01 hàm số image marked

Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d .
Phương trình hoành độ giao điểm ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 .

éx = x 0
● Nếu nhẩm được một nghiệm x 0 thì phương trình tương đương ê 2
êax + b ' x + c ' = 0 .
ë
● Cô lập tham số m và lập bảng biến thiên.
● Nếu không nhẩm được nghiệm và không cô lập được m thì bài toán được giải quyết
theo hướng tích hai cực trị, cụ thể:
◦ Đồ thị cắt trục hoành đúng ba điểm phân biệt Û yCD . yCT < 0.
◦

Đồ thị có hai điểm chung với trục hoành Û yCD . yCT = 0.

◦

Đồ thị có một điểm chung với trục hoành Û yCD . yCT > 0 hoặc hàm số không có

cực trị.
Chú ý: Nếu y ' = 3ax 2 + 2bx + c = 0 nhẩm được hai nghiệm thì tính yCD , yCT dể dàng. Trường
hợp không nhẩm được nghiệm thì dùng mối liên hệ hai nghiệm đó là hệ thức Viet.
Nếu đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
lập thành cấp số cộng thì phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có một nghiệm x 0 = -

b
.
3a

Nếu đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
lập thành cấp số nhân thì phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có một nghiệm x 0 =

3

-

d
.
a

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có dạng
y=

ìï B = T (0)
1
y ''
.y ' .
, trong đó T = 9ay (Ax + B ) với ïí
ïï A = T (1)- T (0)
9
2
î

Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c .
Cho hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c . Khi đó:
y có 1 cực trị Û ab ³ 0

y có 3 cực trị Û ab < 0

5

a > 0 : 1 cc tiu

a < 0 : 1 cc i

a > 0 : 1 cc i,
2 cc tiu
đ ta cỏc im cc tr
Xột trng hp cú ba cc tr ắ ắ
ổ
ử ổ
b
Dữ
b
Dử
ữ
ữ
ữ
A (0; c ), B ỗỗỗ- ;, C ỗỗỗ ;.
ữ
ữ
ữ
ỗố
ỗ
2a 4 a ữ
2
a
4
a
ứ ố

ứ

a < 0 : 2 cc i,
1 cc tiu

b4
b
vi D = b2 - 4ac .
2
2a
16a
3
ộ
ổ - bữ
ử
ờ
ỗỗ
ữ
AB
:
y
=
x+ c
ờ
ỗỗ 2a ữ
ữ
ờ
ố
ứ
D

.
Phng trỡnh qua im cc tr: BC : y = v ờ
3
ờ
4a
ổ
ử
ờ
ỗ - bữ
ữ
ờAC : y = - ỗỗ
ữ x+ c
ỗố 2a ữ
ờở
ứ
3
b + 8a
ã
= a , luụn cú cos a = 3
Gi BAC
.
b - 8a

BC = 2 -

b
, AB = AC =
2a

Din tớch tam giỏc ABC l S =

-

b5
.
32a 3

Bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l R =
Bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC l r =

D kin

b 3 - 8a
.
8ab
b2

.
ổ
ử
b3 ữ
ỗỗ
ữ
4 a ỗ1 + 1 ữ
ỗố
8a ữ
ữ
ứ

1) B,C ẻ Ox

2) BC = m0

Cụng thc tha ab < 0
b - 4ac = 0
am02 + 2b = 0

3) AB = AC = n0

16a 2 n02 - b 4 + 8ab = 0

4) BC = kAB = kAC

b 3 .k 2 - 8a (k 2 - 4 ) = 0

5) ABOC ni tip

ổ2 D ữ
ử
c.ỗỗ =0
ữ
ữ
ỗốb 4a ứ

6) ABOC l hỡnh thoi
---------------------------------------------------------7) Tam giỏc ABC vuụng cõn ti A
8) Tam giỏc ABC u
ã
= a
9) Tam giỏc ABC cú gúc BAC
10) Tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn

b2 - 2ac = 0
-----------------------------------8a + b 3 = 0
24a + b3 = 0
a
8a + b 3 .tan 2 = 0
2
3
b (8a + b )> 0

11) Tam giỏc ABC cú din tớch S 0

32a 3 (S0 ) + b 5 = 0

12) Tam giỏc ABC cú trng tõm O
14) Tam giỏc ABC cú trc tõm O

b2 - 6ac = 0
b3 + 8a - 4ac = 0

6

2

2


16) Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp
17) Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp
18) Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành

b3 - 8a - 4abc = 0
b3 - 8a - 8abc = 0
b 2 - 8ac = 0

Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một cấp số cộng thì điều

ìï
ïï
ïï ac >
kiện là ïí ab <
ïï
ïï 2
ïï b =
ïî

0
0
.
100
ac
9

Hàm số y =

ax + b
(ad - bc ¹ 0).
cx + d

Gọi M (x0 ; y0 ) là điểm thuộc đồ thị hàm số y =

æ
ax + b ö
ax + b
÷
÷
, suy ra M çççx 0 ; y0 = 0
÷.
çè
cx + d
cx 0 + d ÷
ø

7


Đồ thị hàm số y =

ax + b
d
a
có TCĐ D 1 : x + = 0 ; TCN D 2 : y - = 0 .
cx + d
c
c

ìï
ïï d = d [M , D ]= x + d = cx 0 + d
1
0

ïï 1
c
c
Ta có ïí
.
ïï
a
ad - bc
ïï d 2 = d [M , D 2 ]= y0 =
c
c (cx 0 + d )
ïïî
d1 = kd2
cx 0 + d
ad - bc
d
= k
¾¾
® x0 = - ±
c
c (cx 0 + d )
c
d1 .d 2

d1.d2 =

d1 + d 2 ¾ ¾
® min

ad - bc

= p = const
c2

d1 + d2 ³ 2

ad - bc
c2

Dấu '' = '' xảy ra khi

= 2 p

cx 0 + d
ad - bc
=
c
c (cx 0 + d )

2

¬ ¾® (cx 0 + d ) = ad - bc ¬ ¾® x 0 = -

Điểm M (x0 ; y0 ) có hoành
độ thỏa x 0 = -

d
±
c

p

kp

d
±
c

p

● Có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận ngắn nhất 2 p .
● Khoảng cách đến tâm đối xứng nhỏ nhất

2p .

ax + b
. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm AB bất kì nằm trên hai nhánh
cx + d
của đồ thị được xác định bởi công thức

Cho hàm số y =

ABmin = 2 2.

ad - bc
c2

Giả sử đường thẳng d : y = kx + p cắt đồ thị hàm số y =

.

ax + b
tại hai điểm phân biệt M ,
cx + d

N . Xét phương trình hoành độ giao điểm
kx + p =

ax + b
¬ ¾® Ax 2 + Bx + C = 0
cx + d

thỏa điều kiện cx + d ¹ 0 , có D = B 2 - 4 AC . Khi đó M (x1 ; kx1 + p), N (x 2 ; kx2 + p) .

8


● MN =

k2 + 1
.D ¾ ¾
® MN nhỏ nhất khi D nhỏ nhất.
A2

● Tam giác OMN cân tại O ¬ ¾® (x1 + x 2 )(1 + k 2 )+ 2kp = 0.
● Tam giác OMN vuông tại O ¬ ¾® (x1 .x 2 )(1 + k 2 )+ (x1 + x 2 )kp + p 2 = 0.

9