Chủ đề 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG file word image marked

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

Chủ đề 3:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I - LÝ THUYẾT:

a

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

a'

Vectơ a  0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của

d

vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d .
2. Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Đường thẳng d đi qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có 1 vectơ chỉ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 )

 x = x0 + a1t

+ Phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = y0 + a2t (t  R)
z = z + a t
0
3


(1)

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:
d:

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3

(2)

(

a1 .a2 .a3  0

a

)

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

M0

 x = x0 / + b1 k
 x = x0 + a1t



Cho hai đường thẳng d1 :  y = y0 + a2t và d2 :  y = y0 / + b2 k
z = z + a t
z = z / + b k
0
3

0
3

Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) .
Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương b = ( b1 ; b2 ; b3 ) .
❖ Cách 1: Xét vị trí tương đối của d1 và d2 theo chương trình cơ bản:
Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của a và b .
Bước 2: Nhận xét:

d / / d2
+ Nếu a và b cùng phương thì:  1
d1  d2
+ Nếu a và b không cùng phương thì hoặc d1 cắt d2 hoặc d1 và d2 chéo nhau.
• TH1: d1 cắt d2
Điều kiện 1: a và b không cùng phương .
Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:
 x0 + a1t = x0 + b1 k (1)

 y0 + a2t = y0 + b2 k (2) (*) có nghiệm duy nhất (t0 , k0 ) .
 z + a t = z + b k (3)
0
3
0

3
.
.

Kết luận: d1 cắt d2 tại điểm M0 ( x0 + a1t0 ; y0 + a2t0 ; z0 + a3t0 ) .

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

1


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra ( t0 ; k0 ) và thay vào (3) (Nếu (3) thoả thì

( t ; k ) , ngược lại thì không).
0

0

• TH2: d1 và d2 chéo nhau
Điều kiện 1: a và b không cùng phương .
Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:
 x0 + a1t = x0 + b1 k (1)

 y0 + a2t = y0 + b2 k (2) (*) vô nghiệm.
 z + a t = z + b k (3)
0

3
 0 3

• TH3: d1 song song với d2
Điều kiện 1: a và b cùng phương .
Điều kiện 2: Chọn điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  d1 . Cần chỉ rõ M0  d2 .
• TH4: d1 và d2 trùng nhau
Điều kiện 1: a và b trùng nhau.
Điều kiện 2: Chọn điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  d1 . Cần chỉ rõ M0  d2 .
Đặc biệt: d1 ⊥ d2  a.b = 0  a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
❖ Cách 2: Xét vị trí tương đối của d1 và d2 chương trình nâng cao theo sơ đồ sau:
-

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương ud vµ M0  d.

-

Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương ud/ vµ M0/  d.

Tính

Trùng nhau

Song song

Cắt nhau

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

Chéo nhau

2


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

II- BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:
LOẠI 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
+ Vectơ a  0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc
trùng với đường thẳng d .
+ Nếu a là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì ka ,( k  0) cũng là 1 vectơ chỉ phương của d .
+ Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d . Nếu có 2 vectơ a , b không cùng phương và
u ⊥ a
thì chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u =  a , b  hoặc u = k a , b  , k  0 .

u
⊥
b


Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; −1; 2 ) , B ( 2; 3; 1) , C ( 4; 2; 0 ) ; các

x = 1
x −1 y z + 3

đường thẳng 1 :  y = 2 − 3t ( t  R ) ,  2 :
; các mặt phẳng ( P) : x + 3y − 2z + 1 = 0 ,
=

=
3
−3
2
 z = 3 + 4t

(Q) : 3x − z = 0 . Tìm một vectơ chỉ phương của các đường thẳng sau:

a) Đường thẳng  1 .
b) Đường thẳng d1 đi qua A và song song với  2 .
c) Đường thẳng AB .
d) Đường thẳng d2 qua B và song song với Oy .
e) Đường thẳng d3 qua C và vuông góc với ( P ) .
f) Đường thẳng d4 qua B , vuông góc với Ox và  1 .
g) Đường thẳng d5  (Q) qua O và vuông góc với  2 .
h) Đường thẳng d6 là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ),(Q) .
i) Đường thẳng d7 qua B vuông góc với  2 và song song với mặt phẳng (Oxy) .
j) Đường thẳng d8 qua A , cắt và vuông góc với trục Oz .
Bài giải:
a) Đường thẳng  1 có 1 vectơ chỉ phương là a = (0; −3; 4) .
b) Đường thẳng  2 có 1 vectơ chỉ phương là b = (3; −3; 2) . Ta có: d1 / /  2 nên b = (3; −3; 2)
cũng là 1 vectơ chỉ phương của d1 .
c) Đường thẳng AB có 1 vectơ chỉ phương là AB = (1; 4; −1) .
d) Đường thẳng d2 / /Oy nên có 1 vectơ chỉ phương là j = (0;1; 0) .
e) Mặt phẳng ( P ) có 1 vectơ pháp tuyến là n1 = (1; 3; −2) . Đường thẳng d3 ⊥ ( P) nên có 1
vectơ chỉ phương là n1 = (1; 3; −2) .
f)

Gọi u4 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d4 .
u ⊥ i

 chọn u4 = ( 0; 4; 3) .
Ta có:  i , a  = ( 0; −4; −3) ,  4
u4 ⊥ a

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

3


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

g) Mặt phẳng (Q ) có 1 vectơ pháp tuyến là n2 = ( 3; 0; −1) . Gọi u5 là 1 vectơ chỉ phương của
u ⊥ n2
đường thẳng d5 . Ta có: n2 , b  = ( −3; −9; −9) ,  5
 chọn u5 = (1; 3; 3) .
u4 ⊥ b

h) Gọi u6 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d6 . Ta có: n1 , n2  = ( −3; −5; −9 ) ,
u6 ⊥ n1
 chọn u6 = ( 3; 5; 9 ) .

u6 ⊥ n2

Gọi u7 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d7 . Mặt phẳng (Oxy) có 1 vectơ pháp

i)

u ⊥ n2

tuyến là k = ( 0; 0;1) .Ta có: n2 , k  = ( −3; 3; 0 ) ,  7
 chọn u7 = (1; −1; 0 ) .
u
⊥
k
 7
d ⊥ Oz
Gọi H = d8  Oz . Ta có  8
 H là hình chiếu của A lên Oz  H ( 0; 0; 2 ) . Vậy d8 có
 A  d8

j)

1 vectơ chỉ phương là OA = (1; −1; 0) .
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : x + 3ky − z + 2 = 0 và

( ) :

kx − y + 2z + 1 = 0 . Tìm k để giao tuyến của ( ) , (  )

a) vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x − y − 2z + 5 = 0 .
b) song song với mặt phẳng ( Q ) : − x − y − 2z + 1 = 0 .
Bài giải:

Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là giao tuyến của ( ) , (  ) .
Mặt phẳng của ( ) có 1 vectơ pháp là n = (1; 3k ; −1) .
Mặt phẳng của (  ) có 1 vectơ pháp là n = ( k ; −1; 2 ) .
u ⊥ n
Ta có: 
 chọn u = n , n  = 6k − 1; − k − 2; −3k 2 − 1 .

