02 tỉ số image marked

Vấn đề 4. TỈ SỐ THỂ TÍCH

Câu 81. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi một vuông góc. Các điểm
M , N , P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CD, BD. Biết rằng AB = 4a , AC = 6a ,
AD = 7a . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP .
A. V = 7a3 .
B. V = 28a3 .
C. V = 14a3 .
D. V = 21a3 .
Lời giải. Tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi
A
1
một vuông góc nên VABCD = AB.AC .AD = 28a 3 .
6
1
1
M
B
C
Ta có SD MNP = SD BCD , suy ra VAMNP = VA. BCD = 7a 3 .
4
4
P
N
Chọn A.
D
Câu 82. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi V ' là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là
V'
.
trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỉ số
V

V'
V ' 23
V'
V'
8
1
4
=
=
=
=
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
V
V
V
V
27
27
27
27
Lời giải. Gọi M là trung điểm AC ; E , F làn lượt là
A
trọng tâm của tam giác ABC , ACD.

1
Trong tam giác MBD có EF = BD.
M
3
E
Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra
1
F
bằng cạnh của tứ diện ban đầu.
C
B
3
3
V' æ
1ö
1
÷
ç
=ç ÷
=
. Chọn C.
Do đó
çè3 ÷
ø
V
27
D
Câu 83. Cho hình chóp S.ABC có chiều cao bằng 9 , diện tích đáy bằng 5 . Gọi M là trung
điểm của cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS = 2 NC . Tính thể tích V của khối chóp
A.BMNC .

A. V = 15.
B. V = 5.
C. V = 30.
D. V = 10.
SN
2
SM
1
S
=
= .
Lời giải. Từ giả thiết, ta có
và
SC
3
SB
2
1
Thể tích khối chóp VS . ABC = .9.5 = 15.
M
3
V
SM SN 1
2
.
= Þ VABMNC = VS . ABC = 10.
Ta có S . AMN =
N
B
A

VS . ABC
SB SC
3
3
Chọn D.
C
Câu 84. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 16. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các
cạnh SA, SB, SC . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.
A. V = 2.
B. V = 4.
C. V = 6.
D. V = 8.


é
ù
Lời giải. Ta có d éëS , (MNP )ù
û= d ëA, (MNP )û nên VAMNP = VSMNP .
V
SM SN SP 1
1
.
.
=
Mà SMNP =
nên VAMNP = VS . ABC = 2 . Chọn A.
8
VSABC
SA SB SC 8
Câu 85. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Xét các điểm P thuộc đoạn AB , điểm Q thuộc

PA
QB
RB
đoạn BC và điểm R thuộc đoạn BD sao cho
= 2,
= 3,
= 4 . Tính thể tích của
PB
QC
RD
khối tứ diện BPQR theo V .
V
V
V
V
A. VBPQR = .
B. VBPQR = .
C. VBPQR = .
D. VBPQR = .
6
5
3
4
Lời giải. Từ giả thiết, ta có
B
BP 1 BQ 3 BR 4
= ,
= ,
= .
BA 3 BC

4 BD 5
P
VBPQR
BP BQ BR 1 3 4 1
=
.
.
= . . = .
Ta có
VBACD
BA BC BD 3 4 5 5
R
Q
D
1
V
A
Suy ra VBPQR = .VBACD = .
5
5
Chọn A.
C

Câu 86. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = 6a, AC = 9a,
AD = 3a . Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB . Tính thể
tích V của khối tứ diện AMNP .
A. V = 8a3 .
B. V = 4a3 .
C. V = 6a3 .
D. V = 2a3 .

1
Lời giải. Ta có VABCD = AB.AC .AD = 27a 3 .
6
Gọi E, F , G lần lượt là trung điểm của BC , CD, DB .
A
1
27 3
a .
Suy ra VAEFG = VABCD =
4
4
Do M , N , P là trọng tâm của các tam giác ABC ,
AM
AN
AP
2
=
=
= .
AE
AF
AG 3
AM AN AP
8
=
.
.
=
AE AF AG 27

ACD, ADB nên ta có
Ta có

VA. MNP
VA.EFG

¾¾
® VA. MNP

8
=
VA.EFG = 2a 3 . Chọn D.
27

M

P

N

G

B

D
F

E
C

· = BSC
· = CSA
· = 600.
Câu 87. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và ASB
Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V = 5 2.
B. V = 5 3.
C. V = 10.
D. V = 15.


