Tài liệu nâng cao: Quan hệ mômen - độ cong

Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công Nghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh

Chương 4: QUAN HỆ MÔMEN - ĐỘ CONG
Chương 4: QUA HỆ MÔME

-

ĐỘ COG

4.1 SỰ PHÂ PHỐI LẠI MÔ ME TROG HỆ BTCT
4.1.1 Hệ chịu tải trọng đứng
Phần 8.4 của tiêu chuNn ACI 318 cho phép phân phi li mômen (tăng hay gim mômen
âm
) trong các cu kin BTCT chu un liên tc. Phân phi li mômen ph thuc vào  do
(ductility) trong các vùng khp do (plastic hinge). N hng vùng khp do phát trin ti các
v trí M
max
và làm thay i biu  mômen un àn hi. Và kt qu phân tích do thưng
thy là
mômen âm gim và mômen dương tăng trong vùng khp do so vi kt qu phân
tích àn hi. Vì các t hp ti trng nguy him  xác nh các mômen âm và các mômen
dương là khác nhau, nên mi tit din BTCT có mt kh năng d tr mà không s dng ht
cho bt kỳ mt trưng hp ti nào. Các khp do cho phép s dng toàn b kh năng chu
lc ca nhiu v trí tit din hơn ca kt cu chu un, so vi kt qu phân tích àn hi.
 Kt qu phân tích àn hi tuyn tính ca mt cu kin phi tuyn :

Vi tit din hình lăng tr có
mômen kháng un M
n
, ti trng tác dng ln nht w ưc xác

nh bng:
 Phân tích àn hi:
2
n
e
2e
n
l
M12
w
12
lw
M
max
max
=⇒=

 Phân tích chy do:
2
n
p
2
p
n
l
M16
w
16
lw
M

max
max
=⇒=
e
max
w33,1=

+ wl
2
/24
- wl
2
/12 - wl
2
/12
2M
p
= wl
2
/8
- M
p

+ M
p


Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G
N hư vy, vic s dng kt qu phân tích chy do cho giá tr ti trng cho phép cao hơn khi
so vi kt qu
phân tích àn hi.
Kh năng chy do có th ưc hình thành như th nào?

 do (ductility)  ln trong min to khp do.
o  do là i lưng o kh năng bin dng không àn hi vưt quá bin dng do
o s dng phương pháp phân tích mômen- cong (moment-curvature analysis) 
xác nh các gii hn bin dng.

o mc  bê tông b ép ngang s nh hưng lên gii hn bin dng.
 bin dng max ca bê tông
maxc
ε
4.1.2 Hệ chịu tải trọng ngang
S phân phi li lc ngang
làm tăng cưng kh năng áp ng ca h khung chu ti trng
ng t và ti trng n do các thành phn cu kin t n cưng  ln nht ti các mc
 bin dng khác nhau. Xét
cơ cu beam-sway bên dưi (hình a: cột cứng-dm yu) mà là
cơ cu ưu tiên trong thit k ng t.
 ti sao beam-sway theo hình a là cơ cu ưu tiên? (nhiu khp do nht  Ph. án ti ưu).
 nh hưng ca mômen do ti trng ng trên áp ng ca cu kin?

+
=
???

???

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G
• Cơ cu right-hand sway: vi 2 khp do  hai u dm (-) và mt khp do (+) ti v trí
có mômen
M
max
.

•
Cơ cu left-hand sway: vi 2 khp do  hai u dm (-) và mt khp do (+) ti v trí
có mômen
M
max
.

Vy,
kh năng bin dng y  phi ưc cp cho mi khp do ưc to thành như trong
hình v trên.
 bin dng không àn hi ln trong bê tông
  do ln t ưc bng cách dùng các chi tit cu to thích hp, bao gm c bin
pháp thép ai ép ngang.

+
- -
Vùng biến dạng lớn
+
- -

Vùng biến dạng lớn
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G
4.2 PHÂ TÍCH MÔME-ĐỘ COG CỦA TIẾT DIỆ TỰ DO Ở GAG
4.2.1 Các giả thuyết cơ bản
Phân tích này trình din dng ơn gin nht ca phân tích mômen- cong (M-φ). Mt s
gi thuyt ơn gin trong
lý thuyt un ưc thit lp  tính toán quan h (M-φ) như sau:
1. Các tiết diện vuông góc với trục uốn vẫn phẳng trước khi uốn và sau khi uốn.

