luận văn thạc sĩ TIÊU CHUẨN ĐAN rối HUYNCHUL NHA JAEWAN KIM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

NGUYỄN THANH CƯ

TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HUYNCHUL
NHA - JAEWAN KIM VÀ ÁP DỤNG CHO
CÁC TRẠNG THÁI ĐAN RỐI HAI MODE

CHUYÊN NGÀNH:VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Huế, năm 2010


i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

NGUYỄN THANH CƯ

ĐỀ TÀI

TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HUYNCHUL
NHA - JAEWAN KIM VÀ ÁP DỤNG CHO
CÁC TRẠNG THÁI ĐAN RỐI HAI MODE

CHUYÊN NGÀNH:VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC

Huế, năm 2010


ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép
sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu
nào khác.

Tác giả
Nguyễn Thanh Cư


iii

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở khoa Vật lý và phòng Sau Đại
học - Trường Đại học Sư phạm Huế đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi

trong quá trình học tập.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy giáo - TS. Trương
Minh Đức đã hướng dẫn tôi tận tình trong suốt thời gian thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Trung học phổ thông Gia Hội đã
tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.
Xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị học viên cao học chuyên ngành Vật
lý lý thuyết và Vật lý toán khóa 17, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2010
Tác giả

Nguyễn Thanh Cư


1

MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

MỤC LỤC

1

MỞ ĐẦU

2

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ ĐAN RỐI

10

1.1 Ma trận mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Hệ thức bất định cho hai toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1

Phương sai của phép đo dại lượng vật lý . . . . . . . . 11

1.2.2

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Mối quan hệ giữa bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và một trạng
thái bất kỳ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Một số trạng thái lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1

Trạng thái thuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2

Trạng thái hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3

Trạng thái chân không bị nén hai mode (The two-mode
squeezed vacuum state) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.4

Trạng thái hai photon hai mode

. . . . . . . . . . . . 16


2

1.5 Chuyển vị từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2 : TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI MARK HILLERY - M.SUHAIL
VÀ GS AGRWAL - ASOKA BISWAS, VÀ ÁP DỤNG

18

2.1 Tiêu chuẩn đan rối GS Agrwal - Asoka Biswas và áp dụng. . . 18
2.1.1

Tiêu chuẩn đan rối GS Agrwal - Asoka Biswas

2.1.2

Áp dụng

. . . . 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Tiêu chuẩn đan rối Mark Hillery - M.Suhail Zubairy và áp dụng. 25
2.2.1

Tiêu chuẩn đan rối Mark Hillery - M.Suhail Zubairy

2.2.2

Áp dụng

. 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Chương 3: TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HYUNCHUL NHA - JACWAN
KIM VÀ ÁP DỤNG

32

3.1 Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha - Jacwan Kim . . . . . . . . 32
3.1.1

Điều kiện tách mức cho nhóm đại số SU(2) . . . . . . . 32

3.1.2

Tiêu chuẩn đan rối của Hyunchul Nha và Jaewan Kim

35

3.2 Áp dụng tiêu chuẩn đan rối của Hyunchul Nha và Jaewan Kim 38
3.2.1

Trạng thái hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.2

Trạng thái chân không bị nén 2 mode . . . . . . . . . . 39

3.2.3

Trạng thái hai photon hai mode . . . . . . . . . . . . . 40

KẾT LUẬN

42

TÀI LIỆU THAM KHẢO

44

PHỤ LỤC

P.1


3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Thông tin lượng tử và máy tính lượng tử đang là các lĩnh vực nóng
bỏng, thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học trên toàn thế giới. Trong
những năm trở lại đây, việc nghiên cứu rối lượng tử trong các lĩnh vực tính
toán để cho ra đời thế hệ máy tính với tốc độ xử lý nhanh hơn máy tính cổ
điển [35] đang được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Vấn đề then
chốt trong hai lĩnh vực này trong lý thuyết cũng như trong thực nghiệm là
việc tìm ra các trạng thái với tính chất lượng tử đặc biệt gọi là trạng thái
đan rối.
Tuy nghiên, giới hạn giữa các trạng thái bị rối và các trạng thái chia
tách được [14], [22], [24] vẫn chưa thực sự rõ ràng, các đặc trưng của trạng
thái bị rối vẫn chưa được tìm ra một cách đầy đủ và chính xác. Phát hiện
rối đang là vấn đề thách thức đối với các nhà khoa học. Có thể nói những
tiêu chuẩn của Horodecki và Peres [17], [18] đã làm tiền đề cho sự phát triển
của các tiêu chuẩn đan rối sau này, trong đó có tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai
mode của Mark Hillery và M. Suhail Zubairy [23]. Hai ông đã bắt đầu khảo
sát các đại lượng quan sát được vuông góc trong các toán tử sinh và huỷ
mode của trường điện từ, các đại lượng quan sát được này trước đó được sử
dụng để định nghĩa về nén tổng và nén hiệu, các dạng của nén bậc cao. Về
nguyên tắc, các đại lượng này và sự bất định của chúng là đo được, do đó các
điều kiện mà hai ông đưa ra có thể được sử dụng để phát hiện ra rối trong
phòng thí nghiệm. Hai ông cũng thấy rằng các điều kiện được biểu diễn trong