Li gii. Trờn cỏc on SB , SC ln lt ly cỏc im
E , F sao cho SE = SF = 3.
Khi ú S.AEF l khi t din u cú cnh a = 3.

a3 2 9 2
=
.
12
4
SE SF
3 3
9
=
.
= . =
SB SC 4 5 20

S

F

Suy ra VS . AEF =
Ta cú

VS . AEF
VS . ABC

ắắ
đ VS . ABC

B

A
E

20
=
VS . AEF = 5 2. Chn A.
9

C

Cõu 88. ( THAM KHO 2016 2017) Cho t din cú th tớch bng V . Gi V Â l th tớch
ca khi a din cú cỏc nh l cỏc trung im ca cỏc cnh ca khi t din ó cho, tớnh t s
VÂ
.
V
VÂ 1
VÂ 1

VÂ 2
VÂ 5
= .
= .
= .
= .
A.
B.
C.
D.
V
V
V
V
4
8
2
3
Li gii. Kớ hiu t din v cỏc im nh hỡnh v.
S
VS . A ÂB ÂC Â SA Â SB Â SC Â 1
V
=
.
.
= ị VS . A ÂB ÂC Â = .
Ta cú
VS . ABC
SA SB SC
8

8
A'
C'
V
Tng t VA. A ÂMP = VB .B ÂMN = VC .C ÂNP = .
8
P B'
C
A
Do ú V Â= VS . ABC - (VS. AÂB ÂC Â + VA. AÂMP + VB.B ÂMN + VC .C ÂNP )
N
ổV V V V ử V
M
VÂ 1
= V - ỗỗ + + + ữ
=
ị
= . Chn A.
ữ
ỗố 8 8 8 8 ữ
ứ 2
V
2
B
Cõu 89. Cho hỡnh chúp u S.ABC cú cnh ỏy bng a , cnh bờn bng 2a . Gi M l trung
im SB , N l im trờn on SC sao cho NS = 2 NC . Tớnh th tớch V ca khi chúp
A.BCNM .

a 3 11
a 3 11

a 3 11
.
B. V =
.
C. V =
.
36
16
24
Li gii. Gi O l tõm ca D ABC , suy ra SO ^ (ABC ).
A. V =

Tam giỏc vuụng SOA , cú SO =
2

SA 2 - AO 2 =

a 11
3

D. V =

a 3 11
.
18
S

.

3

1 a 3 a 11 a 11
.
.
=
.
3 4
12
3
SM SN 1 2 1
=
.
= . = .
SB SC
2 3 3

Suy ra VS . ABC =

V
Ta cú S . AMN
VS . ABC
Suy ra

VABCNM
2
2
a 3 11
= ị VABCNM = VS . ABC =
. Chn D.
VS . ABC

3
3
18

M

N
C

A
O
B


Cõu 90. Cho hỡnh chúp u S.ABC cú tt c cỏc cnh bng a . Mt phng (P ) song song vi
mt ỏy (ABC ) v ct cỏc cnh bờn SA, SB, SC ln lt ti M , N , P . Tớnh din tớch tam
giỏc MNP bit mt phng (P ) chia khi chúp ó cho thnh hai phn cú th tớch bng nhau.
A. SD MNP =

a2 3
a2 3
. B. SD MNP =
.
16
8

Li gii. Mt phng (P )

C. SD MNP =

a2 3

D. SD MNP =

.

43 4
43 2
(ABC ) v ct cỏc cnh SA, SB, SC ln lt ti M , N , P.

SM
SN
SP
=
=
= x.
SA
SB
SC
SM SN SP
=
.
.
= x 3.
SA SB SC

Theo Talet, ta cú
Do ú

VS . MNP

VS . ABC

a2 3

VS . MNP
1
1
1
= đ x3 = đ x = 3 .
VS . ABC
2
2
2
a
Suy ra tam giỏc MNP l tam giỏc u cnh 3 .
2

.

