skkn Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh tia nằm giữa hai tia

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
Phần I: Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến.
Mục đích của đổi mới giáo dục hiện nay là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất,
hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định
hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng
giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ
năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự
học.
Theo tinh thần đó, các yếu tố của quá trình giáo dục trong nhà trường phổ
thông cần được tiếp cận theo định hướng đổi mới. Việc xây dựng các chủ đề dạy học
một cách hợp lý, khiến cho kiến thức môn học trở nên sinh động, hấp dẫn, có ưu thế
trong việc tạo ra động cơ, hứng thú học tập cho học sinh. Trong chương trình Hình
học 6 thì chủ đề “Chứng minh một tia nằm giữa hai tia’’ rất quan trọng, là nền tảng,
làm cơ sở để học sinh tính được số đo của các góc cũng như chứng minh được một tia
là tia phân giác của một góc. Qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ, trao đổi với
các đồng nghiệp bản thân tôi nhận thấy các em học sinh còn nhiều lúng túng khi
chứng minh một tia nằm giữa hai tia, bởi trong sách giáo khoa không đưa ra một
phương pháp cụ thể nào, và không có một khuôn mẫu chung nào cho cách trình bày
dạng toán này, vì vậy cách trình bày lời giải của các em rất đa dạng. Do đó việc giúp
các em nhận biết và hiểu được bản chất của việc chứng minh một tia nằm giữa hai tia
là rất quan trọng, từ đó có một lời giải chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao.
Đồng thời tạo cho các em có hứng thú trong việc giải các bài toán hình học, cũng như
đam mê khi học bộ môn Toán , nhất là với các em học sinh giỏi của trường.
Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh hệ
thống các phương pháp chứng minh một tia nằm giữa hai tia. Trước hết là giúp các em
hiểu được các kiến thức cơ bản được trình bày trong sách giáo khoa, đó là: nửa mặt
phẳng là gì; tia nằm giữa hai tia; góc là gì; tia nằm trong góc; điểm nằm trong góc; đo
�

�

�

góc; số đo góc; so sánh hai góc; khi nào thì xOy+ yOz = xOz ; thế nào là góc bẹt, góc
vuông, góc tù , góc nhọn, hai góc kề nhau; hai góc phụ nhau; hai góc bù nhau, hai góc
kề bù; hai tia nằm trong cùng một mặt phẳng; hai tia nằm trong hai nửa mặt phẳng đối
�

0

�

0

nhau; trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox nếu xOy= m ; xOz = n mà m Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz; tia phân giác của một góc là gì. Từ đó giáo viên hình
thành cho học sinh các phương pháp chứng minh một tia nằm giữa hai tia giúp các
0

0

1


em thấy được sự đa dạng và phong phú trong chứng minh hình học, đồng thời kích
thích các em khám phá những kiến thức mới, say mê trong học tập, góp phần hình
thành các năng lực cho học sinh theo tinh thần đổi mới giáo dục phổ thông hiện nay.
Đó chính là lí do tôi lựa chọn đề tài :“Hướng dẫn học sinh phương pháp
chứng minh tia nằm giữa hai tia nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán
6” để nghiên cứu, với hy vọng nó sẽ giúp học sinh học tốt các dạng toán chứng minh
của hình học lớp 6 và qua đó góp phần nâng cao chất lượng của bộ môn Toán nói

