Đề thi violympic môn toán 6 huyện kinh môn tỉnh hải dương năm học 2017 2018 có đáp án

UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN - LỚP 6
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề gồm có: 5 câu, 01 trang)

Câu 1: (2,0 điểm)
1
1
1
1
).(1+ ).(1+ )...(1+
).
3
8
15
2499
1 1 1
4 4
4
1+ + +
4+ +
−
3 9 27 :
7 49 343
2) Tính nhanh B =
2 2 2
1 1
1

2+ + +
1+ +
−
3 9 27
7 49 343

1) Rút gọn biểu thức A = (1+

Câu 2: (2,0 điểm)
 1

1

1

1 

23

1) Tìm x, biết:  + + + ... + ÷.x = .
8.9 
45
 1.2 2.3 3.4
201899 − 1
201898 − 1
2) So sánh: E =
và F =
.
2018100 − 1
201899 − 1

Câu 3: (2,0 điểm)
1) Tìm số tự nhiên x, y biết 5x + 11y = 26.
2) Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0 ), biết ab − ba là số chính phương.
Câu 4: (3,0 điểm)
1) Trên tia Ox lấy 2 điểm A, B sao cho OA = 6cm, OB =10cm. Gọi E, F lần lượt
là trung điểm của OA, AB. Tính độ dài đoạn thẳng EF.
·
2) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Oz sao cho xOy
= 500;
·
= 1000. Vẽ tia Oy' là tia đối của tia Oy. Tính số đo ·y ,Oz .
xOz
3) Cho 2018 điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Qua hai điểm
ta kẻ một đường thẳng. Tính số đường thẳng kẻ được.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số. Tìm giá trị lớn nhất của A =
------------------- Hết--------------------

abc
+ 1918 .
a+b+c

Họ và tên học sinh:……………………………………Số báo danh:………………
Giám thị 1:…………………………………. Giám thị 2:………………………………

1


UBND HUYỆN KINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu

Ý

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN - LỚP 6
Thời gian làm bài: 150 phút
( Hướng dẫn gồm có: 5 câu, 04 trang)

Đáp án
1
1
1
1
).(1+ ).(1+ )………..(1+
)
3
8
15
2499
4 9 16
2500
A = . . ........
3 8 15
2499
2.2 3.3 4.4
50.50

= . . .......
1.3 2.4 3.5
49.51
2.3.4.....50 2.3.4.....50
.
A=
1.2.3.....49 3.4.5.....51
50 2 100
100
= . =
.Vậy A=
1 51 51
51
1 1 1
4 4
4
1+ + +
4+ +
−
3 9 27 :
7 49 343
B=
2 2 2
1 1
1
2+ + +
1+ +
−
3 9 27
7 49 343

1 
 1 1 1 
 1 1
1.  1 + + + ÷ 4. 1 + +
−
÷
 3 9 27  :  7 49 343 
B=
1 
 1 1 1   1 1
2. 1 + + + ÷ 1.  1 + +
−
÷
 3 9 27   7 49 343 
1
1
B = :4 =
2
8
1
Vậy B =
8

Biểu
điểm

A = (1+

1

1

2

0,25
0,25
0,25
0,25

0,50

0,25
0,25

1
1
1 
23
 1
+
+
+ ... +

÷.x =
8.9 
45
 1.2 2.3 3.4

1
2

1 1
23
1 1 1 1 1 1
 − + − + − + ... + − ÷.x =
8 9
45
1 2 2 3 3 4

0,25

23
1 1 
 − ÷.x =
45
1 9 

0,25

8
23
.x =
9
45

0,25

23 8 23
23
x=

: =
. Vậy x =
45 9 40
40

0,25

2


201899 − 1
2018100 − 2018
⇒
2018.E
=
2018100 − 1
2018100 − 1
2017
⇒ 2018.E = 12018100 − 1
201899 − 1
201899 − 2018
⇒
F=
2018.F
=
201899 − 1
201899 − 1
2017
⇒ 2018.F = 1201899 − 1
2017

2017
2017
2017
⇒1 Vì
<
> 1100
99
100
2018 − 1 2018 − 1
2018 − 1
201899 − 1
hay 2018 E > 2018 F ⇒ E > F .

