Bang tom tat cong thuc XSTK

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC XÁC SUẤT THỐNG KÊ KINH TẾ
A - XÁC SUẤT
1. Một số công thức tính xác suất quan trọng
1.1. Công thức tính xác suất lựa chọn: pk 

C Nk .C Nn kN
A

C

A

n
N

1.2. Công thức cộng xác suất
P A  B   P A  P B   P AB  (A và B là hai biến cố bất kỳ)
P A  B   P A  P B  (A và B là hai biến cố xung khắc)





* Hệ quả: Nếu A vaø A là hai biến cố đối lập thì P A  1  P (A) hay P (A)  1  P A
1.3. Công thức xác suất có điều kiện: P A / B  

P AB 
P B 

P B   0 hay P AB   P A / B  P B  P B   0

 B   P(A).P B A

1.4. Công thức nhân xác suất: P (A.B )  P (B ).P A

(A và B là hai biến cố bất kỳ)

P (A.B )  P (A).P (B ) (A và B là hai biến cố độc lập)

1.5. Công thức xác suất toàn phần (Công thức xác suất đầy đủ) (Total Probability’s Formula)








n




 
P (F )  P (A ).P  F   P (A ).P  F     P (A ).P  F
P (A ).P  F 


 A 
 A 
 A 

1  A 
2
n
i



1
2
n i 1
i

1.6. Công thức Bayes (Bayes’ Formula): P Ai / F  

P Ai  .P F / Ai 
P F 



P Ai  .P F / Ai 
n

 P A  .P F / A 
i

i 1

i

1.7. Công thức xác suất Nhị thức

 



k
k
1.7.1. Công thức Bernoulli (Tần số xuất hiện biến cố A) Pn k , p  C n . p . 1  p



n k

1.7.2. Số có khả năng nhất: Qui tắc tìm số có khả năng nhất k0 :
-

Nếu np + p – 1 là một số nguyên thì k0 chính là np + p – 1 và np + p.

-

Nếu np + p – 1 là một số thập phân thì k0 chính là số nguyên bé nhất nhưng lớn hơn np + p – 1, tức là:

k0 = [np + p – 1] + 1 ([x] là hàm phần nguyên)
1.7.3. Kích thước mẫu trong phép thử Bernoulli

 

 

Nếu cho trước xác suất Pn k , p và số lần xuất hiện k thì dựa vào công thức Bernoulli: Pn k , p  C nk . p k .q

thể xác định được số phép thử n nhỏ nhất cần thực hiện.
2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc
2.1. Kỳ vọng (Expectation) (Trung bình (Mean)) E X   x 1 .p1  x 2 .p2      x n .pn 
 n


2.2. Phương sai (Độ phân tán) (Variance) V X     pi x i2   2
i  1



2.3. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)  X   V X 
2.4. Mốt (Yếu vị) (Mode)
1

n

 x .p

i 1

i

i

n k

ta có

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì modX là giá trị x i của X có xác suất pi lớn nhất trong bảng phân phối xác suất.
2.5. Trung vị (Median)
Median (hay trung vị) của đại lượng ngẫu nhiên X là trị số m của đại lượng ngẫu nhiên, ký hiệu là med X, sao cho:









P X m  P X m  1

2

3. Bảng tóm tắt các phân phối xác suất
Phân
phối

Nhị thức

Siêu bội

Poisson

Chuẩn

Ký
hiệu

X  B n; p 

X  H N , N A , n 

X  P 

X  N ;  2

Số
tham
số

2

3

1

2

e  . x
p x  
x!

1

Công
thức
tính xác

suất

p x   C p q
x
n

x n x

E X 

np

V X 

np 1  p 

 X 
ModX

np 1  p 

p x  

C Nx C Nn xN
A

A

C Nn

Chuẩn tắc



f (x ) 

 2



Z  N 0;1

2

e

2
1 x  
 

2   

1

(z ) 

2

np





0

N n
N 1



2

1





1

npq

N n
N 1

npq

np  p  1; np  p 



  1; 

P X  x   1  P X  x 

P Z  z  
P Z  z  

P   X    
    
    
   

  
  
  

P Z     0 (:

hằng số)


 
P X            
  
  
  
 2    1
  





P   Z    
P   Z    

B - THỐNG KÊ
4. Ước lượng khoảng
4.1. Ước lượng khoảng cho một trung bình
Hai phía
 2 đã biết

x  z
2

 2 chưa biết, n  30

x  z
2


n
s
n

Một phía

   x  z

2

   x  z
2



x  z

n
s

x  z

n

2


n
s
n

z2
2

0

 x   


P X  x   F (x )   
  