S

P

M

Theo gi thit

C

A

N

2

ổ a ử 3 a2 3
B
= 3 . Chn D.
Vy din tớch SD MNP = ỗỗ 3 ữ
ữ.
ỗố 2 ữ
ứ 4
4 4
Cõu 91. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn A v AB = a . Trờn ng thng qua C v vuụng gúc
vi (ABC ) ly im D sao cho CD = a . Mt phng (a ) qua C v vuụng gúc vi BD , ct BD ti

F v ct AD ti E . Tớnh th tớch V ca khi t din CDEF .
a3
a3
a3
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
24
36
6
ỡù AB ^ AC

ị AB ^ (ACD ) ị AB ^ CE . (1)
Li gii. Ta cú ùớ
ùùợ AB ^ CD

(2)
T (1) v (2) , suy ra CE ^ (ABD ) ị CE ^ AD.
Li cú BD ^ (a )ị BD ^ CE .

Tam giỏc vuụng ABC , cú BC =

AB 2 + AC 2 = a 2 .

Tam giỏc vuụng DCB , cú BD =

BC 2 + CD 2 = a 3 .

D. V =

a3
.
54

D
F
E

B
C
DF CD 2 1
Tam giỏc vuụng DCB , cú CD = DF .DB ị

=
= .
DB DB 2 3
A
DE CD 2
1
=
= .
Tng t, ta cng cú
2
DA DA
2
ử a3
V
DE DF
1
1
1 ổ1 1
.
= ắắ
đ VD .EFC = .VD . ABC = .ỗỗ . a 2 .a ữ
Suy ra D .EFC =
ữ
ữ= 36 . Chn C.
ứ
VD . ABC
DA DB 6
6
6 ỗố3 2
Cõu 92. Cho t din ABCD cú th tớch V v cỏc im M , N , P tha món iu kin

uuur
uuuur
uuur uuur
uuur
uuur
AM = 2 AB , AN = 3 AC v AP = 4 AD . Mnh u no di õy ỳng?
V
V
.
A. VAMNP =
B. VAMNP = 8V .
C. VAMNP = 24V .
D. VAMNP = .
8
24
2


Lời giải. Từ giả thiết, suy ra
AB
1 AC
1 AD 1
= ;
= ;
= .
AM
2 AN 3 AP
4
VA.BCD
AB AC AD 1 1 1

1
=
.
.
= ´ ´ =
.
Ta có
VA. MNP
AM AN AP 2 3 4 24

A
D
B

C
P

M

Suy ra VA.MNP = 24.VA.BCD = 24V . Chọn C.
N
Câu 92. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng (MNE ) chia khối tứ diện

ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .
A. V =

7 2a 3
.
216

B. V =

11 2a 3
.
216

C. V =

13 2a 3
.
216

Lời giải. Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là VABCD =
Gọi P = EN Ç CD và Q = EM Ç AD .
Suy ra P , Q lần lượt là trọng tâm của D BCE và D ABE .
Gọi S là diện tích tam giác BCD , suy ra SD CDE = SD BNE = S.
1
S
.SD CDE = .
3
3
Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD , suy ra
h
é
ù h
d éëM ,(BCD )ù
û= 2 ; d ëQ, (BCD )û= 3 .

a3 2

.
12
A
M

Ta có SD PDE =

Khi đó VM . BNE =
Suy ra VPQD .NMB

2a 3
.
18

D. V =

P
D

B

E

Q

N

1
S .h
1

C ù S .h
é
SD BNE .d éëM , (BCD )ù
û= 6 ; VQ . PDE = 3 SD PDE .d ëQ , (BCD )û= 27 .
3
S .h S .h 7S .h
7 S.h
7
= VM .BNE - VQ .PDE =
=
=
.
=
.VABCD .
6
27
54
18 3
18

Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là V = VABCD - VPQD.NMB =

11 a 3 2 11 2 a 3
.
=
.
18 12
216

Chọn B.