u
⊥
n



(

)

a) Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến nP = (1; −1; −2 ) . Đường thẳng d vuông góc với mặt
−3k 2 + 2k + 3 = 0

phẳng  u , nP cùng phương  u, nP  = 0  −11k + 4 = 0
(vô nghiệm).
1 − 5k = 0


Vậy không tồn tại giá trị k thỏa yêu cầu bài toán.

b) Mặt phẳng (Q) có 1 vectơ pháp tuyến nQ = ( −1; −1; −2 ) .
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  u.nP = 0
k = 0
 −6k + 1 − k − 2 + 3k + 1 = 0  3k − 7 k = 0  
.
k = 7

3
2

2

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

4


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

LOẠI 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bước 1: Xác định M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  d.
Bước 2: Xác định 1 vectơ chỉ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) của đường thẳng d .
Bước 3: Áp dụng công thức, ta có:
+

Phương trình tham số của d :

 x = x0 + a1t

 y = y 0 + a2 t ( t  R )
z = z + a t
0
3


+

Phương trình chính tắc của d :

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
; ( a1 , a2 , a3  0 )
a1
a2
a3

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng 1 :

x −1 y + 2 z
=
= và
1
−1
2

 x = 2 + 2t

 2 :  y = −1 − t . Viết phương trình:
 z = 3t

b) chính tắc của đường thẳng  2 .

a) tham số của đường thẳng  1 .

Bài giải:

a) Đường thẳng  1 qua M (1; −2; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương u = (1; −1; 2 ) , có phương trình tham

x = 1 + t

số là:  y = −2 − t .
 z = 2t

b) Đường thẳng  1 qua N ( 2; −1; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương u = ( 2; −1; 3) , có phương trình

x − 2 y +1 z
=
= .
2
−1 3
Chú ý: Nếu đề bài chỉ yêu cầu viết phương trình đường thẳng thì ta viết phương trình tham số hay
chính tắc là:

phương trình chính tắc của đường thẳng đều đượC.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( 2; 0; −1) , B ( 2; 3; −3) , C (1; 2; 4 ) ,

x = t

D ( −1; 2;1) ; đường thẳng thẳng 1 :  y = −1 − t ; mặt phẳng ( ) : 3x + 5y − z + 1 = 0 . Viết phương
 z = 2t

trình của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) Qua A và có 1 vectơ chỉ phương u = ( −1; 3; 5 ) .
b) Qua 2 điểm B, C .

c) Qua M0 (1; 2; 3) và song song với trục tung.

d) Qua C và song song với  1 .

e) Qua B và vuông góc với ( Oxz ) .

f) Qua D và vuông góc với ( ) .
Bài giải:
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

5


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

a) Đường thẳng d qua A ( 2; 0; −1) và có 1 vectơ chỉ phương u = ( −1; 3; 5 ) , có phương trình

x = 2 − t

.
tham số là:  y = 3t
 z = −1 + 5t

b) Đường thẳng d qua B ( 2; 3; −3) và có 1 vectơ chỉ phương BC = ( −1; −1; 7 ) , có phương

x = 2 − t

trình tham số là:  y = 3 − t .
 z = −3 + 7t


c) Đường thẳng d qua M0 (1; 2; 3)  Ox và song song với trục Ox nên nhận i = (1; 0; 0 ) làm

x = 1 + t

1 vectơ chỉ phương, có phương trình tham số:  y = 2 .
z = 3

d)Đường thẳng d đi qua điểm C (1; 2; 4 ) . Đường thẳng  1 có 1 vectơ chỉ phương là
u = (1; −1; 2 ) . Ta có: d / / 1  d có 1 vectơ chỉ phương là u = (1; −1; 2 ) . Vậy phương trình chính

tắc của đường thẳng d là:

x −1 y − 2 z − 4
.
=
=
1
−1
2

e) Đường thẳng d đi qua điểm B ( 2; 3; −3) . Mặt phẳng ( Oxz ) có 1 vectơ pháp tuyến là
j = ( 0;1; 0 ) .

Đường thẳng d vuông góc với ( Oxz ) nên nhận j = (0;1; 0) làm 1 vectơ chỉ phương. Vậy

x = 2

phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = 3 + t .
 z = −3


f)Đường thẳng d đi qua điểm D ( −1; 2;1) . Mặt phẳng ( ) có 1 vectơ pháp tuyến là
n = ( 3; 5; −1) . Đường thẳng d vuông góc với ( ) nên nhận n = ( 3; 5; −1) làm 1 vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

x + 1 y − 2 z −1
.
=
=
3
5
−1

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1;1; −1) , B ( 2; −1; 3) , C (1; 2; 2 ) ,

x = 2 + t
x + 1 y z −1

D ( −1; −2;1) ; các đường thẳng thẳng 1 :  y = −1 − t , 2 :
; các mặt phẳng
= =
2
1
1
z = t


( ) :

x + 2 y − z + 1 = 0 , (  ) : x + y + 2z + 3 = 0 . Viết phương trình của đường thẳng d trong mỗi

trường hợp sau:
a) Qua A và vuông góc với các đường thẳng 1 , AB .
b) Qua B và vuông góc với đường thẳng AC và trục Oz.
c) Qua O và song song với 2 mặt phẳng ( ) , ( Oyz ) .
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

6


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

d) Qua C , song song với (  ) và vuông góc với  2 .
e) d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) , (  ) .
Bài giải:

a) Đường thẳng d qua A (1;1; −1) . Đường thẳng  1 có 1 vectơ chỉ phương u1 = (1; −1; 1) ;

u ⊥ u1

AB = (1; −2; 4)  u; AB = ( −2; −3; −1) . Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta có: 


u
⊥
AB


x −1 y −1 z + 1
chọn u = ( 2; 3;1) . Vậy phương trình chính tắc của d là
=
=
.
2
3
1
b) Đường thẳng d qua B ( 2; −1; 3) ; AC = ( 0;1; 3) ; k = ( 0; 0;1)   AC , k  = (1; 0; 0 ) . Gọi u là 1



u ⊥ AC
vectơ chỉ phương của d . Ta có: 
 chọn u = (1; 0; 0 ) .
u
⊥
k


x = 2 + t

Vậy phương trình tham số của d là  y = −1
z = 3

c) Đường thẳng d qua O ( 0; 0; 0 ) ; n1 = (1; 2; −1) là 1 vectơ pháp tuyến của ( ) ; i = (1; 0; 0 )
là 1 vectơ pháp tuyến của ( Oyz ) ; Ta có: n1 , i  = ( 0; −1; −2 ) .
u ⊥ n1
Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta có: 
 chọn u = ( 0;1; 2 ) . Vậy phương trình

u ⊥ i

x = 0

tham số của d là  y = t .
 z = 2t

d) Đường thẳng d qua C (1; 2; 2 ) ; n2 = (1; 1; 2 ) là 1 vectơ pháp tuyến của (  ) ; u2 = ( 2; 1; 1)
là 1 vectơ chỉ phương của  2 ; Ta có: n2 , u2  = ( −1; 3; −1) .Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta

u ⊥ n2
x −1 y − 2 z − 2
có: 
 chọn u = ( −1; 3; −1) . Vậy phương trình chính tắc của d là
=
=
.
−1
3
−1
u ⊥ u2
e) Chọn điểm trên giao tuyến d :

x + 2y − z + 1 = 0
Xét hệ phương trình: 
(I) . Cho z = 0 , giải được:
x
+
y
+

2
z
+
3
=
0


 x = −5
 A ( −5; 2; 0 )  d .