4

các số hạng của biến liên tục dẫn đến một họ các điều kiện khác cho việc
phát hiện rối, sau đó mở rộng các điều kiện này cho việc phát hiện rối trong
một hệ có nhiều hơn hai mode. Tuy nhiên, từ khi được ghi nhận lần đầu tiên
cho đến nay, tiêu chuẩn vẫn là vấn đề hấp dẫn trong cả lý thuyết lẫn thực
nghiệm. Một loạt các tiêu chuẩn không thể tách ra đời áp dụng cho các hệ
biến từ rời rạc đến liên tục. Các tiêu chuẩn đáng chú ý đánh dấu sự phát triển
của vấn đề này phải kể đến đó là tiêu chuẩn Peres [17], tiêu chuẩn Horodecki
[18], [19] tiêu chuẩn Simon (hay còn gọi là tiêu chuẩn Peres-Horodecki) [25],
tiêu chuẩn Hillery-Zubairy [24], tiêu chuẩn Shchukin-Vogel [25], tiêu chuẩn
GS Agarwal - Asoka Biswas [13], trong đó phải kể đến một tiêu chuẩn rất
mạnh mang tính tổng quát đó là tiêu chuẩn đan rối do hai nhà khoa học
HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM [8] được đưa ra vào năm 2006.
Vì vậy, tôi nhận thấy việc tìm hiểu và áp dụng tiêu chuẩn do hai nhà
khoa học này cho các trạng thái đan rối hai mode là một vấn đề đáng để
quan tâm. Đó chính là lý do tôi chọn "Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha Jaewan Kim và áp dụng cho các trạng thái đan rối hai mode" làm đề tài
nghiên cứu.
1. Lịch sử vấn đề

Đan rối, là một phần quan trọng to lớn trong lý thuyết thông tin lượng
tử, đó là nguồn có giá trị, là chìa khoá cho sự phát triển nhanh chóng của
tiến trình xử lý thông tin lượng tử. Ý niệm về đan rối xuất hiện đầu tiên
vào năm 1935 trong tài liệu của Einstein, Podolsky, Rosen, [16] trong đó các
trạng thái bị rối là các trạng thái hai hạt lượng tử có liên quan đặc biệt với
toạ độ và xung lượng. Sau đó, cũng trong năm 1935, Erwin Schrodinger [25]

5

đã đề cập đến vấn đề rối lượng tử, và ông đã gọi đan rối là điểm nổi bật đặc
trưng của cơ học lượng tử. Vào lúc đó, đan rối là điều đáng ngạc nhiên nhất
của hình thức luận lượng tử. Sau 70 năm nó vẫn còn là một đề tài hấp dẫn
trên cả lý thuyết lẫn thực nghiệm. Sự phát triển của các phương pháp thực
nghiệm đã tạo ra một số ứng dụng có thể có của các trạng thái không thể
chia tách được lượng tử như sự tính toán lượng tử và chuyển vị lượng tử.
Tính chất không thể chia tách được lượng tử ngụ ý rằng có sự tồn tại của
các trạng thái bị rối tinh khiết, các trạng thái này tạo ra các hiện tượng phi
cổ điển. Tuy vậy, trong thực nghiệm người ta thường nghiên cứu các trạng
thái hỗn hợp hơn là các trạng thái tinh khiết vì các trạng thái tinh khiết
không điều khiển được sự tương tác với môi trường, còn các trạng thái hỗn
hợp có thể tạo ra các hiệu ứng lượng tử quan trọng, và tất nhiên là làm việc
với các trạng thái hỗn hợp phức tạp hơn nhiều so với trường hợp các trạng
thái tinh khiết. Các trạng thái bị rối là nguồn có giá trị đối với tính toán
lượng tử và thông tin lượng tử, do đó việc phát hiện ra các trạng thái rối là
một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết thông tin lượng tử, và muốn
phát hiện một trạng thái nào đó có bị rối hay không thì cần phải dựa vào
những tiêu chuẩn cụ thể. Hiện nay người ta xác minh rối mới chỉ dựa trên
một vài tính chất thống kê đặc trưng. Một tính chất thống kê đã biết của
rối là sự vi phạm bất đẳng thức Bell, và thực nghiệm trước đây thường dựa
vào tính chất này như một bằng chứng của rối. Ban đầu người ta nghiên cứu
cho trạng thái hai hạt, về sau, Jos Uffirik đã sử dụng bất đẳng thức này để
nghiên cứu cho hệ n>2. Tuy nhiên những yêu cầu đối với việc vi phạm bất
đẳng thức Bell thường thu hẹp hơn so với những điều kiện về rối, nghĩa là
việc vi phạm bất đẳng thức Bell này còn là một điều kiện yếu đối với việc