Câu 94. Mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, song song với một mặt phẳng của tứ diện và
chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của hai phần đó.
27
5
2
3
.
A. .
B. .
C.
D. .
37
7
3
4
Lời giải. Gọi E , F , I lần lượt là trung điểm của các
A
cạnh AC , BD, EF khi đó I là trọng tâm của tứ diện
ABCD. Ta sẽ dựng mặt phẳng qua I song song với
(BCD).
Trong mặt phẳng

(EBD) dựng đường thẳng qua I

song song với BD cắt EB, ED lần lượt tại M , N .
Qua M , N lần lượt kẻ các đường thẳng lần lượt song
song với BC , CD cắt AB, AC , AD lần lượt tại
P , Q, J .

F

P
B

J

I
M
E

Q
C

Do Q là trung điểm của EC Þ

AQ 3
AP
AJ
AQ 3
= , suy ra
=
=
= .
AC
4
AB AD AC
4

N

D

Ta cú

VA.PQJ
VA.BCD

=

V
AP AQ AJ
3 3 3 27
27
.
.
= . . =
ị A.PQJ =
. Chn C.
AB AC AD 4 4 4 64 VPQJBCD 37

Cõu 95. Cho t din u SABC cú cnh bng 1 . Mt phng (P ) i qua im S v trng tõm

G ca tam giỏc ABC ct cỏc cnh AB, AC ln lt ti M , N . Tớnh th tớch nh nht Vmin
ca khi t din SAMN .
4
2
2
2
B. Vmin = .
C. Vmin =

D. Vmin =
.
.
.
9
18
36
27
Li gii. Gi E l trung im ca BC . Qua B, C ln lt k ng thng song song vi
MN v ct ng thng AE ti P , Q .

A. Vmin =

S
A

N

G
M
N

A
M

P
E

C
B

G

Q

C

B

ỡù
ùù
ù
Theo nh lớ Talet, ta cú ùớ
ùù
ùù
ùợ

AB
AP
=
AB
AC
AP AQ AP + AQ
AM
AG
ị
+
=
+
=

.
AC
AQ
AM AN
AG AG
AG
=
AN
AG
Mt khỏc D BPE = D CQE ắ ắ
đ PE = QE ị AP + AQ = (AE - PE )+ (AE + QE )= 2AE.
Do ú

AB
AC
2 AE
3
1
1
+
=
= 2. = 3 ị
+
= 3 . t
AM AN
AG
2
AM AN

Vỡ SABC l t din u ị SG ^ (ABC ) v SG =

Do ú VSAMN =
Ta cú 3 =

2
3

ùỡù AM = x
1 1
ị
+ = 3.
ớ
ùùợ AN = y
x y

.

ử
1
1 ổ1
2
2
SD AMN .SG = ỗỗ AM .AN sin 60 0 ữ
ữ
ữ.SG = 12 AM .AN = 12 xy.
ứ
3
3 ỗố2

1 1
+

x y

2
xy



xy

2
4
2
xy
ị Vmin =
. Chn C.
3
9
27

Cõu 96. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh v cú th tớch bng 48. Gi
M , N ln lt l im thuc cỏc cnh AB , CD sao cho MA = MB, ND = 2 NC . Tớnh th
tớch V ca khi chúp S.MBCN .
A. V = 8.
B. V = 20.
C. V = 28.
D. V = 40.
Li gii. Gi d l khong cỏch t nh A n cnh CD.


Diện tích hình bình hành S ABCD = AB.d .

Ta có SMBCN = S ABCD - SD AMN - SD ADN
= AB.d -

S

1
1
1
1
AM .d - DN .d = AB.d - AB.d - AB.d
2
2
4
6

7
7
AB.d =
S ABCD .
12
12
7
7
VS . ABCD =
.48 = 28. Chọn C.
Vậy VS . MBCN . =
12
12