y
=
2


u ⊥ n1
+ Xác định vectơ chỉ phương của d : Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của D. Ta có: 

u
⊥
n
2

 x = −5 + 5t

chọn u = n1 , n2  = ( 5; −3; −1) . Vậy phương trình tham số của d :  y = 2 − 3t .
 z = −t


– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

7


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d đi qua

x = t

A ( 2; −1;1) cắt và vuông góc với đường thẳng  :  y = −1 − t .
z = t

Bài giải:

a) Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là u = (1; −1;1) .
Gọi B = d  . Ta có: B    B(t ; −1 − t ; t ); AB = (t − 2; −t ; t − 1); u ⊥ AB  u.AB = 0  t = 1 .
Suy ra: B (1; −2; 1) . Đường thẳng d đi qua A ( 2; −1;1) và có 1 vectơ chỉ phương là AB = (1;1; 0)

x = 2 + t

nên có phương trình tham số là:  y = −1 + t .
z = 1

x − 2 y + 4 z −1
và
=

=
3
−2
2
mặt phẳng (P): 3x − 2y − 3z − 7 = 0 .Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, song song

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; 2; −4 ) và d:

với (P) và cắt đường thẳng D.
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Bước 1: Xác định điểm B = d   : AB / / mp( P) .

 x = 2 + 3t

Ta có: d :  y = −4 − 2t . Gọi B ( 2 + 3t ; −4 − 2t ;1 + 2t )  d
 z = 1 + 2t

Lúc đó: AB = ( 3t −1; −2t − 6; 2t + 5) . Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp nP = ( 3; −2; −3)

AB / / mp( P)  AB.nP = 3 ( 3t − 1) − 2 ( −2t − 6 ) − 3 ( 2t + 5) = 0  7t − 6 = 0  t =

6
7

Bước 2: Đường thẳng   AB .

 32 40 19 
 11 54 47 
Vì vậy B  ; − ;   AB =  ; − ;  .

7 7
7 11 
 7
7
Đường thẳng   AB đi qua A và có 1 vectơ chỉ phương là u = (11; −54; 47 ) nên có phương trình

 x = 3 + 11t

tham số:  y = 3 − 54t .
 z = −4 + 47t

Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình mp(Q) qua A và song song với mp(P):
Bước 2: Xác định giao điểm B của d và mp(Q),   AB .

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

8


[Chuyờn Trc nghim Toỏn 12]

HèNH HC GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Vớ d 8: (Khi A- 2007) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , vit phng trỡnh ng thng
d

vuụng

gúc

vi

mp(P),

ng

thi

ct

c

hai

ng

thng

d1 ,

d2



d



vi

x = 1 + 2t
x y 1 z + 2

d1 : =
=
; d2 : y = 1 + t ; ( P) : 7 x + y 4z = 0.
2
1
1
z = 3

Hng dn gii:
Cỏch 1:

Bư ớ c 1: Viết phư ơng trình mp( ) chứa d1 và vuông góc vớ i (P).
Bư ớ c 2: Viết phư ơng trình mp( ) chứa d2 và vuông góc vớ i (P).

d1

Bư ớ c 3: Đ ư ờng thẳng cần tìm là giao tuyến của mp( ) và mp( )
Kiểm tra sự cắt nhau. (Mối quan hệgiữa vectơ chỉphư ơng)

d2

P
P

Cỏch 2:

d
d2

Bư ớ c 1: Viết phư ơng trình mp( ) chứa d1 và vuông góc vớ i (P).
Bư ớ c 2: Xá c định giao điểm A của d2 và mp( )



d1

A

Bư ớ c 3: Đ ư ờng thẳng cần tìm đi qua A và vuông góc vớ i mp(P)
Kiểm tra sự cắt nhau. (Mối quan hệgiữa vectơ chỉphư ơng)
Cỏch 3: S dng k nng khỏi nim thuc (Tỡm ra 2 giao im M, N)

x = 2m

Ta cú: d1 : y = 1 m ; d2 :
z = 2 + m


x = 1 + 2t

y = 1 + t
z = 3


Mt phng (P) cú 1 vect phỏp tuyn l nP = ( 7; 1; 4 ) .
Gi N = d d1 , M = d d2 . Ta cú: N ( 2m;1 m; 2 + m ) d1 , M ( 1 + 2t ;1 + t ; 3) d2 .

NM = ( 2t 2m 1; t + m; 5 m) .
4t 3m 5 = 0
t = 2

Lỳc ú ta cú NM v nP cựng phng AB, nP = 0 8t 15m + 31 = 0


m = 1
5t 9m 1 = 0

N ( 2; 0; 1) , M ( 5; 1; 3) .

ng thng d NM , qua N ( 2; 0; 1) v cú 1 vect ch phng l nP = ( 7; 1; 4 ) , cú phng

x = 2 + 7t

trỡnh tham s: y = t
.
z = 1 4t

Vớ d 9: Trong khụng gian vi h ta Oxyz, vit phng trỡnh mp ( ) i qua A ( 3; 2;1) v
vuụng gúc vi :

x y 1 z
.
=
=
2
1

3
Bi gii:

Website chuyờn thi, file word cú li gii 0982.56.33.65

9


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là u = ( 2; 1; −3) .
Mặt phẳng ( ) đi qua A ( 3; −2;1) và vuông góc với  nên nhận u = ( 2; 1; −3) làm 1 vectơ pháp
tuyến, có phương trình: 2 ( x − 3) + 1( y + 2 ) − 3 ( z − 1) = 0  2x + y − 3z − 1 = 0 .
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp ( ) và mặt cầu (S) có
phương trình như sau: ( ) : x + y + z + 5 = 0, (S) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + z 2 = 25 .
2

2

a)Chứng minh: ( ) cắt (S) theo một đường tròn có tâm H .
b)Gọi I là tâm mặt cầu (S) . Viết phương trình đường thẳng IH .
Bài giải:
a)Mặt cầu (S) có tâm I ( 2; −1; 0) , bán kính R = 5 . Ta có: d( I ,( )) =

6
3

 R  ( ) cắt (S)

theo một đường tròn có tâm H .

b)Đường thẳng IH đi qua I ( 2; −1; 0) và nhận VTPT của ( ) là n = (1; 1; 1) làm vectơ chỉ

phương nên có phương trình chính tắc:

x − 2 y +1 z
=
= .
1
1
1

LOẠI 3: XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Dùng 1 trong 2 cách như trong phần lý thuyết.
Ví dụ 11: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

 x = 2 + 2t /
x = 1 + t


a) 1 :  y = 2t
;  2 :  y = 3 + 4t / .
z = 3 − t

/

 z = 5 − 2t

 x = 2 − 3t
x−3 y −4 z−5

=
=
;  2 :  y = 5 + 3t
b) 1 :
−1
1
−2
 z = 3 − 6t


 x = 2 − 2t
x −1 y − 2 z + 3

c) 1 :
=
=
;  2 :  y = −2 + t
1
3
−1
 z = 1 + 3t


 x = 1 + 3t /
 x = 2t



d) 1 :  y = −1 + 3t ;  2 :  y = −2 + 2t /
z = t
 z = 1 + 2t /


Bài giải:

a) Đường thẳng  1 đi qua điểm M (1; 0; 3) và có 1 vectơ chỉ phương a = (1; 2; −1) .
Đường thẳng  2 đi qua điểm N ( 2; 3; 5 ) và có 1 vectơ chỉ phương b = ( 2; 4; −2 ) .
Ta có:  a , b  = 0 , MN = (1; 3; 2) , a , MN  = ( 7; −3;1)  0  1 / / 2 .