chung.
Phần II. Mô tả giải pháp.
1) Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:
Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy:
khi tính số đo góc hay chứng minh một tia là tia phân giác của một góc có liên quan
đến việc chứng minh một tia nằm giữa hai tia; các em gặp rất nhiều lúng túng, và khó
khăn nhất trong bước này; do đó nhiều em bỏ qua không chứng minh một tia nằm
giữa hai tia, dẫn đến có nhiều sai sót trong lời giải cũng như một lời giải không hoàn
chỉnh. Nguyên nhân có thể do các em quên kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến
thức một cách hợp lý vào chứng minh một tia nằm giữa hai tia. Các em mới chỉ biết
vận dụng vào các bài toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp các phương
pháp vào giải các bài toán khó với yêu cầu cao hơn.
2) Mô tả giải pháp sau khi áp dụng sáng kiến:
Từ thực trạng đó, qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu tài liệu cũng như dự giờ
các đồng nghiệp, trao đổi cùng học sinh, tôi đề xuất một số giải pháp để áp dụng đối
với các em học sinh của nhà trường THCS Lê Quý Đôn trong dạy chứng minh một tia
nằm giữa hai tia, cụ thể như sau:
* Đối với học sinh đại trà: Cung cấp các phương pháp đơn giản để chứng minh
tia nằm giữa hai tia.
* Đối với học sinh khá, giỏi: yêu cầu phải chứng minh một tia nằm giữa hai tia
bằng lập luận chặt chẽ, logic hơn.
Với mỗi phương pháp, đều được trình bày theo các nội dung:
- Phương pháp giải chung: giúp học sinh định hình được cách thức áp dụng
phương pháp trong giải toán
- Các ví dụ mẫu: Được phân tích cách làm, chỉ ra một số sai lầm hay mắc phải
hoặc lưu ý khi làm bài.

2

Sau khi trình bày các phương pháp tôi đưa ra một số bài tập tổng hợp nhằm củng
cố các phương pháp đã học cũng như sự linh hoạt khi làm bài của học sinh.
2.1. Phương pháp chứng minh tia nằm giữa hai tia suy ra từ việc điểm nằm giữa
hai điểm:
a)Phương pháp:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz chung gốc. Lấy điểm M bất kì trên tia Ox, lấy điểm N bất kì
trên tia Oy ( M và N đều không trùng với điểm O).
-Nếu tia Oz cắt đoạn thẳng MN tại một điểm nằm giữa M và N (hay tia Oz cắt
đoạn thẳng MN) ta nói tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy:

(Như vậy mọi tia chung gốc đều nằm giữa hai tia đối nhau)
- Nếu tia Oz không cắt đoạn thẳng MN ta nói tia Oz không nằm giữa hai tia Ox
và Oy:

b)Các ví dụ:
Ví dụ 1.1 : : Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB . VÏ

®iÓm N n»m gi÷a M vµ B . LÊy ®iÓm O n»m ngoµi ®êng
0
�
th»ng AB . Gi¶ sö AOB = 110 ;
� = 600 ; MON
� = 200 ;
�
AOM
. TÝnh sè ®o NOB ?;

Hướng dẫn giải:

3

Vì điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên M nằm giữa hai điểm
A và B , suy ra tia OM nằm giữa hai tia OA và OB, do đó ta có:
0
0
0
0
0
� + MOB
� = AOB
�
�
�
AOM
hay 60 +MOB=110 � MOB=110 - 60 =50 .

Vì điểm N nằm giữa hai điểm M và B, nên tia ON nằm giữa hai tia OM và OB,
do đó ta có:
0
0
0
0
0
� + NOB
� = MOB
�
�
�
MON

hay 20 +MOB=50 � NOB=50 - 20 =30
0
�
Vậy NOB =30 .

Ví dụ 1.2 : Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, điểm D thuộc tia BC và
không trùng B, điểm O nằm ngoài đường thẳng AC. Trong ba tia OA, OB, OD
tia nào nằm giữa hai tia còn lại? (Bài 39 - trang 67/sách nâng cao và phát triển
toán 6 tập 2)
Hướng dẫn giải:

-Ta có: Điểm B nằm giữa hai điểm A và C nên suy ra hai tia BA và BC là hai tia
đối nhau. (1)
-Vì điểm D thuộc tia BC nên hai tia BD và BC là hai tia trùng nhau. (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai tia BA và BD là hai tia đối nhau . Nên điểm B nằm giữa
hai điểm A và D. Mà O nằm ngoài đường thẳng AC hay AB. Do đó trong ba tia
OA, OB, OD tia OB nằm giữa hai tia còn lại; Tia OA không nằm giữa hai tia
còn lại; tia OD không nằm giữa hai tia còn lại.
Ví dụ 1.3 : Cho tia Oc nằm giữa hai tia Oa và Ob không đối nhau, tia Om
nằm giữa hai tia Oa và Oc, tia On nằm giữa hai tia Oc và Ob. Giải thích vì sao
tia Oc nằm giữa hai tia Om và On? (Ví dụ 15- trang 66//sách nâng cao và phát
triển toán 6 tập 2)
Hướng dẫn giải:

4


Lấy điểm A, B không trùng với điểm O sao cho A thuộc tia Oa, B thuộc
tia Ob.Tia Oc nằm giữa hai tia Oa và Ob nên tia Oc cắt đoạn thẳng AB tại điểm
C nằm giữa hai điểm A và B, suy ra hai tia CA và CB là hai tia đối nhau(1).

Cũng vậy, tia Om cắt đoạn thẳng AC tại điểm M nằm giữa A và C nên hai
tia CA và CM là hai tia trùng nhau(2); tia On cắt đoạn thẳng CB tại N nằm giữa
C và B nên hai tia CN và CB là hai tia trùng nhau(3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra hai tia OM và ON là hai tia đối nhau nên điểm C
nằm giữa hai điểm M và N, do đó tia Oc nằm giữa hai tia Om và On.
Chú ý: -Bài toán trên vẫn đúng nếu Oa, Ob là hai tia đối nhau.
*Qua các ví dụ trên, giáo viên rèn cho học sinh:
-Kĩ năng vẽ hình
-Bài toán dạng này cốt lõi là phải chứng minh được điểm nằm giữa hai điểm vì
vậy giáo viên cần củng cố và rèn cho học sinh các phương pháp chứng minh một
điểm nằm giữa hai điểm .
2.2 Phương pháp so sánh hai góc trên cùng một nửa mặt phẳng:
a)Phương pháp:
0 �
0
�
Sử dụng nhận xét : Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox có xOy = m ; xOz = n
0
0
mà m
b)Ví dụ :
Ví dụ 2. 1:Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ hai tia OB, OC
0 �
0
�
�
sao cho BOA =145 , COA =55 .Tính số đo BOC
? (Bài 27 trang 85/ SGK toán 6 tập 2).

Hướng dẫn giải:

5


0
0
�
�
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có: BOA =145 < COA =55 nên
suy ra tia OC nằm giữa hai tia OA và OB. Do đó ta có:

� + COB
� = BOA
� � COB
� = BOA
� - AOC
� � COB
� =1450 - 550 = 900
AOC

Ví dụ 2.2: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
0
�
xy vẽ AOx= 60

;

�
�

BOy=
300 . Chứng tỏ rằng AOB
là góc vuông.

Hướng dẫn giải:

Vì điểm O thuộc đường thẳng xy nên hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau, suy
�
�
ra hai góc AOx
và AOy là hai góc kề bù. Do đó ta có:
� + AOy
� = 1800
AOx
� = 1800 - AOx
�
� AOy
� = 1800 - 600 = 1200
� AOy
�
�
Vì hai góc AOx
và BOy thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ xy nên hai tia OA
0
0
�
�
và OB thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ xy, mà BOy=30 < AOy = 120 do đó tia
OB nằm giữa hai tia OA và Oy. Suy ra:

� + BOy
� = AOy
�
AOB
� = AOy
� - BOy
�
� AOB
0
� = 120 - 300 = 900
� AOB

�
Vậy AOB
là góc vuông.