Công
thức
tính
xác
suất

e



   

    x  z 

   

    x  z 


n
s
n


2

n  30 ,

chưa biết,



X  N ; 

2



s

x  t

n 1;  


2 


n

Nếu tổng thể hữu hạn cỡ N và mẫu cỡ n với

s

   x  t

n 1;  



2 


x  tn 1;

n

s

   

n

    x  tn 1;

N n
N 1

n
 0, 05 thì độ chính xác được nhân thêm thừa số điều chỉnh hữu hạn
N

4.2. Ước lượng khoảng cho một tỉ lệ
Hai phía
p z

p 1  p 

2

n

Một phía
p 1  p 

 p  p  z

p  z

n

2

Nếu tổng thể hữu hạn cỡ N và mẫu cỡ n với

p 1  p 
n

 p  

- Cỡ mẫu n



hoặc   t n 1; 2



n

2

Độ tin cậy
  1

s

  z

n

hoặc t n 1; 2 



- Độ tin cậy
  1
Cỡ mẫu n

 n

2
s

Lấy xấp xỉ  
Không
biết  2

2

1
. range
4

Có mẫu
thăm dò

Không
có mẫu
thăm dò

 z 
  
  1
n   2  .
   4
 

2

trong công thức trên

4.4. Ước lượng khoảng cho phương sai tổng thể
Hai phía

 đã biết

2 (n )


2

n  1 s2
 chưa biết

2 (n  1)

2

 2 

 2 

n
2
 (x  ) n
i
i
i 1
2
(n )
1 
2

n  1s 2
2
(n  1)
1 
2

n

 z 
  
 
n   2  .p 1  p 
  
 

Lấy mẫu thăm dò tính s thay
 trong công thức trên

n
2
 (x  ) n
i
i
i 1



 
  2 z    1
 2 

 z 
  
 
n   2  . 2

  
 

Biết  2



p 1 p

2

2

- Độ chính xác


N n
.
N 1

Ước lượng khoảng cho tỉ lệ

 
  2 z    1
 2 

- Cỡ mẫu n
- Độ chính xác


  z

Độ chính xác 

n

n
 0, 05 thì độ chính xác được nhân thêm thừa số điều chỉnh hữu hạn
N

4.3. Một số bài toán có liên quan đến ước lượng khoảng hai phía
Yếu tố đã biết Yếu tố cần tìm Ước lượng khoảng cho trung bình

- Độ tin cậy
  1

p 1  p 

  p  p  z 

Một phía

0  2 

0  2 

n
2
 (x  ) n
i

i
i 1

n
2
 (x  ) n
i
i
i 1

2
(n )
1

2 (n )


n  1 s 2

n  1 s 2

2
(n  1)
1

2 (n  1)


4.5. Ước lượng khoảng tin cậy cho sự khác biệt giữa hai trung bình của tổng thể
3

  2  

  2  

s
n


4.5.1. Trường hợp hai mẫu phối hợp từng cặp
d  tn 1,  /2 .

sd
n

 x  y  d  tn 1,  /2 .

sd
n

với d 

d

i

n

; sd2 

d

2
i

 nd 2

n 1

; sd  sd2

4.5.2. Trường hợp hai mẫu ngẫu nhiên độc lập
4.5.2.1. Phương sai tổng thể khác nhau đã biết:
(x  y )  z 
2

X2
nX



Y2
nY

 X  Y  (x  y )  z 
2

X2



nX

Y2
nY

4.5.2.2. Phương sai tổng thể bằng nhau nhưng chưa biết, hai mẫu cỡ lớn, biết được phương sai mẫu:
(x  y )  z 
2

sX2
nX



sY2
nY

s X2

 X  Y  (x  y )  z 



nX

2

sY2
nY

4.5.2.3. Phương sai tổng thể bằng nhau nhưng chưa biết, tổng thể có phân phối chuẩn, hai mẫu cỡ nhỏ, biết được phương
sai mẫu:
 1
 1
1 
1 
(x  y )  t n n 2, /2 . s 2 
   x  y  (x  y )  t n n 2,  /2 . s 2 
 

x y



x
y
 n X
nY 
nY 
 n X

Trong đó: s 2 

(nx  1)sx2  (ny  1)sy2
(nx  ny  2)

được gọi là phương sai gộp

4.6. Ước lượng khoảng tin cậy cho sự khác biệt giữa hai tỷ lệ tổng thể

(px  py )  z  /2

px (1  px )
nx



py (1  py )

 px  py  (px  py )  z /2

ny

px (1  px )
nx



py (1  py )
ny

5. Kiểm định giả thuyết thống kê
5.1. Kiểm định giả thuyết thống kê về một trung bình của tổng thể
5.1.1.  2 đã biết hoặc  2 chưa biết nhưng n  30