b) Đường thẳng  1 đi qua điểm M ( 3; 4; 5) và có 1 vectơ chỉ phương a = ( −1;1; −2 ) .
Đường thẳng  2 đi qua điểm N ( 2; 5; 3) và có 1 vectơ chỉ phương b = ( −3; 3; −6 ) .
Ta có:  a , b  = 0 , MN = ( −1;1; −2 ) , a , MN  = 0  1   2 .


c) Đường thẳng  1 đi qua điểm M (1; 2; −3) và có 1 vectơ chỉ phương a = (1; 3; −1) .
Đường thẳng  2 đi qua điểm N ( 2; −2;1) và có 1 vectơ chỉ phương b = ( −2; 1; 3) .
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

10


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Ta có:  a , b  = (10; −1; 7 )  0 , MN = (1; −4; 4 ) ,  a , b  .MN = 35  0  1 ,  2 chéo nhau.
d)Đường thẳng  1 đi qua điểm M ( 0; −1; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương a = ( 2; 3;1) .

Đường thẳng  2 đi qua điểm N (1; −2; 1) và có 1 vectơ chỉ phương b = ( 3; 2; 2 ) .
Ta có:  a , b  = ( 4; −1; −5)  0 , MN = (1; −1;1) ,  a , b  .MN = 0  1 ,  2 cắt nhau.
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xác định vị trí tương đối của cặp đường thẳng

 x = 1 + mt

sau theo A ( 4; 2; 2 ) , B ( 0; 0; 7 ) với dm :  y = m + 2t
và dm/ :
 z = 1 − m − 3t


 x = m − 2t /

/
.
 y = mt
z = 1 − m + t /


Bài giải:

Đường thẳng dm qua điểm A (1; m;1 − m ) và có 1 vectơ chỉ phương là d2 .
Đường thẳng dm/ qua điểm B ( m; 0; 1 − m ) và có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( −2; m;1) .

(

)

Ta có: u1 , u2  = 2 + 3m; 6 − m; m2 + 4  0 do ( m2 + 4  0 m ) và AB = ( m − 1; −m; 0) .
Xét u1 , u2  .AB = ( 2 + 3m)( m −1) − m ( 6 − m) = 4m2 − 7m − 2 .

m = 2
TH 1: u1 , u2  . AB = 0  
 dm và dm/ cắt nhau.
m = − 1

4
m  2

/
TH 2: u1 , u2  . AB  0  
1  dm và dm chéo nhau.
m  − 4

x = 5 + t

Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :  y = at
và
z = 2 − t


 x = 1 + 2t /

d2 :  y = a + 4t / . Xác định a để:
 z = 2 − 2t /

a) d1 vuông góc với d2 .

b) d1 song song với d2 .

Bài giải:

Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( 1; a; −1) .
Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( 2; 4; −2 ) .

a) d1 vuông góc với d2  u1 ⊥ u2  u1 .u2 = 0  2 + 4a + 2 = 0  a = −1.
b) d1 song song với d2  u1 , u2 cùng phương  u1 , u2  = ( −2a + 4; 0; 0 ) = 0  a = 2.

 x = 1 + 2t /
x = 5 + t


Kiểm tra lại: Với a = 2 thì d1 :  y = 2t và d2 :  y = 2 + 4t / .
z = 2 − t
 z = 2 − 2t /


– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

11


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

5 = 1 + 2t /

Chọn A ( 5; 0; 2 )  d1 , thấy A  d2 (do hệ phương trình 0 = 2 + 4t / vô nghiệm)
2 = 2 − 2t /


Vậy khi a = 2 thì d1 song song với d2 .

x = 1 + t

Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 :  y = 2t
và
z = 3 − t


 x = 2 + 2t /

 2 :  y = 3 + 4t / .
 z = 5 − 2t /

a) Chứng minh  1 và  2 cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  1 và  2 .
Bài giải:
Đường thẳng  1 qua điểm A ( 1; 0; 3 ) và có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( 1; 2; −1) .
Đường thẳng  2 qua điểm B ( 2; 3; 5 ) và có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( 2; 4; −2 ) .
a) Ta có: u1 , u2  = 0 và AB = (1; 3; 2 ) .
Xét  AB, u1  = ( −7; 3; −1)  0 . Từ đó suy ra,  1 và  2 song song, tức là  1 và  2 cùng thuộc một


mặt phẳng.
b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.

n ⊥ AB
Ta có:  P
 chọn nP =  AB, u1  = ( −7; 3; −1) .



n
⊥
u
 P
1
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A ( 1; 0; 3 )  1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP = ( −7; 3; −1) .
(P): −7 ( x − 1) + 3 ( y − 0 ) − 1 ( z − 3 ) = 0  −7 x + 3 y − z + 10 = 0 .
Ví dụ 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai

 x = 2 − 2t
x − 2 y + 2 z −1

đường thẳng 1 :
và  2 :  y = −2 + t .
=
=
1
3
−1
 z = 1 + 3t

Bài giải:

x = 2 + t

Ta có: 1 :  y = −2 + 3t
z = 1 − t

Đường thẳng  1 qua điểm A ( 2; −2;1) và có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( 1; 3; −1) .

Đường thẳng  2 qua điểm A ( 2; −2;1) và có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( −2;1; 3 ) .
a) Ta có: u1 , u2  = ( 10; −1; 7 )  0 và 1   2 =  A .
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

12


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Từ đó suy ra,  1 và  2 cắt nhau.
b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.

n ⊥ u1
Ta có:  P
 chọn nP = u1 , u2  = ( 10; −1; 7 ) .
n
⊥
u
 P
2

Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A ( 2; −2;1)  1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP = ( 10; −1; 7 ) .
(P): 10 ( x − 2 ) − 1 ( y + 2 ) + 7 ( z − 1) = 0  10 x − y + 7 z − 29 = 0 .
Ví dụ 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng: 1 :

3 − x y −1 z −1
=
=

7
2
3

x = 8 + t

và  2 :  y = 5 + 2t .
z = 8 − t

a) Chứng minh  1 và  2 chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  1 và song song với  2 .
Bài giải:

Đường thẳng  1 qua điểm A ( 3;1;1) và có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( −7; 2; 3 ) .
Đường thẳng  2 qua điểm B ( 8; 5; 8 ) và có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( 1; 2; −1) .
a) Ta có: u1 , u2  = ( −8; −4; −16 )  0 và AB = ( 5; 4;7 ) .
Xét u1 , u2  .AB = −40 − 16 − 112 = −168  0 . Từ đó suy ra,  1 và  2 chéo nhau.
b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.

n ⊥ u1
Ta có:  P
 chọn nP = u1 , u2  = ( −8; −4; −16 ) .
nP ⊥ u2
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A ( 3;1;1)  1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP = ( −8; −4; −16 ) .
(P): −8 ( x − 3 ) − 4 ( y − 1) − 16 ( z − 1) = 0  2 x + y + 4 z − 11 = 0 .

x = 8 + t

Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 đường thẳng d1 :  y = 5 + 2t và
z = 8 − t



d2 :

3 − x y −1 z −1
.
=
=
7
2
3
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d1 , d2 chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O, song song với d1 và d2 .
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2 .
Bài giải:
Đường thẳng d1 qua điểm A ( 8; 5; 8 ) và có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( 1; 2; −1) .
Đường thẳng d2 qua điểm B ( 3;1;1) và có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( −7; 2; 3 ) .
a) Ta có: u1 , u2  = ( 8; 4;16 )  0 và AB = ( −5; −4; −7 ) .