6


Chú ý:Với phương pháp này học sinh rất hay mắc sai lầm khi so sánh hai góc
mà không chú ý là hai góc đó có thuộc cùng một nửa mặt phẳng hay không. Do
đó giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ năng nhận biết hai góc( hoặc hai tia) thuộc
cùng một nửa mặt phẳng. Đặc biệt là khi so sánh hai góc phải lưu ý hai góc đó
phải nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh chung của hai góc.
2.3. Phương pháp chứng minh tia nằm giữa hai tia được suy ra từ công thức cộng
góc.
a) Phương pháp:
Để áp dụng phương pháp này, học sinh cần nắm chắc nội dung nhận xét sau:
�
�

�
Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì xOy + yOz = xOz . Ngược lại, nếu
� +�
�
xOy
yOz = xOz
thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.

b) Ví dụ:
0
�
Ví dụ 3.1 : Cho biết tia OI nằm giữa hai tia OA, OB. Biết AOB = 60 ;

� = 1 AOB
�
BOI
�
�
4
. Tính BOI ; AOI ?( Bài 20/SGK toán 6 tập 2 trang 82)

Hướng dẫn giải:

� = 1 AOB
�
� = 1 .600 =150
BOI
BOI
0
�

4
4
Ta có:
; mà AOB = 60 suy ra :
.

�
�
�
Vì tia OI nằm giữa hai tia OA và OB nên ta có: AOI +BOI = AOB
0
0
0
0
0
�
�
Hay AOI +15 = 60 � AOI =60 - 15 = 45 .
0
�
Vậy AOI = 45 .

0
�
Ví dụ 3.2: Cho hình vẽ, biết hai tia AM và AN đối nhau, MAP=33 ,

�
�
NAQ=
580 , tia AQ nằm giữa hai tia AN và AP. Hãy tính số đo x của PAQ

.( Bài

23/SGK toán 6 tập 2 trang 83)

7


Hướng dẫn giải:
�
�
Vì AM và AN là hai tia đối nhau nên MAP và PAN
là hai góc kề bù, do đó ta

có:
� + PAN
� =1800
MAP
� = 1800 - MAP
�
� PAN
0
�
� PAN =180 - 330 = 1470

Vì tia AQ nằm giữa hai tia AN và AP nên tao có :
� + QAN
� = PAN
�
PAQ
� = PAN

� - QAN
�
PAQ
� =1470 - 580 = 890
PAQ

Vậy x = 890.
*Nhận xét : Ta thấy ở ví dụ trên không khó , học sinh có thể giải theo các cách khác
nhau nhưng giáo viên cần lưu ý học sinh cách lập luận cho chặt chẽ.
2.4. Phương pháp chứng minh tia nằm giữa dựa vào hai góc kề nhau bù.
a)Phương pháp:
�
�
Nếu hai góc xOy và yOz là hai góc kề nhau mà:
�

�

0

�

�

0

+) xOy + yOz�180 thì hai tia Ox và Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối
nhau bờ chứa tia Oy nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.
+) xOy + yOz>180 thì hai tia Ox và Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối
nhau bờ chứa tia đối của tia Oy nên tia đối của tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.

b)Ví dụ:
�
�
�
�
Ví dụ 4.1 . Cho hai góc kề bù xOy và yOz , biết xOy =3 yOz .
�
�
a)Tính xOy , yOz ?

8


0
�
�
�
b)Vẽ góc zOt
kề với yOz sao cho zOt=135 . Chứng tỏ rằng Oy và Ot là hai tia đối

nhau?
Hướng dẫn giải:

�
�
a) Vì hai góc xOy và yOz là kề bù nên ta có:
� + yOz
� =1800
xOy
� + yOz

� =1800
� 3 yOz

� = 1800 :4 = 450
� =1800 � yOz
� 4 yOz
.
0
0
0
�
�
Vậy yOz= 45 và xOy=3.45 =135 .

�
�
b) Vì góc yOz và zOt
là hai góc kề nhau nên hai tia Oy và Ot nằm trên hai nửa

mặt phẳng đối nhau bờ chứa cạnh chung Oz, do đó tia Oz nằm giữa hai tia Oy
và Ot, suy ra:
� + zOt
� = yOt
�
yOz
0
� = 45 +1350
� yOt
� =1800
� yOt

�
Suy ra góc yOt là góc bẹt. Vậy hai tia Oy và Ot là hai tia đối nhau.

*Nhận xét: Ở ví dụ này học sinh dễ mắc sai lầm là không chứng minh tia Oz
nằm giữa hai tia Oy và Ot mà sử dụng điều này một cách hiển nhiên.
Ví dụ 4.2:

0
�
�
�
Cho hai góc kề nhau AOB
và AOC
,sao cho AOB=130 ;

�
�
AOC=
1100 .Tính số đo góc BOC
? (Ví dụ 9 trang 169- sách các dạng toán và phương

pháp giải toán 6 tập 2);
Hướng dẫn giải:

9


0
0

0
0
�
�
�
�
Vì hai góc AOB
và AOC
kề nhau mà AOB + AOC =180 +110 = 240 >180

suy ra hai tia OB và OC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia đối của tia
OA là tia OM, suy ra tia OM nằm giữa hai tia OB và OC.
�
�
Vì hai tia OA và OM là hai tia đối nhau nên hai góc AOB và BOM
là hai góc
0
0
0
0
0
�
�
�
�
kề bù, suy ra: AOB +BOM =180 � BOM =180 - AOB=180 - 130 =50 .
0
�
Tương tự ta tính được COM = 70

Vì tia OM nằm giữa hai tia OB và OC suy ra:
� = BOM
� +COM
� =500 + 700 =1200
BOC
0
�
Vậy BOC= 120 .

2.5.Phương pháp chứng minh tia nằm giữa hai tia bằng cách áp dụng định nghĩa
tia phân giác của một góc.
a)Phương pháp:Để áp dụng phương pháp này học sinh cần nắm vững định nghĩa
tia phân giác của một góc:

Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai
cạnh ấy hai góc bằng nhau.

b)Ví dụ:

10


Ví dụ 5.1: Cho hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một mặt phẳng có bờ chứa tia Ox.
0 �
0
�
�
Biết xOy=30 , xOz=80 . Vẽ tia phân giác Om của xOy . vẽ tia phân giác On của

�

�
yOz
. Tính mOn
.(Bài 36 trang 87/SGK toán 6 tập 2).

Hướng dẫn giải:

+)Vì hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ có chứa tia Ox mà
� =300 < yOz
� =800
xOy
nên suy ra tia Oy nằm giữa hai Ox và Oz. Do đó ta có:


� + yOz
� = xOz
� � yOz
� = xOz
� - xOy
� = 800 - 300 =500
xOy

 Và hai tia Ox và Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia
Oy (1).
�
xOy
300
�
�
xOm = mOy =

=
=150
�
xOy
2
2
+)Vì Om là tia phân giác của
nên suy ra:

Và tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy suy ra hai tia Om và Ox cùng thuộc một
nửa mặt phẳng bờ Oy(2).
0
�
� = nOz
� = yOz = 50 = 250
yOn
�
2
2
+) Vì On là tia phân giác của yOz nên suy ra:

Và tia On nằm giữa hai tia Oy và Oz, suy ra hai tia On và Oz thuộc cùng một
nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy(3).
Từ (1), (2) và (3) � hai tia Om và On thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ
chứa tia Oy � tia Oy nằm giữa hai tia Om và On
0
0
0
�
�

�
� mOn = mOy + yOn = 15 + 25 = 40
0
�
Vậy mOn = 40

Ví dụ 5.2: Cho hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox. Biết
� =300 , xOz
� =1200
xOy
.

a)Tính số đo góc yOz.

11


�
�
b)Vẽ tia phân giác Om của xOy , tia phân giác On của xOz . Tính số đo góc mOn.

