DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Dạng 50. Tính diện tích hình phẳng
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn a; b . Gọi S là diện tích hình phẳng giới
hạn bởi hàm số y = f ( x ) trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
b
A. S = f ( x ) dx.
a
b
B. S = ( f ( x) ) dx.
2
a
b
C. S = f ( x ) dx.
a
a
D. S = f ( x ) dx.
b
Câu 2. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f ( x ) ,
y = g ( x ) và các đường thẳng x = a, x = b . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
b
b
B. S = f ( x ) − g ( x ) dx .
A. S = f ( x ) + g ( x ) dx .
a
a
b
b
D. S = f ( x ) − g ( x ) dx .
C. S = f ( x ) + g ( x ) dx .
2
a
a
Lời giải tham khảo
b
S = f ( x ) − g ( x ) dx .
a
1
Câu 3. Cho hàm số f ( x ) xác định và đồng biến trên 0; 1 và có f = 1 . Cơng thức tính
2
diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y1 = f ( x ) ; y2 = ( f ( x) ) ; x1 = 0;
2
x2 = 1 ?
1
2
A.
1
f ( x ) (1 − f (x))dx + f ( x ) ( f ( x ) − 1) dx .
0
1
2
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
1
f ( x ) − ( f (x)) dx .
1
B.
2
0
( f ( x))
1
C.
2
− f ( x ) dx .
0
1
2
D.
1
f ( x ) (1 − f ( x)) dx + f ( x )( f (x) − 1) dx .
1
2
0
Lời giải tham khảo
Công thức tổng quát ứng dụng y1 = f ( x); y2 = g( x); x1 = a; x2 = b(a b) là:
b
S = f ( x) − g( x) dx
a
Do f ( x) đồng biến nên ta có:
f ( x) 1 x
1
1
1
; f ( x) 1 x 1 S = f ( x) − ( f ( x))2 dx = f ( x)( f ( x) − 1) dx
2
0
0
1
2
1
= f ( x) (1 − f ( x))dx + f ( x)( f ( x) − 1)dx .
1
2
0
Câu 4. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = x + 2 .
A. S =
3
.
2
B. S =
9
.
2
C. S =
7
.
2
D. S =
15
.
2
Lời giải tham khảo
S=
2
x
2
− x − 2 dx =
−1
9
.
2
Câu 5. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và đường thẳng
y = 2x .
A. S =
4
.
3
B. S =
3
.
2
C. S =
5
.
3
D. S =
23
.
15
Lời giải tham khảo
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2
2
x = 0
4
S = x2 − 2 x dx = .
• x2 = 2 x
3
x = 2
0
Câu 6. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 − x2 và y = x.
B. S = 7 .
A. S = 5 .
C. S =
9
.
2
D. S =
11
.
2
Lời giải tham khảo
Giái phương trình hoành độ 2 − x2 = x x = 1 x = −2
Áp dụng cơng thức diện tích (Bấm máy ).
Câu 7. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = −2x2 và y = −2x − 4 .
A. S =
3
.
13
B. S = 9 .
C. S =
13
.
3
D. S =
1
.
9
Lời giải tham khảo
Phương trình hoành độ giao điểm của y = −2x2 và y = −2x − 4 là:
x = −1
−2x2 = −2x − 4 −2 x2 + 2 x + 4 = 0
x = 2
S=
2
−2x
2
+ 2 x + 4 dx =
−1
2
( −2x
2
−1
−2 3
+ 2 x + 4 dx =
x + x2 + 4x
3
)
2
−1
= 9.
Câu 8. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi Parabol ( P) : y = 3 − x2 , đường thẳng
y = −2x + 3, trục tung và x = 1 .
A. S =
3
(đvdt).
4
B. S =
4
(đvdt).
3
C. S = −
4
3
(đvdt). D. S = − (đvdt).
3
4
Lời giải tham khảo
x = 0
Phương trình hồnh độ giao điểm: 3 − x2 = −2 x + 3 x2 − 2x = 0
x = 2
Diện tích cần tìm được tính bằng công thức sau đây:
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3
1
2
S = x2 − 2 xdx + x 2 − 2 xdx
0
1
3
2
x
x
=
+2
3
2
1
0
2
3
x
x2
4
+
+ 2 x = ( đvdt ) .