A

=

D

M

B

C

N

Câu 97. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A ', B ', C ', D ' lần lượt là trung điểm của SA, SB ,
SC , SD. Tính tỷ số k của thể tích khối chóp S.A ' B ' C ' D ' chia cho thể tích khối chóp
S.ABCD .
1
1
1
1
A. k = .
B. k = .
C. k = .
D. k =
.
16
8
2
4
Lời giải. Lưu ý: Tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác nên nếu đáy là tứ giác ta

chia đáy thành hai tam giác.
S
Ta có VS . A ' B ' C ' D ' = VS . A ' B ' C ' + VS . A ' D ' C ' .
Mà

VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' 1 1 1 1
=
.
.
= . . = .
VS . ABC
SA SB SC
2 2 2 8

Suy ra VS . A ' B ' C ' =

1
.VS . ABC .
8

B'

A'
C'

D'

B
1
Tương tự ta cũng có VS . A ' D ' C ' = .VS . ADC .

8
1
1
1
1
Vậy VS . A ' B ' C ' D ' = VS . ABC + VS . ADC = (VS . ABC + VS . ADC ) = VS . ABCDD.
8
8
8
8
C
VS . A ' B ' C ' D ' 1
= . Chọn C.
Suy ra
VS . ABCD
8
Câu 98. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A ' trên cạnh SA sao cho
1
SA ' = SA . Mặt phẳng (a ) qua A ' và song song với đáy (ABCD ) cắt các cạnh SB, SC , SD
3
lần lượt tại B ', C ', D ' . Tính thể tích V ' của khối chóp S.A ' B ' C ' D ' .
V
V
V
V
A. V ' =
.
B. V ' =
.
C. V ' =

.
D. V ' =
.
27
81
3
9
SB ' SA ' 1
SC ' SD ' 1
Lời giải. Từ giả thiết suy ra A ' B ' AB Þ
=
= . Tương tự
=
= .
SB
SA 3
SC
SD
3
Ta có VS . A ' B 'C ' D ' = VS . A ' B 'C ' + VS . A ' D 'C ' .
S
Mà

A

VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' 1 1 1
1
=
.
.

= . . =
.
VS . ABC
SA SB SC
3 3 3 27

¾¾
® VS . A ' B ' C '

1
=
.VS . ABC .
27

1
VS . ABC
27

B'
D' C'

A

1
D
VS . ADC .
C
27
1
1

1
V
+
VS . ADC =
(VS . ABC + VS . ADC ) = VS . ABCD = . Chọn C.
27
27
27
27

Tương tự ta cũng có VS . A ' D ' C ' =
Vậy VS . A ' B ' C ' D ' =

A'

B


Câu 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng (a ) đi qua A, B
và trung điểm M của SC . Mặt phẳng (a ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích
lần lượt là V1 , V2 với V1 < V2 . Tính tỉ số
A.

V1 1
= .
V2 4

B.

V1

.
V2

V1 3
= .
V2 8

C.

V1 5
= .
V2 8

V1 3
= .
V2 5

D.

Lời giải. Kẻ MN PCD (N Î CD), suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp.
Ta có VS . ABMN = VS . ABM + VS . AMN .

S

V
SM 1
1
1
 S . ABM =
= Þ VS . ABM = VS . ABC = VS . ABCD .

VS . ABC
SC
2
2
4


VS . AMN
SM SN 1
1
=
.
= Þ VS . AMN = VS . ABCD .
VS . ACD
SC SD 4
8

N

M

A
1
1
3
VS . ABCD + VS . ABCD = VS . ABCD .
D
4
8
8

V
3
5
B
C
Suy ra VABMNDC = VS . ABCD nên 1 = . Chọn D.
8
V2 5
Câu 100. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,
BA = BC = 1 , AD = 2 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB . Tính thể tích V của khối chóp S.AHCD .
Do đó VS . ABMN =

A. V =

2 2
.
3

B. V =

4 2
.
9

C. V =

SA2 + AB 2 =

Lời giải. Tam giác vuông SAB , có SB =

Ta có VS . AHCD = VS . ACD + VS . AHC .
● VS . ACD
●

4 2
.
3

D. V =

3.
S

ö
1
1 æ1
2
= SD ACD .SA = çç AD.AB ÷
SA =
.
÷
÷
ç
ø
3
3 è2
3

VS . AHC SH SA2 2
2

2
=
=
= Þ VS . AHC = VS . ABC =
.
2
VS . ABC
SB SB
3
3
9

Vậy VS . AHCD =

2 2
.
9

2
2 4 2
+
=
. Chọn B.
3
9
9

H

B

A

D
C

Câu 101. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm SB , M là điểm đối
xứng với B qua A. Mặt phẳng (MNC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích
lần lượt là V1 , V2 với V1 < V2 . Tính tỉ số
A.

