SKKN giúp học sinh tiểu học thực hiện tốt việc dùng sơ đồ đoạn thẳng trong quá trình giải toán lớp 4

I. Đặt vấn đề
Bước vào thế kỷ XXI vấn đề giáo dục Tiểu học đã trở thành mối lưu
tâm lớn nhất của toàn xã hội. Nghị quyết hội nghị lần thứ II và lần thứ IV
Ban chấp hành trung ương của Đảng cộng sản Việt Nam đã kiên định luận
điểm. “Giáo dục là một Quốc sách hàng đầu”. Bậc tiểu học được coi là bậc
học “Nền tảng” của hệ thống giáo dục quốc dân. Giáo dục Tiểu học vì thế là
nền văn hoá cơ bản nhất. Nhiều chuyên gia tâm lý, nhiều nhà khoa học đã
cho rằng: Bậc học Tiểu học là bậc học của phương pháp, bậc học của cách
học, ở lứa tuổi này thì việc học của các em không thoát ly khỏi người Thầy
mà chính các em là nhân vật trọng tâm trong giờ học tập, vui chơi, rèn luyện
mà người Thầy là người luôn hướng dẫn, tổ chức cho các em hoạt động. Xu
thế chung của toàn thế giới hiện nay là đổi mới phương pháp học để phát huy
tính tích cực của học sinh. Luật Giáo dục Việt Nam năm 2005 đã khẳng định:
“Phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo
của học sinh theo nguyên tắc sẽ làm cho giờ học trở nên tự nhiên hơn, nhẹ
nhàng hơn, chất lượng và hiệu quả cao hơn”.
Việc dạy toán ở Tiểu học đã thực hiện theo phương pháp mới này
tương đối tốt nhằm giúp học sinh biết cách vận dụng những kiến thức về
toán học được rèn luyện kỹ năng thực hành với những yêu cầu được thể hiện
một cách đa dạng, phong phú. Nhờ việc dạy học, giải toán mà học sinh có
điều kiện rèn luyện và phát triển năng lực tư duy, rèn luyện phương pháp suy
luận lô gíc và những phẩm chất cần thiết của người học sinh.
Giải toán là một hoạt động bao gồm những thao tác, xác lập được mối
liên hệ giữa các dữ liệu giữa cái đã biết và phải tìm trong điều kiện của bài
toán, biết chọn cách giải ngắn gọn nhất, chọn được phép tính thích hợp trả
lời đúng câu hỏi của bài toán.

1


Trong chương trình toán 4 có một số bài toán được xếp vào dạng toán

điển hình, nhiệm vụ của người giáo viên là phải giúp học sinh hình thành kỹ
năng giải các bài toán dạng này. Dựa vào đặc điểm tư duy của học sinh tiểu
học là thiên về trực quan cụ thể nên trong những cách giải các bài toán điển
hình ,cách giải có hiệu quả nhất là dùng sơ đồ đoạn thẳng. Thông qua việc
giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng học sinh phát triển được năng lực tư duy và
trí tưởng tượng, bồi dưỡng thêm khả năng trừu tượng hoá, khái quát hoá.
Chính vì những lý do trên mà tôi đã chọn sáng kiến kinh nghiệm “Giúp học
sinh Tiểu học thực hiện tốt việc dùng sơ đồ đoạn thẳng trong quá trình giải
toán lớp 4 ” để nghiên cứu.

2


II. Giải quyết vấn đề
1, Cơ sở lí luận của vấn đề
Sử dụng phương pháp trực quan trong dạy toán ở tiểu học nghĩa là
giáo viên tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động trực tiếp trên các hiện
tượng, sự vật cụ thể, để dựa vào đó nắm bắt được kiến thức kỹ năng của môn
toán.
+ Sử dụng phương pháp trực quan trong dạy học toán ở tiểu học là
quá trình kết hợp giữa cụ thể và trừu tượng nghĩa là tổ chức hướng dẫn cho
học sinh nắm bắt được các kiến thức trừu tượng, khái quát của môn toán dựa
trên những cái cụ thể, gần gũi với học sinh, sau đó vận dụng những quy tắc,
khái niệm trừu tượng, để giải quyết những vấn đề cụ thể trong học tập và đời
sống.
+ Sử dụng phương pháp trực quan trong dạy học toán ở tiểu học là
việc rất cần thiết vì:
+ Nói chung, nhận thức của trẻ từ 6 đến 11tuổi là từ trực quan sinh
động đến tư duy trìu tượng. Trong khi đó, các kiến thức của môn toán lại có
tính trừu tượng và khái quát cao. Sử dụng phương pháp trực quan sẽ giúp

học sinh có chỗ dựa vững chắc cho tư duy, bổ sung vốn hiểu biết để có thể sử
dụng được các kiến thức trừu tượng, phát triển được năng lực tư duy trừu
tượng và trí tưởng tượng.
+ Quan niệm về cụ thể chỉ có tính chất tương đối. Khi học sinh 6 tuổi
học về các số tự nhiên thì khái niệm số là trừu tượng, phải sử dụng các
phương tiện trực quan là những vật cụ thể (quả cam, con mèo, cái cây, bông
hoa….). Những khi đã nhận thức được khái niệm số rồi thì có thể coi là cái
cụ thể, là phương tiện trực quan để học các kiến thức trừu tượng hơn, chẳng
hạn, sử dụng các ví dụ bằng số để học sinh nhận biết một số tính chất của

3


phép tính. Như vậy việc dạy học toán ở tiểu học thường phải dựa trên
phương tiện trực quan (ở mức độ khác nhau) và dạy học bằng phương pháp
trực quan là việc rất cần thiết.
* Một số yêu cầu cơ bản khi sử dụng phương pháp trực quan.
- Có các phương tiện trực quan phù hợp với từng giai đoạn học tập
của học sinh tiểu học.
- Sử dụng đúng lúc, đúng mức độ các đồ dùng dạy học toán.
- Chuyển dần chuyển kịp thời các phương tiện trực quan từ dạng cụ
thể sang dạng trừu tượng hơn.
- Không lạm dụng phương pháp trực quan.
* Giá trị của phương pháp trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng.

