y + 1) = 32 xy Ê 8 (x + y )
2

ắắ
đ t 3 Ê 8 (t - 1) ơ ắđ t 3 - 8t 2 + 16t - 8 Ê 0 ơ ắđ 2 Ê t Ê 3 +

5.

Dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


Xột hm f (t ) =

1
t2
.
trờn on ộờ2;3 + 5 ự
, ta c max f (t ) = f (4 ) =
3
ỳ
ộ2;3+ 5 ự

ở
ỷ
10
t + 32t - 32
ờở
ỳ
ỷ

Chn D.
uur 1 uur uur uur
đ SG = SA + SB + SC
Cõu 139*. Do G l trng tõm D ABC ắ ắ
3
uu
r
uuu
r
uuu
r
uu
r
uur 1 ổSA uuur SB uuur SC uur ử
SG
1 ổSA
SB
SC ử
ắắ
đ
.SI = ỗỗ
SM +

SN +
SP ữ

SI
= ỗỗ
SM +
SN +
SP ữ
ữ
ữ
ữ
ữ.
SI
3 ỗốSM
SN
SP ứ
6 ốỗSM
SN
SP ứ
ử
1 ổSA SB SC ữ
SA SB SC
Do I , M , N , P ng phng nờn ỗỗ
+
+
= 1ô
+
+
= 6.
ữ

ữ
ỗ
6 ốSM SN SP ứ
SM SN SP
p dng BT bunhiacopxki, ta cú

(

)

2
ổ 1
ổSA SB SC ử
1
1 ử
2
2
2
ữ
ữ
ỗỗ
ỗỗ
+
+
SA
+
SB
+
SC

+
+
ữ
ữ
(
)
ữ
ữ
ỗốSM 2 SN 2 SP 2 ứ
ốỗSM SN SP ứ
36
18
Suy ra T
. Chn C.
=
2
2
2
7
SA + SB + SC
Cỏch trc nghim. Do ỳng vi mi hỡnh chúp nờn ta s chn trng hp c bit SA, SB ,
SC ụi mt vuụng gúc v ta húa nh sau: S O (0;0;0) , A(1;0;0) , B (0;2;0) v

ổ1 2 ử
ổ1 1 1 ử
đ I ỗỗ ; ; ữ
C (0;0;3). Suy ra G ỗỗ ; ;1ữ
ữ
ữ
ữắ ắ

ữ.
ỗố3 3 ứ
ốỗ6 3 2 ứ
Khi ú mt phng (a ) ct SA, SB, SC ln lt ti M (a;0;0), N (0; b;0), P (0;0; c )
1
x y z
1
1
+ + = 1 v T = 2 + 2 + 2 .
a b c
a
b
c
ổ1 1 1 ử
1 1 1 1 1 1
Vỡ I ỗỗ ; ; ữ
ẻ (a ) ắ ắ
đ (a ): . + . + . = 1 .
ữ
ỗố6 3 2 ữ
ứ
6 a 3 b 2 c
ắắ
đ (a ):

2

ổ1 1 1 1 1 1 ử ổ 1
ổ1
1

1ử
1
1ử
18
ữ
ữ
ỗ
ỗ
đT
.
Ta cú 12 = ỗỗ . + . + . ữ
ữ
ữ
ữ
ữ Ê ốỗỗ 6 2 + 32 + 2 2 ứ
ữ.ốỗỗ a 2 + b 2 + c 2 ứ
ữắ ắ
ỗố6 a 3 b 2 c ứ
7
SK
Cõu 140*. Gi a =
(0 Ê a Ê 1).
SC
Vỡ mt phng (a ) di ng i qua cỏc im M , N v ct cỏc cnh SC , SD ln lt ti hai

im phõn bit K , Q nờn ta cú ng thc

ơ ắđ 2 +

SA SC

SB SD
+
=
+
SM SK SN SQ

1 3 SD
SQ
2a
= +
ắắ
đ
=
.
a 2 SQ
SD 2 + a
S

N

M
Q

P

D

A
B
Ta cú

VS . MNKQ
VS . ABCD

=

C

ử 1 ổ4 a
1ổ
2 ử
2a
1
ữ
ỗỗSM . SN . SK + SM . SK . SQ ữ
= ỗỗ =
.
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2 ố SA SB SC
SA SC SD ứ 2 ố 3 a + 2 ứ 3 a + 2

Dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


Xét hàm f (a ) =

2a
1
1
. trên đoạn [0;1], ta được max f (a ) = f (1) = . Chọn B.
0;1
[
]
3 a+ 2
3

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất