BẤT ĐĂNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH và bất PHƯƠNG TRÌNH QUY về bậc HAI (lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải) file word

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
➢ DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN
TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp giải
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta
cần khử dấu GTTĐ. Sau đây là một số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ
+ Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
+ Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất của dấu giá trị tuyệt đối.
*Lưu ý: Sau đây là một số loại toán phương trình, bất phương trình cơ bản có thể thức
hiện bằng phép biến đổi tương đương.
ìï g( x) ³ 0
ïï
• f ( x) = g( x) Û ïí éf ( x) = g( x)
ïï ê
ïïî êëf ( x) = - g( x)
éf ( x) = g( x)
• f ( x) = g( x) Û ê
êf ( x) = - g( x)
ë
ìï g( x) > 0
•
f ( x) < g( x) Û ïí
ïïî - g( x) < f ( x) < g( x)

éìï g( x) < 0
êïí
êï f ( x) có nghĩa

êîï
ê
•
f ( x) > g( x) Û êìïï g( x) ³ 0
êïï
êí éf ( x) < - g( x)
êïï ê
êï êëf ( x) > g( x)
ëïî
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) 2 x2 - 3x - 1 = - x 2 + 2 x + 1
c) x2 - 5x + 4 - x + 1 = x 2 + x

b) x2 - 5x + 4 = x3 - 3x + 4
d) x2 - 3x + 1 + x - 1 = 12 (x - 3)
Lời giải:

ìï - x 2 + 2 x + 1 ³ 0
ïï
a) Ta có phương trình Û ïí é2 x 2 - 3x - 1 = - x 2 + 2 x + 1 Û
ïï ê
ïï êê2 x 2 - 3x - 1 = - (- x 2 + 2 x + 1)
îë

ìï x 2 - 2x - 1 £ 0
ïï
ï é3x 2 - 5x - 2 = 0
íê
ïï
ïï êêx 2 - x = 0

îë

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 1


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
ỡù 1 ùù
ùù
ùù
ù
ùớ
ùù
ùù
ùù
ùù
ùợ

2 Ê x Ê 1+
ộx = 2
ờ
ờ
ờx = - 1
ờ
3
ờ
ờx = 0
ờ
ờx = 1
ở

2

ộx =
ờ
ờ
ờx =
ờ
ờ
ờx =
ờ
ờx =
ở

2
1
3

0
1

ỡù
1ỹ
ù
Vy nghim ca phng trỡnh l x ẻ ùớ 0;1; 2; - ùý
ùùợ
3 ùùỵ
b) Vi 1 Ê x Ê 4 ị x2 - 5x + 4 0 ta cú
Phng trỡnh - (x2 - 5x + 4) = x3 - 3x + 4 x3 + x2 - 8x + 8 = 0
p dng BT cụsi ta cú x 3 + 4 + 2 3 3 8 x 3 = 6 x , x 2 + 2 2 2 x

(

)

Suy ra x3 + x2 - 8x + 8 6x + 2 2x - 8x = 2 2 - 2 x > 0
Do ú phng trỡnh vụ nghim.

ộx > 4
Vi ờ
ị x2 - 5x + 4 > 0 ta cú
ờx < 1
ở
Phng trỡnh x2 - 5x + 4 = x3 - 3x + 4

x3 - x2 + 2x = 0 x = 0 (tha món)
Vy nghim ca phng trỡnh l x = 0
c) Bng xột du

x
x+ 1
2
x - 5x + 4

- Ơ

+

- 1
0
0

+
+

1
0
0

+

-

4
|
0

+Ơ

+
+

T ú ta cú cỏc trng hp sau
Vi x Ê - 1 , ta cú phng trỡnh (x2 - 5x + 4)+ (x + 1) = x 2 + x x = 1 (loi)

Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii 2


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
• Với - 1 < x £ 1 , ta có phương trình Û (x2 - 5x + 4)- (x + 1) = x2 + x
x=

3
(thỏa mãn)
7

• Với 1 < x £ 4 , ta có phương trình - (x2 - 5x + 4)- (x + 1) = x 2 + x

Û 2x2 - 3x + 5 = 0 phương trình này vô nghiệm.
• Với x > 4 , ta có phương trình Û x2 - 5x + 4 - (x + 1) = x2 + x Û x =

Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x =

3
(loại)
7

3
.
7

ìï
x³ 3
d) Ta có phương trình ïí 2
ïï x - 3x + 1 + x - 1 = 12 (x - 3)
ïî
ìï
x³ 3
Û ïí 2
Û
ïï x - 3x + 1 + x - 1 = 12 (x - 3)

î

ìï
x³ 3
ïí
2
ïïî x - 14 x + 36 = 0

ìï
x³ 3
Û ïí
Û x = 7 ± 13
ïï x = 7 ± 13
î
Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 ±

13 .