Khi phân tích một bài toán ta cần thiết lập các liên hệ và phụ thuộc
giữa các đại lượng đã cho trong bài toán đó. Muốn làm việc này ta thường
dùng các đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho và số phải tìm). để minh họa
các quan hệ đó. Ta phải:
Chọn độ dài các đoạn thẳng và cần sắp xếp các đoạn thẳng đó một

cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối quan hệ và phụ thuộc giữa
các đại lượng, tạo một hình ảnh cụ thể giúp các em suy nghĩ tìm tòi cách giải
bài toán.
Việc sơ đồ hoá bằng đoạn thẳng sẽ làm cho các mối quan hệ trong bài
toán có tính chất trừu tượng trở thành cụ thể hơn. Xét về lôgíc toán học, đoạn
thẳng là đại lượng đo được mà các số, các đại lượng đã cho, phải tìm trong
bài toán là đại lượng đo được, tính toán được bằng phép đếm, phép đo, phép
suy luận theo một tỉ lệ nhất định. Căn cứ vào đầu bài ra để lập được sự đồng
nhất tương ứng giữa các đoạn thẳng mà suy ra quan hệ giữa các đại lượng.

4


Những bài toán điển hình lớp 4 về cấu trúc, nội dung đa dạng phong
phú, việc sơ đồ hoá nội dung bài toán bằng đoạn thẳng giúp học sinh hiểu rõ
ý nghĩa của bài toán, làm cho bài toán đỡ phức tạp hơn.
Ví dụ : Một cửa hàng có số mét vài hoa nhiều hơn số mét vải xanh là
540m. Hỏi mỗi loại vải có bao nhiêu mét, biết rằng số mét vải xanh bằng 1/4
số mét vải hoa.
Phân tích : Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như sau:
Sơ đồ:
Vải hoa:
540m
Vải xanh:
Hình 1
Vẽ sơ đồ đoạn thẳng như thế này, ta dễ dàng nhận thấy hai điều kiện
của bài toán: Số mét vải hoa nhiều hơn số mét vài xanh là 540m (biểu hiện
quan hệ hai số hơn kém nhau một đơn vị) và số mét vải hoa gấp 4 lần số mét
vải xanh (biểu thị số này gấp số kia một số lần).
Sơ đồ trên gợi cho ta thấy cách tìm số mét vải xanh bằng cách lấy 540

chia cho 3 (vì số mét vải xanh bằng 1/3 của số 540m); cũng nhờ sơ đồ đó gợi
cho ta thấy cách tìm số mét vải hoa bằng cách lấy số mét vải xanh tìm được
đem cộng với 540m (hoặc gấp 4 lần số mét vải xanh).
Bài giải:
Vì số mét vải xanh bằng 1/4 số mét vải hoa và số mét vải xanh ít hơn
số mét vải hoa là 540m nên số mét vải xanh là:
540 : 3 = 180 (m)
Số mét vải hoa là:
180 + 540 = 720 (m)

5


(hoặc) 180 x 4 = 720 (m)
Cũng có thể giải bài toán theo cách sau đây:
Số mét vải hoa là:
540 : 3 x 4 = 720 (m)
Số mét vải xanh là:
720 – 540 = 180 (m)
Đáp số: 720m ,180 m

2, Thực trạng của vấn đề
- Trên thực tế đó tôi thấy rằng các giáo viên hết sức để cao việc đổi
mới phương pháp dạy học. Đặc biệt là trong các giờ toán, người giáo viên
luôn tìm tòi đưa ra cách trình bày kiến thức ngắn gọn và dễ hiểu nhất. Một
trong những phương pháp giáo viên thường dùng để hướng dẫn học sinh giải
toán là dùng sơ đồ đoạn thẳng. Đối với lớp 4, lớp 5 việc giải các bài toán có
lời văn, đặc biệt là các dạng toán điển hình thì phần lớn giáo viên đã dùng sơ
đồ đoạn thẳng để hướng dẫn học sinh tìm cách giải.
- Qua thực tế tôi thấy rằng khi người giáo viên dùng sơ đồ đoạn thẳng

để giảng dạy thì học sinh mới hiểu bài, hứng thú học tập. Dựa trên cơ sở
dùng sơ đồ đoạn thẳng, học sinh đã phần nào nắm được cách giải của các
dạng toán điển hình, việc giải các bài toán này đối với các em học sinh
không còn là khó khăn vất vả. Không phải chỉ sử dụng sơ đồ đoạn thẳng
trong việc dạy toán điển hình lớp 4 - 5 mà ngay từ lớp 1, lớp 2 người giáo
viên đã sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để hướng dẫn học sinh giải toán. Nhờ việc
làm này mà giờ toán đối các em không hề nặng nề, các em rất hứng thú học
vì trước một bài toán các em sẽ dễ dàngbiết cách phân tích và tìm cách giải.
- Phương pháp trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng có vị trí quan trọng
trong các phương pháp dạy toán tiểu học, nhưng trên thực tế phương pháp

