Đề đáp án kết quả bài KT chuyên đề tính giá trị biểu thức

TP. HCM, ngày 3 tháng 7 năm 2018
PREPARE FOR VMO 2019

The ART of MATHEMATICS
TRAO ĐỔI TOÁN HỌC

1


Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

BÀI KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
1. Problem (7 điểm).
Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau và khác 0 thoả mãn
1 1 1
+ + = 0.
a b c
Chứng minh rằng
a2 + bc
b2 + ca
c2 + ab
+
+
= 2.
a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab
Đề xuất bởi Bùi Cảm

2. Problem (7điểm).

Cho a, b, c là các số thực khác 0 và không đồng thời bằng nhau sao cho
c2
a2 b2
+ +
= 3.
bc ca ab
Tính giá trị biểu thức
H=

ab2 + 1
bc2 + 1
ca2 + 1
+
+
.
a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2
Đề xuất bởi Phạm Hữu Hiệp

3. Problem (7điểm).
Cho x, y là các số thực thoả mãn x + y = 0 và
5 x 4 + y4
x 2 + y2
17
= , 3
= .
3
x+y
3 x +y
9
Tính

U=

x 6 + y6
.
x 5 + y5
Đề xuất bởi Nguyễn Thế Út

4. Problem (7điểm).
Cho x, y là các số thực thoả mãn

x3 + 16x = 6x2 + 9,
9y2 + 32 = y3 + 31y.

Tính giá trị của biểu thức sau
Q = x − y.
Đề xuất bởi Đặng Đức Quý
The art of Mathematics - TAoM

2


Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

5. Problem (7điểm).
Cho a, b, c, x, y, z thoả mãn

a2 + ab + b2 = z
b2 + bc + c2 = x

c2 + ca + a2 = y.

Tính C = ( ab + bc + ca)2 theo x, y, z.
Đề xuất bởi Lê Minh Cường

6. Problem (7điểm).
Cho a, b, c là các số thực khác 0 thoả ( a + b)(b + c)(c + a) = 0 và
1 1 1
+ +
( a + b + c)
a b c
Ç

å

= 9.

Tính giá trị biểu thức sau
S=

a−b b−c b−c c−a c−a a−b
.
+
.
+
.
a+b b+c b+c c+a c+a a+b
Đề xuất bởi Phạm Quốc Sang

The art of Mathematics - TAoM

3


Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

7. Lời giải.
Bài tập 1. Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau và khác 0 thoả mãn

1 1 1
+ + = 0.
a b c
Chứng minh rằng
b2 + ca
c2 + ab
a2 + bc
+
+
= 2.
a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab
Đề xuất bởi Bùi Cảm
Ta có
Do đó,
Tương tự,

1 1 1
+ + = 0 ⇒ ab + bc + ca = 0 ⇔ bc = − ab − ca.
a b c

a2 + 2bc = a2 + bc − ab − ca = ( a − b)( a − c).
b2 + 2ca = (b − a)(b − c); c2 + 2ab = (c − a)(c − b).

Suy ra,
a2 + bc
b2 + ca
c2 + ab
a2 + bc
b2 + ca
c2 + ab
+
+
=
+
+
a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab
( a − b)( a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)
( a2 + bc)(c − b) + (b2 + ca)( a − c) + (c2 + ab)(b − a)
=
( a − b)(b − c)(c − a)
2( a − b)(b − c)(c − a)
= 2.
=
( a − b)(b − c)(c − a)
Nhận xét. Đây là bài toán khá cơ bản. Bài toán có khá nhiều bạn làm được. Ngoài ra, chúng tôi
còn nhận được một lời giải khác từ bạn Nguyễn Trần Anh Thư ( Trường THCS Nguyễn Thượng
Hiền, Trảng Bom, Đồng Nai) như sau:
Bổ đề. Nếu a, b, c thoả a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc.
Chứng minh bổ đề. Với a + b + c = 0 thì ta có
a3 + b3 + c3 = ( a + b)3 − 3ab ( a + b) + c3 = (−c)3 − 3ab (−c) + c3 = 3abc.