Xét u1 , u2  .AB = −40 − 16 − 112 = −168  0 . Từ đó suy ra, d1 và d2 chéo nhau.
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

13


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.

n ⊥ u1
Ta có:  P
 chọn nP = u1 , u2  = ( 8; 4;16 ) .
nP ⊥ u2

Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua O ( 0; 0; 0 ) và có 1 vectơ pháp tuyến là nP = ( 8; 4;16 ) , có phương
trình:
(P): 8 ( x − 0 ) + 4 ( y − 0 ) + 16 ( z − 0 ) = 0  2 x + y + 4 z = 0 .
c) Gọi d là đường vuông góc chung của d1 và d2 , d  d1 = M , d  d2 = N .
Ta có: M  d1  M(8 + t ; 5 + 2t ; 8 − t ), N  d2  N(3 − 7t;1 + 2t;1 + 3t) ,

MN = ( −7t − t − 5; 2t − 2t − 4; 3t + t − 7 ) .

u2

d2



−7t − t − 5 + 4t − 4t − 8 − 3t − t + 7 = 0
u1 ⊥ MN
u1 .MN




49t + 7t + 35 + 4t − 4t − 8 + 9t + 3t − 21 = 0



u2 ⊥ MN
u2 .MN
−6t − 6t = 6
t = 0


 M ( 7; 3; 9 ) , N ( 3;1;1)  MN = ( −4; −2; −8 ) .
62t + 6t = −6
t = −1

N

d
M

d1

u1

Vậy đường thẳng d  MN đi qua điểm N ( 3;1;1) và có 1 vectơ chỉ phương u = ( 2;1; 4 ) nên có

x − 3 y −1 z −1
.
=
=
2
1
4
Ví dụ 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 đường thẳng:
phương trình chính tắc là d2 :

x −1 y − 2 z
x−2 y−2 z
x y z −1
x − 2 y z −1
.
=
=
, d2 :
=
=
, d3 :
= =
, d4 :
= =
1
2
−2
2
4
−4
2 1
1
2
2
−1
a) CMR: Hai đường thẳng d1 , d2 cùng nằm trong 1 mặt phẳng. Viết phương trình
d1 :

mặt phẳng đó.

b) CMR: Tồn tại một đường thẳng  cắt cả 4 đường thẳng đã cho. Viết phương trình
chính tắc của đường thẳng  .
Bài giải:

a) Đường thẳng d1 qua điểm A ( 1; 2; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( 1; 2; −2 ) .
Đường thẳng d2 qua điểm B ( 2; 2; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( 2; 4; −4 ) .

a) Ta có: u1 , u2  = 0 và AB = (1; 0; 0 ) . Xét u1 , AB = ( 0; −2; −2 )  0 . Từ đó suy ra, d1 và d2


song song, tức là d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
Gọi

nP

là

vectơ

pháp

tuyến

của

mp(P)

cần

tìm.

Ta

có:

nP ⊥ u1


nP ⊥ AB

chọn

nP = u1 , AB = ( 0; −2; −2 ) .


Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A ( 1; 2; 0 )  1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP = ( 0; −2; −2 ) .
(P): 0 ( x − 1) − 2 ( y − 2 ) − 2 ( z − 0 ) = 0  y + z − 2 = 0 .

 x = 2m
 x = 2 + 2n


b) Ta có d3 :  y = m , d4 :  y = 2n
.
z = 1 + m
z = 1 − n


– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

14


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

 x = 2m

y = m
+ Tọa độ giao điểm C của d3 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình: 
z = 1 + m
 y + z − 2 = 0

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 2m − 1 = 0  m =

(1)
(2)
(3)
(4)

1
 1 3
 C  1; ;  .
2
 2 2

 x = 2 + 2n

 y = 2n

+ Tọa độ giao điểm D của d4 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình: 
z = 1 − n
 y + z − 2 = 0

(1)
(2)
(3)
(4)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: n − 1 = 0  n = 1  D ( 4; 2; 0 ) .
Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là đường thẳng   CD .

2
Đường thẳng  qua D ( 4; 2; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương là u = CD = ( 2;1; −1) , có phương trình
3
 x = 4 + 2t

 : y = 2 + t .
 z = −t

Ví dụ 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1; −1;1) và 2 đường thẳng


4
x = − 5 − t
x = t

3



d1 :  y = −1 − 2t ; d2 :  y = − − 2t . Chứng minh A, d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
5
 z = −3t


 z = −5t


Bài giải:
+ Lập phương trình mp(P) chứa A và d1 :
Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương là u = ( 1; −2; −3 ) .
Chọn B ( 0; −1; 0 )  d1 . Ta có: AB = ( −1; 0; −1) .
Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.

n ⊥ AB
 chọn nP = u, AB = ( 2; 4; −2 ) .
Ta có:  P


n
⊥
u
 P
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A ( 1; −1;1) và có 1 vectơ pháp tuyến là nP = ( 2; 4; −2 ) .
(P): 2 ( x − 1) + 4 ( y + 1) − 2 ( z − 1) = 0  x + 2 y − z − 2 = 0. .

 4 3 
1 7 
+ Chỉ rõ d2  mp ( P ) . Ta có C  − ; − ; 0   d2  C  mp( P) và D  ; ; 5   d2  C  mp( P) .
 5 5 

5 5 
Từ đó suy ra d2  mp ( P ) .
Kết luận: Mặt phẳng (P): x + 2y − z − 2 = 0 là mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

15


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

LOẠI 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
 x = x0 + a1t

Cho đường thẳng d :  y = y0 + a2t (t  R) và mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 .
z = z + a t
0
3


Xét hệ phương trình

 x = x0 + a1t

 y = y 0 + a2 t

 z = z 0 + a3 t
 Ax + by + Cz + D = 0


 A ( x0 + a1t ) + B ( y0 + a2t ) + C ( z0 + a3t ) + D = 0 (1)

+Nếu (1) vô nghiệm thì d / /( P) .
+Nếu (1) có nghiệm duy nhất t = t0 thì d cắt ( P ) tại M ( x0 + a1t0 ; y0 + a2t0 ; z0 + a3t0 )
+Nếu (1) có vô số nghiệm thì d  ( P ) .
Chú ý: Nếu VTCP của d cùng phương với VTPT của ( P ) thì d ⊥ ( P ) .

