De thi HSG toan 8 Kiến Xương thai binh

PHÒNG GD&ĐT VŨ THƯ

KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN 7
(Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1 (5 điểm )
1.Thực hiện phép tính:
�
3 �193 33 ��
11 �1008 1007 �
�2
�7
A�
.
 ��
: �

.

� 
�
�
193 386 �17 34 ��
1008 2016 � 25
2016 �
�
�
�
�

2

1
�1 �
B
.7 4 (11) 2 .775. � 2 �:  73.116 
2
77
�7 �
a bc ca b a cb


2. Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn:
2b
2a
2c
� c �� b �� a �
.�
1 �
.�
1 �
�
� b �� a �� c �

1
Tính giá trị biểu thức: P  �
Bài 2 (5 điểm )

2
3


x  2  2 6  3x  1
b) Tìm hình chữ nhật có kích thước các cạnh là số nguyên sao cho số đo diện tích
bằng số đo chu vi.
c) Tìm các số nguyên dương x; y; z thỏa mãn:
3
2
 x  y    y  z   2015. x  z  2017
a) Tìm x biết:

Bài 3 (3 điểm)

Cho hàm số: y  f  x   x 

a) Vẽ đồ thị hàm số (1).

3
x
2

(1)

b) Gọi E và F là hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ lần lượt là (-4) và

4
,
5

xác định tọa độ hai điểm E, F. Tìm trên trục tung điểm M để EM+MF nhỏ nhất.
Bài 4 (6 điểm)

1. Cho tam giác ABC nhọn; vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân
tại A là tam giác ABD và tam giác ACE.
a) Chứng minh DC = BE và DC  BE.
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến ED và M là trung điểm của đoạn
thẳng BC. Chứng minh A, M, H thẳng hàng .
2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 3cm; AC= 4cm. Điểm I nằm trong tam
giác và cách đều ba cạnh của tam giác ABC. Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ
điểm I đến BC. Tính MB.
Bài 5 (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 thì tổng:

3 8 15
n2 1
S     ...  2 không thể là một số nguyên.
4 9 16
n

-------------------------------Hết---------------------------------

Họ và tên :………………………………………….

Số báo danh :………….


Câu
1
(3 điểm)

§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm chÊm HSG m«n to¸n 7
năm học 2015-2016
Bài 1(5điểm )

Nội dung


2

3

193

33  

7

11

1008

1007 






  : 


.
.
a)Tính A 

2016 
 193 386  17 34   1008 2016  25

0,75

3 33   7 11  1007 
2
A  

:   . 

17 34 34   25 50  2016 
 1 1007 
A 1 :  
 2 2016 
 2015 
A 1 : 

 2016 
2016
A
2015
2016
Vậy A 
2015
2

0,5
0,25
0,25

0,25

1
 1 
.7 4 ( 11) 2 .77 5. 2  : 7 3\ .11 6
b ) Tính B 
2
 77
7 
1
1
1
B  2 2 .7 4.11 2.7 5.115. 4 . 3 6
 7 .11
7 7 .11
9
7
7 .11
B  9 8
7 .11
1
B  .
11
1
Vậy B  .
11

2
(1,5®iểm
)

Điểm
2®





 c  b  a  b  c a  b c  a b  c a  b c  a
P 1  1  1   
.
.

.
.
với a,b,c 0
c
b
a
c
a
c
b
 b  a 
 a  b  c
 a  c b

Khi a+b+c =0   b  c  a  P  . .  1
a c b
 c  a  b



1,5®
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25

0,5

Khi a+b+c 0 , áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a  b c c  a b a  c b a  b c c  a b a  c b 1




2b
2a
2c
2(c  a  b)
2
a c c b a b
a c c b a b


1 


2

2b
2a
2c
b
a
c
 P 8
Với a,b,c 0 thì P =-1 khi a+b+c =0; P = 8 khi a+b+c 0


Câu

Nội dung

0,25
0,25
0,25
Điểm


a)

2

3

a) Tìm x biết : x  2  2  6  3x  1
(2 điểm)
2
3

x 2 2



0,5

3 x  2 1

0,25
0,25

 6 x  2  2 3 x  2  6

 3 x  2 4
4
3
4

x  2 3
 
 x  2  4
3

10

x  3
 
x 2

3

 10 2 
Vậy x  ; 
 3 3
 x 2 

0,25
0,25

0,25
0,25

b)
(1,5điểm) Gọi kích thước hình chữ nhật cần tìm là x,y (đơn vị độ dài )
(x,y N * ; x  y )
Ta có diện tích và chu vi hình chữ nhật lần lượt là : x.y và 2(x+y)
Theo bài ra ta có : x.y= 2(x+y) với x,y  N * ; x  y
 xy  2 x  2 y 0
 x( y  2)  2( y  2) 4
 ( y  2)( x  2) 4
Với x,y  N * ta có ( y  2); ( x  2)  Z
 y  2; x  2  Ư
 1;2;4