.(Bài 36 trang 87/SGK toán 6 tập 2).
Hướng dẫn giải:

0
0
�
�
a)Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOy =30

tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz, do đó ta có:
� + yOz
� = xOz
�
xOy
� = xOz
� - xOy
� =1200 - 300 =900
� yOz
0
�
Vậy yOz =90 .

�
xOy
300
�
�
xOm = mOy =
=
=150
�
xOy
2
2
b) +)Vì Om là tia phân giác của
nên suy ra:

Và tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy suy ra hai tia Om và Oy cùng thuộc một nửa
mặt phẳng bờ Ox (2).

0
�
� = nOz
� = yOz =120 = 600
xOn
�
2
2
+) Vì On là tia phân giác của xOz nên suy ra:

Và tia On nằm giữa hai tia Oy và Oz, suy ra hai tia On và Oz thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ chứa tia Ox (3).
+) Vì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz, suy ra hai tia Oy và Oz thuộc cùng một nửa
mặt phẳng bờ Ox (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra hai tia Om và On thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox.
0
0
�
�
Mà xOm = 15 < xOn = 60 nên suy ra tia Om nằm giữa hai tia Ox và On. Do đó ta có:

� + mOn
� = xOn
�
xOm
� = xOn
� - xOm
� =600 - 150 = 450
� mOn
0

�
Vậy mOn = 45 .

12


Nhận xét: Với bài này học sinh hay mắc sai lầm ở chỗ:
�
-Không đọc kĩ đề bài dẫn đến vẽ tia On là tia phân giác của góc yOz hoặcvẽ
�
đúng hình nhưng lại hiểu sai dẫn đến tính sai số đo góc mOn .

-Không chứng minh được hai tia Om và On thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ
Ox mà sử dụng điều này một cách hiển nhiên.(Đối với học sinh đại trà chúng ta
thường châm trước điều này).
�

�

-Học sinh thường so sánh hai góc yOm và yOn để suy ra tia Oy nằm giữa hai
tia Om và On, mà không để ý rằng hai góc này nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau
bờ chứa cạnh chung Oy.
3.Một số bài tập tổng hợp:
Bài tập 1 (Trích đề thi cuối năm-năm học 2015- 2016/Phòng GD&ĐT Ý Yên):
0
0
�
�
�
�

Cho xOy =110 .Vẽ hai tia Om, On nằm trong xOy sao cho xOm = yOn = 25 . Vẽ
đường thẳng d cắt các tia Ox, Om, On, Oy lần lượt ở A, B, C, D.

1) Chứng tỏ C nằm giữa B và D.
�
2) Tính số đo góc BOC .

�
3) Tia phân giác của xOy cắt d tại I. Chứng tỏ rằng OI là tia phân giác của
�
BOC
.

Hướng dẫn giải:

1) Muốn chứng tỏ C nằm giữa B và D ta phải chứng tỏ tia On nằm giữa hai tia Oy
và Om. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh làm như sau:
�
+)Vì tia Om nằm trong góc xOy nên suy ra tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy,
0
0
0
�
�
�
�
�
�
do đó ta có: xOm + mOy = xOy � mOy = xOy - xOm = 110 - 25 =85 .

13


�
+)Vì hai tia Om và On nằm trong góc xOy nên hai tia Om và On thuộc cùng
�

0

�

0

một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy, mà yOn = 25 < yOm =85 nên suy ra tia On nằm
giữa hai tia Oy và Om, mặt khác đường thẳng d cắt Oy , On, Om lần lượt tại D, C, B
do đó C nằm giữa B và D (đpcm).
2) Vì tia On nằm giữa hai tia Oy và Om nên ta có:
� + mOn
� = yOm
� � mOn
� = yOm
� - yOn
� = 850 - 250 = 600
yOn
0
0
�
�
Suy ra mOn =60 hay BOC =60 .