x = t

Ví dụ 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , và 3 đường thẳng d1 :  y = −1 − 2t ;
 z = −3t

 x = −t
x + 4 y +1 z

d2 :  y = 1 − 2t ; d3 :
và mặt phẳng ( P) : x + y + z + 5 = 0 .
=
=
1
1
−2
z = t

Xét vị trí tương đối của:
a) d1 và ( P ) .

c) d 3 và ( P ) .

b) d 2 và ( P ) .
Bài giải:

x = t

 y = −1 + 2t
a)Xét hệ phương trình: 
, ta thấy hệ vô nghiệm. Suy ra d1 / /( P) .
 z = −3t
 x + y + x + 5 = 0
 x = −t
t = 3


 y = 1 − 2t
 x = −3

b) Xét hệ phương trình: 
, Suy ra d 2 cắt ( P ) tại điểm M ( −3; −5; 3 ) .
z = t
 y = −5
 x + y + x + 5 = 0
 z = 3
 x = −4 + t

 y = −1 + t
c) Xét hệ phương trình: 
, ta thấy hệ có vô số nghiệm. Suy ra d3  ( P ) .
 z = − 2t
 x + y + x + 5 = 0

Ví dụ 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2x − y + 3z − 4 = 0 và đường
thẳng  :

x +1 y + 3
=
=z.
2
4

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

16


[Chuyờn Trc nghim Toỏn 12]

HèNH HC GII TCH TRONG KHễNG GIAN

a) Xỏc nh giao im A ca t v mt phng ( ) .
b) Vit phng trỡnh ng thng d qua A nm trong mp ( ) v vuụng gúc vi .
Bi gii:

x = 1 + 2t

a) Ta cú: : y = 3 + 4t .
z = t

x = 1 + 2 t

y = 3 + 4 t
To giao im A ca v ( ) l nghim ca h phng trỡnh:
z = t
2 x y + 3 z 4 = 0
Thay (1), (2), (3) vo (4) ta cú:
2 ( 1 + 2t ) ( 3 + 4t ) + 3t 4 = 0 3t 3 = 0 t = 1 A (1;1;1)

(1)
(2)
(3)
(4)

b) Mt phng ( ) cú 1 vect phỏp tuyn l n = ( 2; 1; 3 ) .
ng thng cú 1 vect ch phng l u = ( 2; 4;1) .

u n
Gi ud l 1 vect ch phng ca D. Ta cú: d
chn ud = n , u = ( 13; 4;10 ) .
ud u
ng thng d qua A ( 1;1;1) v cú 1 vect ch phng l ud = ( 13; 4;10 ) , cú phng trỡnh:
x = 1 13t

d: y = 1 + 4t .
z = 1 + 10t

Vớ d 22: (D B D-2006) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng (P):
x y 3 z +1
=
=
;

1
2
3

4x 3y + 11z 26 = 0 v 2 ng thng d1 :

d2 :

x4 y z3
= =
1
1
2

a) Chng minh: d1 v d2 chộo nhau.
b) Vit phng trỡnh ng thng nm trờn mp(P), ng thi ct d1 v d2 .
Bi gii:

Bư ớ c 1: Xá c định giao điểm A của d1 và mp(P).
Bư ớ c 2: Xá c định giao điểm B của d2 và mp(P).
Kết luận: Đ ư ờng thẳng cần tìm là đư ờng thẳng AB.
Trỡnh by:
x = t
x = 4 + m


Ta cú: d1 : y = 3 + 2t ; d2 : y = m
z = 1 + 3t
z = 3 + 2m

+

Ta



giao

im

x = t

y = 3 + 2t

z = 1 + 3t
4 x 3 y + 11z 26 = 0

C

ca

d1

v

mp(P)

l

nghim

ca

h

phng

trỡnh:

(1)
(2)
(3)
(4)

. Thay (1), (2), (3) vo (4) ta cú: 23t 46 = 0 t = 2 C ( 2; 7; 5 ) .

Website chuyờn thi, file word cú li gii 0982.56.33.65

17


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

+ Tọa độ

và mp(P)

giao

điểm D

x = 4 + m

y = m

 z = 3 + 2m
 4 x − 3 y + 11z − 26 = 0

của

d2

là nghiệm

của hệ

phương

trình:

(1)
(2)
(3)
(4)

. Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 23m + 23 = 0  m = −1  D ( 3; −1;1) .

Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là đường thẳng   CD .
Đường thẳng  qua C ( −2; 7; 5 ) và có 1 vectơ chỉ phương là CD = ( 5; −8; −4 ) , có phương trình

 x = −2 + 5t

 :  y = 7 − 8t .
 z = 5 − 4t


LOẠI 5: HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Cho điểm A ( x A ; y A ; z A )

 x = x0 + a1t

và đường thẳng d :  y = y0 + a2t (t  R) .
z = z + a t
0
3


d
H

A

ud

Cách 1:
Gọi H là hình chiếu của A lên d . Ta c ó H  d  H ( x0 + a1t ; y0 + a2t ; z0 + a3t ) .
Tính AH ; AH ⊥ ud  ud .AH = 0  t = ?  H ?

Cách 2:

d
ud

Gọi H là hình chiếu của A lên d .
+) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và vuông góc với d
+) Khi đó tìm tọa độ điểm H thỏa H = d  ( P)

A
P

H

Ví dụ 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1; 0; 0 ) và đường thẳng

x = 2 + t

 :  y = 1 + 2t .
z = t

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  .
b)Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua đường thẳng  .
Bài giải:

a)Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là u = ( 1; 2;1) .



Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  .

(

)

(

Ta có: H    H 2 + t ;1 + 2t ; t ; AH = 1 + t ;1 + 2t ; t

)

A

3
1
1
u ⊥ AH  u.AH = 0  t = −  H  ; 0; −  .
2
2
2

A

H
u

b)Ta có: A đối xứng với A qua đường thẳng   H là trung điểm của đoạn thẳng AA

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

18


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

 3 1 + x A
2 = 2
 x A = 2

0 + y A


 0 =
  y A = 0 .Vậy A ( 2; 0; −1) .
2

 z = −1
 A
 1 0 + z A
−
=
 2
2


LOẠI 6: HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG
Cho điểm M ( xM ; y M ; zM ) và mặt phẳng ( P) : Ax + By + Cz + D = 0 .

d
n( P )

M

Gọi H là hình chiếu của A lên mp( P) .
+)Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với mp( P) .

H

P

+)Khi đó tìm tọa độ điểm H thỏa H = d  ( P) .

