Cấu trúc bộ lọc số

Cấu trúc bộ lọc số


R.6.1. Thuật toán tính toán bộ lọc FIR tuyến tính bất biến
(LTI) được trình bày dưới dạng sơ đồ khối, trong đó các
khối cơ bản biểu diễn cho các khối trễ đơn vị, bộ nhân,
cộng và các nút chuyển đổi được mô tả như sau.:
 
x[n]

x[n]

x[n]

x[n] + y[n]

x[n]

x[n]

z-1
x[n]

 x[n]

x[n]

x[n -1]


R6.2. Hai cấu trúc bộ lọc được gọi là tương đương nếu

chúng có cùng hàm truyền. Phương pháp khá đơn giản để
tạo ra cấu trúc tương đương từ cấu trúc đã cho là chuyển vị
các bước thực hiện như: đảo ngược đường dẫn, thay thế các
nút chuyển đổi bằng các bộ cộng và ngược lại, chuyển đổi
các nút vào và các nút ra.
R6.3. Cấu trúc trực tiếp là cấu trúc trong đó các hệ số của
bộ nhân cũng chính là các hệ số của hàm truyền..


R6.4. Bộ lọc FIR nhân quả với chiều dài M được đặc trưng
bởi hàm truyền H(z):
M1

H ( z )  h [ n ] z  k

(6.1)

k 0

là đa thức bậc M-1 theo z-1. Trong miền thời gian, mối quan hệ
giữa đầu vào x[n] và đầu ra y[n] của bộ lọc FIR được mô tả
như sau:
M 1

y [ n ]  h[ k ] x [ n  k ]
k 0

(6.2)

R6.5
Việc thực hiện trực tiếp có thể được trình bày theo công thức
(6.2). Hình (a) là cấu trúc bộ lọc FIR với M = 5. Hình (b) là
dạng chuyển vị.
Nhìn chung, bộ lọc FIR với chiều dài M được đặc trưng bởi
M hệ số , do đó yêu cầu phải có M bộ nhân, M-1 bộ cộng 2
đầu vào để thực hiện.


x[n]

z-1

h[0]

z-1

h[1]

z-1

h[2]

z-1

h[3]

h[4]
y[n]

+

+

+

+

(a)
+

z-1

h[4]

h[3]

+

z-1

h[2]

x[n]

(b)

+

z-1

h[1]

z-1

+

h[0]

y[n]


R6.6. Hàm truyền của bộ lọc FIR bậc cao hơn cũng có thể
được thực hiện bằng cách ghép nối tiếp từng phần của bộ
lọc với nhau. Mỗi phần được đặc trưng bởi hàm truyền bậc
1 hoặc bậc 2. Cuối cùng, hàm truyền của bộ lọc FIR được
biểu diễn dưới dạng các hệ số như sau:

H ( z )  h[ 0 ]



(1   1k z -1   2k z -2 )

(6.3)

k

Trong đó hệ số bậc 1 2k = 0. Hình vẽ sau là cấu trúc ghép
tầng của ba thành phần bậc 2. Mỗi thành phần có thể được

biểu diễn dưới dạng chuyển vị trực tiếp. Nhìn chung yêu
cầu đối với hàm truyền FIR với chiều dài M được thực hiện
theo cấu trúc ghép tầng phải có M-1 bộ cộng 2 đầu vào, M
bộ nhân.


h[0]
+

x[n]

+

+

y[n]
z-1

z-1

11

12

+
z-1

z-1

z-1

 21

 23
+

+
z-1

 22

 23


R6.7
Bộ lọc FIR pha tuyến tính được đặc trưng bởi đáp ứng
xung đối xứng h[n] = h[M-1-n] hoặc đáp ứng xung phản
đối xứng h[n] = -h[M-1-n]. Đặc tính đối xứng (hoặc phản
đối xứng ) của bộ lọc FIR pha tuyến tính được sử dụng để
giảm bớt một nửa số lượng các bộ nhân thực hiện ở dạng
trực tiếp. Ví dụ ở hình 6.4a và 6.4b là cấu trúc thực hiện
hàm truyền của bộ lọc FIR có chiều dài bằng 7 và 8 với
đáp ứng xung đối xứng .