6

kiểm tra một trạng thái có bị rối hay không. Năm 1996, Michal Horodecki,
Pawel Horodecki, Pyszard Horodecki [18] đã đưa ra các điều kiện cần và đủ
cho sự chia tách được của trạng thái hỗn hợp, từ đó suy ngược cho trường
hợp không chia tách được của trạng thái hỗn hợp, tuy nhiên điều kiện này
chỉ đúng cho hệ 2×2, 2×3 . Cũng trong năm 1996, Peres [17] đưa ra tiêu
chuẩn chia tách được đối với ma trận mật độ. Tiêu chuẩn này mạnh hơn so
với việc sử dụng bất đẳng thức Bell cho việc phát hiện tính không chia tách
được lượng tử. Sau đó năm 1997, Pawel Horodecki [19] tiếp tục đưa ra tiêu
chuẩn chia tách được và các trạng thái không chia tách được với chuyển vị
từng phần dương, nhưng tiêu chuẩn này cùng chỉ đúng cho trường hợp hệ
3×3, 2×4. Sau đó người ta đã sử dụng những tiêu chuẩn này để tìm ra các
trạng thái bị rối. Năm 2001, Giedke, Kraus, Lewenstein và Cirac , [18], [19],
[20] nghiên cứu các tính chất chia tách được của các trạng thái Gaussian ba
mode. Năm 2002, HongyiFan và Guichuan Yu đã chứng minh trạng thái chân
không bị nén ba mode trong không gian Fock cũng là một trạng thái bị rối.
Những nghiên cứu của EPR (1935), Reid (1989) và Duan, Gied, Cirac, Zoller
(2000) là cơ sở để Hofmann và Takeuchi tiếp tục nghiên cứu về đan rối, dựa
vào điều kiện là không có bất kỳ trạng thái lượng tử chia tách được nào có
thể vượt qua giới hạn của hệ thức bất định cục bộ, do đó sự vi phạm các hệ
thức bất định này cũng là một bằng chứng về rối. Từ việc nghiên cứu các tiêu
chuẩn về đan rối cho trạng thái chia đôi, năm 2003, Peter van Loock và S. L.
Braustein đã mở rộng cho trạng thái đa thành phần thực cũng dựa trên các
hệ thức bất định. Năm 2005, Samuel L. Braunstein và Peter van Loock [34]
đã hệ thống các vấn đề về rối lượng tử và sự liên quan của nó với thông tin
lượng tử qua bài viết về thông tin lượng tử với các biến liên tục. Năm 2006,


7

Mark Hillery và M. Suhail Zubairy [24] đã đưa ra một lớp các hệ thức bất
định cho việc phát hiện đan rối đối với trạng một hệ hai mode. E. Shchukin
và W. Vogel [25] đã tổng quát hóa những điều kiện mà Hillery và Zubairy
đưa ra bằng việc nghiên cứu các tiêu chuẩn không chia tách được của các
trạng thái lượng tử chia đôi biến liên tục. Cũng trong năm 2006, Nha và Kim
[8] đã đưa ra tiêu chuẩn về rối thông qua hệ thức bất định trong đại số SU(2)
và SU(1,1), qua đó phát hiện ra các trạng thái rối phi Gaussian. Năm 2007
tiếp tục có những nghiên cứu về các điều kiện đan rối cho các trạng thái đa
mode của Zong-Guo Li, Shao-Ming Fei, Zhi-Xi Wang, Ke Wu; rối ba thành
phần thật trong khí Fermi không tương tác của T. Vertesi.
Hiện nay, các tiêu chuẩn đan rối vẫn đang được các nhà khoa học nổ
lực tìm kiếm với mục đích mở rộng tiêu chuẩn tổng quát để áp dụng cho mọi
trạng thái, hướng đến mục tiêu tìm ra một tiêu chuẩn rối hoàn hảo tức là
điều kiện cần và đủ cho đan rối lượng tử để có thể ứng dụng cho thông tin
lượng tử và máy tính lượng tử.
3. Mục tiêu nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu tiêu chuẩn đan rối Hyunchul
Nha và Jaewan Kim sau đó áp dụng tiêu đan rối này cho hệ đan rối hai mode.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Trong giới hạn của luận văn, chúng tôi thực hiện các nhiệm vụ nghiên
cứu sau:
- Tìm hiểu tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha và Jaewan Kim. Chứng
minh tiêu chuẩn này là tiêu chuẩn tổng quát cho tiêu chuẩn Hillery và Zubairy