3
2 1 3
Câu 9. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 − 3x và y = x .
A. S = 12 .
C. S = 6 .
B. S = 4 .
D. S = 8 .
Lời giải tham khảo
x = 0
Ta có PT hoành độ giao điểm x 3 − 4 x = 0 x = 2
x = −2
Diện tích S =
0
(
)
x 3 − 4 x dx +
−2
2
(x
3
)
− 4 x dx = 4 + 4 = 8.
0
Câu 10. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x3 − x và y = x − x2 .
B. S = 37 .
A. S = 12 .
C. S =
37
.
12
D. S = 11 .
Lời giải tham khảo
x3 − x = −x2 + x x = 0; x = −2; x = 1
S=
0
x
−2
1
3
+ x − 2x dx + x3 + x2 − 2x dx =
2
0
37
.
12
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓
Câu 11. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = −x3 + 3x + 3 và đường
thẳng y = 5 .
A. S =
5
.
4
B. S =
45
.
4
C. S =
27
.
4
D. S =
21
.
4
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 12. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x4 − 2x2 + 1 và trục
hoành.
A. S =
16
.
15
B. S =
8
.
15
C. S =
8
.
15
D. S =
15
.
8
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 13. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 5x4 + 3x2 − 8, trục Ox
trên đoạn 1; 3 .
A. S = 100 .
B. S = 150 .
. .........................................................................
C. S = 180 .
D. S = 200 .
.......................................................................
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 14. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 − 4x + 3 , y = x + 3 .
A. S =
197
.
6
B. S =
109
.
6
C. S =
56
.
3
D. S =
88
.
3
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 15. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e x ; y = 2 và đường
thẳng x = 1 bằng
A. S = e + ln 2 − 4 .
B. S = e + 2 ln 2 − 4 .
C. S = e + 2 ln 2 + 4 .
D. S = e + 2 ln 2 − 4 .
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
1
Câu 16. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x, x = , x = e và trục
e
hoành.
1
A. S = 1 − .
e
1
B. S = 2 1 + .
e
1
C. S = 2 1 − .
e
1
D. S = 1 + .
e
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 17. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
2x − 1
và hai trục toạ
−x + 1
độ.
A. S = ln 2 – 1.
B. S = ln 2.
C. S = ln 2 + 1.
D. S = 2 ln 2 − 1.
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 18. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
1− x
, y = 2, y = 0,
x
x = 0.
A. S = – ln 3 .
B. S = ln 3 .
C. S = 2ln 3 .
D. S = −2 ln 3 .
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
7
Câu 19. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
x2 + x − 2
, y = 0,
x+3
x = −2, x = 2.
A. S = 7 – 4 ln
5
5
. B. S = 7 + 4 ln
.
16
14
C. S = 7 + 4 ln
5
.
16
D. S = 7 − 4 ln
5
.
14
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 20. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
A. S =
2
−1.
B. S =
2
+ 1.
C. S =
5
+ 1.
6
1
1
,y = .
2
2
1+ x
D. S =
5
−1.
6
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 21. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 1 + x 2 , trục Ox và
đường thẳng x = 1.
A. S =
2 2 −1
.
3
B. S =
8
.
3
C. S = 2 2 − 1 .
D. S =
2 2 +1
.
3
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
8
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 22. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường ( P ) : y = – x 2 + 2, y = 0, x = 0, x = 1.
Tính tọa độ điểm M nào trên ( P ) mà tiếp tuyến tại đó tạo với ( H ) một hình thang có diện
tích nhỏ nhất.
1 9
A. M ; .
2 4
1 7
B. M ; .
2 4
1 7
C. M ; − .
2 4
D. Không tồn tại điểm M .
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 23. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 − 4, y = 0 , x = 3,
x = 0.
A. S = 15 .
B. S = 18 .
C. S = 20 .
D. S = 22 .
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 24. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 − 2x, y = x .
A. S =
7
.
2
B. S =
9
.
2
C. S =
19
.
2
D. S =
11
.
2
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
9
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
10
. .........................................................................
.......................................................................
ĐÁP ÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1C
2B
3D
4B
5A
6C
7B
8B
9D
10C
11C
12A
13D
14B
15D
16C
17A
18B
19C
20A
21A
22B
23A
24B
– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất
11