(bổ đề được chứng minh).
Quay trở lại bài toán, theo giả thiết ta có
1 1 1
+ + = 0 ⇔ ab + bc + ca = 0.
a b c
Áp dụng bổ đề trên với ab + bc + ca = 0 ta được
a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 = 3a2 b2 c2

(1)

Quy đồng vế trái của biểu thức cần chưng minh về cùng mẫu và thu gọn ta được
15a2 b2 c2 + 5 a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 + 8abc a3 + b3 + c2
a2 + bc
b2 + ca
c2 + ab
+
+
=
a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab
( a2 + 2bc) (b2 + 2ca) (c2 + 2ab)
Ä

The art of Mathematics - TAoM

ä

Ä

ä

4


Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

Mẫu thức vừa có ở trên ta nhân với 2 và biến đổi, ta được
2 a2 + 2bc
Ä

äÄ

b2 + 2ca

äÄ

c2 + ab = 18a2 b2 c2 + 4 a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 + 8abc a3 + b3 + c3
ä

Ä

ä

Ä

ä

(2)

Thế (1) vào (2) thì ta được
2 a2 + 2bc
Ä

äÄ

b2 + 2ca

äÄ

c2 + ab = 15a2 b2 c2 + 5 a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 + 8abc a3 + b3 + c3
ä

Ä

ä

Ä

ä

Do đó

a2 + bc
b2 + ca
c2 + ab
+
+
= 2.
a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab

Đó chính là điều ta phải chứng minh.
Bài tập 2. Cho a, b, c là các số thực khác 0 và không đồng thời bằng nhau sao cho
c2
a2 b2
+ +
= 3.
bc ca ab
Tính giá trị biểu thức
H=

ab2 + 1
bc2 + 1
ca2 + 1
+
+
.
a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2
Đề xuất bởi Phạm Hữu Hiệp

Từ giả thiết ta có
a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ a3 + b3 + c3 − 3abc = 0 ⇔ ( a + b + c)( a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = 0
⇔ a + b + c = 0.
Thật vậy, nếu
a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0 ⇔ ( a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0 ⇔ a = b = c (mâu thuẫn giải thiết).
Khi đó
bc2 + 1
ca2
ab2 + 1 bc2 + 1 ca2 + 1
ab2 + 1
+

+
=−
−
−
H= 2
a + b2 − ( a + b )2 b2 + c2 − ( b + c )2 c2 + a2 − ( a + c )2
2ab
2bc
2ca
2
2
2
1 ab c + c + abc + a + a bc + b
1 abc( a + b + c) + ( a + b + c)
=− ·
=− ·
2
abc
2
abc
= 0.
Nhận xét. Bài toán có ý tưởng khá tương tự bài 1, ý tưởng chính là đưa giả thiết về a + b + c = 0
sau đó thế vào biểu thức cần tính.
Bài tập 3. Cho x, y là các số thực thoả mãn x + y = 0 và
x 2 + y2
17
5 x 4 + y4
= , 3
= .
3

x+y
3 x +y
9
Tính
U=

x 6 + y6
.
x 5 + y5
Đề xuất bởi Nguyễn Thế Út

The art of Mathematics - TAoM

5


Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

Nhận xét rằng xy = 0 vì nếu x = 0 (hoặc y = 0) thì từ 2 điều kiện ban đầu ta suy ra điều vô lí.
Đặt
1 1
x+y
;
A= + =
x y
xy
x y
x 2 + y2

B= + =
.
y x
xy
Do

5
x 2 + y2
=
x+y
3

nên

B
5
5
= ⇒ B = A.
A 3
3

Ta lại có,

x 4 + y4
17
17
x 4 + y4
x 2 y2
=
⇔

= .
3
3
3
3
x +y
9
9
x +y
2
2
x y

Mà

và

x 2 y2
x 4 + y4
=
+ 2 = B2 − 2,
x 2 y2
y2
x

( x + y) x2 + y2 − xy ( x + y)
x 3 + y3
=
= AB −
x 2 y2

x 2 y2
Ä

Nên

ä

Ç

1 1
+
x y

å

= AB − A.