8

và tiêu chuẩn GS Agarwal - Asoka Biswas.

- Áp dụng tiêu chuẩn này để tìm điều kiện đan rối cho trạng thái hai
mode.
- So sánh tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha và Jaewan Kim với tiêu
chuẩn Hillery-Zubairy, tiêu chuẩn GS Agarwal - Asoka Biswas.
5. Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này, chúng tôi sử dụng một số phương pháp cơ
bản như phân tích và xử lý tài liệu, các phương pháp của cơ học lượng tử,
quang lượng tử, lý thuyết nhóm, lý thuyết thông tin lượng tử để tính toán
tìm tiêu chuẩn mới và áp dụng tiêu chuẩn mới đó tính toán cho trạng thái
hỗn hợp và một số trạng thái phi cổ điển.
6. Phạm vi nghiên cứu

Do thời gian có hạn, luận văn sẽ tập trung nghiên cứu và đề xuất tiêu
chuẩn mới về đan rối cho hệ hai mode, trên cơ sở đó áp dụng để nghiên cứu
tính chất rối của một trạng thái hỗn hợp và một vài trạng thái phi cổ điển
hai mode.
7. Cấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày gồm ba phần chính:
Phần mở đầu trình bày về lý do chọn đề tài, lịch sử vấn đề, mục đích
nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, giới hạn nghiên
cứu của đề tài.
Phần nội dung được thể hiện thành ba chương, trong đó: chương một


9

trình bày tổng quang về rối lượng tử, chương hai đưa ra Tiêu chuẩn đan rối
cho hệ 2 mode của Mark Hillery - M. Suhail Zubairy, GS Agarwal - Asoka

Biswas và áp dụng cho các trạng thái đan rối hai mode, chương ba xây dựng
Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha và Jaewan Kim tổng quát và áp dụng cho
các trạng thái đan rối hai mode.
Phần kết luận trình bày về các kết quả đạt được, so sánh Tiêu chuẩn
đan rối Hyunchul Nha và Jaewan Kim và hai tiêu chuẩn của Mark Hillery M. Suhail Zubairy, GS Agarwal - Asoka Biswas và các hướng mở của đề tài.
8. Thời gian và kế hoạch nghiên cứu

Thời gian nghiên cứu dự kiến từ tháng 12-2009 đến tháng 9-2010 với kế hoạch
cụ thể như sau:
Từ 01-11-2009 đến 10-02-2010: hoàn thành nội dung phần mở đầu và
chương 1.
Từ 15-01-2009 đến 28-04-2010: hoàn thành nội dung chương 2.
Từ 01-04-2010 đến 30-08-2010: hoàn thành nội dung chương 3 và phần
kết luận.
Tháng 9-2009: hoàn thiện luận văn và tiến hành bảo vệ.


10

CHƯƠNG 1:
TỔNG QUAN VỀ ĐAN RỐI
Để thuận lợi trong việc nghiên cứu, trong chương một chúng tôi tập
trung giới thiệu tổng quan về đan rối. Nội dung của chương gồm có năm phần
được trình bày trình tự từ ma trận mật độ, hệ thức bất định cho hai toán tử
bất kỳ, mối quan hệ giữa bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với một trạng thái
bất kỳ, phép chuyển vị từng phần và đặc biệt là đưa ra một số trạng thái
lượng tử để phục vụ cho việc nghiên cứu trong các phần tiếp theo.
1.1

Ma trận mật độ

Đối với một hệ vật lý đã cho, tồn tại một vectơ trạng thái Ψ chứa các

thông tin có thể có về hệ. Muốn biết được các thông tin về đại lượng động
lực A, ta phải tính toán giá trị trung bình của toán tử A tương ứng trong
trạng thái của hệ như sau
A = Ψ|A|Ψ .