Ví dụ 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1; 4; 2 ) và mặt phẳng

( P) : x + y + z − 1 = 0 .
a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( P) .
b)Tìm tọa độ điểm M  đối xứng với M qua mặt phẳng ( P) .
Bài giải:
a) Mặt phẳng ( P) có 1 vectơ pháp tuyến là n = ( 1;1;1) .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( P) .
+) Đường thẳng d qua M ( 1; 4; 2 ) và vuông góc với ( P) nhận n = ( 1;1;1) làm vectơ chỉ phương

x = 1 + t

nên có phương trình  y = 4 + t .
z = 2 + t


d
n( P )

M

+) H  d  H ( 1 + t ; 4 + t ; 2 + t ) ;

H

P

M

H  ( P)  1 + t + 4 + t + 2 + t − 1 = 0  t = −2 .
Vậy H ( −1; 2; 0 )

b)Ta có: M  đối xứng với M qua ( P)  H là trung điểm của đoạn thẳng MM .
Áp dụng công thức tọa độ trung điểm  M  ( −3; 0; −2 ) .
Ví dụ 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( P) : x + y − z + 5 = 0 và mặt cầu

(S) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 2 x − 10 = 0 .
a) Chứng minh mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C ) .
b) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C ) .
Bài giải:

(S)

a) Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; −2;1) , bán kính R = 4 .

R

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65r
(C )

I
H

19


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

(

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

)

d I ; ( P ) = 3  R  ( P ) cắt (S) theo một đường tròn (C ) .
b) Gọi H , r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C ) .

(

)

+) Áp ụng định lý Pitago ta được r = R2 − d I , ( P )  = 13 .
2

+) Tìm tọa độ tâm H của đường tròn (C ) .
Phân tích: Ta thấy H là hình chiếu vuông góc điểm I lên mặt phẳng ( P ) .

Trình bày:
Đường thẳng IH đi qua I ( 1; −2;1) và nhận VTPT của ( P ) là n = ( 1;1; −1) làm vectơ chỉ

x = 1 + t

phương nên có phương trình tham số là:  y = −2 + t .
z = 1 − t


H  IH  H ( 1 + t ; −2 + t ;1 − t ) ; H  ( P)  1 + t − 2 + t − 1 + t + 5 = 0  t = −1 . Vậy H ( 0; −3; 2 ) .

Ví dụ 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( P) : x + y − z − 1 = 0 và mặt cầu

(S) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 2 x − 10 = 0 .
a) Chứng minh mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
b) Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng ( P) và mặt cầu (S) .
Bài giải:
a) Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; −2;1) , bán kính R = 4 .

(

)

Ta có: d I ; ( P ) = 3 = R  ( ) cắt (S) theo một đường tròn (C ) .

(S)

I

b) Gọi H tiếp điểm của mặt phẳng ( P) và mặt cầu (S) .

Phân tích: Ta thấy H là hình chiếu vuông góc điểm I lên mặt phẳng ( P ) .
H
P
Trình bày:
Đường thẳng IH đi qua I ( 1; −2;1) và nhận VTPT của ( P ) là n = ( 1;1; −1) làm vectơ chỉ phương

x = 1 + t

nên có phương trình tham số là:  y = −2 + t .
z = 1 − t


H  IH  H ( 1 + t ; −2 + t ;1 − t ) ; H  ( P)  1 + t − 2 + t − 1 + t − 1 = 0  t = 1 . Vậy H ( 2; −1; 0 ) .

Ví dụ 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết các phương trình hình chiếu vuông góc của
x −1 y + 2
đường thẳng d :
=
= z − 3 trên mỗi mặt phẳng sau: mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz) và
2
3
( ) : x + y + z − 7 = 0 .
Bài giải:

 x = 1 + 2t

Ta có: d :  y = −2 + 3t
z = 3 + t

* Trên mặt phẳng (Oxy):

+ Ta chọn A ( 1; −2; 3 )  d , B ( 3;1; 4 )  d .
+ Hình chiếu vuông góc của A trên mp(Oxy) là A1 ( 1; −2; 0 ) .
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

20


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Hình chiếu vuông góc của B trên mp(Oxy) là B1 ( 3;1; 0 ) .
Lúc đó, hình chiếu d/ của d trên mp(Oxy) là đường thẳng A1 B1 .

Đường thẳng d/ qua A1 ( 1; −2; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương là A1B1 = ( 2; 3; 0 ) , có phương trình:

 x = 1 + 2t

d :  y = −2 + 3t .
z = 0

/

Hoàn toàn tương tự, độc giả tự giải quyết yêu cầu đối với mp(Oxz), mp(Oyz).
* Trên mặt phẳng ( ) : x + y + z − 7 = 0 :
- Ta chọn A ( 1; −2; 3 )  d . (Sử dụng thuật toán hình chiếu vuông góc điểm trên mặt phẳng)
+ Đường thẳng d đi qua A ( 1; −2; 3 ) , vuông góc với ( ) nên d nhận n = ( 1;1;1) làm 1 vectơ chỉ

x = 1 + t


phương, có phương trình d :  y = −2 + t .
z = 3 + t

x = 1 + t

 y = −2 + t
/
+ Tọa độ hình chiếu A của A là nghiệm của hệ phương trình: 
z = 3 + t
 x + y + z − 7 = 0

(1)
(2)
(3)
(4)

5
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 1 + t + ( −2 + t ) + 3 + t − 7 = 0  3t − 5 = 0  t = .
3
 8 1 14 
 A/  ; − ;  .
3 3 3 

- Để ý rằng, d không song song với mp ( ) nên tọa độ giao điểm B / là nghiệm của hệ phương
 x = 1 + 2t

 y = −2 + 3t
trình: 
z = 3 + t

 x + y + z − 7 = 0

(1)
(2)
(3)
(4)

5
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 1 + 2t + ( −2 + 3t ) + 3 + t − 7 = 0  6t − 5 = 0  t = .
6
 8 1 23 
 B/  ; ;  .
3 2 6 

Lúc đó, hình chiếu d/ của d trên mp ( ) là đường thẳng A / B / .

 5 5
 8 1 14 
Đường thẳng d/ qua A/  ; − ;  và có 1 vectơ chỉ phương là A / B/ =  0; ; −  , có phương
 6 6
3 3 3 

8
x = 3

1 5
/ 
trình d :  y = − + t .
3 6


14 5

z = 3 − 6 t


– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

21


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Nhận xét: Trong cách giải trên, chúng tôi lấy thêm giao điểm (trong trường hợp cắt nhau) của d và ( )
cho nhanh gọn, còn nếu thông thường (và dễ hiểu) thì chọn 2 điểm và nếu như vậy thì bài giải tương đối
dài dòng! Thuật toán như sau:
+ Xác định A’ là hình chiếu của A trên ( ) .

B

+ Xác định B’ là hình chiếu của B trên ( ) .

A
d

+ Đường thẳng d/  A/ B/
d'


A'

B'

Ví dụ 28: (HVBCVT-2000) (Bài toán hình chiếu theo phương bất kì)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : x + y + z + 3 = 0 và hai đường thẳng:
1 :

x −7 y −3 z −9
x − 3 y −1 z −1
và 2 :
=
=
=
=
1
2
−1
−7
2
3

Viết phương trình hình chiếu của  2 theo phương  1 lên mặt phẳng ( ) .
Bài giải:
Phân tích: Thực hiện hoàn toàn như bài tập trên, chỉ khác là dựng đường thẳng d song song với  1 mà
thôi!

x = 3 − 7t
x = 7 + t



Ta có: 1 :  y = 1 + 2t và  2 :  y = 3 + 2t
 z = 1 + 3t
z = 9 − t


+ Chọn A ( 7; 3; 9 )   2 , B ( 5; −1;11)   2 .
- Đường thẳng d đi qua A ( 7; 3; 9 ) , song song với  1 nên d nhận u1 = ( −7; 2; 3 ) làm 1 vectơ chỉ

 x = 7 − 7t

phương, có phương trình d :  y = 3 + 2t .
 z = 9 + 3t

x = 7 − 7t

 y = 3 + 2t
- Tọa độ hình chiếu A / của A là nghiệm của hệ phương trình: 
 z = 9 + 3t
 x + y + z + 3 = 0

(1)
(2)
(3)
(4)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 7 − 7t + ( 3 + 2t ) + 9 + 3t + 3 = 0  −2t + 22 = 0  t = 11.
 A / ( −70; 25; 42 ) .