17
B2 − 2
17
x 4 + y4
=
⇔
= .
3
3
x +y
9
AB − A
9

5
Kết hợp B = A, ta suy ra
3
25 2
A − 2 17
9
=
⇔ 10A2 − 51A + 54 = 0 ⇔ (2A − 3) (15A − 18) = 0.
5 2
9
A −A
3
Suy ra,





Mặt khác ta có,

The art of Mathematics - TAoM

3
5
5
⇒B= A=
2
3
2

18
5
A=
⇒ B = A = 6.
5
3
A=

x 6 + y6
x 6 + y6
x 3 y3
=
x 5 + y5
x 5 + y5
x 3 y3

6


Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM
Và

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

x 3 y3
x 6 + y6
=
+ 3=
x 3 y3
y3

x

x 2 + y2
x 5 + y5
=
x 3 y3
Ä

äÄ

Ç

x y
+
y x

å3

å

= B3 − 3B,

x 3 + y3 − x 2 y2 ( x + y )
x 2 + y2 x 3 + y3 x + y
=
. 2 2 −
= B ( AB − A) − A.
x 3 y3
xy
x y

xy
ä

Do đó,
U=

x 6 + y6
B3 − 3B
=
.
x 5 + y5
B ( AB − A) − A

3
5
• TH1. A = ; B = khi đó
2
2

• TH2. A =

x y
−3
+
y x
Ç

U=

65

.
33

U=

55
.
29

18
; B = 6 thì
5

Nhận xét. Đây là bài toán khá nặng đối với học sinh lớp 8 lên 9. Số lượng học sinh giải được câu
này khá khiêm tốn. Ngoài cách giải trên, có một số học sinh đặt ẩn đưa về tổng và tích.
Bài tập 4. Cho x, y là các số thực thoả mãn
x3 + 16x = 6x2 + 9,
9y2 + 32 = y3 + 31y.
Tính giá trị của biểu thức sau
Q = x − y.
Đề xuất bởi Đặng Đức Quý
Ta có
x3 + 16x = 6x2 + 9 ⇔ ( x3 − 6x2 + 12x − 8) + 4( x − 2) = −7 ⇔ ( x − 2)3 + 4( x − 2) = −7 (1)
9y2 + 32 = y3 + 31y ⇔ (27 − 27y + 9y2 − y3 ) + 4(3 − y) = 7 ⇔ (3 − y)3 + 4(3 − y) = 7 (2)
Đặt a = x − 2, b =3 − y , từ (1), (2) ta suy ra
a3 + 4a = −7, b3 + 4b = 7
Do đó,

( a3 + b3 ) + 4( a + b ) = 0
⇔ ñ( a + b)( a2 − ab + b2 + 4) = 0

a+b=0
⇔
a2 − ab + b2 + 4 = 0.

• a + b = 0 ⇒ x − 2 + 3 − y = 0 ⇒ x − y = −1 ⇒ Q = −1.
•

a2

−

ab + b2

b
+4=0⇔ a−
2
Ç

The art of Mathematics - TAoM

å2

+

3b2
+ 4 = 0, (vô lí)
4
7

Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

Kết luận: Vậy giá trị của biểu thức Q bằng −1.
Nhận xét. Bài toán thiên về kỹ năng biến đổi, phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài tập 5. Cho a, b, c, x, y, z thoả mãn
a2 + ab + b2 = z
b2 + bc + c2 = x
c2 + ca + a2 = y.
Tính C = ( ab + bc + ca)2 theo x, y, z.
Đề xuất bởi Lê Minh Cường
Đặt S = a + b + c, suy ra
x − y = (b − a) S ⇒ x + a.S = y + b.S
Tương tự ta suy ra được
x + a.S = y + b.S = z + c.S = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca.
Lấy 3 phương trình ban đầu cộng lại vế theo vế ta được
Ä
ä
1
1
1
x + y + z = 2 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = S2 + (b − c)2 + (c − a)2 + ( a − b)2 .
2
2
2