(1.1)

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không thể biết được trạng thái Ψ
mà chỉ biết được xác suất PΨ để hệ ở trạng thái Ψ. Trong trường hợp đó, ta
không chỉ cần tính trung bình lượng tử mà còn tính trung bình theo tập hợp
thống kê. Thay vì phương trình (1.1), bây giờ ta có
A =
i

với

pi = 1.
i

pi Ψi|A|Ψi ,

(1.2)


11

Nếu ta định nghĩa toán tử ma trận mật độ như sau
ρ=

ψ

|Ψ PΨ Ψ| =

PΨ |Ψ Ψ| ,

ψ

(1.3)

thì giá trị trung bình trong (1.2) có thể được biễu diễn bằng ma trận mật độ
A = T r(ρA).
1.2
1.2.1

Hệ thức bất định cho hai toán tử
Phương sai của phép đo dại lượng vật lý

ˆ theo thứ tự được biểu diễn bởi hai toán tử
Cho hai toán tử Aˆ và B
ˆ . Trong cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý này không
Hermitic Aˆ và B
ˆ không giao hoán được với nhau,
đo đồng thời thì về mặt toán học Aˆ và B
nghĩa là giáo hoán tử
ˆ B
ˆ = AˆB
ˆ −B
ˆ Aˆ = iCˆ = 0,
A,

(1.4)

ở trường hợp này ta được hệ thức bất định trong trạng thái lượng tử bất kỳ
|Ψ của hệ
(∆A)2 (∆B)2 ≥

1
4

ˆ B
ˆ
A,

2

> 0,

(1.5)

trong đó đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được Y,
gần giá trị trung bình lượng tử Yˆ của đại lượng Y = A, B gọi là phương
sai và (∆Y )2 được định nghĩa như sau:
(∆Y )2 ≡ (Yˆ − Y )2 = Yˆ 2 − Yˆ 2 ,

(1.6)

với giá trị trung bình lượng tử của đại lượng Y ở trạng thái |Ψ
Yˆ = Ψ|Y |Ψ =

Ψ∗ (y)Yˆ Ψ(y)dy.

(1.7)


12

Một cách khác, hai nhà khoa học Schr¨odinger-Robertson đưa ra hệ
thức (SRR) [10], [11] mạnh hơn bất đẳng thức (1.5) có dạng như sau:
(∆A)2 (∆B)2 ≥

1
4

ˆ B
ˆ
A,

2

+ ∆A∆B

2

> 0,

(1.8)

trong đó mối quan hệ ∆A∆B được định nghĩa:
1

∆A∆B + ∆B∆A
2

(1.9)

1
AB + BA − A B .
2

(1.10)

∆A∆B ≡
và ta luôn có,
∆A∆B =
1.2.2

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nói lên rằng, đối với bất kỳ hai vectơ
|v và |w nào trong không gian Hilbert ta cũng có
(1.11)

v|v w|w ≥ |< v|w >|2
Chứng minh (1.11):

Chúng ta sử dụng phương pháp Gram-Schmitt để xây dựng cơ sở trực
chuẩn |i cho không gian vectơ này với phần tử đầu tiên của hệ cơ sở |i là
√|w

w|w

và tính chất

i

|i i| = I ta có

v|v w|w =
i

v|i i|v w|w ≥

v|w w|v
w|w

w|w ,

mà
v|w w|v
w|w

w|w = v|w w|v = |< v|w >|2 .


13

Suy ra,
v|v w|w ≥ |< v|w >|2 .(đpcm)
Dấu "=" xảy ra nếu và chỉ nếu |v và |w có quan hệ tuyến tính, nghĩa là

|v = z |w , hay |w = z |v , với z là một đại lượng vô hướng.
1.3

Mối quan hệ giữa bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và một trạng
thái bất kỳ
Một trạng thái bất kỳ luôn tuân theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Do vậy, với hai toán tử a và b bất kỳ thì luôn tồn tại các bất đẳng thức sau:
| ab+ |2 ≤ Na (Nb + 1) .

(1.12)

| a+b |2 ≤ Nb (Na + 1) .

(1.13)

| ab |2 ≤ Na + 1 Nb .

(1.14)

| a + b+ | 2 ≤ Na Nb + 1 .