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a) x2 - x - 1 ³ x - 1

b) - x2 + 3x + 2 < x2 - 3x + 2

c) 3x2 - 2 + 3 - 2 x2 £ 6 (x2 - 2)

d) 2x2 - 5x + 3 - x - 1 > x - 2 .
Lời giải:

a) Với x < 1 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x < 1
Với x ³ 1 ta có bất phương trình tương đương với

ìï
x³ 1
ïï
ïí éx 2 - x - 1 ³ x - 1 Û
ïï ê 2
ïï êêëx - x - 1 £ 1 - x
î

ìï
x³ 1
ïï
ïí éx 2 - 2 x ³ 0
ïï ê 2
ïï êêë x - 2 £ 0
î

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 3


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ìï
ïï
ïï é
Û ïí êê
ïï ê
ïï ê
ïïî êë-

x³ 1

x³ 2
x£ 0
2 £ x£

ìï x ³ 1
ïï
éx ³ 2
Û íï éê x ³ 2 Û êê
ïï ê
êë1 £ x £
ïï êëx £ 2
î
2

2

Vậy nghiệm của bất phương trình là x Î (- ¥ ; 2] È [2; + ¥ )
b) Với x2 - 3x + 2 < 0 Û 1 < x < 2 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra bất phương trình vô
nghiệm

éx ³ 2
Với ta có x2 - 3x + 2 ³ 0 Û ê
êx £ 1
ë
Bất phương trình tương đương với - (x2 - 3x + 2)< - x2 + 3x + 2 < x2 - 3x + 2

éx > 3
Û 2 x2 - 6 x > 0 Û ê
êx < 0
ë

éx ³ 2
Đối chiếu với điều kiện ê
suy ra nghiệm bất phương trình là
êx £ 1
ë

éx > 3
ê
êx < 0
ë

Vậy bất phương trình có nghiệm x Î (- ¥ ; 0) È (3; + ¥ ) .
c) Nếu x2 - 2 < 0 thì VT ³ 0, VP < 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm

ìï
x2 - 2 ³ 0
ï
Do đó bất phương trình Û í 2
ïï 3x - 2 + 2 x2 - 3 £ 6 (x2 - 2)
ïî
ìï
x2 ³ 2
ï
Û í 2
Û
ïï 3x - 2 + 2 x2 - 3 £ 6 (x2 - 2)
ïî

ìï x2 ³ 2 é x ³ 7

ïí
Û ê
ïï x2 ³ 7 êêx £ - 7
î
ë

Vậy nghiệm của bất phương trình là x Î (- ¥ ; -

7] È [ 7; + ¥ )

d) 2x2 - 5x + 3 - x - 1 > x - 2
Với x < 2 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x < 2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 4


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Với x ³ 2 ta có 2 x 2 - 5x + 3 = (x - 1)(2 x - 3)> 0 suy ra bất phương trình tương đương
với

2 x2 - 5x + 3 - (x - 1) > x - 2 Û 2 x2 - 6 x + 4 > x - 2

Û 2x2 - 6x + 4 > x - 2 (vì x ³ 2 Þ 2 x 2 - 6 x + 4 = (x - 1)(2 x - 4) ³ 0 )
éx > 2
ê
Û 2x - 7 x + 6 > 0 Û ê
êx < 3
êë
2
Đối chiếu với điều kiện x ³ 2 ta có nghiệm bất phương trình là x > 2

Vậy bất phương trình có nghiệm là x Î ¡ \{2}.
2

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

- x2 - x + 6 = 4x + m .
Lời giải:
Ta có - x2 - x + 6 = 4x + m Û - x 2 - x + 6 - 4x = m
Xét hàm số f (x) = - x2 - x + 6 - 4 x
ìï - x 2 - 5 x + 6 khi x Î é- 3; 2ù
ë
û
Ta có f (x) = ïí 2
ïï x - 3 x - 6 khi x Î (- ¥ ; - 3)È (2; + ¥
î

)

Bảng biến thiên

x

f (x)

- ¥

- 3

-

5
2

3
2

2

+¥
+¥

+¥

99
4
12
- 4

Từ bảng biến thiên ta có
Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số f cắt
đường thẳng y = m tại bốn điểm phân biệt Û 12 < m <

99
.
4

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 5


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

99
là giá trị cần tìm.
4
Nhận xét: Nghiệm của phương trình f (x) = g (m) là hoành độ giao điểm của đồ thị
Vậy 12 < m <

hàm số y = f (x) và đường thẳng y = g (m) . Từ đó suy ra
• Phương trình f (x) = g (m) có nghiệm Û đường thẳng y = g (m) cắt đồ thị hàm số
y = f (x)

• Số nghiệm phương trình f (x) = g (m) Û số giao điểm của đường thẳng y = g (m) và
đồ thị hàm số y = f (x) .
Do đó khi gặp bài toán liên quan đến phương trình f (x , m) = 0 mà ta có thể cô lập được

m thì ta sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải.
Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

x 2 - 3 x + 2 ³ 3 x 2 + 5 x + 3m 2 + 5m .
Lời giải:
Bất phương trình Û x2 - 3x + 2 - 3x2 - 5x ³ 3m2 + 5m
Xét hàm số f (x) = x2 - 3x + 2 - 3x2 - 5x

ìï - 2 x 2 - 8 x + 2 khi x Î (- ;1] È [2; + )
Ta có f (x) = ïí
ïï - 4 x 2 - 2 x - 2 khi x Î (1; 2)
î
Bảng biến thiên

x

f (x)

- ¥

- 2

-

1
4

1

2

+¥

10

- 8
- 22

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 6


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

- ¥

- ¥

Từ đó ta có: max f (x) = f (- 2) = 10
Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm Û 10 ³ 3m2 + 5m

Û 3m2 + 5m - 10 £ 0 Û

Vậy

- 5-

145
6

£ m£

- 5-

145
6

£ m£

- 5 + 145
6

- 5 + 145
là giá trị cần tìm.
6

Nhận xét . Cho hàm số y = f (x) xác định trên D

• Bất phương trình f (x) ³ k ( f (x) £ k ) có nghiệm trên D Û max f (x) ³ k ( min f (x)£ k )
D