6


chỉ thực sự mang lại kết quả khi người giáo viên biết sử dụng nó đúng lúc,
đúng chỗ, tránh tình trạng ngại vẽ sơ đồ mà dùng lời lẽ dài dòng để giải thích
hoặc việc sơ đồ hoá nội dung bài toán chỉ qua loa, chưa toát được nội dung
bài toán.
- Trong quá trình giảng dạy môn toán ở tiểu học, tôi thấy rằng ta phải
sử dụng phương pháp trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng một cách hợp lý, nếu
ta lạm dụng phương pháp này thì sẽ làm hạn chế khả năng phát triển tư duy
của trẻ. Do đó người giáo viên phải tránh tình trạng áp đặt, máy móc khi
hướng dẫn học sinh giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
3, Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
a, Phân loại đối tượng của học sinh

+ Trong một lớp học, không phải mọi học sinh đều có khả năng học
tập như nhau, có em tiếp thu nhanh, nhưng có em hiểu được nội dung bài
học không là đơn giản. Trong lớp tôi dạy, tôi thường chia các em thành 3 đối
tượng khác nhau. Giờ giảng chỉ thực sự có kết quả khi giáo viên quan tâm,

đáp ứng được yêu cầu cho cả 3 đối tượng.
*Đối với học sinh yếu kém:
Học toán đối với học sinh yếu kém là việc hết sức vất vả, với đối
tượng này, kèm cho các em nắm vững được kỹ năng tính toán càng khó, nên
việc hướng các em dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải thích bài toán càng khó
hơn. Đối với học sinh khá giỏi, khi đưa ra bài toán chỉ cần đọc qua và hiểu
được những dữ kiện và ẩn số trong bài toán là có thể mô hình hoá bài toán
bằng sơ đồ đoạn thẳng. Nhưng đôí với học sinh yếu kém, để vẽ được sơ đồ
đoạn thẳng rõ ràng, thể hiện được nội dung bài toán thì phải có sự hướng dẫn
của giáo viên. Giáo viên cần phải mở bài, gợi mở dần sơ đồ. Rồi dựa trên sơ
đồ giúp học sinh tìm hướng giải bài toán.

7


Ví dụ: Anh câu được nhiều hơn em 8 con cá, số con cá của em bằng
1/3 số con cá của anh. Tính số con cá của mỗi người câu được ?
Đối với học sinh kém giáo viên cần hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ như
sau:
Đề bài cho biết số con cá em câu được bằng 1/3 số con cá anh câu
được. Vậy nếu ta biểu thị số con cá của em câu được là một đoạn thẳng thì
số con cá anh câu được ta biểu thị như thế nào trên sơ đồ? (số con cá anh câu
được biểu thị bằng 3 đoạn thẳng đã dùng để biểu thị số con cá của em câu
được biểu thị bằng một đoạn thẳng đã dùng).
Em câu:
Anh câu:

? con
8con
? con

* Đối với học sinh trung bình:
khi dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán điển hình lớp 4, học
sinh trung bình phải đạt được các yêu cầu sau:
- Biết cách sơ đồ hoá bài toán.
- Biết cách giải bài toán từ sơ đồ đoạn thẳng.
Để có được bài giải chính xác, đủ ý, đủ lời giáo viên nên rèn cho các
em kỹ năng phân tích bài toán, cố gắng đưa về các dạng toán đã học, hoặc
đưa vào cơ sở những bài toán đã làm rồi để tìm ra cách giải bài toán hiện tại.
Quay trở lại vị trí ở phần (a.)
Nhìn vào sơ đồ ta vừa vẽ ta thấy thể hiện được những mỗi quan hệ gì
giữa số cá của anh câu được và số cá của em câu được (thể hiện mối quan hệ
về tỷ số và hiệu số giữa số con cá của anh và số con cá của em). Vậy bài toán
thuộc dạng tìm hai số khi biết tỷ số và hiệu số của hai số.
Bài toán được giải như sau:

8


Hiệu số phần bằng nhau (hay 8 con cá biểu thị cho số phần bằng
nhau) là:
3 – 1 = 2 (phần)
Số cá em câu được là: 8 : 2 = 4 (con)
Số cá anh câu được là: 4 x 3 = 12 (con)
Đáp số: 4 con; 12 con
Sau khi học sinh trình bày bài giải, giáo viên cho học sinh tự kiểm tra
bài giải của nhau và nên nhận xét, sau cùng người giáo viên sẽ nhận xét và
đánh giá bài làm của học sinh. Việc học sinh nhận xét bài giải của bạn sẽ
giúp các em hình thành kỹ năng chọn lời giải ngắn gọn, chính xác. Có những
em còn có câu trả lời lủng củng. bản thân các em tự sửa cho nhau.Từ đó tạo

không khí sôi nổi trong học tập, bài toán được ghi vào trong óc các em một
cách nhẹ nhàng, không hề mang tính áp đặt nặng nề. Giờ học toán sẽ trở nên
nhẹ nhàng, thoả mái và hiệu quả.
* Đối với học sinh khá giỏi:
Đối với học sinh khá giỏi thì yêu cầu không chỉ dừng lại ở giải đúng
mà phải yêu cầu tốc độ giải nhanh, giải quyết được các trường hợp nâng cao
của bài toán. Lúc này đòi hỏi các em phải có sự tổng hợp các kiến thức đã
học về dãy số tự nhiên, về dạng toán đã học để phân tích đề toán, đưa đề toán
về dạng cơ bản quen thuộc…., gợi ý để học sinh tìm ra nhiều cách giải khác
nhau cho một bài toán.
Trở lại ví dụ ở phần (a.)
Sau khi học sinh giải xong bài toán giáo viên có thể đưa thêm tình
huống như sau: Về đến nhà hai em mỗi người được Ông cho thêm một số cá
như nhau thì lúc đó số con cá của em bằng 3/5 số con cá của anh. Hỏi Ông
đã cho thêm mỗi người mấy con cá?