V1 5
= .
V2 7

B.

V1
5
= .
V2 11

V1
.
V2
C.

V1 5
= .
V2 9

D.

V1
5
=
.
V2 13


Li gii. Gi h, S ln lt l chiu cao v
din tớch ỏy ca khi chúp S.ABCD .
1
Khi ú VS . ABCD = S .h.
3
Ni MN ct SA ti E , MC ct AD ti F .
Tam giỏc SBM cú A, N ln lt l trung
im ca BM v SB suy ra E l trng tõm
tam giỏc SBM . T giỏc ACDM l hỡnh vuụng
nờn F l trung im MC .

S
N
E
B

M
F

A

C

D
Ta cú VBNC . AEF = VABCEN + VE . ACF .

VS .ENC
SE SN 2 1 1
1
=
.
= = ắắ
đ VS .ENC = VS . ABC
VS . ABC
SA SB
3 2 3
3
ổ
ử
2
2 1
1
ắắ
đ VABCEN = VS . ABC = ỗỗ VS . ABCD ữ
= V
.
ữ
ữ
ứ 3 S . ABCD
3
3 ỗố2

1
1 1 1
1
SD ACF .d ộởE , (ACF )ự
ỷ= 3 . 4 S . 3 h = 12 VS . ABCD .
3
1
1
5
VS . ABCD = V1 .
Do ú VBNC . AEF = VABCEN + VE . ACF = VS . ABCD + VS . ABCD =
3
12
12
V
7
5
VS . ABCD ắ ắ
đ 1 = . Chn A.
Suy ra V2 =
12
V2 7
Cõu 102. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a , SA = a vuụng gúc
SM
= k. Xỏc nh k sao cho
vi mt phng ỏy (ABCD ). im M thuc cnh SA sao cho
SA

mt phng (MBC ) chia khi chúp ó cho thnh hai phn cú th tớch bng nhau.

VE . ACF =

A. k =

- 1+ 3
.
2

B. k =

- 1+ 5
.
2

C. k =

- 1+ 2
.
2

D. k =

1+ 5
.
4

SN SM
=

= k. Khi ú mt phng (MBC ) chia khi
SD
SA
S
chúp thnh hai phn l S.MBCN v AMBDNC .
Ta cú VS .MBCN = VS .MBC + VS .MCN .

Li gii. K MN



AD (N ẻ SD ) ắ ắ
đ

VS . MBC
SM
=
= k ị VS . MBC = k.VS . ABC .
VS . ABC
SA

V
SM SN
.
= k 2 ị VS . MCN = k 2 .VS . ACD .
S . MCN =
VS . ACD
SA SD
T gi thit, ta cú VS . MBCN =

ắắ
đ k.

VS . ABCD
V
+ k 2 . S . ABCD
2
2

N

M
A

D

1
1
C
VS . ABCD ị k.VS . ABC + k 2 .VS . ACD =B VS . ABCD
2
2
1
- 1+ 5
= VS . ABCD ắ ắ
đ k + k2 = 1 đ k =
. Chn B.
2
2

Cõu 103. Gi V l th tớch ca hỡnh lp phng ABCD.A ' B ' C ' D ' , V1 l th tớch t din
A ' ABD . H thc no sau õy ỳng?
A. V = 6V1.
B. V = 4V1.
C. V = 3V1 .
D. V = 2V1.