D

với điều kiện tồn tại max f (x) ( min f (x)).
D

D

• Bất phương trình f (x) ³ k ( f (x) £ k ) nghiệm đúng với x  D Û min f (x)³ k
D

( max f (x) £ k ) với điều kiện tồn tại max f (x) ( min f (x)).
D

D

D

Loại 2: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 5: Giải các phương trình và bất phương trình sau
a) 3 (x - 4 x)- x - 2 > 12
2

(x
b)

2

2

+ 1)
x

2

£ 3 x+

1
- 2
x

c) x4 - 2 x2 + 4 x - (2 x + 5) x2 - 1 + 7 = 0
Lời giải
a) Đặt t = x - 2 , t ³ 0 Þ t 2 = x 2 - 4 x + 4
Bất phương trình trở thành 3 (t 2 - 4)- t > 12
ét> 3
ê
Û 3t - t - 24 > 0 Û ê
êt < - 8
êë
3
2

Kết hợp điều kiện t ³ 0 ta có t > 3 suy ra

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 7

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
é x- 2 > 3
éx> 5
x- 2 > 3 Û ê
Û ê
êx - 2 < - 3 êx < - 1
ë
ë
Vậy bất phương trình có nghiệm là x Î (- ¥ ; - 1)È (5; + ¥ ).
b) ĐKXĐ: x ¹ 0
Bất phương trình Û x 2 +
Đặt t = x +

1
1
+ 4£ 3 x+
2
x
x

1
1
Þ t 2 = x2 + 2 + 2
x
x

Ta có t = x +

1
1

1
= x+
³ 2 x . = 2Þ t³ 2
x
x
x

Bất phương trình trở thành t 2 + 2 £ 3t
Û t 2 - 3t + 2 £ 0 Û 1 £ t £ 2
Kết hợp với t ³ 2 suy ra t = 2
é x2 + 1 = 2x
1
Û x = ± 1 (thỏa mãn)
Do đó 2 = x + Þ 2 x = x 2 + 1 Û êê 2
x
êëx + 1 = - 2 x
Vậy bất phương trình có nghiệm là x = ± 1.
2

c) Phương trình Û (x2 - 1) - (2 x + 5) x2 - 1 + 4 x + 6 = 0
Đặt t = x 2 - 1 , t ³ 0
Phương trình trở thành t 2 - (2 x + 5)t + 4 x + 6 = 0

ét = 2 x + 3
Û (t - 2 x - 3)(t - 2) = 0 Û ê
ê t= 2
ë

ìï
2x + 3 ³ 0

ïï
2
2
ï
Với t = 2x + 3 ta có 2 x + 3 = x - 1 Û í x - 1 = 2 x + 3
ïï
ïïî x 2 - 1 = - 2 x - 3
ìï 2 x + 3 ³ 0
ìï
ïï
ï x³ - 3
ï
2
ï
Û í éx - 2 x - 4 = 0 Û í
2 Û x = 1± 5
ïï ê 2
ïï
ïï êêëx + 2 x + 2 = 0 ïïî x = 1 ± 5
î
é x2 - 1 = 2
2
Û x2 = 3 Û x = ± 3
Với t = 2 ta có 2 = x - 1 Û êê 2
êëx - 1 = - 2

{

Vậy phương trình có nghiệm là x Î -

3;1-

}

5;1 + 5; 3 .

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x2 - 2 x + m = x - 1 có nghiệm.

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 8


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
Li gii:
Phng trỡnh tng ng vi
2
2
2
ỡù 2
ỡù 2
ùù (x - 2 x + m) = (x - 1)
ùù (x - 2 x) + 2m (x 2 - 2 x)+ m 2 = x 2 - 2 x + 1
ớ
ớ
ùù
ùù
x

1
x 1
ùợ

ùợ
2
ỡù 2
ùù (x - 2 x) + (2 m - 1)(x 2 - 2 x)+ m 2 - 1 = 0 (*)
ớ
ùù
x 1
ùợ
2

t t = x2 - 2x , vỡ x 1 ị t = (x - 1) - 1 - 1
Phng trỡnh (*) tr thnh t 2 - (2m - 1)t + m2 - 1 = 0 (**)
Phng trỡnh ban u cú nghim khi v ch khi phng trỡnh (**) cú nghim t - 1

th hm s f (t ) = t 2 - (2m - 1)t + m2 - 1 trờn [ - 1; + Ơ ) ct trc honh. Ta cú

-

b
2m - 1
=
2a
2

2m - 1
1
ta cú
> - 1 m> 2
2
Bng bin thiờn

+ TH1: Nu

x

- Ơ

- 1

2m- 1
2

+Ơ

+Ơ

f (- 1)

f (x)

ổ2m - 1ữ
ử
f ỗỗ
ữ
ỗố 2 ữ
ứ

Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii 9


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm

æ2m - 1÷
ö
Û f çç
£ 0Û
÷
çè 2 ÷
ø

2

æ
ö
æ2m - 1÷
ö
5
çç 2m - 1÷
çç
2
m
1
+ m2 - 1 £ 0 Û m <
÷
÷
(
)
÷
çè 2 ÷
ç

4
ø
è 2 ø
1
1
5
Kết hợp với điều kiện m > suy ra - < m < thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
2
4
2m - 1
1
+ TH2: Nếu
phương trình (**) trở thành
= - 1Û m= 2
2
- 2+ 7
3
- 2± 7
1
có t =
thảo mãn yêu cầu bài
t 2 + 2t - = 0 Û t =
> - 1 suy ra m = 4
2
2
2
toán
2m - 1
1