Giả thuyết và đối thuyết

Hai phía

Một phía trái

Một phía phải

H 0 :   0 ; H 1 :   0

H 0 :   0 ; H 1 :   0

H 0 :   0 ; H 1 :   0

z

z 

z

Giá trị tới hạn

2

Giá trị kiểm định

z0 
z0  z 

x  0


n hoặc z 0 

x  0

s

n

z 0  z 

z 0  z

Hai phía

Một phía trái

Một phía phải

H 0 :   0 ; H 1 :   0

H 0 :   0 ; H 1 :   0

H 0 :   0 ; H 1 :   0

Quyết định bác bỏ giả thuyết H0

2

5.1.2.  2 chưa biết, n  30 , X  N ;  2 

Giả thuyết và đối thuyết
Giá trị tới hạn

t

n 1

2

n 1


Giá trị kiểm định
Quyết định bác bỏ giả thuyết H0

tn 1

t
t0 

t 0  t n 1

x  0
s

t0  tn 1

n

t 0  tn 1

2

Nếu tổng thể hữu hạn cỡ N và mẫu cỡ n với

n
 0, 05 thì giá trị kiểm định được chia thêm thừa số điều chỉnh hữu hạn.
N

5.2. Kiểm định giả thuyết thống kê về tỷ lệ của tổng thể
4


Giả thuyết và đối thuyết

Hai phía

Một phía trái

Một phía phải

H 0 : p  p0 và H 1 : p  p0

H 0 : p  p0 và H 1 : p  p0

H 0 : p  p0 và H 1 : p  p0

z

z 

z

Giá trị tới hạn

2

Giá trị kiểm định

p  p0

z0 
z0  z 

Quyết định bác bỏ giả thuyết H0

n

p0 1  p0 

z 0  z 

z 0  z

2

5.3. Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể
Giả thuyết và đối thuyết

Hai phía

Một phía trái

Một phía phải

H 0 :  2  02 ; H 1 :   2  02

H 0 :  2  02 ; H 1 :   2  02

H 0 :  2  02 ; H 1 :   2  02

2n 1;1

2n 1;

2

Giá trị tới hạn


n 1;1 

2 

và 2



n 1; 

2 

Giá trị kiểm định

Quyết định bác bỏ giả
thuyết H0

2
0

 
02  2

hoặc 02  2



n 1;1 

2 

n  1s

2

02

02  2n 1;1


n 1; 

2 

02  2n 1;

5.4. Kiểm định giả thuyết thống kê về so sánh hai trung bình của tổng thể
5.4.1. Trường hợp hai mẫu phối hợp từng cặp
Giả thuyết và đối thuyết
(ta thường gặp D0  0 )

Hai phía

Một phía trái

Một phía phải

H :     D
 0 X
Y
0

H 1 : X  Y  D0


H :     D
 0 X
Y
0

H 1 : X  Y  D0


H :     D

 0 X
Y
0

H 1 : X  Y  D0


tn 1;

tn 1;

Giá trị tới hạn

t


n 1; 

2 

Giá trị kiểm định

t0 

d  D0
sd

, trong đó di  x i  yi ; d

n

t 0  t

Quyết định bác bỏ giả thuyết H0

d


i

n

2
d

;s

d


2
i

n 1

t 0  tn 1;

n 1;  



2 

 nd 2

; sd  sd2

t 0  tn 1;

5.4.2. Trường hợp hai mẫu độc lập
5.4.2.1. Phương sai tổng thể khác nhau đã biết hoặc phương sai tổng thể bằng nhau nhưng chưa biết, hai mẫu cỡ lớn, biết
được phương sai mẫu:
Hai phía
Một phía trái
Một phía phải
Giả thuyết và đối thuyết
H :    ; H :   
H :    ; H :   
H :    ; H :   
0

Giá trị tới hạn

X

Y

1

X

Y

0

X

Y

1

X

Y

0

z 

z

X

Y

1

X

Y

z

2

Giá trị kiểm định

z0 

x y


2
X

n1

Quyết định bác bỏ giả thuyết H0

z0  z 



2
Y



hoặc z 0 

n2

z 0  z 

x y
s X2
n1



sY2
n2

z 0  z

2

5.4.2.2. Phương sai tổng thể bằng nhau nhưng chưa biết, tổng thể có phân phối chuẩn, hai mẫu cỡ nhỏ, biết được phương
sai mẫu:
Hai phía
Một phía trái
Một phía phải
5