(1.15)

Trong đó Na = a+a và Nb = b+b là các toán tử số hạt.
Chứng minh (1.12):
Trước tiên ta sử dụng công thức | ab+ |2 = ab+ ba+ , sau đó áp

dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:
ab+

ba+ ≤ ba+ab+ .

Vì [a, b] = [a+, b] = [a, b+ ] = 0, [a, a+] = [b, b+ ] = 1 nên

ba+ab+ = a+a(b+b + 1) = Na(Nb + 1) ,


14

vậy
| ab+ |2 ≤ Na(Nb + 1) .(đpcm)
Chứng minh (1.13):
Theo đẳng thức | a+b |2 = a+b b+a ≤ b+aa+b , mà
b+aa+b = b+baa+ = b+b(a+a + 1) = Na (Na + 1) ,
do vậy,
| a+b |2 ≤ Nb(Na + 1) .(đpcm)
Tương tự ta chứng minh (1.14),(1.15) như sau:
Ta có | ab |2 = ab b+a+ ≤ aa+ b+b , mà
aa+

b+ b = a + a + 1

b+ b = Na + 1 Nb ,

nên | ab |2 ≤ Na + 1 Nb .(đpcm)

Tiếp tục xét | a+b+ |2 = a+b+ ba ≤ a+a bb+ , mà
a+ a

bb+ = a+a

b+ b + 1 = Na Nb + 1 ,

do đó,
| a+b+ |2 ≤ Na Nb + 1 .(đpcm)
1.4
1.4.1

Một số trạng thái lượng tử
Trạng thái thuần

Nếu hệ lượng tử là cô lập hay hệ ở trong trường ngoài mà tương tác
giữa hệ với trường ngoài để biết chính xác thì trạng thái của hệ lượng tử


15

được mô tả bởi hàm sóng và được gọi là trạng thái pure còn gọi là trạng thái
thuần, trạng thái sạch hoặc trạng thái tinh khiết. Trong luận văn này, chúng
tôi sử dụng cụm từ "trạng thái thuần" để đặc trưng cho trạng thái của hệ
lượng tử này. Lúc đó giá trị trung bình của một đại lượng của hệ được tính
theo công thức (1.7).
Trong trường hợp này, tất cả PΨ = 0 ngoại trừ trạng thái Ψo, do đó
ma trận mật độ có dạng
ρ = |Ψo Ψo | .
1.4.2

(1.16)

Trạng thái hỗn hợp

Nếu hệ lượng tử không cô lập và tương tác giữa hệ với các hệ xung
quanh không xác định được một cách chính xác thì trạng thái của hệ không
được mô tả bằng hàm sóng, bởi vì khi chưa biết tương tác giữa hệ với trường
ngoài thì không thể giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng và
trạng thái đó được gọi là trạng thái mixed, trong luận văn này chúng tôi sử
dụng cụm từ "trạng thái hỗn hợp" để đặc trưng cho trạng thái của hệ lượng
tử này. Để mô tả hệ lượng tử trong khuôn khổ cơ học lượng tử, ta xét cả hệ
đang xét (gọi là hệ con) và các hệ xung quanh tương tác với nó (gọi là hệ
lớn). Khi đó ta có thể dùng khái niệm hàm sóng để mô tả trạng thái của hệ
kín. Giá trị trung bình của một đại lượng của hệ con được tính theo công
thức (1.7).
Đối với trạng thái này, ma trận mật độ có dạng:

ρ = s |Ψmn Ψmn | +
trong đó 0 ≤ s ≤ 1, Pmn là toán tử chiếu.

1−s
Pmn ,
4

(1.17)


16

1.4.3

Trạng thái chân không bị nén hai mode (The two-mode squeezed vacuum

state)

Trạng thái chân không bị nén hai mode được định nghĩa:
2 1/2

|Ψ = (1 − x )
trong đó 0 ≤ x ≤ 1; |n
1.4.4

a

và |n

b

∞
n=0

(1.18)

xn |n a |n b,

là các trạng thái Fock.

Trạng thái hai photon hai mode

Trạng thái hai photon hai mode được định nghĩa:
|Ψ

ab

(1.19)

= cosθ|2 a |0 b + isinθ|0 a|2 b ,

trong đó i2 = −1, cosθ và sinθ là các hằng số.
1.5

Chuyển vị từng phần
Xét trường hợp đơn mode trong biểu diễn toạ độ,
ρ=

(1.20)

dxdx ρxx |x x |,

trong đó xˆ|x = x|x .