R6.8. Bộ lọc FIR nhân quả bậc N được đặc trưng bởi hàm
truyền H(z):
N

k

p
z
k 0 k

H( z ) 
N
1  dk z  k

(6.4)

k 1

Với đa thức ở tử và mẫu có bậc là N và được biểu diễn theo z -1.
Mối quan hệ giữa đầu vào và ra của bộ lọc FIR được biểu diễn
trong miền thời gian như sau:
N

y[ n ]   p k x [ n  k ] 
k 0

N

d
k 1

k

y [n k]

(6.5)

R6.9. Bằng cách đặt biến trung gian w[n] ta có:
N

w[ n ]  pk x [ n  k ]

(6.6)

k 0

Phương trình sai phân của biểu thức (6.5) được viết lại như
sau:

y [ n ] w [ n ] 

N

d
k 1

k

y[ n  k ]

(6.7)


Việc thực hiện bộ lọc FIR theo công thức (6.6) và (6.7) gọi là
cấu trúc trực tiếp chuẩn tắc 1. Hình 6.5a là cấu trúc của bộ lọc

FIR có N=3. Hình 6.5b là cấu trúc chuyển vị của nó. Số
lượng các bộ trễ yêu cầu ở dạng chuẩn tắc 1 là 2N. Số lượng
này có thể giảm xuống còn N nếu ta dùng cấu trúc theo dạng
chuẩn tắc 2 như hình 6.6 với N=3
Hàm truyền bộ lọc IRR bậc N được đặc trưng bởi 2N + 1 hệ
số duy nhất. Do đó cần phải có 2N+1 bộ nhân và 2N bộ cộng
2 ngõ vào.


x[n]

+
z-1

p1

+

y[n]

+

+

 d1

z-1

z-1

z-1

p2

+

+

 d2
z-1

z-1

p4

 d3

Cấu trúc chuẩn tắc 1


R6.10
Đa thức ở tử và mẫu của hàm truyền H(z) có thể được biểu diễn
dưới dạng tích của các đa thức bậc 1 và bậc 2. Trong trường hợp
này H(z) có dạng:

 1   1k z  1   2 k z  2 

H ( z )  p 0 
1
2 

  2k z 
k  1   1k z
Trong đó các hệ số bậc 1 và bậc 2 2k = 2k = 0. Hàm truyền
bậc 3 có dạng:

 1   11 z  1
H ( z )  p0 
1
1


z
11






 1   12 z  1   22 z  2

1
2
1


z


z

12
22







R6.11
Hàm truyền của bộ lọc IRR có thể được thực hiện dưới
dạng chuẩn tắc song song bằng cách khai triển thành các
phân thức đơn giản theo z-1. Cấu trúc này gọi là dạng
chuẩn tắc song song loại I. Giả sử các điểm cực là không
đáng kể thì H(z) có dạng:

H ( z )  0  
k

Trong đó: 2k = 1k = 0


 0 k   1k z  1 


1
2 
 1   1k z   2 k z 

Nếu khai triển hàm truyền thành các phân thức đơn giản
theo z thì ta có cấu trúc chuẩn tắc song song loại II. Giả sử
các điểm cực là không đáng kể thì H(z) có dạng:

  0k z  1   2k z  2 

H ( z )  0   
1
2 
k  1   1k z   2 k z

trong đó: 2k = 2k = 0


R6.12 Hàm truyền thông tất hệ số thực bậc M
d M  d M  1 z  1  ......  d1 z  ( M  1)  z  M
AM ( z ) 
1  d1 z  1  ......  d M  1 z  ( M  1)  d M z  M

được đặc trưng bởi M hệ số duy nhất, do đó chỉ sử dụng M
bộ nhân. Trong phương pháp 1, AM(z) được thực hiện bằng
cách ghép nối tiếp từng khối nhỏ AMi(z) bậc 1 và bậc 2.
Trong phương pháp 2, AM(z) được thực hiện dưới dạng mắt
cáo 2 tế bào bậc 1 bằng hàm truyền thông tất A M-1(z) bậc
M-1. Lặp lại quá trình trên thì AM(z) thu được dưới dạng
mắt cáo ghép tầng.


R6.13 .Hàm truyền thông tất bậc 1 có dạng:

d1  z  1
A1 ( z ) 
1  d1 z  1
R6.14. Việc thực hiện 2 bộ nhân của hàm truyền thông tất
bậc 2 có dạng:
d1 d 2  d1 z  1  z  2
A2 ( z ) 
1  d1 z  1  d1 d 2 z  2
được gọi là cấu trúc thông tất loại 2.Thêm vào đó cấu trúc
thông tất loại 2 cũng có thể được suy ra bằng cách chuyển vị
các cấu trúc này.


