he thuc luong trong tam giac vuong on thi tuyen sinh lop 10

Hệ thức lượng trong tam giác vuông – ôn thi tuyển sinh lớp 10 v1 : 26/9/2014
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
I. Hệ thức trong tam giác vuông
1. Khái niệm :

A

Cho tam giác ABC vuông tại A , ta có :
Cạnh huyền : BC.
Cạnh góc vuông : AC, AB.
Đường cao : AH

B

Hình chiếu :



H

BH là hình chiếu của AB lên cạnh huyền BC.
CH là hình chiếu của AC lên cạnh huyền BC.

2. Các hệ thức :
1.

Định lí 0 : (Pitago) BC2 = AB2 + AC2

2.

Định lí 1 :

AB2 =BC. BH; AC2 =BC. CH

3.

Định lí 2 :

AH2 = BH.CH

4.

Định lí 3 :

AB.AC = BC.AH

5.

Định lí 4 :

1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2

Bài tập 1 : Cho tam giác ABC như hình. Tính AB, AC, AH.
A

B

7,2

H

12,8

C

Trần Thanh Phong - />
C


Hệ thức lượng trong tam giác vuông – ôn thi tuyển sinh lớp 10 v1 : 26/9/2014
hình vẽ, ta có : BC = BH + HC = 7,2 + 12,8 = 20
Theo hệ thức : AB2 =BC. BH = 20.7,2 = 144
=> AB =

= 12

AC2 =BC. CH = 20.12,8 = 256
=> AC =

= 16

AH2 = BH.CH = 7,2 . 12,8 = 92,16
=> AH =

= 9,6

Bài tập 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, AB = 6cm, AC = 8cm
a)

Tính độ dài : BC, HA, HB, HC.

b)

Tia phân giác góc BAC cắt BC tại D. tính diện tích tam giác ABD

Giải.
theo định lý Pitago : BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100
=> BC =

= 10cm.

Theo hệ thức : AB2 =BC. BH
62 =10. BH
=> BH = 36 : 10 = 3,6cm
AC2 =BC. CH
82 =10. CH
=> CH = 64 : 10 = 6,4cm
AH2 = BH.CH = 3,6 . 6,4 = 23,04
=> AH =

= 4,8cm

b) Áp dụng tính chất đường phân giác :
=>DB = 6.10:14 = 30/7cm
=> SABD = AH.DB:2 = 4,8 . 30/7 : 2 = 72/7cm2.

Trần Thanh Phong - />

Hệ thức lượng trong tam giác vuông – ôn thi tuyển sinh lớp 10 v1 : 26/9/2014

II. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông :

1. Định nghĩa :

2. Định lí :
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.
sin A = cos B

tan A = cotg B

cos A = sin B

cotg A = tan B

2. Định lí so sánh :
cho 0 ≤ α1 < α2 ≤ 900, ta có :
sin α1 < sin α2

cos α1 > cos α2

tan α1 < tan α2

cotg α1 > cotg α2

Một số kết quả đáng nhớ :
1. sin2 α + cos2 α = 1
2. tan α . cotg α = 1

3. tan α =
4. cotg α =

bài tập mẫu :

Bài tập 1 : sắp xếp theo thứ tự tăng dần :
sin 610; cos 520; sin 340 ; cos 730
ta có :
Trần Thanh Phong - />

Hệ thức lượng trong tam giác vuông – ôn thi tuyển sinh lớp 10 v1 : 26/9/2014
cos 520 = cos (900 – 380) = sin 380
cos 730 = cos (900 – 170) = sin 170
theo định lý so sánh : 170 < 340 < 380 < 610 => sin 170 < sin 340 < sin 380 < sin 610
vậy : cos 730 < sin 340 < cos 520 < sin 610
Bài tập 2 :Tính : (không dùng bảng số và máy tính )
A = sin2 350 + tg 220 + sin2 550 – cotg 130 : tg 770 – cotg 680
= (sin2 350 + sin2 550) – (cotg 130 : tg 770) + (tg 220 – cotg 680)
= (sin2 350 + cos2 350) – (tg 770 : tg 770) + (tg 220 – tg 220)
=1–1+0=0
Bài 3 :

Cho ΔABC vuông tại A, biết AC = 12cm, cos C = 4/5.
iải tam giác ABC.

a)
b)

Tính độ dài đường cao AH, đường phân giác AD của ΔABC .
Giải.
A

12cm

37

H
B
D
Theo đề bài : cos C = 4/5 => = 370

Ta có :

+

= 900 =>

= 900 –

C

= 900 – 370 = 530

Trong ΔABC vuông tại A, ta có :
cos C =

=> BC = AC : cos C = 12 : = 15cm.

Trần Thanh Phong - />

Hệ thức lượng trong tam giác vuông – ôn thi tuyển sinh lớp 10 v1 : 26/9/2014
Theo định lý Pitago : BC2 = AB2 + AC2 => AB2 = BC2 – AC2 = 152 – 122 = 81
=> AB = 9cm.
b) độ dài đường cao AH :
theo hệ thức : BC . AH = AB . AC => AH = AB . AC : BC
= 9 . 12 : 15 = 7,2cm.

Áp dụng tính chất đường phân giác :

=> DB = 5 . 9 : 7 = 6,43 cm.
theo hệ thức : AB2 = BC . BH => 92 = 15 . BH => BH = 5,4 cm.
Trên tia BC, ta có : BH < BD => H nằm giữa B và D
=> BD = BH + HD => HD = BD – BH = 6,43 – 5,4 = 1,03cm.
Theo định lý Pitago Trong ΔAHD vuông tại H, ta có :
AD2 = AH2 + HD2 = 7,22 + 1,032 = 52,9009
=> AD = 7,233 cm.
Bài toán tổng hợp :

Cho ΔABC có ba góc nhọn, kẻ đường cao AH.

a)

Chứng minh : sinA + cosA > 1.

b)

Chứng minh : BC = AH.(cotgB + cotgC).

c)

Biết AH = 6cm, góc B = 600, góc C = 450. Tính diện tích ΔABC
Giải.
A

D

B

H

C

Trần Thanh Phong - />

Hệ thức lượng trong tam giác vuông – ôn thi tuyển sinh lớp 10 v1 : 26/9/2014
trong ΔABD vuông tại D, ta có :

mà : DB + AD > AB =>

>1

vậy : sinA + cosA > 1
b) theo hệ thức : BH = AH . cotgB
HC = AH . cotgC
mà : BC = BH + HC = AH . cotgB + AH . cotgC = AH.(cotgB + cotgC)
vậy : BC = AH.(cotgB + cotgC)
c) Biết AH = 6cm, góc B = 600, góc C = 450
BC = 6.(cotg 600 + cotg 450)

SABC =

Trần Thanh Phong - />