Toán tử toạ độ xˆ và toán tử monmen xung lượng được định nghĩa qua

hệ thức a =

x
ˆ√
+iˆ
p
2

và a+ =

x
ˆ√
−iˆ
p
.
2

Hàm CρT (λ) ≡ T r{ρT D(λ)} là hàm đặc trưng cho toán tử mật độ ρT .

Trong đó, toán tử mật độ chuyển vị ρT =

dxdx ρxx |x x|. Vì vậy, ta có:

CρT (λ) ≡

dxdx ρxx x|D(λ)|x

=

∗

(1.21)
∗

dxdx ρxx x |D(−λ )|x = Cρ(−λ ),


17

ở đây CρT (λ) là hàm đặc trưng của trạng thái ban đầu và D(λ) = eλa

+

−λ∗ a

là

toán tử dịch chuyển [35]. Do đó, hàm phân bố xác suất [17], [21] của ρT có
mối quan hệ với ρ là:
WρT (α, s) =

1
π2

∗

−α∗ λ

d2 reαλ

1
= 2
π

2

.es|λ|

αλ∗ −α∗ λ

d re

2

/2

CρT (λ)

s|λ|2 /2

.e

(1.22)
∗

∗

Cρ (−λ ) = Wρ(α , s).

Xét trong biểu diễn GlauberP (s = 1): toán tử mật độ đã được chuyển vị từng
phần từ toán tử mômen ở trạng thái ban đầu là toán tử mônmen a+m an
a+m an

ρT

=

d2 αα∗m αn PρT (αx , αy )

=

d2 αα∗m αn Pρ (αx , −αy )

=

d2 ααm α∗n Pρ (αx , αy ) = a+n am ρ .

ρT ,

(1.23)

Mở rộng kết quả phép chuyển vị từng từng phần cho trạng thái đa mode. Ví
dụ trong trường hợp chuyển vị từng phần cho mode b, ta có:
a+m anb+p bq

ρP T

= a+man b+q bp

ρ

(1.24)

Vậy trong chương một, chúng tôi đã giới thiệu qua tổng quan về Đan
rối và một số trạng thái lượng tử như: trạng thái thuần, trạng thái hỗn hợp,
trạng thái chân không bị nén hai mode, trạng thái hai photon hai mode... Đặc
biệt, chúng tôi đã đưa ra phép chuyển vị từng phần cho các mode [8]. Không
những thế, chương 1 còn cùng cấp cho chúng ta về các hệ thức bất định,
bất đăng thức Cauchy-Schwarz và mối liên hệ giữa bất đẳng thức CauchySchwarz với một trạng thái bất kì. Đây là một nên tảng vững chắc để xây
dựng các điều kiện phát hiện một trạng thái đan rối sau này.

18

CHƯƠNG 2:
TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI MARK HILLERY - M.SUHAIL
ZUBAIRY, GS AGRWAL - ASOKA BISWAS VÀ ÁP DỤNG
Trong chương hai, chúng tôi đưa ra các tiêu chuẩn đan rối của GS
Agrwal - Asoka Biswas và Mark Hillery - M.Suhail Zubairy và áp dụng các
tiêu chuẩn đó để tìm sự đan rối cho các trạng thái hệ hai mode, từ đó đưa
ra kết luận về việc dò tìm đan rối của hai tiêu chuẩn.
2.1
2.1.1

Tiêu chuẩn đan rối GS Agrwal - Asoka Biswas và áp dụng.
Tiêu chuẩn đan rối GS Agrwal - Asoka Biswas

Để nghiên cứu tính chất đan rối của các trạng thái, hai nhà khoa học
GS Agarwal và Asoka Biswas [4] đã xét tập hợp các toán tử:
a+b + ab+
Sx =
,
2
a+b − ab+
Sy =
,
2i
a + a + b+ b
Sz =
.

2
sử dụng hệ thức bất định, ta có:
1
∆Sx∆Sy ≥ | Sz |,
2
1
(∆Sx)2 (∆Sy )2 ≥ | Sz |2 ,
4

(2.1)


19

với (∆Si) được tính theo công thức
(∆Sx )2 = Sx 2 − Sx2
1
=
a+abb+ + aa+b+b + a+2 b2 + a2 b+2 − a+ b + ab+
4
(∆Sy )2 = Sy 2 − Sy2
1
a+abb+ + aa+b+b − a+2 b2 − a2 b+2 + a+ b − ab+
=
4

2

2

Từ hệ thức bất định, ta suy ra
a+abb+ + aa+b+ b + a+2 b2 + a2 b+2 − a+ b + ab+

2

×

a+abb+ + aa+b+ b − a+2 b2 − a2 b+2 + a+b − ab+

2

≥ a + a − b+ b

2

.