�
xOy
1100
�
�
xOI = IOy =
=
=550
�
xOy
2
2
3) +) Vì OI là tia phân giác của
nên suy ra:
và
�
xOy

tia OI nằm trong

.

�
+) Vì hai tia Om và OI nằm trong xOy nên suy ra hai tia Om và OI thuộc cùng
0
0
�
�
một nửa mặt phẳng bờ Ox, mà xOm = 25 hai tia Ox và On, suy ra:

� + mOI
� = xOI
� � mOI
� = xOI
� - xOm
� =550 - 250 =300
xOm

+)Chứng minh tương tự ta có tia On nằm giữa hai tia Oy và OI.
� + nOI
� = yOI
� � nOI
� = yOI
� - yOn
� =550 - 250 = 300
yOn
0
0
0
�
�
�
+) Ta có: nOI + mOI = 30 + 30 =60 = BOC nên suy ra tia OI nằm giữa hai tia
0
�
�
�
OB và OC, mặt khác nOI = mOI (= 30 ) do đó tia OI là tia phân giác của BOC (đpcm)

Chú ý: Học sinh cũng có thể chứng minh tia OI nằm giữa hai tia OB và OC theo các
cách khác, chẳng hạn chứng minh OB và OC thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ
OI như sau:
0
�
� = IOy
� = xOy =110 =550
xOI
�
2
2
+) Vì OI là tia phân giác của xOy nên suy ra:
và
�
xOy

tia OI nằm trong

.

�
+) Vì hai tia Om và OI nằm trong xOy nên suy ra hai tia Om và OI thuộc cùng
0
0
�
�
một nửa mặt phẳng bờ Ox, mà xOm = 25 hai tia Ox và On, suy ra:

� + mOI

� = xOI
� � mOI
� = xOI
� - xOm
� =550 - 250 =300
xOm

14


+)Chứng minh tương tự ta có: tia On nằm giữa hai tia Oy và OI nên hai tia On
và Oy thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OI. Lại có, Om và Ox thuộc cùng
một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OI(do Om nằm giữa OI và Ox) ; Ox và Oy thuộc hai
�

nửa mặt phẳng đối nhau bờ OI(do OI là tia phân giác của xOy ).Suy ra: hai tia Om và
On thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ OI hay OI nằm giữa Om và On
� + mOI
� = mOn
� � nOI
� = mOn
� - mOI
� = 600 - 300 =30 0
� nOI
� =mOI
� (=300 )
� nOI
�
Nên OI là tia phân giác của mOn � đpcm.

Bài tập 2 (Trích đề thi cuối năm-năm học 2016- 2017/Sở GD&ĐT Nam Định) :
�
�
Vẽ hai góc kề bù xOy và yOz sao cho số đo bằng 1400. Gọi Ot là tia phân giác của
�
�
xOy
, vẽ tia Om nằm giữa hai tia Oy và Oz sao cho số đo góc tOm bằng 900.

�
a) Tính số đo góc yOm .

�
b) Tia Om có phải là tia phân giác của yOz không? Tại sao?

Hướng dẫn giải:

�

�

a)Vì hai góc xOy và yOz là hai góc kề bù nên suy ra hai tia Ox và Oz thuộc hai nửa
mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Oy (1).
�

+)Vì Ot là tia phân giác của xOy nên suy ra Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy, do đó hai
tia Ox và Ot thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy (2).
0
�
� = tOy

� = xOy =140 =700
xOt
2
2
Và

+)Tương tự ta có hai tia Om và Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy (3)

15


Từ (1), (2) và (3) suy ra hai tia Om và Ot thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa
tia Oy � Tia Oy nằm giữa hai tia Om và Ot, suy ra:
� + yOt
� = mOt
� � mOy
� = mOt
� - yOt
� =900 - 700 = 200
mOy
�
�
b)Vì hai góc xOy và yOz là hai góc kề bù nên suy ra:

� + yOz
� =1800 � yOz
� =1800 - xOy
� =1800 - 1400 = 400
xOy

+) Ta có tia Om nằm giữa hai tia Oy và Oz (4), nên suy ra:
� +�
� � mOz
� = yOz
� - yOm
� = 400 - 200 = 200
yOm
mOz = yOz
0
�
�
Suy ra : mOz = yOm (= 20 ) (5)

�
Từ (4) và (5) suy ra tia Om là tia phân giác của yOz .