+ TH3: Nếu
ta có
< - 1Û m< 2
2
Bảng biến thiên

x

- ¥

+¥

- 1

+¥

f (x)

f (- 1)

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm Û f (- 1) £ 0
Û 1 + 2m - 1 + m2 - 1 £ 0 Û m2 + 2 m - 1 £ 0 Û - 1 - 2 £ m £ - 1 + 2
1
1
Kết hợp với điều kiện m < suy ra - 1 - 2 £ m < thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
2
5
Vậy - 1 - 2 £ m < là giá trị cần tìm.
4

Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình x (x - 2)- m x - 1 + 2 > 0 nghiệm đúng với mọi

xÎ ¡ .
Lời giải:
2

Bất phương trình tương đương với (x - 1) - m x - 1 + 1 > 0

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 10


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Với x = 1 ta có bất phương trình luôn đúng với mọi m
Với x ¹ 1 . Đặt t = x - 1 Þ t > 0

t2 + 1
> m (*)
t
Suy ra bất phương trình ban đầu nghiệm đúng với mọi x ¹ 1 khi và chỉ khi bất phương
t2 + 1
trình (*) nghiệm đúng với mọi t > 0 Û min
> m
t> 0
t
t 2 + 1 2t
Ta có
³
= 2 , đẳng thức xảy ra Û t = 1
t
t

t2 + 1
Suy ra min
= 2 , do đó m < 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán
t> 0
t
Vậy m < 2 là giá trị cần tìm.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.113: Giải các phương trình sau
a) 3 x - 2 = x 2 + 2 x + 3
b) |2x2 - 7 x + 2|= x + 2
Bất phương trình trở thành t 2 - mt + 1 > 0 Û

c) x2 - 3x + 2 - x + 2 = x2 - 3x

d)

2x
1
1
=
+
x + 1 x + 1 x- 1
Lời giải:

Bài 4.113: a) Ta thấy x2 + 2x + 3 > 0 " x nên phương trình đã cho
éx 2 + 2 x + 3 = 3x - 2
Û êê 2
Û
x
+

2
x
+
3
=
3
x
+
2
êë

éx 2 - x + 5 = 0
- 5 ± 21
ê
.
êx 2 + 5 x + 1 = 0 Û x =
2
êë

ìï
x+ 2³ 0
ïï
b) Phương trình Û ïí éê2 x 2 - 7 x + 2 = x + 2 Û
ïï
ïï êêë2 x 2 - 7 x + 2 = - x - 2
î

ìï
x³ - 2
ïï

ïí é2 x 2 - 8 x = 0
ïï ê
ïï êêë2 x 2 - 6 x + 4 = 0
î

Phương trình đã cho có bốn nghiệm x = 0; x = 1; x = 2; x = 4 .
c) x = - 4, x = 0
d) ĐKXĐ: x ¹ ± 1 . Với ĐK đó:
PT Û

2x
2x
2x
2x
1
= 2
Û
=
.
x+ 1 x - 1
x + 1 x + 1 x- 1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 11


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
ỡù 2 x ổ
ỡù 2 x ổ
ử
ử

ùù
ùù
ỗỗ1 + 1 ữ
ỗ1 - 1 ữ
=
0
ữ
ữ
ỗ
ữ= 0
ùù x - 1 ỗố
ùù x - 1 ỗố x - 1ứữ
x - 1ứ
ớ
hoc ớ
ùù 2 x
ùù 2 x
ùù
ùù
<0
0
ùợ x + 1
ùợ x + 1
Gii ra ta cú nghim ca phng trỡnh l x = 0 v x = 2 .

Bi 4.114: Gii cỏc bt phng trỡnh sau
a) x2 - 5x + 4 > x - 2

b) x2 - x - 6 < x

c) x - 3 x - 1 > x + 2

d) 2 x - 1 + 3 x - 2 Ê x + 3

e) x 3 -

1
1
Ê 3 x3
x
x
Li gii:

Bi 4.114: a) * Nu x - 2 < 0 x < 2 ị bpt luụn ỳng.
ộx 2 - 5 x + 4 > x - 2
* Nu x 2 ị bpt ờờ 2
ờởx - 5 x + 4 < - x + 2

ộx < 3 - 3 V x > 3 +
ộx 2 - 6 x + 6 > 0
ờ
ờ2
ờờ
ờở2 - 2 < x < 2 + 2
ờởx - 4 x + 2 < 0
Kt hp vi x 2 ta cú: 2 Ê x < 2 +

3

.

2 V x> 3+

ộ2 Ê x < 2 +
Vy nghim ca bt phng trỡnh : ờờ
ờởx > 3 + 3
ỡù x > 0

b) Bt phng trỡnh ùớ
ùù - x < x 2 - x - 6 < x
ợ


6 < x < 1+

3.

2

.

ỡù x > 0
ù
ùớù x 2 - 2 x - 6 < 0
ùù 2
ùùợ x - 6 > 0

7.

Vy nghim bt phng trỡnh :

6 < x < 1+

ổ
1ử
c) T = ỗỗ- Ơ ; ữ
ữ
ữẩ (5; + Ơ
ỗố
5ứ

ộ 3ự
d) T = ờ0; ỳ
ờở 2 ỳỷ

)

7.

Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii 12


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
ộổ 1 ử2
ự
ửổ 2 1
ử ổ 1ử
1
1 ổ
1ữ

3
ờ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
e) t t = x , t 0 ị x - 3 = ỗx - ữ
= ỗx - ữ
+ 3ỳ
ỗỗx + 2 + 1ữ
ỗỗx - ữ
ờ
ỳ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
x
x ứố
x ứờố
xứ
ố
ứ ố
x
x

ỳ
ở
ỷ
ỏp s: x Ê - 1, 0 < x Ê 1
Bi 4.115: Bin lun s nghim ca phng trỡnh : x - 1 - x2 - 3x + 2 = 5m - 3 .
Li gii:
Bi 4.115: S nghim ca phng trỡnh chớnh l s giao im ca ng thng

y = 5m - 3 v th (C) : y = x - 1 - x 2 - 3x + 2
ỡù - x 2 + 4 x - 3 khi x 2
ùù
Ta cú: y = ùớ x 2 - 2 x + 1 khi 1 Ê x < 2
ùù 2
ùù - x + 2 x - 1 khi x Ê 1
ợ
Lp bng bin thiờn ta cú
4
Nu 5m - 3 > 1 m > ị phng trỡnh vụ nghim.
5
4
Nu m = ị phng trỡnh cú mt nghim.
5
4
Nu m < ị phng trỡnh cú hai nghim phõn bit.
5

Bi 4.116: Tỡm m phng trỡnh sau cú bn nghim phõn bit:

- 2 x2 + 10 x - 8 = m - 5x + x 2 .
Li gii:

Bi 4.116: PT 2 x2 - 10 x + 8 - x 2 + 5x = m

ỡù x 2 - 5x + 8 khi x ẻ (- Ơ ;1ựẩ ộ4; + Ơ
ỷ ở
Xột hm s f (x) = 2 x 2 - 10 x + 8 - x 2 + 5x = ùớ
2
ùù
- 3x + 15x - 8 khi x ẻ (1; 4)
ùợ

)

Phng trỡnh ó cho cú bn nghim phõn bit th hm s

f (x) = 2x2 - 10 x + 8 - x 2 + 5x ct ng thng y = m 4 < m <

43
.
4

Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii 13


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht

Bi 4.117: Tỡm m bt phng trỡnh 2 x2 - 3x - 2 5m - 8 x - 2 x2 nghim ỳng
vi mi x .
Li gii:
Bi 4.117: Bt phng trỡnh 2 x2 - 3x - 2 + 8 x + 2 x 2 5m .

ỡù 2
ổ
ự
ùù 4 x + 5x - 2 khi x ẻ ỗỗ- Ơ ; - 1 ỳẩ ộ2; + Ơ )
ở
ỗố
ùù
2ỳ
ỷ
Xột hm s y = f ( x) = ớ
.
ùù
ổ 1 ữ
ử
ỗ
11x + 2 khi x ẻ ỗ- ; 2ữ
ùù
ỗố 2 ữ
ứ
ùùợ

ỡù 2
ổ
ự
ùù 4 x + 5x - 2 khi x ẻ ỗỗ- Ơ ; - 1 ỳẩ ộ2; + Ơ
ở
ỗố
ù
2ỳ
ỷ

Lp bng bin thiờn ca hm s y = f ( x) = ùớ
ùù
ổ 1 ử
11x + 2 khi x ẻ ỗỗ- ; 2ữ
ữ
ùù
ỗố 2 ữ
ứ
ùùợ
Ta cú min y = -

)

57
57
57
suy ra yờu cu bi toỏn 5m Ê mÊ 16
16
80

Bi 4.118: Cho bt phng trỡnh x2 - 4x - 3|x - 2|+ 2m - 2 = 0
a) Gii phng trỡnh khi m = 1
b) Tỡm m phng trỡnh cú 4 nghim phõn bit.
Li gii:
Bi 4.118: t t = x - 2 , t 0 ta cú phng trỡnh: t 2 - 3t + 2m - 6 = 0 (*)
a) x = - 2, x = 6
b) Yờu cu bi toỏn (*) cú hai nghim dng phõn bit

ỡù = 27 - 8m > 0
27

.
ùớ
3< m<
ùùợ 2m - 6 > 0
8

Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii 14


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 4.119: Cho bất phương trình x 2 - 2mx + 2 x - m - m2 + 2 > 0
a) Giải bất phương trình khi m = 2
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với " x Î ¡
Lời giải:
Bài 4.119: a) x > 2, x < 0 b) m < 1 .

➢ DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1. Phương pháp giải.
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn mục đích chúng ta phải
khử căn thức đi. Sau đây là một số phương pháp thường dùng.
+ Biến đổi tương đương( Bình phương hai vế, phân tích thành nhân tử)
Lưu ý: Đối với bất phương trình, bình phương hai vế không âm thì mới thu về bất
phương trình tương đương cùng chiều
+ Đặt ẩn phụ
+ Đánh giá
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương
Lưu ý một số phương trình, bất phương trình cơ bản sử dụng phép biến đổi tương
đương như sau
Phương trình:

ìï f ( x) ³ 0 ( hoặc g (x) ³ 0 )
•
f ( x) = g( x) Û ïí
ïïî f ( x) = g( x)

ìï g( x) ³ 0
f ( x) = g( x) Û ïí
ïï f ( x) = ég( x)ù2
ë
û
ïî
Bất phương trình:
ìï f ( x) > g( x)
•
f ( x) > g( x) Û ïí
ïïî g( x) ³ 0
•