N hư vy quan h gia
 cong φ và bin dng ε:
y
ε
=φ

vi
y là khong cách t mép ngoài n trc trung hoà.
2. Tại cùng một cao độ của tiết diện cấu kiện, biến dạng thép bằng biến dạng bê tông (ε
s
= ε
c
).
3. Các ứng suất trong thép (σ
s
) và bê tông (σ
c
) có thể xác định từ các quan hệ (σ−ε) đặc

trưng của vật liệu.
Các phương pháp tính toán trình bày sau ây áp dng cho hai kiu tit din t do n ngang:
(1) bn BTCT ch có thép chu kéo, (2) dm BTCT ch có thép chu kéo (phn 1) và có
thêm thép chu nén
(phn 2).
4.2.2 Phân tích mômen-độ cong của bản BTCT
Trong tính toán bng tay, mômen ti 3 mc  cong (curvature) ưc xác nh:
  cong khi bê tông xut hin nt φ
cr
(ti mômen gây nt M
cr
)
  cong khi bê tông bin dng chy do φ
y
(ti mômen chy do M
y
)
  cong khi bê tông bin dng cc hn φ
u
(ti mômen cc hn M
u
)
Mt ct ngang
bn BTCT ưc trình bày dưi ây. Mc tiêu là thit lp ưng quan h (M-
φ
) cho tit din bn. Xét mt khong chiu rng bn b = 12

in  tính toán, Thép loi Grade
60
và cưng  bê tông f'

c
= 4 ksi. Gi thit lp bê tông bo v là 1

in.
Ba bưc tính toán phi thc hin ti các giai on:
a) bt u nt, b) chy do, c) ti hn.
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G

a) Bắt đầu nứt (cracking)
B qua s tham gia ct thép (b qua chuyn i tit din tương ương),
3
33
g
in216
12
612
12
bD
I =
×
==

Mô un àn hi ca bê tông:
ksi3604ksi400057000E
c
==
Tính môment gây nt,

=×==
3
216
1000
40005,7
y
If
M
t
gr
cr
34,2 kip-in
Tính  cong khi bt u nt,
2163604
2,34
IE
M
gc
cr
cr
×
==φ
= 4,4E-5 in
-1

N hư vy
to  bt u nt (φ
cr
, M
cr

) trên ưng quan h (φ-M) là (4,4E-5 ; 34,2)
b) Chảy dẻo
(
yield
)

 tính toán, s dng mômen quán tính chuyn i do nt (
cracked transformed moment of
inertia
). Bin dng ti hn trong thép chu kéo là bin dng chy do ε
y
.

S phân b ng sut trong bê tông ưc gi thit như  hình trên. Chiu cao vùng bê tông
chu nén
n trc trung hoà là kd. Bin dng trong thép chu kéo là ε
y
. i vi tit din
BTCT ct ơn ta có công thc,
n)n(n2k
2
ρ−ρ+ρ=

vi
n là t s mô un (n = E
s
/E
c
) và ρ = A
s

/bd. i vi tit din trên ta có,
in 4,75 0,25 -1- 6 (4/8)0,5 -1- D d ==×=
0,0070
4,7512
)(0,2in2

2
=
×
×
=ρ
;
8,04
3604
29000
n ==

⇒

k = 0,28
(giá tr này hp lý không?) Ans:
k < 0,3
không b phá hoi dòn
1”
D = 6”

#4 @ 6”
b = 12”
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G

Tính mômen M
y
quanh trng tâm khi bê tông chu nén, mà v trí ca nó cách mép trên ca
tit din mt khong bng
kd/3, ta có:
)3/kdd(fA)jd(fAM
ssssy
−=
∑
=

)3/75,428,075,4(60)in4,0(M
2
y
×−××= =103,4 kip-in
 cong tương ng:
75,428,075,4
0021,0
kdd
y
y
×−
=
−
ε
=φ
= 6,1E-4 in

-1

N hư vy to  im chy do (φ
y
, M
y
) trên ưng quan h (φ-M) là (6,1E-4 ; 103,4)
c) Tới hạn
(
ultimate
)

Hình dưi cung cp thông tin cn thit  tìm mômen ti hn (M
u
) và  cong ti hn (φ
u
).