Lời giải. Ta có V = S ABCD .AA ' và V1 =
Mà SD ABD =

1
SD ABD . AA '.
3

D'

A'
B'

1
V
S ABCD ¾ ¾
®
= 6.
2
V1

C'
A

D

Suy ra V = 6V1. Chọn A.
C

B

Câu 104. Cho lăng trụ đứng ABC .A ' B ' C ' . Gọi D là trung điểm AC . Tính tỉ số k của thể
tích khối tứ diện B ' BAD và thể tích khối lăng trụ đã cho.
1
1
1
1
A. k = .
B. k =
.
C. k = .
D. k = .
6
3
12
4
Lời giải. Ta có VABC . A ' B ' C ' = SD ABC .BB ' và
A'
B'
1
C'
VB ' BAD = SD BAD .BB '.
3

VB ' BAD
1
1
® k=
= .
Mà SD BAD = SD ABC ¾ ¾
B
A
2
VABC . A ' B ' C ' 6
D
Chọn D.
C
Câu 105. Cho khối lăng trụ ABC.A¢B ¢C ¢. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC
và song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Mặt phẳng (A ¢DE ) chia khối
lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng.
2
4
4
4
.
.
A. .
B.
C. .
D.
27
23
3
9

Lời giải. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .
A'
AG 2
= .
Gọi E là trung điểm của BC Þ
C'
AE 3
Đường thẳng d đi qua G và song song BC , cắt các
cạnh AB, AC lần lượt tại M , N .
A
AM
AN
AG 2
G
Þ
=
=
=
N
AB
AC
AE
3
C
ìï
ïï AM =
ï
Þ ïí
ïï
ïï AN =

ïî

2
AB
4
3
Þ SD AMN = SD ABC .
2
9
AC
3

Ta có VABC . A¢B ¢C ¢ = SD ABC .AA ' và VA '. AMN =
Từ (1) và (2) , suy ra VA '. AMN =
Vậy

B'

M

B

E

(1)
1
SD AMN .AA '.
3

(2)

4
23
V
® VBMNC . A ¢B ¢C ¢ =
V
¢ ¢ ¢ ¾ ¾
¢ ¢ ¢.
27 ABC . A B C
27 ABC . A B C

VA '. AMN
4
=
. Chọn B.
VBMNC . A ¢B ¢C ¢ 23

Câu 106. Cho hình lăng trụ ABC.A¢B ¢C ¢ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,
AC = 2 2 . Biết AC ¢ tạo với mặt phẳng (ABC ) một góc 600 và AC ¢= 4 . Tính thể tích V
của khối đa diện ABCC ¢B ¢.
A. V = 8 3.

B. V =

16
.
3

C. V =

8 3
.
3

D. V =

16 3
.
3


Li gii. Gi H l hỡnh chiu ca A trờn mt phng (A ÂB ÂC Â) .
Suy ra HC Â l hỡnh chiu ca AC Â trờn mt phng (A ÂB ÂC Â) .

ã
ã Â, HC Â= AC
ã ÂH .
Â,(AÂB ÂC Â) = AC
Do ú 600 = AC
ã ÂH = 2 3.
Tam giỏc AHC Â, cú AH = AC Â.sin AC

A

C
B

AC 2
= 4.
2

Suy ra VABC . AÂB ÂC Â = SD ABC .AH = 8 3.

Din tớch tam giỏc SD ABC =

Ta cú VA. A ' B ' C ' =

1
1
8 3
SD A ' B ' C ' .AH = VABC . A ÂB ÂC Â =
.
3
3
3

Suy ra VABCC ÂB Â = VABC . A ÂB ÂC Â - VA. A ÂB ÂC Â =

C'
A'

H

16 3
. Chn D.
3

B'

Cõu 107. Cho khi hp ABCD.AÂB ÂC ÂD Â cú th tớch V . Cỏc im M , N , P tha món iu
uuuur

uuur
uuuur
uuur uuur
uuur
kin AM = 2 AC , AN = 3AB Â v AP = 4 AD Â. Tớnh th tớch ca khi t din AMNP theo
V.
A. VAMNP = 8V .
B. VAMNP = 4V .
C. VAMNP = 6V .
D. VAMNP = 12V .
Li gii. Ta cú V = VAB ' D 'C + (VAA ' B ' D ' + VCC ' B ' D ' + VD ' DAC + VB ' BAC ).
M VAA ' B ' D ' = VCC ' B ' D ' = VD ' DAC = VB ' BAC =