Áp dụng phép chuyển vị từng phần cho mode b (b ↔ b+ ), ta được bất đẳng

thức mới

a+abb+ + aa+b+ b + a+2 b+2 + a2 b2 − a+ b+ + ab

2

×

a+abb+ + aa+b+ b − a+2 b+2 − a2 b2 + a+b+ − ab

2

≥ a + a − b+ b

2

.

(2.2)
Bất đẳng thức (2.2) xuất phát từ hệ thức bất định nên nó luôn thoãn mãn
đối với trạng thái có thể chia tách được hai mode. Do đó, nếu vi phạm bất
đẳng thức (2.2) thì ta có thể kết luận được trạng thái đó đan rối.
Tiếp theo, hai ông xét các toán tử thoả mãn nhóm đại số SU(1,1),
a+b+ + ab
Kx =
,
2
a+b − ab+
Ky =
,
2i
a + a + b+ b + 1
,
Kz =
2

(2.3)


20

sử dụng hệ thức bất định, ta có:
1
∆Kx∆Ky ≥ | Kz |,
2
1
(∆Kx)2 (∆Ky )2 ≥ | Kz |2.
4

(2.4)

Từ đó, hai ông tìm ra được bất đẳng thức sau:
a+abb+ + aa+b+ b + a+2 b+2 + a2 b2 − a+ b+ + ab

2

×

a+abb+ + aa+b+ b − a+2 b+2 − a2 b2 + a+b+ − ab

2

≥ a + a − b+ b

2

.

Bất đẳng thức này, xuất phát từ hệ thức bất định nên nó luôn thoả mãn đối
với mọi trạng thái hai mode.
Vì vậy, để tìm điều kiện cho một trạng thái có thể chia tách được, hai

ông đã sử dụng phép chuyển vị từng phần cho mode b và dẫn đến bất đẳng
thức:
a+ab+b + aa+bb+ + a+2 b2 + a2 b+2 − a+ b + ab+

2

×

a+ab+b + aa+bb+ − a+2 b2 − a2 b+2 + a+b − ab+

2

≥ a+a + bb+

2

.

(2.5)
Nếu một trạng thái nào thoả mãn bất đẳng thức (2.5) thì ta kết luận trạng
thái đó có thể chia tách được.
Do đó, để phát hiện một trạng thái đan rối hay không thì ta chỉ cần
kiểm tra chúng có vi phạm bất đẳng thức (2.5) hay không hoặc có thể kiểm
tra chúng thoả mãn được bất đẳng thức (2.6).
a+ab+b + aa+bb+ + a+2 b2 + a2 b+2 − a+ b + ab+

2

×

a+ab+b + aa+bb+ − a+2 b2 − a2 b+2 + a+b − ab+

2

< a+a + bb+

2

.

(2.6)


21

2.1.2

Áp dụng

2.1.2.1 Trạng thái hỗn hợp.
Xét trạng thái hỗn hợp có dạng
ρ = s |Ψ01 Ψ01| +

1−s
P01,
4

(2.7)

trong đó 0 ≤ s ≤ 1, P01 là toán tử chiếu trong không gian được khai triển

bởi các vectơ

(2.8)

{|0 a |0 b , |0 a |1 b , |1 a |0 b , |1 a |1 b },
|Ψ01 là trạng thái Bell có dạng sau
|Ψ01 =

|0 a |1 b + |1 a |0 b
√
.
2

(2.9)

Phương trình (2.7) có thể được viết lại như sau
1−s
{|0 a |0 b b 0|a 0| + |0 a |1
4
0|a 1| + |1 a |1 b b 1|a 1|}.

ρ = s |Ψ01 Ψ01| +
+ |1 a |0

bb

bb

1|b 0|

(2.10)

Ta có các trị trung bình (chứng minh ở phụ lục 1 ):
s
a+ b = ,
2
a2 b+2 = 0,

ab+ = s2 ,

a+a = 12 ,

a+2 b2 = 0,

1
3
b+ b = , bb+ = ,
2
2
1−s
,
4
9−s
=
.
4

(2.11)
(2.12)

Na Nb = a+ab+b =

(2.13)

aa+bb+

(2.14)

Theo đẳng thức (2.6), ta có
1−s 9−s
s s
+
+ 0 + 0 − ( + )2
4
4
2 2

1−s 9−s
+
− 0 − 0 + 0 < 4,
4
4
(2.15)