Suy ra
4S2 ( x + y + z) = 4S4 + 2 S2 (b − c)2 + S2 (c − a)2 + S2 ( a − b)2
Hay

4S2 ( x + y + z) = 4S4 + 2( x − y)2 + 2(y − z)2 + 2(z − x )2
Suy ra
î

2S2 − ( x + y + z)

ó2

= ( x + y + z )2 − 2( x − y )2 − 2( y − z )2 − 2( z − x )2
= 6 ( xy + yz + zx ) − 3 x2 + y2 + z2 .
Ä

ä

Lại có
1
1
1
2S2 − ( x + y + z) = S2 − (b − c)2 − (c − a)2 − ( a − b)2
2
2
2
1
1
1
= ( a + b + c )2 − ( b − c )2 − ( c − a )2 − ( a − b )2
2
2
2
= 3 ( ab + bc + ca) .

Vậy
9( ab + bc + ca)2 = 6 ( xy + yz + zx ) − 3 x2 + y2 + z2 .
Ä

ä

Suy ra
x 2 + y2 + z2
2 ( xy + yz + zx )
−
.
C = ( ab + bc + ca) =
3
3
Nhận xét. Đây được xem là câu khó nhất trong đề thi. Số học sinh giải bài toán này khá ít, đa số
những bạn giải được câu này đều đạt 42/42 điểm. Ngoài lời giải trên, chúng tôi còn nhận một số
Ä

ä

2

The art of Mathematics - TAoM

8


Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

lời giải hay từ bạn Mai Vu, Mai Trang, Nguyễn Bá Hoàng Anh,
Ta có:
xz = ( a2 + ab + b2 )(b2 + bc + c2 ) =
a2 b2 + ( a + b + c)( a3 + abc)
Suy ra,

a2 b2 + ( a + b + c )

xy + yz + xz = 3
Hay
Ta lại có,
î

Ä

a3 + 3abc

a2 b2 + ( a + b + c)(2

2( xy + yz + xz) = 6
x 2 + y2 + z2 =

Ä

a2 + ab + b2

äó2

=3

ä

a3 + 6abc)

a2 b2 + ( a + b + c ) 2
Ä

a3

ä

Suy ra,
2( xy + yz + xz) − x2 − y2 − z2 = 3

a2 b2 + ( a + b + c)6abc = 3( ab + bc + ca)2

Vậy
2( xy + yz + xz) − ( x2 + y2 + z2 )
3
Bài tập 6. Cho a, b, c là các số thực khác 0 thoả ( a + b)(b + c)(c + a) = 0 và
Ç
å
1 1 1
+ +
= 9.
( a + b + c)
a b c

( ab + bc + ca)2 =

Tính giá trị biểu thức sau
S=

a−b b−c b−c c−a c−a a−b
.
+
.
+
.
a+b b+c b+c c+a c+a a+b
Đề xuất bởi Phạm Quốc Sang

Từ giả thiết ta suy ra,
ab ( a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) = 6abc.
Ta lại có
a−b b−c b−c c−a c−a a−b
.
+
.
+
.
a+b b+c b+c c+a c+a a+b
( a − b) (b − c) ( a + c) + (b − c) (c − a) ( a + b) + (c − a) ( a − b) (b + c)
=
.
( a + b) (b + c) (c + a)

S=

Mặt khắc,

( a − b) (b − c) ( a + c) = ab − ac − b2 + bc ( a + c)
Ä

ä

= a2 b − ab2 − a2 c − ac2 − b2 c + bc2 + 2abc.
Tương tự, ta suy ra

( a − b) (b − c) ( a + c) + (b − c) (c − a) ( a + b) + (c − a) ( a − b) (b + c)
= 6abc − ab ( a + b) − bc (b + c) − ca (c + a) = 0.
Do đó,
S = 0.
Nhận xét. Bài toán được xây dựng trên ý tưởng khá đơn giản nhưng đòi hỏi kỹ năng biến đổi đại
số. Tuy nhiên, khá nhiều bạn đi theo hướng chứng minh vế trái của giả thiết lớn hơn hoặc bằng
9. Đây là một hướng giải sai vì điều kiện của a, b, c là các số thực chứ chưa chắc là 3 số dương.
The art of Mathematics - TAoM