Ta có E =

2

1

3

2
1

Vậy E > F
+ Với y = 2, ta có 112 = 121 > 26 ⇒ y = 2 không thỏa mãn
Do y là số tự nhiên nên y ∈ { 0;1}
+ Với y = 1, ta có 5x +11 = 26 ⇒ 5x = 15 vì x là số tự nhiên
⇒ không có giá trị nào của x thỏa mãn 5x = 15 ⇒ y =1
không thỏa mãn.

+ Với y = 0 ta có 5x + 1 = 26 ⇒ 5x = 25 = 52 nên x = 2 (thỏa
mãn)
Vậy x = 2; y = 0
Ta có ab − ba = 9.(a − b) .
Do a, b là các chữ số, ab là số nguyên tố, nên 3 ≤ b
⇒ 9.(a - b) là số chính phương khi a - b ∈ { 1; 4}
+ Với a - b =1 mà ab là số nguyên tố ⇒ ta được số ab = 43
+ Với a - b = 4 mà ab là số nguyên tố ⇒ ta được số ab = 73
Vậy ab ∈ { 43;73}
O

E

F

A

B

x

Vì hai điểm A,B cùng nằm trên tia Ox mà OA( 6 cm < 10 cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B ⇒
OA+AB =OB.
Thay số 6 + AB = 10 ⇒ AB=4 cm.Vậy AB= 4cm
Vì E là trung điểm của OA nên EA =

OA
.
2

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

Thay số EA = 6 : 2 = 3 cm
F là trung điểm của AB nên AF =

AB
.
2

Thay số AF = 4 : 2 = 2 cm
Do A nằm giữa O và B, mà E là trung điểm của OA, F là
trung điểm của AB nên điểm A nằm giữa hai điểm E và F ⇒
EF = EA + AF = 3+2 = 5cm.Vậy EF = 5cm

3

0,25
0,25


z
y

O

0,25

x

y'

2
4

Vì hai tia Ox, Oy cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia
Ox, mà
·
·
< xOz
nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz
xOy
0
0
0
+ ·yOz = xOz

·
· . Thay số 50 + ·yOz = 100 ⇒ ·yOz = 50
⇒ xOy

0,25
0,25

Do tia Oy' là tia đối của tia Oy ⇒ ·y ,Oz , ·yOz là hai góc kề bù
0
0
0
⇒ ·y ,Oz + ·yOz = 180 . Thay số: ·y ,Oz + 50 =180 ⇒ ·y ,Oz

3

= 1300
Vậy ·y ,Oz = 1300
Giả sử trong 2018 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Từ 1 điểm ta nối với 2017 điểm còn lại ta được 2017 đường
thẳng.
Làm như vậy với 2018 điểm ta được 2018. 2017 = 4 070 306
đường thẳng
Vì mỗi đường thẳng được tính hai lần, do đó số đường thẳng
kẻ được là: 2 035 153 đường thẳng
Số đường thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là 3;
Số đường thẳng đi qua 3 điểm phân biệt hẳng hàng là l;
Khi thay 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thành 3 điểm
phân biệt thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là: 3 - 1= 2
Do trong 2018 điểm phân biệt trên có đúng ba điểm thẳng
hàng nên số đường thẳng thực tế kẻ được kẻ được là:

2 035 153 - 2 = 2 035 151
Vậy ta kẻ được tất cả là 2 035 151 đường thẳng
t
A=

5

abc
100a + 10b + c
+ 1918 =
+ 1918
a+b+c
a+b+c

+ Nếu b = c = 0 thì A = 100 + 1918 = 2018
+ Nếu b hoặc c khác 0 thì

100a + 100b + 100c
+ 1918 = 100 + 1918 = 2018
a+b+c
Nên A ≤ 2018 .
Giá trị lớn nhất của A là 2018 khi a ∈ { 1; 2;...;9} ; b = c = 0
A<

4

0,25

0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


* Chú ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
--------------------Hết--------------------

5