•

ìï f ( x) ³ 0
ïï
f ( x) < g( x) Û ïí g( x) > 0
ïï
2
ïï f ( x) < éëg( x)ù
û
î

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 15

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

•

éìï g( x) <
êïí
êï f ( x) ³
êîï
f ( x) > g( x) Û êì
êïï g( x) ³
êí
êïï f ( x) >
êëïî

0
0
0
2

ég( x)ù
ë
û

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a)

x3 - x + 1 = - 2 x2 - x + 2

b)

2 x 2 + 3x - 1 = 3 - x 2

c)

x+ 4 -

d)

x-

1- x =

1- 2x

1
1
+ 1- = x
x
x

Lời giải:
ìï
- 2x2 - x + 2 ³ 0
a) Ta có phương trình Û ïí 3
ïï x - x + 1 = - 2 x 2 - x + 2
î
ìï - 1 - 17
- 1 + 17

ïï
£ x£
ï
ìï - 1 - 17
4
4
- 1 + 17
ïï
ïï
£ x£
ï
é x= - 1
Û í
Û í
4
4
ê
ïï
ïï
3
2
ê - 1± 5
x + 2x - 1 = 0
ïïî
ïï
êx =
ïï
ê
2
ïî

ë

é x= - 1
ê
Û ê - 1± 5
êx =
ê
2
ë

ìï - 1 - 5
ïï
- 1+ 5 ü
; - 1;
Vậy phương trình có nghiệm là x Î ïí
ý.
ïï
ïï
2
2
î
þ
2
ìï
3- x ³ 0
ï
b) Phương trình Û ïí 2
2
ïï 2 x + 3x - 1 = (3 - x 2 )
ïî

ìï
ìï
- 3 £ x£ 3
- 3 £ x£ 3
ïï
Û ïí 4
Û
í
2
ïï x - 8 x - 3 x + 10 = 0 ïï (x - 1)(x + 2)(x 2 - x - 5) = 0
î
ïî
ìï - 3 £ x £ 3
ïï
ïï é
ïï ê x = - 2
Û í êx = 1
Û x= 1
ïï ê
ïï ê
ïï êêx = 1 ± 21
ïïî ë
2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 16


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 .
1

c) ĐKXĐ: - 4 £ x £
2
Phương trình Û

x+ 4 =

1- 2x +

1- x

Û x + 4 = 1- 2 x + 2 (1- 2 x)(1 - x) + 1- x
Û 2x + 1 =

ìï 2 x + 1 ³ 0
(1 - 2 x)(1 - x) Û ïí
ïï (2 x + 1)2 = (1 - 2 x)(1 - x)
î

ìï
ïï x ³ - 1
Û í
Û x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
2
ïï 2
ïïî 2 x + 7 x = 0

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 .
ìï x > 0
ïï
ïï

1
ïï x - ³ 0
x
ïï
Û
d) Phương trình Û ïí
1
ïï 1 - ³ 0
x
ïï
ïï
ïï x - 1 + 1 - 1 = x
ïïî
x
x

ìï
x³ 1
ïï
ïí
ïï x - 1 = x - 1 - 1
ïïî
x
x

ìï
x³ 1
ìï
ïï
x³ 1

ï
ï
Û í
Û
í
ïï x - 1 = x2 + 1 - 1 - 2 x 1 - 1
ïï x2 - x - 2 x2 - x + 1 = 0
î
ïïî
x
x
x
ìï
x³ 1
Û ïí 2
Û
ïï x - x = 1
î

ì
x³ 1
ïíï
Û
2
ïïî x - x - 1 = 0

ìï x ³ 1
ïï
1+ 5
Û x=

í
1
±
5
ïï x =
2
ïïî
2

Vậy phương trình có nghiệm là x =

1+ 5
.
2

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)

- 5x 2 + 8 x - 3 + 5 x - 3 =

1- x + 1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 17


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

(

b) x 2 + (3 - x) 2 x - 1 = x 3 2 x 2 - 5 x + 2 -

x- 2

)

Lời giải:
ìï - 5 x 2 + 8 x - 3 ³ 0
ïï
3
Û £ x£ 1
a) ĐKXĐ: ïí
5x - 3 ³ 0
ïï
5
ïïî
1- x ³ 0

Phương trình

(5x - 3)(1 - x) +

5x - 3 =

1- x + 1

Û ( 5x - 3 - 1)( 1- x + 1) = 0
4
(thỏa mãn điều kiện)
Û 5x - 3 = 1 Û x =
5

4
Vậy phương trình có nghiệm x = .
5
ìï 2 x 2 - 5 x + 2 ³ 0
ïï
Û x³ 2
b) ĐKXĐ: ïí
2x - 1 ³ 0
ïï
ïïî
x- 2 ³ 0
Phương trình Û

Û

x- 2

(

(

)

x - 2 2 x - 1 - x x - 2 + 3x - x 2 - 3 2 x - 1 + x 2 x - 1 = 0

)

2x - 1 - x + x (3 - x)+ 2x - 1 (x - 3) = 0

é 2x - 1 = x

Û ( 2 x - 1 - x)( x - 2 - 3 + x) = 0 Û êê
êë x - 2 = 3 - x
é 2x - 1 = x2
é x2 - 2x + 1 = 0
ê
ê
ê
3- x ³ 0
Û êìïï
Û êêïìï
x£ 3
êí
í 2
2
ê
êïï x - 2 = (3 - x)
êëïïî x - 7 x + 11 = 0
êëïî
é x= 1
ê
é x= 1
êìï x £ 3
ê
Û êêïï
Û ê
êx = 7 - 5
7± 5
êíï
ê
2

ë
êïï x =
êëïî
2
Đối chiếu với điều kiện x ³ 2 suy ra x =
Vậy phương trình có nghiệm là x =
Ví dụ 3: Giải các phương trình 5

(

7-

7-

5
2

5
2

x+ 3 +

thỏa mãn

.