- Đường thẳng d đi qua B ( 5; −1;11) , song song với  1 nên d nhận u1 = ( −7; 2; 3 ) làm 1 vectơ chỉ

x = 5 − 7t

phương, có phương trình d :  y = −1 + 2t .
 z = 11 + 3t


– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

22


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

x = 5 − 7t

 y = −1 + 2t
/
- Tọa độ hình chiếu A của A là nghiệm của hệ phương trình: 
 z = 11 + 3t
 x + y + z + 3 = 0

(1)
(2)
(3)
(4)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5 − 7t + ( −1 + 2t ) + 11 + 3t + 3 = 0  −2t + 18 = 0  t = 9.
 B/ ( −58;17; 38 ) .

Lúc đó, hình chiếu d/ của  2 trên mp ( ) là đường thẳng A / B / .
Đường thẳng d/ qua A / ( −70; 25; 42 ) và có 1 vectơ chỉ phương là A/ B/ = ( 12; −8; −4 ) , có phương

 x = −70 + 12t

trình d :  y = 25 − 8t .
 z = 42 − 4t

/

LOẠI 7: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. 
 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Cho điểm A và đường thẳng 
Ta có:

A

( A   ) đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u .

u, AM 


d ( A;  ) =
u

M

u

d

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho 2 đường thẳng chéo nhau d , d .
+) d đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u .
+) d đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u .

M
u

Ta có:

d ( d; d ) =

u

M

u, u .MM
u, u

 Đặc biệt: Nếu  / /  ' thì d ( ;  ' ) = d ( A;  ' )

d

; ( A  ) .

Ví dụ 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 3;1; 2 ) hai đường thẳng:

x = 1 − t
 x = 1 + t


d :  y = 2 + 2t và d :  y = 3 − 2t
 z = 3t
z = 1


a) Chứng minh 2 đường thẳng d và d chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d .
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d .
Bài giải:
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

23


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

a)Đường thẳng d đi qua điểm M ( 1; 2; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương u ( −1; 2; 3 ) .
Đường thẳng d đi qua điểm M  ( 1; 3;1) và có 1 vectơ chỉ phương u = ( 1; −2; 0 ) .
u, u  = ( 6; 3; 0 )  0 ; MM = ( 0;1;1) ; u, u .MM = 3  0 .

Suy ra: d và d chéo nhau.
b) d ( d; d ) =

u, u .MM
5
.
=
5
u, u

u, AM 
122
427


c)Ta có: AM = ( −2;1; −2 ) ; u, AM  = ( −7; −8; 3 )  d ( A; d ) =
=
=
.


14
u
14
Ví dụ 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng d , d và mặt cầu (S) có

x = 1 − t
 x = 1 + 2t
20


phương trình d :  y = 2 + 2t ; d :  y = 1 − 2t và (S) :( x − 1)2 + y 2 + z 2 =

.
9
 z = 2t
 z = t


a) Chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm H . Tìm tọa độ
điểm H .
b) Chứng minh đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt A, B . Tính độ dài
đoạn AB và tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB .
Bài giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M ( 1; 2; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương u ( −1; 2; 2 ) .
Đường thẳng d đi qua điểm M  ( 1;1; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương u = ( 2; −2;1) .
Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; 0; 0 ) và bán kính R =

2 5
.
3

(S)

20 2 5
a) +) IM = ( 0; 2; 0 ) ; u, IM  = ( −4; 0; −2 )  d ( I ; d ) =
=
= R.


3
3
Suy ra d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm H .

I
R

+) H  d  H (1 − t; 2 + 2t; 2t ) ; IH = ( −t; 2 + 2t; 2t ) .

H

d

 4 10 8 
4
Ta có: u ⊥ IH  u.IH = 0  t = − . Vậy H  ; ; −  .
9
9
9 9

5
b) +) IM = ( 0;1; 0 ) ; u, IM  = ( −1; 0; 2 )  d ( I ; d ) =
 R.


3
Suy ra d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm A, B .
2 15
3
+)Gọi K là trung điểm của đoạn AB  IK ⊥ d .
K  d  K (1 + 2t;1 − 2t; t) ; IK = ( 2t;1 − 2t; t) .
AB = 2 AK = 2 R2 − IK 2 =

Ta có: u ⊥ IK  u.IK = 0  t =

(S)

I

d

R
A

K

B

 13 5 2 
2
. Vậy K  ; ;  .
9
 9 9 9

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

24


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

LOẠI 8: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
 Góc giữa hai đường thẳng:

u

d

d1

Cho 2 đường thẳng d , d có các vectơ chỉ phương lần lượt
là u = ( a; b; c ) , u = ( a; b; c ) .

d1
a.a + b.b + c.c

Ta có: cos ( d; d ' ) = cos ( u, u ) =

a + b + c . a + b + c
2

2

2

2

2

, 0  ( d; d ' )  900

2

d

u

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u = ( a; b; c ) .

d

Mặt phẳng ( P ) có 1 vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C )

(

)

Ta có: sin d; ( P ) = cos ( u, n ) =

n

a.A + b.B + c.C
a +b +c . A + B +C
2

2

2

2

2

(

)

, 0  d; ( P )  900 .

2

u

P

Ví dụ 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng d , d và mặt phẳng ( P ) có

x = 1 − t
 x = 1 + 2t


phương trình d :  y = 2 + t ; d :  y = 1 − t và ( P) :2x + 3y + z − 4 = 0
z = t
 z = t


a) Tính góc giữa hai đường thẳng d , d .
b) Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) .
Bài giải:

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u ( −1;1;1) .
Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u = ( 2; −1;1) .
Mặt phẳng ( P ) có 1 vectơ pháp tuyến n = ( 2; 3;1) .
a) cos ( d; d ' ) = cos ( u, u ) =

(

)

b) sin d; ( P ) = cos ( u, n) =

−1.2 + 1.( −1) + 1.1
( −1)2 + 12 + 12 . 2 2 + ( −1)2 + 12

−2 + 3 + 1
3. 14

=

(

=

2
 ( d; d ' )  610 52 .
3

)

42

 d; ( P )  17 0 59 .
21

Ví dụ 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng d , d và mặt phẳng ( P ) có

x = 1
x = 1 + t


phương trình d :  y = 2 + t ; d :  y = 1 + 2t . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm
z = t


 z = 2t
A ( 3; 2; 2 ) , vuông góc với đường thẳng d và tạo với đường thẳng d một góc 600 .

Bài giải:

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u = ( 1; −1;1) .

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

25