9


Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ sơ đồ thể hiện số con cá của mỗi người
sau khi được Ông cho thêm một số cá.
Giáo viên có thể gợi ý thêm khi Ông cho thêm mỗi người một số cá
thì mỗi quan hệ giữa số con cá của anh và số con cá của em có gì thay đổi và
có gì không thay đổi so với ban đầu? (thay đổi về tỷ số và giữ nguyên hiệu
số vì cả hai người đều cùng nhân thêm một số cá như nhau). Lúc này bài
toán trở lại về dạng toán tìm hai số khi biết tỷ số và hiệu số của hai số đó ta
vẽ sơ đồ và giải bài toán như sau:
Sau khi được Ông cho thêm, số con cá của hai em được biểu thị bằng sơ đồ
sau:
Số cá của anh:

Số cá của em:
8 con

Hiệu số phần bằng nhau là:
5 – 3 = 2(phần)
Số con cá của anh khi được ông cho thêm là:
8 : 2 x 5 = 20(con)
Số con cá ông cho thêm mỗi người là:
20 – 12 = 8 (con)
Đáp số: 8 con
Do vậy trong một giờ toán nói chung và việc dùng sơ đồ đoạn thẳng
để giải toán nói riêng nếu người giáo viên xác định được yêu cầu hợp lý và
quan tâm đúng mức đến mọi đối tượng thì các em học sinh sẽ ngày càng tiến
bộ trong môn toán và tạo hứng thú, niềm say mê toán học ở các em.
b, Các bước giải bài toán khi dùng sơ đồ đoạn thẳng:

10


Qua thực tế giảng dạy môn toán ở tiểu học tôi nhận thấy: nhận thức
của các em nói chung và của học sinh lớp 4 nói riêng là trực quan sinh động,
tư duy trừu tượng đã phát triển nhưng chưa tách khỏi tư duy cụ thể, nên việc
dùng sơ đồ đoạn thẳng giúp học sinh dễ nhận ra cách giải bài toán. Khi phân
tích bài toán cần thiết lập các mối liên hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng
trong bài toán. Việc sơ đồ hoá bằng đoạn thẳng sẽ làm cho quan hệ có tính
chất trừu tượng trở thành cụ thể hơn. Vì vậy khi dạy giải toán bằng sơ đồ
đoạn thẳng cần phải thực hiên theo 4 bước sau:
Bước 1: Lập luận để vẽ sơ đồ đoạn thẳng:
Đây là bước then chốt, trước hết phải hiểu bài toán thuộc dạng toán cụ

thể nào, để từ đó mô hình hoá nội dung đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Mỗi
bài toán đều có 3 yếu tố cơ bản cần xác định.
+ Những “dữ kiện” là những cái đã cho trong bài toán.
+ Những “ẩn số” là những cái cần thiết, cần tìm trong bài toán.
+ Những “điều kiện” là những quan hệ dữ kiện và ẩn số trong bài toán.
Đặc biệt ở đề toán thường có những ẩn ý học sinh không dễ nhận ra.
Việc rèn cho học sinh phương pháp và thói quen làm sáng tỏ đề toán là vấn
đề rất quan trọng.
Vì hiểu sai bài toán thì lập hướng giải cũng sai. Đồng thời với việc tìm
hiểu đề, rèn cho học sinh tóm tắt đề toán phù hợp với từng dạng toán để vẽ
sơ đồ. Học sinh phải biết lược bỏ các chi tiết không cần thiết làm nổi bật mối
quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán, làm cho bài toán dễ hiểu hơn.
Bước 2: Dựa vào sơ đồ để hình thành lời giải và lựa chọn các phép
tính.
Đây là bước quan trọng vì nó quyết định hướng đi đúng hay sai của
bài giải nó thể hiện khả năng tư duy và diễn đạt của học sinh. Trước một bài

11


toán mới, giáo viên nên dẫn dắt để đưa về những dạng toán đã biết hoặc đưa
về cách giải các dạng toán đã học để tìm ra cách giải dạng toán mới.
Bước 3: Trình bày lời giải và đặt tính.
Đây là bước quyết định đáp số đúng hay sai của bài toán .Cần rèn kỹ
năng tính toán, cách trình bày bài giải, câu trả lời trong bài toán phải ngắn
gọn,khoa học chính xác.
Bước 4: Đánh giá cách giải và tìm cách giải ngắn gọn nhất.
Bước này nhằm nâng cao và bồi dưỡng kĩ năng đối với học sinh khá,
giỏi. Với học sinh trung bình thì hiểu bài và giải đúng là đạt yêu cầu; với học
sinh khá giỏi thì phải có khả năng kiểm tra việc thực hiện các phép tính dựa