9


Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

The art of Mathematics - TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

10

Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

8. Kết quả chi tiết.

The art of Mathematics - TAoM

11


Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

The art of Mathematics - TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

12


Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

9. Mô tả về nhóm TAoM - The art of Mathematics.
9.1 TAoM là nhóm được thành lập nhằm mục đích
• Tạo điều kiện để mọi người chia sẻ các bài toán do chính mình sáng tác với mọi người.
• Tạo môi trường học tập trao đổi chuyên môn giữa các học sinh, giáo viên chuyên toán trên
cả nước.

• Nhóm luôn đồng hành cùng các cuộc thi học sinh giỏi như kì thi vào THPT chuyên, HSG 9
cấp tỉnh, kì thi Olympic toán 30/4, Olympic Duyên hải ĐBBB, kì thi chọn đội tuyển VMO
và kì thi VMO...
9.2 Hiện nhóm TAoM bao gồm 3 quản trị viên chính
• Phạm Quốc Sang.
• Lê Minh Cường.
• Phạm Hữu Hiệp.
Ngoài ra, nhóm Toán Chuyên 2k4 có một số thầy HLV hỗ trợ như:
• Nguyễn Thế Út.
• Đặng Đức Quý.
• Bùi Cảm.
9.3 Nhóm TAoM đến nay có 1 trang và 2 nhóm chính.
Bao gồm:
• Trang The art of Mathematics - đây là nơi lưu trữ các tài liệu mà nhóm đã biên soạn cũng
như các sản phẩm của nhóm.
• Nhóm The art of Mathematics - Trao đổi toán học - đây là nhóm mở cho cộng đồng
chuyên toán trên cả nước. Là nơi giao lưu trao đổi các bài toán do chính mình sáng tác và
các bài toán hay từ các kì thi HSG các cấp.
• Nhóm Toán Chuyên 2k4 là nhóm mà chúng tôi thực hiện dạy kháo tự học TAoM hoàn
toàn miễn phí cho các bạn có dự định thi HSG tỉnh 9 hay luyện thi vào 10 chuyên toán.
Chúng tôi hy vọng rằng, khóa học sẽ giúp đỡ phần nào đối với các bạn vùng sâu - vùng xa,
các bạn có hoàn cảnh khó khăn được tiếp cận những kiến thức mới nhất từ các kì thi HSG
ở Việt Nam cũng như thế giới.

10. Lưu ý.
Học sinh tham gia nhóm bằng cách yêu cầu tham gia nhóm:
Toán chuyên 2k4
Học sinh cần đọc kỹ nội quy nhóm.
The art of Mathematics - TAoM

13


Khoá tự học MIỄN PHÍ TAoM

Nhóm: Toán Chuyên 2k4

11. Lời ngỏ.
Hiện nhóm TAoM cần 4 − 5 "huấn luyện viên"cho khoá tự học TAoM.
Yêu cầu:
• Có say mê toán chuyên và muốn trao đổi chuyên môn.
• Có khả năng nhất định về toán chuyên.
Ưu tiên:
• Cựu học sinh chuyên toán.
• Có khả năng soạn thảo latex.
Lợi ích:
• Được tặng cuốn sách "Vẻ đẹp toán học qua các kì thi học sinh giỏi toán cấp THCS"(cuốn
sách sẽ ra mắt dự kiến tháng 10-12/2018).
• Nhận nguồn tài liệu chất lượng từ nhóm.
• Và một số điều khoản khác, sẽ trao đổi qua tin nhắn.

The art of Mathematics - TAoM

14