)

3x - 2 = 5x2 - 31x + 41

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 18


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
Li gii:
ỡù x - 3
ỡù x + 3 0
ù
2
ùớ
x
KX: ùớ
2
ùợù 3 x - 2 0 ùù x
3
ùợ
3
Phng trỡnh tng ng vi

(5


) (

)

x + 3 - x - 9 + 5 3x - 2 - 3x - 2 = 5x2 - 35x + 30
- x2 + 7 x - 6

+

- x2 + 7 x - 6

= 5x 2 - 35 x + 30

5 x + 3 + x + 9 5 3x - 2 + 3x + 2
ổ
ử
1
1
ữ
(x 2 - 7 x + 6)ỗỗỗ
+
+ 5ữ
= 0
ữ
ữ
ỗố 5 x + 3 + x + 9 5 3 x - 2 + 3 x + 2
ứ
ộx = 1
(tha món iu kin)
x2 - 7 x + 6 = 0 ờ
ờx = 6
ở
Vy phng trỡnh cú nghim l x = 1 v x = 6 .
Nhn xột: phng trỡnh u (cõu a) d thy x = 1, x = 6 l nghim do ú ta tỡm cỏch

lm xut hin nhõn t chung x2 - 7 x + 6 . i vi 5 x + 3 ta ghộp thờm vi a x + b ,
2

nh th sau khi trc cn thc ta cú 5 x + 3 - (a x + b ) =

25 (x + 3)- (a x + b )
5 x + 3 + (a x + b )

nh vy

ỡù 5 1 + 3 - (a + b ) = 0
ỡù a = 1
ù
ùớ
cú i nhõn t x - 7 x + 6 thỡ ùớ
. Hon ton tng t
ùù 5 6 + 3 - (a .6 + b ) = 0 ùùợ b = 9
ùợ
vi i lng 5 3 x - 2 . Do ú ta tỏch c nh li gii trờn.
Vớ d 4: Gii cỏc bt phng trỡnh sau
2

a) x + 1
c)

5x - 1 -

2( x 2 - 1)
x- 1 >

b)
2x - 4

( x + 5)(3x + 4) > 4( x - 1)
d) ( x - 3) x2 - 4 Ê x2 - 9
Li gii:

ỡù 2( x 2 - 1) 0
ùù
a) Bt phng trỡnh ùớ x + 1 0
.
ùù
2
2
ùùợ 2( x - 1) Ê ( x + 1)

Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii 19


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ìï é x ³ 1
ïï ê
ïï êx £ - 1
ïï ë
Û ïí x ³ - 1
Û
ïï 2
ïï x - 2 x - 3 £ 0
ïï
ïïî

ìï é x ³ 1
ïï ê

ïï êx £ - 1
ïï ë
ïí x ³ - 1 Û
ïï
ïï 1 £ x £ 3
ïï
ïïî

éx = - 1
ê
ê1 £ x £ 3
ë

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = {- 1}È éë1; 3ù
û.

éìï 4( x - 1) < 0
êïí
êï ( x + 5)(3x + 4) ³ 0
ï
b) Bất phương trình Û êêî
êìïï x - 1 ³ 0
êí
êïïî ( x + 5)(3x + 4) > 16( x - 1)2
ë
éìï x < 1
êïï
êï é
êïí êx ³ êï ê
ï

Û êêïï êêx £ êïî ë
êì
êïï x ³ 1
êí
êëïïî 13 x 2 -

ééx £ - 5
êê
êê 4
4
êê- £ x < 1
êêë 3
3
ê
Û
5
êìï x ³ 1
êïï
êí 1
êï < x< 4
ï
51x - 4 < 0 êëïî 13

éx £ - 5
ê
ê 4
Û ê- £ x < 1 Û
ê 3
ê
ê1 £ x < 4

ë

éx £ - 5
ê
ê 4
ê- £ x < 4
êë 3

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (- ¥ ; - 5] È [ -

4
; 4) .
3

ìï 5 x - 1 ³ 0
ïï
c) ĐKXĐ: ïí x - 1 ³ 0 Û x ³ 2
ïï
ïïî 2 x - 4 ³ 0

Bất phương trình Û
Û x+ 2>

5x - 1 >

x- 1 +

2x - 4

(2 x - 4)(x - 1)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 20


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Û x2 + 4x + 4 > 2x2 - 6x + 4 (do x ³ 2 )

Û x2 - 10x < 0 Û 0 < x < 10
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [2;10)
d) ( x - 3) x2 - 4 £ x2 - 9

éx³ 2
ĐKXĐ: x2 - 4 ³ 0 Û ê
êx £ - 2
ë
Nhận xét x = 3 là nghiệm bất phương trình
+) Với x > 3 : ta có
Bất phương trình Û

x2 - 4 £ x + 3

2

Û x2 - 4 £ (x + 3) Û x ³ -

13
6

Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có tập nghiệm bất phương trình là S = (3; + ¥ ).
+) Với x < 3