V
.
6

V
.
3
AB Â 1 AC
1 AD Â 1
= ;
= ;
= .
T gi thit, ta cú
AN
3 AM
2 AP
4

VA.B ÂD ÂC
AB Â AD Â AC
1
=
.
.
=
Ta cú
VA.NPM
AN AP AM 24

Suy ra V AB ' D ' C =

D'

C'
B'

A'

D

C

V
B
A
= 8V . Chn A.
3
Nhn xột: Cụng thc gii nhanh: Th tớch ca khi t din (4 nh nm trờn hai ng chộo

1
ca hai mt i din) cú th tớch bng ca khi lng tr tam giỏc.
3
Cõu 108. Cho hỡnh lng tr ABC .A ' B ' C ' cú th tớch bng V . Cỏc im M , N , P ln lt
CP
2
AM
1 BN
=
= . Tớnh th tớch V ' ca khi
= ,
thuc cỏc cnh AA ' , BB ' , CC ' sao cho
AA ' 2 BB ' CC ' 3
a din ABC .MNP.
2
9
11
20
V.
V.
V.
A. V ' = V .
B. V ' =
C. V ' =
D. V ' =
16
18
27
3
ổm + n + p ử

C
A
ữ
Li gii. Cụng thc gii nhanh VABC . MNP = ỗỗ
V vi
ữ
ữ
ỗố
ứ
3
B
P
AM
BN
CP
M
m=
, n=
, p=
.
AA '
BB '
CC '
N
1
2
2
11
C'
V.

p dng: m = , n = , p = , ta dc VABC . MNP =
A'
2
3
3
18
Chn D.
B'
ắắ
đ VA.NPM = 24VA.B ÂD ÂC = 24.


Câu 109. Người ta cần cắt một khối lập phương thành hai
khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua A (như hình vẽ)
sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa điểm B bằng
một nửa thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
CN
k=
.
CC '
2
1
A. k = .
B. k = .
3
3
1
3
C. k = .
D. k = .

2
4

B

C

M
A

D
N
P

B'

A'

C'

D'

CN
BM
DP
+
CC ' = BB ' DD ' .
2
2
CN

0+
VAMNPBCD
1
CN
2
CC ' = 1 ¾ ¾
Theo giả thiết, ta có
= ¾¾
®
®
= . Chọn B.
VABCDA ' B ' C ' D ' 3
2
3
CC ' 3
Câu 110. Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D '. Gọi M là điểm thuộc đoạn CC ' thỏa mãn
CC ' = 4CM . Mặt phẳng (AB ' M ) chia khối hộp thành hai phần có thể tích là V1 và V2 . Gọi
VAMNPBCD
Lời giải. Công thức giải nhanh
=
VABCDA ' B ' C ' D '

V1 là phần có chứa điểm B . Tính tỉ số k =
A. k =

7
.
32

B. k =

0+

V1
.
V2

7
.
16

C. k =

7
.
25

D. k =

25
.
32

Lời giải. Trong mặt phẳng (CDD ' C ') , kẻ MN PC ' D với N Î CD . Suy ra CN =

1
CD và V1
4

là khối đa điện ABB ' NCM .

B'
D'

A'

N
D

C'

C'

A'
M

B
A

B'

C'

B

C
A

D'

A'

M

M
C

N
A

D

Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó VABB '.NCM = VABB 'CM + VMACN .
1
+1
5 æ
1 ö
4
.VABC . A ' B ' C ' =
.çç V ÷
 VABB ' CM =
÷
÷.
ç
3
12 è2 ø
ö 1
1 1
1 æ
1
 VMACN = . VC '. ADC =

.çç VADC . A ' D ' C ' ÷
=
V.
÷
÷
ø 96
4 4
16 çè3
V
7
25
7
V ¾¾
® V2 =
¾¾
® 1=
. Chọn C.
Vậy V1 = VABCMB ' + VMACN =
32
32
V2 25
0+

Nhận xét. Ta có VMACN =

1 1
. VC '. ADC vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần.
4 4

C