R6.15. Thực hiện 2 bộ nhân hàm truyền thông tất bậc 2
có dạng:
d 2  d1 z  1  z  2
A2 ( z ) 
1  d1 z  1  d 2 z  2

được gọi là cấu trúc thông tất loại III. Ta có thể biểu diễn ở
dạng khác bằng cách lấy chuyển vị từ các cấu trúc này.


.R6.17. Cấu trúc mắt cáo ghép tầng của hàm truyền thông tất
bậc M được thực hiện trên cơ sở phân tích A m(z) thành một
chuỗi hàm truyền thông tất Am-1(z) bậc m-1 ,
với m = M, M-1, …., 1
d m  d m  1 z  1  d m  2 z  2  ....  d1 z  ( m  1)  z m
Am ( z ) 
1  d1 z  1  d 2 z  2  ....  d m  1 z  ( m  1)  d m z m

Thực hiện đệ qui ta có:
 Am ( z )  k m 
Am  1 ( z )  z 
,
1  k m Am ( z ) 

m M, M - 1,.....1

trong đó km = Am() = dm. AM(z) sẽ ổn định khi và chỉ khi:


km = Am() = dm. AM(z) sẽ ổn định khi và chỉ khi:

k m2  1,

m M, M - 1,...,1

Nếu Am-1(z) được biểu diễn dưới dạng:

d m'  1  d m'  2 z  1  ....  d1' z  ( m 2)  z  ( m 1)
Am 1 ( z ) 
1  d ' 1 z  1  ....  d m'  2 z  ( m 2)  d m'  1 z  ( m 1)
thì các hệ số của Am-1(z) được thay bằng các hệ số của
Am(z) qua biểu thức:

d i  d m d m 1
d 
1  d m2
'
i

, i = m-1, m-2,….,2,1


R6.18. Cấu trúc mắt cáo ghép tầng ở hình 6.12 thực hiện
hàm truyền H(z) bậc M tuỳ ý theo phương pháp GrayMarket. Trong phương pháp này, H(z) = PM(z) / DM(z)
được thực hiện theo 2 bước. Trước tiên hàm truyền
AM(z) = z-M DM(z-1) / DM(z) được thực hiện theo cấu trúc
mắt cáo ghép tầng. Tiếp theo tính tổng các biến trạng
thái với các trọng số tương ứng với các hệ số trong đa
thức ở tử PM(z).
Xét bộ lọc IRR bậc 3 có hàm truyền

P3 ( z ) p0  p1 z  1  p 2 z  2  p3 z  3
H ( z) 

D3 ( z ) 1  d1 z  1  d 2 z  2  d 3 z  3


Hàm truyền thông tất A3(z) = Y1(z)/X1(z) = z-3D3(z-1)/D3(z)
được thực hiện như hình 6.13a trong đó:
d 2  d 3 d1
d1  d 3 d 2
'
'
d2 
d1 
2
1  d 32
1  d3

'
' '
'
d

d
d
d
d1''  1 '2 21  1 '
1  (d 2 )
1 d2

Tiếp theo các biến Y1, S1, S2 và S3 được lấy tổng với các trọng
số { i } như hình 6.13b. Các trọng số i được cho bởi:
1 = p3

3 = p1 - 1d2 - 2d1’

2 = p2 - 1d1

4 = p0 - 1d3 - 2d2’- 3d1’’


R6.19. Đặt G(z) là hàm truyền của bộ lọc IRR bouned-real
nhân quả có tử số đối xứng và đặt H(z) là hàm truyền nhân
quả bù năng lượng bậc N của G(z) với tử số phản đối xứng
thì G(z) và H(z) có dưới dạng:
1
 A0 ( z )  A1 ( z )
2

1
H ( z )   A0 ( z )  A1 ( z )
2

G( z) 

Trong đó A0(z) và A1(z) là hàm truyền thông tất nhân quả
và ổn định với tổng các bậc của nó bằng N. Việc thực hiện
G(z) va H(z) như hình 6.14.


Trong trường hợp bộ lọc số Butterworth, Chebyshev và
elip bậc lẻ hoặc hàm truyền bộ lọc thông cao, việc xác
định các điểm cực của hàm truyền thông tất A0(z) và A1(z)
thông qua các điểm cực k của hàm truyền thông thấp
G(z) và H(z), với 0  k  N-1 . Đặt k là góc của cực k.
Giả sử rằng các điểm cực được đánh số k < k+1 thì các
điểm cực của A0(z) được cho bởi 2k và các điểm cực của
A1(z) được cho bởi 2k+1. Hình 6.15 minh hoạ mối liên hệ
giữa các cực của hai hàm truyền thông tất.