Bất phương trình Û

x2 - 4 ³ x + 3

ìï x + 3 £ 0
Û ïí 2
(I) hoặc
ïï x - 4 ³ 0
î

ìï x + 3 > 0
ï
(II)
í 2
ïï x - 4 ³ (x + 3)2
ïî

ìï x £ - 3
ïï
Ta có (I) Û ïí é x ³ 2 Û x £ - 3
ïï ê
ïïî êëx £ - 2
ìï x > - 3
Û
(II) Û ïí
ïïî 6 x + 13 £ 0

ìï x > - 3
ïï
13

Û - 3< x£ í
13
ï x£ 6
ïîï
6

Kết hợp với điều kiện x < 3 suy ra bất phương trình có tập nghiệm S = (- ¥ ; -

13
]
6

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 21


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = (- ¥ ; -

13
] È [3; + ¥ )
6

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau

51 - 2 x - x 2
<1
1- x

a)

c) 8

b)

2x - 3
+ 3 ³ 6 2x - 3 +
x+ 1

2( x 2 - 16)
x- 3

+

x- 3 >

7- x
x- 3

.

4
x+ 1
Lời giải:

a) * Nếu 1- x > 0 Û x < 1
ìï x < 1
ïï
Ta có bất phương trình Û ïí 51 - 2 x - x 2 ³ 0
ïï
ïï 51 - 2 x - x 2 < 1 - x

ïî

ìï x < 1
ïï
Û ïí 1 - 52 £ x £ 1 +
ïï 2
ïï x > 25
î

52 Û 1 -

52 £ x < - 5 .

* Nếu x > 1 Þ luôn đúng vì VT < 0 < 1 .
Vậy nghiệm tập bất phương trình đã cho là S = [1-

52; - 5) È (1; + ¥ ).

ìï é x ³ 4
ìï x 2 ³ 16 ïï ê
Û ïí êëx £ - 4 Û x ³ 4 .
b) ĐKXĐ: ïí
ïï x > 3
ïï
î
ïïî x > 3

Bất phương trình Û
Û

2( x 2 - 16) + x - 3 > 7 - x

2( x 2 - 16) > 10 - 2 x kết hợp với điều kiện x ³ 4 ta có bất phương trình

ìï 10 - 2 x < 0
(I) hoặc
Û ïí
ïïî x ³ 4

ìï x ³ 4
ïï
ïí 10 - 2 x ³ 0
(II)
ïï
ïïî 2( x 2 - 16) > (10 - 2 x)2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 22


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ìï x > 5
Ta có (I ) Û ïí
Û x> 5
ïïî x ³ 4
ìï x ³ 4
ïï
ìï 4 £ x £ 5
Û ïí 2
.
(II ) Û ïíï 10 - 2 x ³ 0

ïï x - 20 x + 66 < 0
ïï 2( x 2 - 16) > (10 - 2 x)2
î
ïî

ìï
ï
í
ïï 10 î

4£ x£ 5
34 < x £ 10 +

34

Û 10 -

34 < x £ 5

(

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 10 -

34; + ¥

)

ìï 2 x - 3 ³ 0
3
c) ĐKXĐ: ïí

Û x³ .
ïïî x + 1 > 0
2
Bất phương trình Û 8 2 x - 3 + 3 x + 1 = 6 (2 x - 3)( x + 1) + 4

(

)

Û 4(2 2x - 3 - 1) + 3 x + 1 1- 2 2 x - 3 ³ 0

(

)(

)

Û 2 2x - 3 - 1 4 - 3 x + 1 ³ 0
Û

(8 x - 13)(7 - 9 x)

(

)(

2 2x - 3 + 1 4 + 3 x + 1

Û (8 x - 13)(7 - 9 x) ³ 0 Û

)

³ 0

7
13
£ x£
9
8

é3 13 ù
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: S = ê ; ú.
êë2 8 ú
û
Loại 2: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau
a) (x + 1)(x + 4)< 5 x2 + 5x + 28
b) (x + 1)(x - 3)<

1 - x2 + 2 x
- x2 + 2 x + 3

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 23


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c)

7 x + 7 + 7 x - 6 + 2 49x2 + 7 x - 42 < 181- 14x

d) 3 x +

3
2 x

< 2x +

1
- 7
2x
Lời giải:

a) Bất phương trình Û x2 + 5x + 4 < 5 x2 + 5x + 28
Đặt t =

x2 + 5x + 28, t > 0 Þ x2 + 5x + 4 = t 2 - 24

Bất phương trình trở thành t 2 - 24 < 5t

Û t 2 - 5t - 24 < 0 Û - 3 < t < 8
Suy ra

x2 + 5x + 28 < 8 Û x2 + 5x - 36 < 0 Û - 9 < x < 4

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (- 9; 4)
b) ĐKXĐ: - x2 + 2x + 3 > 0 Û - 1 < x < 3
Bất phương trình Û ( x2 - 2 x - 3) - x2 + 2 x + 3 < 1 - x2 + 2 x
Đặt t = - x2 + 2x + 3, t > 0 Þ - x2 + 2x = t 2 - 3 .
Bất phương trình trở thành - t 3 < - 2 + t 2 Û t 3 + t 2 - 2 > 0
Û (t - 1)(t 2 + 2t + 2) > 0 Û t > 1

Do đó ta có - x2 + 2x + 3 > 1 Û - x2 + 2x + 3 > 1
Û x2 - 2x - 2 < 0 Û 1-

3 < x < 1+

3.

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm bất phương trình là

(

S = 1-

3;1 +

3

)

ìï 7 x + 7 ³ 0
6
c) ĐKXĐ: ïí
Û x³ :
ïïî 7 x - 6 ³ 0
7

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 24