trên kỹ năng nhẩm, ước lượng, quy mô của các dữ liệu. Biết nhìn toàn bộ bài
toán, suy nghĩ, tính toán hợp lý, tìm ra nhiều cách giải (bài giải đã đúng
chưa, có cách giải nào khác không, cách nào ngắn gọn nhất).
Học sinh khi giải toán phải thực hiện tốt 4 bước trên thì sẽ tạo điều
kiện giúp các em phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo, giúp học sinh nắm
vững vấn đề, khắc sâu, so sánh những khái niệm, những kiến thức được vận
dụng trong bài toán.
Vận dụng dùng sơ đồ đoạn thẳng trong việc giải các bài toán điển hình ở
lớp 4.
*Dạng bài: Tìm số trung bình cộng:
Đối với bài toán dạng này yêu cầu quan trọng nhất là học sinh phải
nắm được thế nào là số trung bình cộng và cách tìm số này như thế nào.
Bài toán 1: Trong 2 ngày Nam đã đọc xong một quyển sách: Ngày thứ
nhất được 20 trang, ngày thứ 2 được 40 trang. Hỏi nếu mỗi ngày Nam đọc
được số trang đều như nhau thì mỗi ngày Nam sẽ đọc được bao nhiêu trang?
Hướng dẫn học sinh cách vẽ sơ đồ như sau:

12


Sơ đồ:

20 trang

40 trang

?

?

Nhìn vào đay ta thấy: Nếu mỗi ngày Lan đọc số trang sách như nhau
và muốn tìm số trang của một ngày đó ta cần phải tìm số trang mà Lan đã
đọc trong 2 ngày.
Ta giải như sau:
Bài giải:
Số trang sách Lan đọc được trong hai ngày là:
20 + 40 = 60 (trang)
Số trang sách Lan đọc đều nhau trong mỗi ngày là:
60 : 2 = 30 (trang)
Đáp số: 30 trang
* Giáo viên cần nhấn mạnh các ý sau:
- Ngày thứ nhất Lan đọc 20 trang, ngày thứ hai Lan đọc 40 trang. Ta
nói rằng: Trung bình mỗi ngày Lan đọc được 30 trang
- Số 30 là số trung bình cộng của hai số 20 và 40
(20 + 40) : 2 = 30
Bài toán 2: Một đội công nhân đặt ống dẫn nước, ngày thứ nhất đặt
được 18m ống, ngày thứ hai đặt được 26m ống, ngày thứ ba đặt được
28m ống. Hỏi trung bình mỗi ngày đặt được bao nhiêu mét ống dẫn
nước?
Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ:
Sơ đồ:

18m

26m

28m

13

?

?

?

Phân tích: Nhìn vào sơ đồ ta thấy, để tìm được trung bình mỗi ngày
đặt được bao nhiêu mét ống dẫn nước ta phải tìm cả ba ngày đặt được bao
nhiêu mét ống, sau đó dễ dàng tìm được trung bình mỗi ngày bằng cách lấy
số mét ống của cả ba ngày đặt được chia 3.
Bài giải:
Tổng số mét ống dẫn nước đặt trong ba ngày là:
18 + 26 + 28 = 72 (m)
Trung bình mỗi ngày đặt được là:
72 : 3 = 24 (m)
* Giáo viên cần khắc sâu cho học sinh:
(18 + 26 + 28) : 3 = 24(m)
Từ hai ví dụ trên ta giúp học sinh rút ra kết luận:
Muốn tìm số trung bình cộng của nhiều số ta tính tổng các số đó rồi
chia tổng đó cho số các số hạng.
Trong thực tế đối với những bài toán dạng trung bình cộng, ta chỉ
dùng sơ đồ để giảng cho học sinh hiểu thế nào là số trung bình cộng của
nhiều số và cách tìm số này như thế nào từ đó tìm ra cách giải chung cho các
bài toán dạng trung bình cộng mà không cần vẽ lại sơ đồ.
- Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ đoạn thẳng thể hiện hai số phải tìm và
những mối quan hệ giữa hai số này.
- Xác định tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tổng của hai số có liên quan
đến các số phải tìm).
- Xác định tổng của hai số phải tìm (hoặc tỉ số của hai số có liên quan

đến các số phải tìm).

14


- Xác định tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tỉ số của hai số có liên quan
đến các số phải tìm). Biểu thị từng số đó thành các số phần bằng nhau tương
ứng.
- Thực hiện phép chia tổng của hai số phải tìm cho tổng các phần biểu
thị của tỉ số để tìm giá trị một phần đó.
- Thực hiện phép chia tổng của hai số phải tìm cho tổng các phần biểu
thị của tỉ số để tìm giá trị một phần đó.
- Tìm số theo số phần được biểu thị.
* Dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
Ví dụ 1: Mai nuôi nhiều hơn Tần 4 con gà, số gà của Mai gấp 3 lần số
gà của Tần. Hỏi mỗi bạn nuôi mấy con gà?
Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ:
- Số gà của Mai:
4con

- Số gà của Tần:
Phân tích: Nhìn vào sơ đồ ta thấy 4 con gà ứng với hiệu số phần
bằng nhau. Vậy khi giải bài toán ta phải đi tìm hiệu số phần bằng nhau. Sau
đó tìm giá trị của một phần. Trong bài toán này giá trị của một phần ứng với
số gà của Tần, dựa vào số gà của Tần ta tìm được số gà của Mai.
Bài giải: Hiệu số phần bằng nhau (hay 4 con gà tương ứng với số
phần bằng nhau) là: 3 – 1 = 2 (phần)
Số gà của Tần là: 4 : 2 = 2 (con gà)
Số gà của Mai là: 2 x 3 = 6 (con gà)
Đáp số: Mai: 6 con gà, Tần :2 con gà

Ví dụ 2: Một vườn cây có số cây bưởi ít hơn số cây táo là 21 cây. Cho
biết số cây bưởi bằng 1/4 số cây táo. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu cây?