Chú ý: Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh hiểu rõ:
- Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì hai tia Ox và Oz thuộc hai nửa mặt
phẳng đối nhau bờ Oy; hoặc hai tia Ox và Oy thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ Oz;
hoặc Oy và Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox.
-Nếu muốn chứng minh tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz ta cần chứng minh
cho hai tia Ox và Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Oy; hoặc chứng minh cho
hai tia Oy và Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox rồi so sánh 2 góc;…
Phần III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại.
1. Kết quả thực nghiệm:
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của
bộ môn. Điều đó được thể hiện cụ thể qua kết quả kiểm tra về tính số đo góc, chứng
minh tia phân giác của một góc,… được thống kê qua các giai đoạn ở hai lớp 6, 7
trường THCS Lê Quý Đôn năm học 2016 – 2017 và kết quả học sinh giỏi năm học
2016-2017 như sau:

1.1.

Chưa áp dụng sáng kiến:
( Lớp 6A2, năm học 2015 - 2016)
Thời gian

Tổng số

Điểm khá, giỏi

Điểm trung bình

Học kỳ II

HS

SL

Tỉ lệ (%)

SL

Tỉ lệ (%)

Chưa áp dụng giải pháp

36

25

69,4

11

30,6

16


* Nhận xét: Nhiều học sinh chưa nắm vững phương pháp chứng minh một tia
nằm giữa hai tia, cách trình bày bài giải còn chưa lôgic.
1.2. Áp dụng sáng kiến:
( Lớp 6A2, năm học 2016 - 2017)
Thời gian:

Tổng số

Điểm khá, giỏi

Điểm trung bình

Học kỳ II

HS

SL

Tỉ lệ (%)

SL

Tỉ lệ (%)

Kết quả áp dụng giải
pháp (lần 1)

35

33

94,3

2

5,7

- Chất lượng đại trà cuối năm học 2016 – 2017 đạt 100% khá giỏi.
* Nhận xét:
- Về kiến thức: Học sinh đã nắm chắc kiến thức cơ bản về các phương pháp
chứng minh một tia nằm giữa hai tia trong thực hành chứng minh hình học.
- Về kỹ năng: Học sinh vận dụng tương đối thành thạo , linh hoạt việc chứng
minh một tia nằm giữa hai tia trong các bài cụ thể. Đặc biệt học sinh lập luận chặt chẽ
và logic hơn khi làm bài.
- Về năng lực: Đã góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực giải
quyết vấn đề và sáng tạo, năng lực tư duy,…
Đặc biệt, đội tuyển Học sinh giỏi Toán 6 do chúng tôi bồi dưỡng đã xếp thứ 01
trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện với 02 giải nhất, 04 giải nhì, 04 giải ba, 02 giải
khuyến khích.
2. Bài học kinh nghiệm
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này tôi nhận thấy học

sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Kinh
nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, yếu nắm vững chắc về các phương pháp
chứng minh một tia nằm giữa hai tia trong chương trình đã học, được học và rèn luyện
kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác
nhau thông qua một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều
kiện tìm hiểu thêm một số dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy khả năng toán
học, phát huy năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh đáp
ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay.
Phần IV. Cam kết không sao chép và vi phạm bản quyền.
Tôi xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và kết quả
nghiên cứu trong đề tài này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Ý Yên,ngày 15 tháng 5 năm 2017
Người viết sáng kiến

17


Nguyễn Thị Lan

18