(4)=
Ta có 2 trường hợp sau :
 x  2 4
 x 6


 y  2 1

 y 3

nhưng vì x-2 ; y-2 > -2 và x  y
 x  2 2
 x 4

 y  2 2
 y 4

hoặc 

c)
(1,5điểm) Chứng minh:  x  y  3   x  y  chia hết cho 2
2

0,25

0,25

Có hai hình chữ nhật thỏa mãn bài toán :
Hình chữ nhật có kích thước 6 và 3; 4 và 4.

 y  z

0,25

  y  z  chia hết cho 2

z  x   z  x  chia hết cho 2

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


 x  y    y  z   2015 x  z 
3
2
 x  y    x  y    y  z    y  z   z  x   z  x   2014 z  x
3

2

0,5

Chia hết cho 2

Mà 2017 không chia hết cho 2 nên không tồn tại các số nguyên dương x;
y; z thỏa mãn đề bài
Bài 3(3 điểm )
Câu
Nội dung
a)
3
x


x (1)
Vẽ
đồ
thị
hàm
số
y=f(x)=
(1,5điểm)
2
5
x với x 0
2
1
x với x  0
y=
2

Từ hàm số (1) ,ta có :

0,25

Điểm

y=

Cho x= 2  y 5 , ta có điểm A(2 ;5) thuộc đồ thị hàm số(1)
Cho x= -2  y 1 , ta có điểm B(-2 ;1) thuộc đồ thị hàm số (1)
Đồ thị hàm số (1) là hai tia OAvà OB

0,25

0,25
0,25
0,25

0,5

b)
(1,5điểm)

Từ hàm số (1) ,ta có :

5
x với x 0
2
1
x với x  0
y=
2

y=

Điểm E thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ x= -4 <0
nên tung đô điểm E là y=

1
(  4) 2  E ( 4;2)
2

0,25

Điểm F thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ x=

4
>0
5

5 4
nên tung đô điểm F là y= . 2  F (1;2)

0,25

Điểm M thuộc trục tung nên hoành độ điểm M là x = 0
Ta có E,F thuộc đường thẳng y=2
Để EM+FM nhỏ nhất khi M nằm giữa E và F
nên M thuộc đường thẳng y=2, nên tung độ M là y=2

0,25
0,25

2 5

Vậy điểm M (0;2)
Câu
1
(4,5điểm)

Nội dung

0,25

0,25
Điểm

a)Chứng minh DC= BE
0
Ta có  DAC =  DAB+  BAC =90 +  BAC
tương tự  BAE = 900+  BAC
  DAC =  BAE
Xét  DAC và  BAE có AD =AB (  ABD vuông cân tại A)
AC=AE (  AC E vuông cân tại A)
 DAC =  BAE (cmt)
  DAC =  BAE(c-g-c)
 DC =BE ( định nghĩa tam giác bằng nhau)
Chứng minh DC  BE
Gọi K , N lần lượt là giao điểm của DC với BE và AB
 AND và  KNB có  AND=  KNB( đối đỉnh );
 ADN=  KBN (  DAC =  BAE)

1,5®

  DAN=  BKN định lí tổng 3 góc trong tam giác )
Mà  DAN=900((  ABD vuông cân tại A)
  BKN=900

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
1,5®
0,25
0,25


 DC  BE tại K

b) Chứng minh A,H,M thẳng hàng
Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI=MA
Chứng minh  AMB=  IMC(cgc)
 CI=AB và CI //AB
Chứng minh  ACI=  DAE( cùng bù  BAC)
Chứng minh  ACI=  EAD (c-g-c)
  CAI=  AED mà  AED +  EAH =900(  AHE vuông tại H)
  CAI+  EAH=900   MAH=1800  M,A,H thẳng hàng

0,25
1,5®
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

2

(1,5điểm)

Vì điểm I nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC nên I là
giao điểm 3 dường phân giác trong tam giác ABC
Tam giác ABC vuông tại A nên AB2+AC2=BC2( định lý Pitago)
Tính BC=5cm
Chứng minh  CEI=  CMI (cạnh huyền- góc nhọn )
 CE =CM
Tương tự AE =AD; BD =BM
Chứng minh BM 
 BM 

BC  BA  AC
2

0,25
0,25
0,5
0,25

53 4
2 cm 
2

Bài 5(1điểm )
Nội dung

Câu

0,25

S Có (n-1) số hạng:
3 8 15
n2  1 
1  
1 
1 
1 

S     ...  2 1  2   1  2   1  2   ...  1  2 
4 9 16
n
 2   3   4 
 n 
1
1
1 
 1
S n  1   2  2  2  ...  2   n  1
3
4
n 
2
1
1
1
1
1
1
1

1
1
Mặt khác 2  2  2  ...  2  1.2  2.3  3.4  ....  (n  1)n 1  n
2
3
4
n
1
1
S  n  1  1  n  2   n  2
n
n

Từ (1) và (2) ta có n  2  S  n  1
Vậy S không có giá trị nguyên với mọi số tự nhiên n 2

Điểm
0,25

0,25
0,25
0,25