15


Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ:
- Số cây táo:
21 cây

- Số cây bưởi:
Phân tích: Nhìn vào sơ đồ ta thấy 21 cây được biểu thị bằng 3 đoạn
thẳng bằng nhau: 3 đoạn thẳng này cũng chính là hiệu số phần bằng nhau.
Vậy khi giải bài toán, việc đầu tiên ta phải đi tìm hiệu số phần bằng nhau,
sau đó tìm giá trị của một phần, trong bài toán này giá trị của một phần chính
là số cây bưởi, dựa vào số cây bưởi ta sẽ tìm được số cây táo.
Bài giải: Hiệu số phần bằng nhau là: 4 – 1 = 3 (phần)
Số cây bưởi là: 21 : 3 = 7 (cây)
Số cây táo là: 7 x 4 = 28 (cây)
(hoặc 7 + 21 = 28 cây)
Đáp số: 7 cây bưởi, 28 cây táo
Ví dụ 3: Cho ba số tự nhiên, trong đó số thứ nhất bằng 2/3 số thứ hai,
số thứ ba bằng trung bình cộng của hai số kia. Tìm ba số đó? Biết rằng số
thứ nhất bé hơn số thứ ba là 35 đơn vị?
Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ:
Ta biểu thị số thứ hai là 6 phần bằng nhau, thì số thứ nhất là 4 phần
bằng nhau, số thứ ba là trung bình cộng của số thứ nhất và số thứ hai nên số
thứ ba sẽ được biểu thị là: (4 + 6) : 2 = 5 (phần)
- Số thứ nhất:
- Số thứ hai:

- Số thứ ba:

16


Phân tích: Nhìn vào sơ đồ ta thấy : nên dựa vào sơ đồ của số thứ nhất
và số thứ ba ta tìm được giá trị của một phần bằng nhau, sau đó sẽ tìm được
giá trị của từng số.
Bài giải: Hiệu số phần bằng nhau giữa số thứ nhất và số thứ ba là:
5 – 4 = 1 (phần)
Nhìn vào sơ đồ ta thấy 1 phần có giá trị là 35
Số thứ nhất là: 35 x 4 = 140
Số thứ hai là: 35 x 6 = 210
(hoặc 140 : 2 x 3 = 210 )
Số thứ ba là: 35 x 5 = 175
Đáp số: 140; 210; 175
Qua một số ví dụ trên ta rút ra các bước chủ yếu trong giải bài toán
tìm phân số khi biết hiệu số và tỷ số của hai số.
Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị các số cần tìm và
những mối quan hệ giữa các số này.
- Xác định hệ số của hai số phải tìm (hoặc hiệu hai số có liên quan đến
hai số phải tìm).
- Xác định tỷ số của hai số phải tìm (hoặc tỷ số của hai số có liên quan
đến số phải tìm) biểu thị trong số đó thành các số phần bằng nhau tương ứng.
Thực hiện phép chia hiệu hai số phải tìm cho hiệu các phần biểu thị
của tỷ số để tìm giá trị của một phần đó.
Tìm mỗi số theo số phần được biểu thị.
Trên đây là những dạng toán thường dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải,
ngoài những dạng toán trên còn có một số dạng toán khác cũng có thể dùng
sơ đồ đoạn thẳng để giải, để thấy được cụ thể chúng ta sang phần sau:

Sơ đồ đoạn thẳng có thể dùng trong giải các dạng toán sau:

17


- Dạng toán tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch.
Ví dụ1 : Một người đi bộ trong 6 giờ được 18km. Hỏi người đó đi
trong 2 giờ đi được mấy km? (coi như số km đi trong mỗi giờ như nhau).
Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ:
Coi số km đi trong 1 giờ là một đoạn thẳng ,ta có sơ đồ sau:
- 6 giờ đi:
18 km

- 2 giờ đi:
?km

Một giờ đi là: 18 : 6 = 3 (km)
Hai giờ đi là: 3 x 2 = 6 (km)
Đáp số: 6 km
Ví dụ 2: An và Bình nhận làm chung một công việc. Nếu một mình
An làm thì sau 3 giờ sẽ xong công việc, còn nếu Bình làm một mình thì sau 6
giờ sẽ xong công việc đó. Hỏi cả hai người cùng làm thì sau mấy giờ sẽ làm
xong công việc đó?
Phân tích và vẽ sơ đồ.
Nếu ta biểu thị công việc thành 6 phần bằng nhau thì sau 1 giờ An sẽ
làm được 2 phần và Bình làm được 1 phần công việc đó .
Theo đề bài ta có sơ đồ như sau:
1 công việc

An làm

Bình làm

Sau một giờ hai người làm được là:
2 + 1 = 3 (phần)
Thời gian để hai người làm xong việc đó là:
6 : 3 = 2 (giờ)

18


Đáp số: 2 giờ
* Dạng toán tìm hai số biết hai hiệu số:
Ví dụ: Có một số kẹo đem chia cho một số trẻ em mẫu giáo. Nếu mỗi
em được 3 cái thì còn thừa 2 cái. Nếu mỗi em được 4 cái thì lại thiếu 3 cái
mới đủ chia. Hỏi có bao nhiêu trẻ em, bao nhiêu cái kẹo?
Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ:
Tổng số kẹo đủ cho mỗi em 3 cái