Giả thuyết và đối thuyết

H 0 : X  Y ; H 1 : X  Y

H 0 : X  Y ; H 1 : X  Y

n1 n2 2

Giá trị tới hạn

t

Giá trị kiểm định

x y

H 0 : X  Y ; H 1 : X  Y

n1 n2 2

n n2 2

t 

t 1

2

t0 

1
1 
s 2   
 n1 n 2 

, trong đó s 2 

n n2 2

phương sai gộp

n1  n2  2
n n2 2

n n2 2

t 0  t 1

t0  t 1

Quyết định bác bỏ giả thuyết H0

(n1  1) sX2  (n 2  1)sY2

t 0  t 1

2

5.5. Kiểm định giả thuyết thống kê về so sánh hai tỉ lệ của tổng thể
Giả thuyết và đối thuyết
(ta thường gặp D0  0 )
Giá trị tới hạn

Hai phía

Một phía trái

Một phía phải

H : p  p  D
 0 1
2
0

H 1 : p1  p2  D0

z

H : p  p  D
 0 1
2
0

H 1 : p1  p2  D0

z 

H : p  p  D
 0 1
2
0

H 1 : p1  p2  D0

z

2

Giá trị kiểm định

z0 

p1  p2   D0
1
1 
p 1  p    
 n1 n2 

, trong đó p1 

z0  z 

Quyết định bác bỏ giả thuyết H0

m1
n1

; p2 

m2

;p 

n2

z 0  z 

m1  m2
n1  n2

z 0  z

2

6. Kiểm định phi tham số (dùng Phân phối Chi bình phương χ2)

+ H0: Không có mối liên hệ giữa hai dấu hiệu (Hai
dấu hiệu độc lập).
+ H1: Tồn tại mối liên hệ giữa hai dấu hiệu (Hai
dấu hiệu không độc lập).
2df ; , trong đó df  r  1c  1 : bậc tự do r:

Kiểm định sự phù hợp giữa tần số quan sát (tần số
thực nghiệm) với tần số mong đợi (tần số lý thuyết)
+ H0: Không có sự khác biệt giữa tần số quan sát và
tần số mong đợi.
+ H1: Có sự khác biệt giữa tần số quan sát và tần số
mong đợi.
2df ; với df  c  1 : bậc tự do; c: số cột (số nhóm)

số hàng, c: số cột.

của các quan sát.

Kiểm định về tính độc lập của hai dấu hiệu
Giả thuyết và đối

thuyết

Giá trị tới hạn

Giá trị kiểm định
2
0

 

Quyết định bác
bỏ giả thuyết H0

c

r


i 1 j 1

O

 Eij 

2

ij

Eij

với Eij 

C i  Rj
n

02  2df ;

Giá trị tới hạn

Giá trị kiểm định

H 0 :   0 : KHÔNG có sự tương quan tuyến tính
giữa X và Y;
H 1 :   0 : CÓ sự tương quan tuyến tính giữa X và Y.

i

 Ei 

2

Ei

Kiểm định giả thuyết về giá trị của 

H 0 :   0
H 1 :   0
 
 1
z  với  z    1  



2
2
 2
2

t

n 2;  


2 


t0  r

i 1

O

02  2df ;

7. Tương quan và hồi quy
7.1. Kiểm định giả thuyết về hệ số tương quan
Kiểm định giả thuyết về sự tương quan tuyến tính
của X và Y
Giả thuyết và đối
thuyết

c

 
2
0


0 
 1 1  r 1  0 
 
 n 3
z 0   ln 
.
 2  1  r 1    2 n  1 
0



n 2
1r2

6


z0  z 

t 0  t  
Quyết định bác bỏ
n 2; 


giả thuyết H0
2 
7.2. Mô hình hồi quy tuyến tính đơn (hai biến)
Phương trình hồi quy tuyến tính

2

Các yếu tố

+ 1 : Tung độ gốc (Hệ số chặn)
Tổng thể
(PRF)

+ 2 : Hệ số góc (Độ dốc đường hồi quy)

Yi  1  2 Xi  ui

+ Các i của phương trình hồi quy tổng thể được gọi chung là tham số hồi
quy.
+ ui : Sai số ngẫu nhiên của tổng thể ứng với quan sát thứ i
+ ˆ1 : Tung độ gốc (Hệ số chặn)

Mẫu (SRF)

Y i   1   2X i  ei

+ ˆ2 : Hệ số góc (Độ dốc đường hồi quy)
+ Các ˆi của phương trình hồi quy mẫu được gọi chung là hệ số hồi quy.
+ ei : Sai số ngẫu nhiên của mẫu ứng với quan sát thứ i

MTBT

A  BXi

Bấm máy ta có: ˆ1  A ; ˆ2  B

7