Gi thit
khi ng sut bê tông chu nén dng ch nht kiu Whitney-type (β
1
= 0,85),
chiu cao n trc trung hoà là:
85,012485,0
604,0
bf85,0
fA
c
1
'

c
ys
×××
×
=
β
=
= 0,69 in
Mômen ti hn M
u
tính bng:
)69,085,05,075,4(604,0)c5,0d(fAM
1ysu
××−××=β−=
=
106,9 kip-in
 cong ti hn φ
u
là :
69,0
003,0
c
maxc
u
=
ε
=φ
= 4,3E-3 in
-1

N hư vy to  im ti hn (φ
u
, M
u
) là (4,3E-3 ; 106,9).
Chú ý ch có
khác bit nh gia mômen M
y
(104 kip-in) và mômen M
u
(107 kip-in).






Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G

4.2.3 Phân tích mômen-độ cong của dầm BTCT
Phân tích mu dm BTCT dưi ây có phương pháp tương t như ví d bn BTCT trình
bày  trên. Hai trưng hp s ưc nghiên cu :
(a) ch có thép chu kéo, (b) có thép chu
kéo và chu nén
. Các d liu chính trình bày trong bng dưi ây.

1. Phần 1:

Không có thép chu nén (không có 2#9)

a) Bắt đầu nứt
(0,474)
11
13310
f
y
I
M
r
t
g
cr
==
= 573 kip-in

133103604
573
IE
M

gc
cr
cr
×
==φ
= 1,19E-5 in
-1

b) Chảy dẻo

n = 8,04; ρ = 0,0099
n)n(n2k
2
ρ−ρ+ρ= = 0,327
)
3
200,327
20(600,3 )
3
kd
-(dfA M
ysy
×
−××==

=

3207 kip-in

20327,020
0021,0
kdd

y
y
×−
=
−

ε
=φ
= 1,56E-4 in
-1

c) Tới hạn

85,015485,0
600,3
bf85,0
fA
c
1
'
c
ys
×××
×
=
β
=
= 4,15 in
)
2
15,485,0
-(20600,3 )
2
c
-(dfA M
1

ysu
×
×=
β
=

=
3282 kip-in

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G



15,4
003,0
c

maxc
u
=
ε
=φ
= 7,2E-4 in
-1
⇒ µ
φ
= φ

u
/φ
y
= 4,6

2. Phần 2
:
Có thép chu nén (có 2#9)


a) Bắt đầu nứt
(như trên)
(0,474)
11
13310
f
y
I
M
r
t
g
cr
==
= 573 kip-in

133103604
573
IE
M

gc
cr
cr
×
==φ
= 1,19E-5 in
-1

b) Chảy dẻo

n = 8,04; ρ = 0,0099; ρ’ = 0,0066; d = 20’’; d’ = 2’’
n)'(n)'(n)'
d
'd
(2k
22
ρ+ρ−ρ+ρ+ρ+ρ= = 0,301
Phương trình tng quát ca
mômen M
y
là :
)
3
kd
-(dfA )
3
kd
-(dfA M
''

s
'
sysy
+=

vi ng sut thép chu nén là hàm s ca khong cách k. N u ng sut thép chu kéo là f
y
,
thì
bin dng thép chu nén có th xác nh bng qui tc tam giác như sau:
y
'
s
f
kdd
'dkd
f
−
−
=
= 17,3 ksi
)
3
200,301
-(23,170,2 )
3
200,301
-(20600,3 M
y
×

×+
×
×=

= 3238 kip-in

20301,020
0021,0
kdd

y
y
×−
=
−
ε
=φ
= 1,50E-4 in
-1

c) Tới hạn
Tính toán (φ
u
, M
u
) òi hi mt s bưc tính lp  tìm v trí trc trung hoà. Trong tính tay,
ban u gi thit
bin dng thép chu nén ε'
s
vưt quá bin dng chy ε

y
, gi thit này cũng
s ưc
hu kim.

85,015485,0
600,2600,3
bf85,0
'f'AfA
c
1
'
c
ssys
×××
×−×
=
β
−
=
= 1,38 in
)'dd('f'A )
2
c
-cb)(df85,0( M
ss
1
1
'
cu

−+
β
β=
= 3321 kip-in


38,1
003,0
c

maxc
u
=
ε
=φ
= 2,20E-3 in
-1