2 cái

Tổng số kẹo đủ cho mỗi em 4 cái

3 cái

Phân tích: Nhìn vào sơ đồ ta thấy nếu có thêm 3 cái kẹo nữa thì mỗi
em được 4 cái như vậy kẹo cần có để chia mỗi em 4 cái phải nhiều hơn số
kẹo cần để chia mỗi em 3 cái là 5 cái. Mỗi em được thêm một cái thì cần
thêm 5cái, cái số kẹo nhiều hơn đó chính là số em được chia kẹo.
Bài giải:

Số kẹo cần chia cho mỗi em 4 cái nhiều hơn số kẹo cần chia cho mỗi em 3
cái là:
2 + 3 = 5 (cái)
Nếu mỗi em được 4 cái kẹọ thì nhiều hơn mỗi em được 3 cái kẹo là:
4 – 3 = 1 (cái)
Số trẻ em được chia kẹo là: 5: 1 = 5(em )
Số kẹo đem chia là: 3 x 5 + 2 = 17 (cái)
Hoặc 4 x 5 - 3 = 17 (cái)
Đáp số: 17 cái kẹo; 5 em
Chú ý: Để giải bài toán này cần xác định hai hiệu mà ở bài này hai
hiệu là:
+ Hiệu thứ nhất là: 4 – 3 = 1 (cái)

19


+ Hiệu thứ hai là: 2 + 3 = 5 (cái)
Thực hiện phép tính: Lấy hiệu thứ hai chia cho hiệu thứ nhất thì được
thương là số trẻ em cần tìm.
Lưu ý:
+ Các bước chủ yếu trong việc giải bài toán dạng này:
- Xác định hiệu thứ nhất của hai số đã cho, thường được thực hiện
bằng một phép tính trừ.
- Xác định hiệu thứ hai: để xác định được hiệu này (thực chất là xác
định sự hơn kém hai số nào đó có liên quan đến việc tính toán số phải tìm),
có thể phải thực hiện các phép tính số học.
- Thực hiện phép chia hiệu thứ hai cho hiệu thứ nhất (theo cách gọi ở
phần a và b) để xác định được số phải tìm.
- Thực hiện các phép tính tiếp theo để xác định được số phải tìm thứ hai.
- Phương pháp lựa chọ

Phương pháp giả thiết tạm.
1) Dạng toán tìm hai số khi biết hai tỷ số:
Ví dụ: Nhà bạn Năm có một đàn gà, trong đó số gà mái nhiều gấp 7 lần số
gà trống. Vừa qua nhà bạn Năm đã bán đi 12 con gà mái, nhưng lại mua thêm về 8
con gà trống nên lúc này số gà mái nhiều gấp 3 lần số gà trống. Hỏi nhà bạn Năm
hiện có bao nhiêu gà mái? Bao nhiêu con gà trống?
Hướng dẫn học sinh vừa phân tích, vừa vẽ sơ đồ.
Ta biểu thị số gà trống lúc đầu là một phần thì số gà mái lúc đầu là 7 phần,
sau khi bán 12 con gà mái thì số gà mái còn lại là 7 phần, bớt đi 12 con. Sau khi mua
thêm 8 con gà trống thì số gà trống là 1 phần thêm 8 con. Sau khi bán 12 con gà mái
và mua thêm 8 con gà trống thì số gà mái còn lại gấp 3 lần số gà trống hiện nay.

20


Vì số gà trống hiện nay được biểu thị là một phần thêm 8 con, nên 3 lần số
gà trống hiện nay được biểu thị là 3 phần và thêm 24 con (vì 8 x 3 = 24). Theo đề
bài số gà mái còn lại gồm 7 phần bớt đi 12 con bằng 3 lần số gà trống hiện nay và
thêm 24 con nên ta có thể vẽ sơ đồ minh hoạ số đàn gà đó.
24

12

24

Nhìn trên sơ đồ ta thấy:
7 – 3 = 4 (phần)
Bốn phần gồm:
24 + 12 = 36 (con)
Vì một phần biểu thị số gà trống lúc đầu, nên 4 phần biểu thị 36 con

gà trống. Do đó số gà trống hiện nay là:
36 : 4 + 8 = 17 (con)
Số gà mái hiện nay là:
36 : 4 x 7 – 12 = 51 (con)
Hoặc 17 x 3 = 51 (con)
Đáp số: 17 con gà trống; : 21 con gà mái
2. Lưu ý: Để giải các bài toán dạng này ta có thể vận dụng và phối
hợp các phương pháp thường dùng sau đây:
a) Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng kết hợp với sự thay đổi các
phần được biểu thị hoặc vẽ thành các nhóm biểu thị từng điều kiện của bài
toán hoặc vẽ theo từng giai đoạn của tình huống theo bài toán.
b) Phương pháp khử, phương pháp thay thế.
c) Phương pháp giả thiết tạm

21


d) Trong một số trường hợp có thể đưa về dạng toán tìm hai số biết
tổng hiệu và tỷ số của hai số đó.
* Những bài học kinh nghiệm:
- Việc dạy toán ở tiểu học thường phải dựa vào phương pháp trực
quan và được vận dụng ở nhiều mức độ khác nhau.
- Việc dạy học sinh giải toán bằng phương pháp trực quan là vô cùng
cần thiết đối với học sinh Tiểu học, người giáo viên nên vận dụng phương
pháp này vào việc hướng dẫn học sinh giải toán.
- Tuy nhiên khi vận dụng cần chú ý đến từng đối tượng học sinh,từng
giai đoạn học tập của học sinh. Cần sử dụng đúng lúc, đúng chỗ, không nên
lạm dụng phương pháp này khi giải toán.

4, Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Để kiểm định những vấn đề nội dung phương pháp và cách tổ chức
dạy giải toán điển hình bằng sơ đồ đoạn thẳng đã nêu ở trên, tôi đã được tổ
chuyên môn giúp đỡ để tiến hành thực nghiệm ở lớp 4A
a- Mục đích thực nghiệm:
Vận dụng một số phương pháp đổi mới trong dạy học toán điển hình
bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh lớp 4.
- Hoàn chỉnh cho học sinh các bước giải một bài toán có lời văn nói
chung và vận dụng nó vào các dạng toán.
+ Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số.
+ Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số.
- Rèn kỹ năng vẽ sơ đồ cho bài toán dạng trên.
b- Nội dung thực nghiệm.
Gồm 2 tiết với nôị dung như sau:

22


Tiết 1: Hướng dẫn học sinh giải các bài toán dạng: tìm hai số khi biết
tổng và tỷ số của hai số đó.
Bài 1: Đàn gà nhà Mai có tất cả 12 con, số gà trống bằng 1/3 số gà
mái. Hỏi đàn gà nhà Mai có bao nhiêu con gà trống? Bao nhiêu con gà mái?
Bài 2: Tổng số thóc trong hai kho là 316 tấn. Nếu chuyển 20 tấn ở kho A
sang kho B thì số thóc của kho A bằng 1/3 số thóc của kho B. Tính số thóc ban đầu
ở mỗi kho?
Bài 3: Lớp 4A có 42 học sinh, biết rằng :1/3 số học sinh nam bằng 1/4
số học sinh nữ. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ
?
Những yêu cầu cần đạt trọng tiết Giải toán:.
- Phân tích đề toán
- Vẽ sơ đồ bài toán

- Lập hướng giải
- Giải bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó.
- Kiểm tra kết quả của bài toán.
- Mở rộng:
Bài 4: Nếu ta gạch bỏ chữ số 7 ở hàng đơn vị của số bị trừ ta được số
trừ có nghĩa là nếu giảm số bị trừ 7 đơn vị thì số bị trừ còn lại sẽ gấp 10 lần
số trừ. Từ đó khắc sâu cho học sinh sự thay đổi về giá trị của một số khi ta
xoá bỏ hàng đơn vị của số đó.
c- Phương pháp thực nghiệm:
Với tinh thần người giáo viên là người tổ chức hoạt động học tập, học
sinh làm trung tâm của hoạt động học tập, tích cực học tập một cách sáng
tạo.
Trong thời gian dạy thực nghiệm, tôi kết hợp một số phương pháp sau:

23


PP. Trực quan:
- Thể hiện phong cách biểu diễn bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng, học
sinh xây dựng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng để tóm tắt bài toán.
- Bài mẫu trên bảng (do học sinh chữa bài lên bảng).
PP. Vấn đáp:
- Trong quá trình vẽ sơ đồ, giáo viên và học sinh cùng thảo luận, phân tích đề
bài.
- Kiểm tra các bước giải bài toán của học sinh.
PP. Luyện tập:
- Học sinh thực hành ,đặt đề toán, giải toán.
Phương pháp nêu vấn đề:
Phương pháp này dùng ở phần mở rộng để khai thác đề toán, giáo viên
tự đặt ra các tình huống, học sinh dựa trên cơ sở đã được học dạng toán đó

và qua việc giải các bài toán ,đặt các đề toán, giải quyết các yêu cầu mà giáo
viên đưa ra.
d- Kết quả thực nghiệm
Sau hai tiết dạy ở lớp 4A tôi thu được được bảng tổng kết kết quả học tập
như sau:

Không dùng sơ đồ
Lớp

4A

Số

đoạn thẳng để giải

h/s

toán
TS = %
27 = 100

27

Đạt loại

Đạt loại

giỏi

khá

TS = %
10 = 37

TS = %
8 = 29.6

24

Đạt loại
trung

Đạt loại

yếu
bình
TS = % TS = %
9 = 33.4
0


Lớp

4A

Số
h/s
27

Dùng sơ đồ đoạn

Đạt loại

Đạt loại

thẳng để giải toán

giỏi

khá

TS = %
27 = 100

TS = %
15 =55.6

TS = %
10 = 37

Đạt loại
trung
bình
TS = %
2 = 7.4

Đạt loại
yếu
TS = %
0

Từ kết quả thực nghiệm tôi có nhận xét như sau:
Tôi tiến hành thực nghiệm ở 4A lớp chủ yếu số học sinh là trung bình
khá nhưng kết quả cho thấy: Học sinh trên 90% đạt kết qủa khá và giỏi. Điều
đó chứng tỏ dùng trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng trong việc giải các bài
toán điển hình là một hướng đi đúng đem lại hiệu quả cao. Chúng ta cần
nghiên cứu, tích cực vận dụng để phát huy một cách triệt để những ưu điểm
của phương pháp này. Từ đó khơi dậy niềm say mê học toán cho học sinh và
dạy toán của mỗi giáo viên trong trường tiểu học và tương lai sau này.

III. Kết luận và kiến nghị
1, Kết luận

25